復(fù)變函數(shù)課件

復(fù)變函數(shù)課件第一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日研究對(duì)象：解析函數(shù)應(yīng)用背景：數(shù)域擴(kuò)張、歐拉恒等式、繪圖、數(shù)學(xué)分支、物理學(xué)等方面的應(yīng)用預(yù)備知識(shí)：微積分準(zhǔn)備工作下頁(yè)返回上頁(yè)第二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日研究對(duì)象：解析函數(shù)應(yīng)用背景：數(shù)域擴(kuò)張、歐拉恒等式、繪圖、數(shù)學(xué)分支、物理學(xué)等方面的應(yīng)用預(yù)備知識(shí)：微積分準(zhǔn)備工作下頁(yè)返回上頁(yè)第三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)復(fù)數(shù)1、復(fù)數(shù)域2、復(fù)平面3、復(fù)數(shù)的模與輻角第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)4、復(fù)數(shù)的乘冪和方根5、共軛復(fù)數(shù)6、復(fù)數(shù)在幾何上的應(yīng)用舉例第四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日5虛數(shù)單位:對(duì)虛數(shù)單位的規(guī)定:1復(fù)數(shù):下頁(yè)返回上頁(yè)第五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日6虛數(shù)單位的特性:……下頁(yè)返回上頁(yè)第六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日復(fù)數(shù):具有z=x+iy形狀的數(shù)。其中：i是虛數(shù)單位(-1的平方根)；（j）

x和y是實(shí)數(shù)，分別為z的實(shí)部和虛部；如果Imz=0，則z可以看成一個(gè)實(shí)數(shù)；如果Imz≠0，則z為一個(gè)虛數(shù)；如果Imz≠0，而Rez=0，則z為一個(gè)純虛數(shù)。下頁(yè)返回上頁(yè)第七頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日8例1解令下頁(yè)返回上頁(yè)第八頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算:復(fù)數(shù)在四則運(yùn)算這個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)下，構(gòu)成一個(gè)復(fù)數(shù)域(對(duì)加、減、乘、除運(yùn)算封閉），記為C，復(fù)數(shù)域可以看成實(shí)數(shù)域的擴(kuò)張。下頁(yè)返回上頁(yè)第九頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日2復(fù)平面:復(fù)數(shù)域C也可以理解成平面R×R，我們稱C為復(fù)平面。作映射：

則復(fù)數(shù)域C與平面R×R建立了1-1對(duì)應(yīng)（雙射）。R×R平面上：橫坐標(biāo)軸稱為實(shí)軸；縱坐標(biāo)軸稱為虛軸；一般稱為復(fù)平面，z-平面，C等。下頁(yè)返回上頁(yè)第十頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日復(fù)數(shù)與平面中的向量一一對(duì)應(yīng)。實(shí)軸正向到非零復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)向量間的夾角稱為復(fù)數(shù)的輻角，為：向量的長(zhǎng)度稱為復(fù)數(shù)的模，為：3模和輻角:0xyxyqz=x+iy|z|=r下頁(yè)返回上頁(yè)第十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日12輻角主值的定義:當(dāng)z=0時(shí),|z|=0,而幅角不確定.下頁(yè)返回上頁(yè)第十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的加減法運(yùn)算一致.復(fù)數(shù)加、減法的幾何表示如下圖：下頁(yè)返回上頁(yè)第十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日基本不等式:關(guān)于兩個(gè)復(fù)數(shù)的和與差的模，有以下不等式：下頁(yè)返回上頁(yè)第十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日復(fù)數(shù)的三角表示:非零復(fù)數(shù)的三角表示定義為：利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系再利用歐拉公式復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式下頁(yè)返回上頁(yè)第十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日例2將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:解故三角表示式為指數(shù)表示式為下頁(yè)返回上頁(yè)第十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日17故三角表示式為指數(shù)表示式為下頁(yè)返回上頁(yè)第十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日三角表示的乘法：利用復(fù)數(shù)的三角表示可以更簡(jiǎn)單的表示復(fù)數(shù)的乘法與除法，設(shè)則有下頁(yè)返回上頁(yè)第十八頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日復(fù)數(shù)乘法的幾何表示如下：幾何上z1z2相當(dāng)于將z2的模擴(kuò)大|z1|倍并旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度Argz1.01下頁(yè)返回上頁(yè)第十九頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日三角表示的除法：

同理，對(duì)除法，也有：下頁(yè)返回上頁(yè)第二十頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日21n次冪:4復(fù)數(shù)的乘冪與方根：下頁(yè)返回上頁(yè)第二十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日22棣莫佛公式推導(dǎo)過(guò)程如下:棣莫佛公式下頁(yè)返回上頁(yè)第二十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日23根據(jù)棣莫佛公式,下頁(yè)返回上頁(yè)第二十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日故三角表示式為指數(shù)表示式為例3將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:下頁(yè)返回上頁(yè)第二十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日例4、求所有值：解：由于所以有四個(gè)根下頁(yè)返回上頁(yè)第二十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日26實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù).例5解5共軛復(fù)數(shù)：下頁(yè)返回上頁(yè)第二十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日27共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):下頁(yè)返回上頁(yè)第二十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日下頁(yè)返回上頁(yè)第二十八頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日下頁(yè)返回上頁(yè)第二十九頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日P17例1.10下頁(yè)返回上頁(yè)第三十頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日31（1）曲線的復(fù)數(shù)方程6復(fù)數(shù)在幾何上的應(yīng)用舉例（2）應(yīng)用復(fù)數(shù)證明幾何問(wèn)題下頁(yè)返回上頁(yè)第三十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日解：利用下頁(yè)返回上頁(yè)第三十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日例9、作出過(guò)復(fù)平面C上不同兩點(diǎn)a,b的直線及過(guò)不共線三點(diǎn)a,b,c的圓的表示式。解：下頁(yè)返回上頁(yè)第三十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日

a,c,b,z構(gòu)成一個(gè)圓內(nèi)結(jié)四邊形或在同一側(cè)下頁(yè)返回上頁(yè)第三十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日35例10證下頁(yè)返回上頁(yè)第三十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日36兩邊平方,并化簡(jiǎn)得上面例子表明,很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來(lái)表示;也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來(lái)確定它所表示的平面圖形.下頁(yè)返回上頁(yè)第三十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日37小結(jié)與思考

1、本課學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì)及其運(yùn)算.重點(diǎn)掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

2、學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的模、輻角;復(fù)數(shù)的各種表示法及簡(jiǎn)單的復(fù)數(shù)幾何應(yīng)用.并且介紹了復(fù)平面.應(yīng)熟練掌握復(fù)數(shù)乘積與商的運(yùn)算.在各種形式中以三角形式、指數(shù)形式最為方便:

棣莫佛(deMoivre)公式下頁(yè)返回上頁(yè)第三十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022