函數(shù)平均變化率

函數(shù)平均變化率第一頁，共五十二頁，2022年，8月28日第二頁，共五十二頁，2022年，8月28日如何用數(shù)學來反映山勢的平緩與陡峭程度？第三頁，共五十二頁，2022年，8月28日HABCDFXkXk+1X0X1X2yO例：如圖，是一座山的剖面示意圖:A是登山者的出發(fā)點,H是山頂,登山路線用y=f(x)表示；問題：當自變量x表示登山者的水平位置，函數(shù)值y表示登山者所在高度時，陡峭程度應怎樣表示？登山問題x第四頁，共五十二頁，2022年，8月28日HABCDFXkXk+1X0X1X2yOOyxx1x2y0y1A(x1,y1)B(x2,y2)選取平直山路AB放大研究:若自變量的改變量函數(shù)值的改變量直線AB的斜率:第五頁，共五十二頁，2022年，8月28日D1X3HABCDFXkXk+1X0X1X2yOOyxx0x1y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)Oyxx2x3y2y3C(x2,y2)D1(x3,y3)直線AB的斜率:直線CD1的斜率:x第六頁，共五十二頁，2022年，8月28日y0x0x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C(x2,y2)y3D(x3,y3)y4E(x4,y4)第七頁，共五十二頁，2022年，8月28日y0x0x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C(x2,y2)y3D(x3,y3)y4E(x4,y4)第八頁，共五十二頁，2022年，8月28日平均變化率曲線陡峭程度數(shù)形變量變化的快慢建構(gòu)數(shù)學第九頁，共五十二頁，2022年，8月28日華羅庚數(shù)缺形少直觀形缺數(shù)難入微華羅庚第十頁，共五十二頁，2022年，8月28日函數(shù)的平均變化率已知函數(shù)在點及其附近有定義，令,則當時,比值叫做函數(shù)在到之間的平均變化率第十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日思考:函數(shù)平均變化率的幾何意義？

OABxyY=f(x)x0X0+△xf(x0)f(X0+△x)△x直線AB的斜率函數(shù)平均變化率:函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比

觀察函數(shù)f(x)的圖象過曲線上的點割線的斜率。第十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日思考：（1）△x、△y的符號是怎樣的？（2）該變量應如何對應？理解：2、對應性：若第十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日

美國康乃大學曾經(jīng)做過一個有名的“青蛙試驗”。試驗人員把一只健壯的青蛙投入熱水鍋中，青蛙馬上就感到了危險，拼命一縱便跳出了鍋子。試驗人員又把該青蛙投入冷水鍋中，然后開始慢慢加熱水鍋。剛開始，青蛙自然悠哉游哉，毫無戒備。一段時間以后，鍋里水的溫度逐漸升高，而青蛙在緩慢的水溫變化中卻沒有感到危險，最后，一只活蹦亂跳的健壯的青蛙竟活活地給煮死了。

閱讀材料第十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日例1.求函數(shù)在到之間的平均變化率解:當函數(shù)在到之間變化的時候函數(shù)的平均變化率為分析:當取定值,取不同數(shù)值時,該函數(shù)的平均變化率也不一樣.第十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日(2)求函數(shù)

在到之間的平均變化率解:當函數(shù)在到之間變化的時候函數(shù)的平均變化率為第十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日課堂練習：甲乙二人跑步路程與時間的關(guān)系以及百米賽跑路程和時間的關(guān)系分別如圖（1）（2）所示，（1）甲乙二人哪一個跑得快？（2）甲乙二人百米賽跑，快到終點時，誰跑得比較快？甲乙O

(1)路程tyO甲乙t0t100m第十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日知識運用再做兩個題吧!1、已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象上的一點A(-1,-2)及鄰近一點B(-1+Δx,-2+Δy),則Δy/Δx=()A、3B、3Δx-(Δx)2C、3-(Δx)2D、3-Δx

Dy=kx+b在區(qū)間上的平均變化率有什么特點？

2.求下列函數(shù)的在區(qū)間平均變化率：（1）y=1

（2）y=2x+1（3）y=-2x第十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日例3：已知函數(shù)，計算函數(shù)在下列區(qū)間上的平均變化率。解:當函數(shù)在到之間變化的時候函數(shù)的平均變化率為變化區(qū)間自變量改變量平均變化率（1，1.1）0.12.1（1，1.01）0.012.01(1,1.001)0.0012.001(1,1.0001)0.00012.0001………第十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日要精確地描述非勻速直線運動，就要知道物體在每一時刻運動的快慢程度．如果物體的運動規(guī)律是s=s(t)，那么物體在時刻t的瞬時速度v，就是物體在t到t+Dt這段時間內(nèi)，當Dt0時平均速度的極限．即瞬時速度第二十頁，共五十二頁，2022年，8月28日函數(shù)的瞬時變化率設函數(shù)在附近有定義，當自變量在附近改變時，函數(shù)值相應的發(fā)生改變?nèi)绻斱吔冢皶r，平均變化率趨近于一個常數(shù)，則數(shù)稱為函數(shù)在點處的瞬時變化率。第二十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日導數(shù)的概念也可記作★若這個極限不存在，則稱在點x0

處不可導。

設函數(shù)y=f(x)在點x=x0的附近有定義，當自變量x在x0處取得增量△x(點x0+△x仍在該定義內(nèi)）時，相應地函數(shù)y取得增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，若△y與△x之比當△x→0的極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處可導，并稱這個極限為函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)記為即第二十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日說明：（1）函數(shù)在點處可導，是指時，有極限．如果不存在極限，就說函數(shù)在處不可導，或說無導數(shù)．點是自變量x在處的改變量，，而是函數(shù)值的改變量，可以是零．

（2）第二十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日由導數(shù)的定義可知，求函數(shù)在處的導數(shù)的步驟:（1）求函數(shù)的增量:；（2）求平均變化率:；．（3）取極限，得導數(shù):第二十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日例:高臺跳水運動中，秒時運動員相對于水面的高度是（單位：），求運動員在時的瞬時速度，并解釋此時的運動狀態(tài);在呢?

第二十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日同理，

運動員在時的瞬時速度為，上升下落這說明運動員在附近，正以大約的速率。第二十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日割線PQ的的變化情況２．在的過程中，請在函數(shù)圖象中畫出來．你能描述一下嗎？第二十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日PQM求已知曲線的切線.第二十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日作業(yè)課本82.B2報紙A14第二十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日一是:根據(jù)物體的路程關(guān)于時間的函數(shù)求速度和加速度.二是:求已知曲線的切線.第三十頁，共五十二頁，2022年，8月28日例、將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果第時，原油的溫度（單位：℃）為計算第2h和第6h，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義。第三十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日3.1.1導數(shù)的幾何意義Pxy0T第三十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日一是:根據(jù)物體的路程關(guān)于時間的函數(shù)求速度和加速度.二是:求已知曲線的切線.第三十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日課堂小結(jié)：函數(shù)的平均變化率函數(shù)的瞬時變化率第三十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日例、將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果第時，原油的溫度（單位：℃）為計算第2h和第6h，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義。第三十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日3.1.1導數(shù)的幾何意義Pxy0T第三十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日PxyoT的切線方程為即第三十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日

圓的切線定義并不適用于一般的曲線。通過逼近的方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為切線（交點可能不惟一）適用于各種曲線。所以，這種定義才真正反映了切線的直觀本質(zhì)。

第三十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日

根據(jù)導數(shù)的幾何意義，在點P附近，曲線可以用在點P處的切線近似代替

。大多數(shù)函數(shù)曲線就一小范圍來看，大致可看作直線，所以，某點附近的曲線可以用過此點的切線近似代替，即“以直代曲”（以簡單的對象刻畫復雜的對象）第三十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日

1.在函數(shù)的圖像上，(1)用圖形來體現(xiàn)導數(shù)，的幾何意義.

第四十頁，共五十二頁，2022年，8月28日(2)請描述，比較曲線分別在附近增（減）以及增（減）快慢的情況。在附近呢？

第四十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日(2)請描述，比較曲線分別在附近增（減）以及增（減）快慢的情況。在附近呢？

增（減):增（減）快慢：=切線的斜率附近：瞬時變化率（正或負）即：瞬時變化率（導數(shù)）（數(shù)形結(jié)合，以直代曲）畫切線即：導數(shù)的絕多值的大小=切線斜率的絕對值的大小切線的傾斜程度（陡峭程度）以簡單對象刻畫復雜的對象第四十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日(2)曲線在時，切線平行于x軸，曲線在附近比較平坦，幾乎沒有升降．

曲線在處切線的斜率0在附近，曲線，函數(shù)在附近單調(diào)

如圖，切線的傾斜程度大于切線的傾斜程度，

大于上升遞增上升

這說明曲線在

附近比在附近得迅速．遞減下降小于下降第四十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日

2．如圖表示人體血管中的藥物濃度c=f(t)（單位：mg/ml）隨時間t（單位：min）變化的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像，估計t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）時，血管中藥物濃度的瞬時變化率，把數(shù)據(jù)用表格的形式列出。(精確到0.1)第四十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日

血管中藥物濃度的瞬時變化率,就是藥物濃度從圖象上看,它表示曲線在該點處的切線的斜率.函數(shù)f(t)在此時刻的導數(shù),（數(shù)形結(jié)合，以直代曲）以簡單對象刻畫復雜的對象第四十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日

抽象概括：

是確定的數(shù)是的函數(shù)導函數(shù)的概念：t0.20.40.60.8藥物濃度的瞬時變化率

第四十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日小結(jié)：１.函數(shù)在處的導數(shù)的幾何意義，就是函數(shù)的圖像在點處的切線AD的斜率（數(shù)形結(jié)合）