經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) 差分方程課件

差分方程模型數(shù)理教研部蔡姝婷第一節(jié)差分方程基本知識(shí)1、差分方程：差分方程反映的是關(guān)于離散變量的取值與變化規(guī)律。通過建立一個(gè)或幾個(gè)離散變量取值所滿足的平衡關(guān)系，從而建立差分方程。差分方程就是針對要解決的目標(biāo)，引入系統(tǒng)或過程中的離散變量，根據(jù)實(shí)際背景的規(guī)律、性質(zhì)、平衡關(guān)系，建立離散變量所滿足的平衡關(guān)系等式，從而建立差分方程。通過求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特別性質(zhì)（平衡性、穩(wěn)定性、漸近性、振動(dòng)性、周期性等），從而把握這個(gè)離散變量的變化過程的規(guī)律，進(jìn)一步再結(jié)合其他分析，得到原問題的解。引例1：Fibonacci（斐波那契）數(shù)列問題13世紀(jì)意大利著名數(shù)學(xué)家Fibonacci在他的著作《算盤書》中記載著這樣一個(gè)有趣的問題：

一對剛出生的幼兔經(jīng)過一個(gè)月可長成成兔，成兔再經(jīng)過一個(gè)月后可以繁殖出一對幼兔.若不計(jì)兔子的死亡數(shù)，問一年之后共有多少對兔子？月份01234567…幼兔10112358…成兔011235813…總數(shù)1123581321…

將兔群總數(shù)記為fn,n=0,1,2,…，經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列{fn}滿足下列遞推關(guān)系：f0=f1=1,fn+2=fn+1+fn,n=0,1,2,…

這個(gè)數(shù)列稱為Fibonacci數(shù)列.Fibonacci數(shù)列是一個(gè)十分有趣的數(shù)列，在自然科學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用.Fibonacci數(shù)列的一些實(shí)例.1.蜜蜂的家譜2.鋼琴音階的排列3.樹的分枝4.楊輝三角形引例2：日常的經(jīng)濟(jì)問題中的差分方程模型1）.銀行存款與利率

假如你在銀行開設(shè)了一個(gè)1000元的存款賬戶，銀行的年利率為7%.用an表示n年后你賬戶上的存款額，那么下面的數(shù)列就是你每年的存款額：a0,a1,a2,a3,…,an,…

設(shè)r為年利率，由于an+1=an+ran,因此存款問題的數(shù)學(xué)模型是：a0=1000,an+1=(1+r)an,n=1,2,3,…2）.家庭教育基金

從1994年開始，我國逐步實(shí)行了大學(xué)收費(fèi)制度.為了保障子女將來的教育費(fèi)用，小張夫婦從他們的兒子出生時(shí)開始，每年向銀行存入x元作為家庭教育基金.若銀行的年利率為r，試寫出第n年后教育基金總額的表達(dá)式.預(yù)計(jì)當(dāng)子女18歲入大學(xué)時(shí)所需的費(fèi)用為100000元，按年利率3%計(jì)算，小張夫婦每年應(yīng)向銀行存入多少元?

設(shè)n年后教育基金總額為an，每年向銀行存入x元，依據(jù)復(fù)利率計(jì)算公式，得到家庭教育基金的數(shù)學(xué)模型為：a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,…3）.抵押貸款

小李夫婦要購買二居室住房一套，共需30萬元.他們已經(jīng)籌集10萬元，另外20萬元申請抵押貸款.若貸款月利率為0.6%，還貸期限為20年，問小李夫婦每月要還多少錢？

設(shè)貸款額為a0，每月還貸額為x，月利率為r，第n個(gè)月后的欠款額為an，則a0=200000,a1=(1+r)a0-x,a2=(1+r)a1-x,……an=(1+r)an-1-x,n=1,2,3,…二.差分的概念與性質(zhì)一般地，在連續(xù)變化的時(shí)間的范圍內(nèi)，變量關(guān)于時(shí)間的變化率是用來刻畫的；對離散型的變量我們常用在規(guī)定時(shí)間區(qū)間上的差商來刻畫變量的變化率.如果取，則可以近似表示變量的變化率.由此我們給出差分的定義.定義1設(shè)函數(shù)，稱改變量為函數(shù)的差分，也稱為函數(shù)的一階差分，記為，即

或一階差分的差分稱為二階差分，即類似地可定義三階差分，四階差分，等等.一般地，函數(shù)的階差分的差分稱為階差分，記為，即二階及二階以上的差分統(tǒng)稱為高階差分.例1設(shè)，求，，解例2設(shè)求解設(shè)，則.差分滿足以下性質(zhì)：（2）（3）（4）（1）例3求解由差分的運(yùn)算性質(zhì)，有.的差分.1差分方程的概念定義2含有未知函數(shù)的差分的方程稱為差分方程.或差分方程中所含未知函數(shù)差分的最高階數(shù)稱為該差分方程的階差分方程的一般形式：定義3滿足差分方程的函數(shù)稱為該差分方程的解.例如，對于差分方程，將代入方程有故是該方程的解，易見對任意的常數(shù)都是差分方程的解.如果差分方程的解中含有相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)恰好等于方程的階數(shù)，則稱這個(gè)解是差分方程的通解.定義4若差分方程中所含未知函數(shù)及未知函數(shù)的各階差分均為一次，則稱該差分方程為線性差分方程.其一般形式為

其特點(diǎn)是都是一次的.

三.一階常系數(shù)線性差分方程一階常系數(shù)差分方程的一般方程形式為其中為非零常數(shù)，為已知函數(shù).如果則方程變?yōu)榉Q為一階常系數(shù)線性齊次差分方程，相應(yīng)地，時(shí)方程一階常系數(shù)線性非齊次差分方程.1．一階常系數(shù)線性齊次差分方程的通解已知，將代入方程中，得則為方程的解.容易驗(yàn)證，對任意常數(shù)都是方程的解，故方程的通解為一階常系數(shù)線性齊次差分方程的通解可用迭代法求得.設(shè)例4求差分方程的通解.解利用公式得，題設(shè)方程的通解為2．一階常系數(shù)線性非齊次差分方程的通解為齊次方程的通解，為非齊次方程的一個(gè)為非齊次方程的通解.，及將這兩式相加得，即為非齊次方程的通解.定理設(shè)特解，則證明由題設(shè)，有（1）為非零常數(shù)，由，可按如下迭代法求得特解給定齊次方程的通解為于是方程通解為

時(shí)，當(dāng)其中，為任意常數(shù)，且當(dāng)時(shí)，為任意常數(shù)例5求差分方程的通解.，故原方程的通解為解由于（2）（為非零常數(shù)且）.時(shí)，設(shè)為非齊次方程的特解，其中為待定系數(shù).將其代入方程,得解得，于是，所求特解為所以時(shí)，方程的通解為當(dāng)當(dāng)時(shí)，設(shè)為方程的特解，代入方程得所以，當(dāng)時(shí)，方程的通解為

例7求差分方程在初始條件時(shí)的特解.利用公式，所求通解為將初始條件代入上式，得故所求題設(shè)方程的特解為解這里則被稱為n階齊次線性差分方程。若所有的ai(t)均為與t無關(guān)的常數(shù)，則稱其為常系數(shù)差分方程，即n階常系數(shù)線性差分方程可分成（7.1）

的形式，其對應(yīng)的齊次方程為（7.2）

容易證明，若序列與均為方程（7.2）的解，則也是方程（7.2）的解，其中c1、c2為任意常數(shù)，這說明，齊次方程的解構(gòu)成一個(gè)線性空間（解空間）。

此規(guī)律對于（7.1）也成立。

方程（7.1）可用如下的代數(shù)方法求其通解：（步一）先求解對應(yīng)的特征方程

（7.3）

（步二）根據(jù)特征根的不同情況，求齊次方程(7.2）的通解

情況1

若特征方程（7.3）有n個(gè)互不相同的實(shí)根,…,，則齊次方程（7.2）的通解為(C1,…,Cn為任意常數(shù))，情況2

若λ

是特征方程（7.3）的k重根，通解中對應(yīng)

于λ的項(xiàng)為為任意常數(shù)，i=1,…,k。情況3

若特征方程（7.3）有單重復(fù)根通解中對應(yīng)它們的項(xiàng)為為λ的模，為λ的幅角。

情況4

若

為特征方程（7.3）的k重復(fù)根，則通

解對應(yīng)于它們的項(xiàng)為為任意常數(shù)，i=1,…,2k。

.若yt為方程(7.2)的通解,則非齊次方程(7.1)的通解為（步三）求非齊次方程(7.1)的一個(gè)特解

求非齊次方程（7.1）的特解一般要用到常數(shù)變易法，計(jì)算較繁。對特殊形式的b(t)也可使用待定系數(shù)法。6.6

按年齡分組的人口模型

不同年齡組的繁殖率和死亡率不同.建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長規(guī)律.假設(shè)與建模

種群按年齡大小等分為n個(gè)年齡組，記i=1,2,…,n

時(shí)間離散為時(shí)段，長度與年齡組區(qū)間相等，記k=1,2,…

以雌性個(gè)體數(shù)量為對象.

第i年齡組1雌性個(gè)體在1時(shí)段內(nèi)的繁殖率為bi

第i年齡組在1時(shí)段內(nèi)的死亡率為di,存活率為si=1-di假設(shè)與建模xi(k)~時(shí)段k第i年齡組的種群數(shù)量~按年齡組的分布向量預(yù)測任意時(shí)段種群按年齡組的分布~Leslie矩陣(L矩陣)(設(shè)至少1個(gè)bi>0)穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學(xué)知識(shí)

L矩陣存在正單特征根1，

若L矩陣存在bi,bi+1>0,則P的第1列是x*特征向量,c是由bi,si,x(0)決定的常數(shù)且解釋L對角化穩(wěn)態(tài)分析——k充分大種群按年齡組的分布~種群按年齡組的分布趨向穩(wěn)定，x*稱穩(wěn)定分布,與初始分布無關(guān).~各年齡組種群數(shù)量按同一倍數(shù)增減，

稱固有增長率與基本模型比較3）=1時(shí)~各年齡組種群數(shù)量不變

~1個(gè)個(gè)體在整個(gè)存活期內(nèi)的繁殖數(shù)量為1穩(wěn)態(tài)分析3）=1時(shí)人口模型連續(xù)型人口模型的離散形式xi(