人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)幾何期末重難點(diǎn)題型總復(fù)習(xí)

專(zhuān)題01三角形章末重難點(diǎn)題型匯編【舉一反三】

考點(diǎn)1三角形的穩(wěn)定性

考點(diǎn)2判斷三角形的高

三角形

考航臺(tái)形外角色的應(yīng)用考點(diǎn)3三角形邊角關(guān)系的應(yīng)用

考點(diǎn)8利用互余關(guān)系倒角考點(diǎn)4多邊形的相關(guān)慨念

K典"分折］

【考點(diǎn)1三角形的穩(wěn)定性】

【方法點(diǎn)撥】理解穩(wěn)定性：“只要三角形三條邊的長(zhǎng)度固定，這個(gè)三角形的形狀和大小也就

完全確定，三角

形的這種性質(zhì)叫做“三角形的穩(wěn)定性”.這就是說(shuō)，三角形的穩(wěn)定性不是“拉得動(dòng)、拉不動(dòng)”

的問(wèn)題，其實(shí)

質(zhì)應(yīng)是“三角形邊長(zhǎng)確定，其形狀和大小就確定了”.

【例1】（2019春?永泰縣期中）如圖小方做了一個(gè)方形框架，發(fā)現(xiàn)很容易變形，請(qǐng)你幫他選

擇一個(gè)最好的加固方案（)

,ffl

B.

【變式1-1］（2019秋?西陵區(qū)校級(jí)期中）將幾根木條用釘子釘成如圖的模型，其中在同一平

面內(nèi)不具有穩(wěn)定性的是（）

【變式1-2］（2018秋?桐梓縣校級(jí)期中）圖中的五角星是用螺栓將兩端打有孔的5根木條連

接而構(gòu)成的，它的形狀不穩(wěn)定.如果用在圖中木條交叉點(diǎn)打孔加裝螺栓的辦法來(lái)達(dá)到使

其形狀穩(wěn)定的目的，且所加螺栓盡可能少，那么需要添加螺栓（）

【變式1-3］（2019秋?安陸市期中）我們都有這樣的生活經(jīng)驗(yàn)，要想使多邊形（三角形除外）

木架不變形至少再釘上若干根木條，如圖所示，四邊形至少再釘上一根；五邊形至少再

釘上兩根；六邊形至少再釘上三根；…，按照此規(guī)律，十二邊形至少再釘上（）

【考點(diǎn)2判斷三角形的高】

【方法點(diǎn)撥】三角形任意一邊上的高必須滿足：（1）過(guò)該邊所對(duì)的頂點(diǎn)；（2）垂足必須在該邊

或在該邊的延長(zhǎng)

線上.

【例2】（2019春?海州區(qū)期中）如圖，△ABC中的邊BC上的高是（）

A.AFB.DBC.CFD.BE

【變式2-1］（2019春?大豐區(qū)期中）要求畫(huà)△A8C的邊A8上的高，下列畫(huà)法中，正確的是

)

【變式2-2］（2019春?蘇州期中）如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是這個(gè)三角形的一個(gè)

頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定

【變式2-3］（2018春?南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖，2。是aABC的高，EF//AC,EF交BD于

G,下列說(shuō)法正確的有（）

①BG是的高；②C。是△BGC的高；③。G是△4GC的高；④AO是的

高.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【考點(diǎn)3三角形邊角關(guān)系的應(yīng)用】

【方法點(diǎn)撥】掌握三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊是解題關(guān)鍵.

【例3】（2019春?福州期末）用一根長(zhǎng)為10。"的繩子圍成一個(gè)三角形，若所圍成的三角形

中一邊的長(zhǎng)為2cm,且另外兩邊長(zhǎng)的值均為整數(shù)，則這樣的圍法有（）

A.1利?B.2種C.3種D.4種

【變式3-1］（2019秋?銀海區(qū)期末）a,h,c為AABC的三邊，化簡(jiǎn)|a+Hc|-c|-

-b+c\-\a+b-c|,結(jié)果是（）

A.0B.2a+2b+2cC.4aD.2b-2c

【變式3?2】（2019春?秦淮區(qū)期末）已知一個(gè)三角形中兩條邊的長(zhǎng)分別是〃、b,且。>b,

那么這個(gè)三角形的周長(zhǎng)L的取值范圍是（）

A.3b<L<3aB.2a<L<2（a+b）

C.a+2b<L<2a+bD.3a-b<L〈3a+b

【變式3-3］（2019?孝感模擬）如圖，用四個(gè)螺絲將四條不可彎曲的木條圍成一個(gè)木框（形

狀不限），不計(jì)螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依次為3、4、5、7,且相鄰兩木條的夾

角均可調(diào)整.若調(diào)整木條的夾角時(shí)不破壞此木框，則任意兩個(gè)螺絲間的距離的最大值為

（）

5

【考點(diǎn)4多邊形的相關(guān)概念】

【方法點(diǎn)撥】了解凸多邊形的定義，掌握多邊形對(duì)角線與所分成三角形個(gè)數(shù)之間的關(guān)系：從

n（n》3）邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作出（n-3）條對(duì)角線.將多邊形分成（n-2）個(gè)三角形.

【例4】（2019春?道里區(qū)期末）下列選項(xiàng)中的圖形，不是凸多邊形的是（）

【變式4-1］（2019秋?德州校級(jí)月考）要使一個(gè)五邊形具有穩(wěn)定性，則需至少添加（）

條對(duì)角線.

A.1B.2C.3D.4

【變式4-2］（2018秋?南城縣期末）從一個(gè)七邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余

各頂點(diǎn)，可以把一個(gè)七邊形分割成（）個(gè)三角形.

A.6B.5C.8D.7

【變式4-3］（2018秋?綿陽(yáng)期中）一個(gè)多邊形截去一角后，變成一個(gè)八邊形則這個(gè)多邊形原

來(lái)的邊數(shù)是（）

A.8或9B.7或8C.7或8或9D.8或9或10

【考點(diǎn)5多邊形內(nèi)角和與外角和的應(yīng)用】

【方法點(diǎn)撥】（1）掌握多邊形內(nèi)角和計(jì)算公式：（n-2）X180°（n23的整數(shù)），多邊形的

外角和等于360°

特別注意：與邊數(shù)無(wú)關(guān).

【例5】（2019春?吳江區(qū)期中）一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，并且它的一個(gè)外角與一個(gè)內(nèi)

角的比為1：3,則這個(gè)多邊形為（）

A.三角形B.四邊形C,六邊形D.八邊形

【變式5-1］（2018秋?桐梓縣校級(jí)期中）如圖，小明從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)12米后向左

轉(zhuǎn)36。，再沿直線前進(jìn)12米，又向左轉(zhuǎn)36°…照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A

點(diǎn)時(shí)，一共走了（）米.

A.100B.120C.140D.60

【變式5-2］（2019春?江都區(qū)期中）如圖，五邊形ABCCE中，AB//CD,ZKN2、/3分

別是N8AE、NAED、NEDC的外角，則/1+N2+/3等于（)

A.180°B.90°C.210°D.270°

【變式5-3］（2019春?江陰市期中）如圖，在六邊形ABCCE/中，ZA+ZB+ZE+ZF=a,

CP、OP分別平分NBC。、ZCDE,則/尸的度數(shù)是（）

A.La-180°B.1800-LaC.LaD.360°--La

2222

【考點(diǎn)6三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用】

【方法點(diǎn)撥】三角形內(nèi)角和等于180。.

【例6】(2019春?石景山區(qū)期末)如圖，3。平分/ABC.NABD=/ADB.

(1)求證：AD//BC；

(2)若ZBAD=a,求NOCB的度數(shù)(用含a的代數(shù)式表示).

【變式6-1](2018秋?包河區(qū)期末)如圖，△ABC中，ZACB>90°,AE平分/8AC,AD

交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Z).

(1)若NB=30°,ZACB=100°,求NE4D的度數(shù)；

(2)若NB=a,NACB=B，試用含a、0的式子表示NE4O,則NE4￡>=.(直

接寫(xiě)出結(jié)論即可)

【變式6-2](2019春?福州期末)如圖，在aABC中，/ABC的平分線交AC于點(diǎn)。.作/

BDE=ZABD交AB于點(diǎn)E.

(1)求證：ED//BC;

(2)點(diǎn)M為射線AC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)連接BM,NABM的平分線交射線EQ于

點(diǎn)N.若NMBC=L/NBC,ZBE￡>=105°,求NENB的度數(shù).

2

3

【變式6-3](2018秋?豐城市期末)已知將一塊直角三角板。EF放置在△ABC上，使得該

三角板的兩條直角邊OE,￡>下恰好分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)&C.

(1)NDBC+NDCB=度；

(2)過(guò)點(diǎn)4作直線直線用N〃力E,若/4C￡>=20°,試求NC4例的大小.

【考點(diǎn)7三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用】

【方法點(diǎn)撥】三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

【例7】(2019春?寶應(yīng)縣期中)如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,NA=34°,/\ABC

的外角ZCBD的平分線BE交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求的度數(shù)；

(2)過(guò)點(diǎn)。作。尸〃BE,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，求NF的度數(shù).

【變式7-17](2018春?岱岳區(qū)期中)如圖，ZXABC中，ZA=30°,ZB=62",CE平分

ZACB,C￡)_LAB于。，DFlCE^F,求NACE和NC。尸的度數(shù).

EDB

【變式7-2］（2018春?商水縣期末）如圖，ZBAD=ZCBE=ZACF,NFDE=64°,ZDEF

=43°,求△ABC各內(nèi)角的度數(shù).

【變式7-3］（2019春?南開(kāi)區(qū)校級(jí)月考）如圖，在aABC中，AO是高，ND4C=10°,AE

是NBAC外角的平分線，平分NA8C交AE于點(diǎn)F,若NA8C=46°,求/AFB的度

數(shù).

【考點(diǎn)8利用互余關(guān)系倒角】

【方法點(diǎn)撥】直角三角形兩銳角互余，通常利用這一結(jié)論進(jìn)行倒角.

【例8】（2019春?蓮湖區(qū)期中）如圖，在△ACB中，NACB=90°,CQ_LAB于D

（1）求證：NACD=NB；

（2）若AF平分NC4B分別交C￡>、8c于E、F,求證：NCEF=NCFE.

【變式8-1］（2011春?越城區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC中，是BC邊上的高線，BE是一

條角平分線，它們相交于點(diǎn)P,已知/EP￡>=125°,求NBA。的度數(shù).

BD

【變式8-2]在△ABC中，NACB=90°,E是BC邊上的一點(diǎn)，過(guò)C作“，AE,垂足為F,

過(guò)點(diǎn)8作B￡?_L8C,交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，若/。=65°,求NE4C的度數(shù).

【變式8-3](1)如圖①，在RtZ\ABC中，NACB=90°,CDLAB,垂足為。，NACD與

/B有什么關(guān)系？為什么？

(2)如圖②，在Rt/XABC中，ZC=90°,D、E分別在AC,AB上，且

判斷△AOE的形狀是什么？為什么？

(3)如圖③，在RtZXABC和RtZXQBE中，ZC=90°,NE=90°,ABVBD,點(diǎn)C,

B,E在同一直線上，ZA與NO有什么關(guān)系？為什么？

專(zhuān)題02角度計(jì)算中的經(jīng)典模型【舉一反三】

《直擊接理11

《臭冽分圻】

【模型1雙垂直模型】

【條件】ZB=ZD=ZACE=90°.

【結(jié)論】ZBAC=Z?CE,ZACB=ZCED.

【例1】（2019春?潤(rùn)州區(qū)校級(jí)月考）如圖，在aABC中，ZACB=90°,尸是AC延長(zhǎng)線上

一點(diǎn),FDLAB,

垂足為￡>,FD與BC相交于點(diǎn)E,ZBED=55°.求/A的度數(shù).

DR

【變式1-1](2019秋?涼州區(qū)校級(jí)期中)如圖,ZVIBC中，NB=NC,FD±BC,DELAB,

ZAFD=152°,

【變式1-2](2019春?蓮湖區(qū)期中)如圖，在△AC8中，ZACB=90°,CD_LAB于。.

(1)求證：ZACD-ZB；

(2)若A尸平分NC4B分別交C。、BC于E、F,求證：NCEF=NCFE.

【變式1-3](1)如圖①，在RtZ\ABC中，N4CB=90°,CD1.AB,垂足為。，N4CD與

NB有什么關(guān)系？

為什么？

(2)如圖②，在Rt/XABC中，ZC=90°,D、E分別在AC,A8上，且/4OE=/B,判

斷△斗￡＞《的形狀是什么？為什么？

(3)如圖③，在RtZiABC和RtaQBE中，NC=90°,ZE=90°,ABA.BD,點(diǎn)C,B,

E在同一直線上，/A與NO有什么關(guān)系？為什么？

【模型2A字模型】

【結(jié)論】ZBDE+ZCED=180°+ZA

【例2】（2019春?資中縣月考）如圖所示，△ABC中，/C=75°,若沿圖中虛線截去/C,

則N1+N2等于多少度？

【變式2-1］（2019春?長(zhǎng)沙縣校級(jí)期中）如圖，已知/A=40°,求N1+/2+N3+/4的度

【變式2-2］（2019春?肝胎縣期中）我們?nèi)菀鬃C明，三角形的一個(gè)外角等于它不相鄰的兩個(gè)

內(nèi)角的和，那么，

三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

A'

（圖2）

（圖3）

I.嘗試探究：

Q）如圖1,NDBC與/EC8分別為△ABC的兩個(gè)外角，試探究NA與/之

間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

II.初步應(yīng)用：

（2）如圖2,在△ABC紙片中剪去△CED,得到四邊形ABOE,Nl=130°,則/2-/C

（3）小明聯(lián)想到了曾經(jīng)解決的一個(gè)問(wèn)題：如圖3,在△ABC中，BP、CP分別平分外角N

DBC、NECB,/P與NA有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)利用上面的結(jié)論直接寫(xiě)出答案.

【變式2-3］（2019春?鹽都區(qū)期中）（1）如圖1,已知△ABC為直角三角形，NA=90°,

若沿圖中虛線剪

去NA,則N1+N2等于

A.90°B.135°C.27000.3150

（2）如圖2,已知△A8C中，ZA=50°,剪去/A后成四邊形，則Nl+N2=°.

（3）如圖2,根據(jù)（1）與（2）的求解過(guò)程，請(qǐng)你歸納猜想/1+N2與/A的關(guān)系是.

（4）如圖3,若/A沒(méi)有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究/1+/2與/A的關(guān)系并

說(shuō)明理由.

【模型3雙內(nèi)角平分線模型】

【條件】BP、CP分別為NABC、NACB的角平分線.

【結(jié)論】4=90。+；NA.

【例3】（2018秋?開(kāi)封期中）如圖，△列BC中,

（1）若N8=70°,點(diǎn)P是4ABC的/BAC和/ACB的平分線的交點(diǎn)，求NAPC的度數(shù).

（2）如果把（1）中/3=70°這個(gè)條件去掉，試探索/APC和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系.

【變式3-1］（2018秋?徐聞縣期中）如圖，在△ABC中，NA8C與NAC8的平分線交于點(diǎn)

O.

(1)如圖1,已知/ABC=40°,NAC8=60°,求N80C的度數(shù).

(2)如圖2,已知乙4=90°,求/BOC的度數(shù).

(3)如圖1,設(shè)NA=〃z°,求/BOC的度數(shù).

【變式3-2］（2019春?南崗區(qū)期末）已知在△ABC中，NA=100°,點(diǎn)。在△ABC的內(nèi)部

連接BD,CD,

且/AB￡)=/C8。，ZACD=ZBCD.

（1）如圖1.求NBOC的度數(shù);

（2）如圖2,延長(zhǎng)8。交AC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)C￡?交4B于點(diǎn)尸，若/AED-NAF￡>=12°,

求NACF的度數(shù).

(圖1)(圖2)

【變式3-3](2019春?東阿縣期末)已知任意一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的和是180°.如圖1,

在△A8C中，

ZABC的角平分線BO與NACB的角平分線C。的交點(diǎn)為O

(1)若NA=70°,求NBOC的度數(shù)；

(2)若NA=n,求NBOC的度數(shù)；

(3)如圖2,若80、C。分別是/ABC、NACB的三等分線，也就是/ABC,Z

3

OCB=-ZACB,ZA=a,求NBOC的度數(shù).

3

圖1圖2

【模型4內(nèi)外角平分線模型】

【條件】BP、CP分別為NABC、NACD的角平分線.

【結(jié)論】NA竹NP.

【例4】(2018秋?江岸區(qū)期中)如圖，△ABC中，/ABC與NACB的外角的平分線相交于

點(diǎn)E.

(1)已知NA=60°,求NE的度數(shù);

(2)直接寫(xiě)出NA與乙￡的數(shù)量關(guān)系:

A

【變式4-1](2019秋?衛(wèi)濱區(qū)校級(jí)期中)如圖，aABC的外角/ACC的平分線CP與內(nèi)角N

ABC平分線BP

交于點(diǎn)尸，若NBPC=40°,求/C48的度數(shù).

【變式4-2](2019秋?莆田校級(jí)期中)如圖所示，已知8。為AABC的角平分線，CD為叢

ABC外角ZACE

的平分線，且與8。交于點(diǎn)￡)；

(1)若NABC=60°,ZDCE=70°,則N￡>=°；

(2)若NABC=70°,ZA=80°,則NO=°；

(3)當(dāng)/ABC和NACB在變化，而NA始終保持不變，則/￡>是否發(fā)生變化？為什么？由

此你能得出什么結(jié)論？(用含N4的式子表示NO)

【變式4-3](2018秋?彭水縣校級(jí)月考)如圖，已知80是△ABC的角平分線，CZ)是△4BC

的外角/ACE

的外角平分線，CD與BD交于點(diǎn)。.

(1)若NA=50°,則/￡)=；

(2)若NA=80。，則；

(3)若NA=130°,則；

(4)若/0=36°,則NA=；

(5)綜上所述，你會(huì)得到什么結(jié)論？證明你的結(jié)論的準(zhǔn)確性.

12

BE

【模型5雙外角平分線模型】

【條件】BP、CP分別為NEBC、NBCD的角平分線.

【結(jié)論】NP=90°->NA.

2

【例5】(2018秋?鄂倫春自治旗月考)如圖，ZXABC中，分別延長(zhǎng)△ABC的邊48、AC到

。、E,ZCBD

與/BCE的平分線相交于點(diǎn)P,愛(ài)動(dòng)腦筋的小明在寫(xiě)作業(yè)的時(shí)發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：

(1)若NA=60。，則NP=。：

(2)若NA=40°,則NP=°；

(3)若/月=100°,則/P=°；

(4)請(qǐng)你用數(shù)學(xué)表達(dá)式歸納N4與NP的關(guān)系.

【變式5-1](2019秋?團(tuán)風(fēng)縣校級(jí)月考)8。、8分別是△A8C的兩個(gè)外角/CBE、NBCF

的平分線，

求證：NBDC=90°--ZA.

2

D

【變式5-2](2019春?雨城區(qū)校級(jí)期中)如圖，Bl,C/分別平分△ABC的外角NQ8C和/

ECB,

(1)若NA8C=40°,/AC8=36°,求/8/C的大??；

(2)若/A=96°,試求NB/C；

(3)根據(jù)前面問(wèn)題的求解，請(qǐng)歸納NB/C和NA的數(shù)量關(guān)系并進(jìn)行證明.

【變式5-3]如圖，在△ABC中，BD,C。是內(nèi)角平分線，BP,CP是NABC,N4CB的外

角平分線，分別

交于點(diǎn)￡),P.

(1)若乙4=30°,求NBDC,/8PC的度數(shù).

(2)若/月=m°,求/BOC,NBPC的度數(shù)(直接寫(xiě)出結(jié)果，不必說(shuō)明理由)

(3)想一想，NA的大小變化，對(duì)ND+/P的值是否有影響，若有影響，請(qǐng)說(shuō)明理由，若

無(wú)影響，直接求出其值.

【結(jié)論】ZA+ZB=ZD+ZE.

【例6】（2019春?輝縣市期末）圖1,線段A8、CQ相交于點(diǎn)。，連接A。、CB,我們把形

如圖1的圖形稱(chēng)

之為“8字形如圖2,在圖1的條件下，ND4B和/BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)尸，

并且與CD、

A8分別相交于M、N.試解答下列問(wèn)題：

（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫(xiě)出NA、NB、NC、之間的數(shù)量關(guān)系：；

（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：個(gè)；

（3）圖2中，當(dāng)/。=50度，NB=40度時(shí)，求/P的度數(shù).

（4）圖2中/。和/B為任意角時(shí)，其他條件不變，試問(wèn)/P與NO、NB之間存在著怎樣

的數(shù)量關(guān)系.（直接寫(xiě)出結(jié)果，不必證明）.

【變式6-1］（2018春?新泰市期中）已知：如圖，AM,CM分別平分/8AO和NBCZ）.

①若/B=32°,ZD=38°,求NM的度數(shù);

②探索與NB、NQ的關(guān)系并證明你的結(jié)論.

CD

【變式6-2］（2018秋?南昌期中）如圖1,已知線段AB、C。相交于點(diǎn)。，連接AC、BD,

則我們把形如這

樣的圖形稱(chēng)為“8字型”.

（1）求證：ZA+ZC=ZB+ZD；

（2）如圖2,若NCAB和N5OC的平分線AP和。P相交于點(diǎn)P,且與CO、AB分別相交

于點(diǎn)M、N.

①以線段AC為邊的“8字型”有個(gè)，以點(diǎn)。為交點(diǎn)的“8字型”有個(gè)；

②若NB=100°,ZC=120°,求NP的度數(shù)；

③若角平分線中角的關(guān)系改為"/C4P=；/C48,NCDP=g/CDB”,試探究/尸與NB、

（1）如圖1的圖形我們把它稱(chēng)為“8字形”，請(qǐng)說(shuō)理證明/A+NB=NC+N￡>

（2）如圖2,AP,CP分別平分NBA。、ABCD,若N4BC=20°,ZADC=26°,求NP

的度數(shù)（可直接使用問(wèn)題（1）中的結(jié)論）

【問(wèn)題探究】

(3)如圖3,直線AP平分/B4O的外角N項(xiàng)。，CP平分NBCQ的外角/8CE,若NABC

=36°,NAQC=16°,猜想/尸的度數(shù)為

【拓展延伸】

(4)在圖4中，若設(shè)NC=x,ZB=y,ZCAP=^ZCAB,ZCDP=；NCDB,試問(wèn)NP與

/C、N8之間的數(shù)量關(guān)系為(用x、y表示NP)

(5)在圖5中，A尸平分NBA。，C尸平分/BCD的外角NBCE,猜想NP與N8、ND的關(guān)

系，直接寫(xiě)出結(jié)論.

【模型7燕尾模型】

【結(jié)論】NBPC=NA+NB+NC.

【例7】(2019春?冠縣期末)(1)探究：如圖1,求證：/B0C=N4+NB+NC.

(2)應(yīng)用：如圖2,ZABC=IOO°,ZDEF=130°,求/A+/C+NQ+N尸的度數(shù).

【變式7-1］（2019秋?平度市期末）材料閱讀：如圖①所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品

-圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”.

解決問(wèn)題：

（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個(gè)問(wèn)題：

I.如圖②，把一塊三角尺OE尸放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊OE,。尸恰好經(jīng)

過(guò)點(diǎn)B,C,若NA=40°,則NA8C+/ACC=°.

II.如圖③，8。平分NA8P,CO平分NACP,若NA=40°,NBPC=130°,求NBQC

的度數(shù).

【變式7-2］（2019秋?阜陽(yáng)月考）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中整體思想與轉(zhuǎn)化思想是我們常用到的數(shù)學(xué)思

想.如圖（1）

中，求NA+NB+/C+ND+NE的度數(shù)等于多少時(shí)，我們可以連接C￡>,利用三角形的內(nèi)角

和則有N8+NE

=ZECD+ZBDC,這樣NA、NB、NC、ND、NE的和就轉(zhuǎn)化到同一個(gè)△AC。中，

即乙4+NB+NC+NO+NE=180°.

圖（2）中NA+NB+NC+ND+NE的度數(shù)等于

圖（3）中NA+NB+NC+NQ+NE的度數(shù)等于

圖（4）中NA+/B+NC+NQ+NE+/F的度數(shù)等于

【變式7-3](2019秋?襄城區(qū)期中)已知I：點(diǎn)。是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，連接A。、CD.

(1)如圖1,若NA=28°,NB=12°,/C=ll°,求/AQC；

(2)如圖2,若存在一點(diǎn)P,使得PB平分NABC,同時(shí)尸。平分NAOC,探究乙4,ZP,

NC的關(guān)系并證明；

(3)如圖3,在(2)的條件下，將點(diǎn)。移至NA8C的外部，其它條件不變，探究NA,

NP,/C的關(guān)系并證明.

【結(jié)論】ZPBD+ZPCD=ZA+ZP

【例8】(2019春?邳州市校級(jí)月考)如圖，在折紙活動(dòng)中，小明制作了一張△A8C紙片,

點(diǎn)。、E分別在

邊A&AC上，將△ABC沿著。E折疊壓平，A與A'重合.

(1)若NA=75：則Nl+/2=.

(2)若N4=〃°,則N1+N2=.

(3)由(1)(2)探索NA與/1+/2之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【變式8-1](2018春?遷安市期末)動(dòng)手操作：

一個(gè)三角形的紙片A8C,沿OE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處.

觀察猜想

(1)如圖1,若乙4=40°,則Nl+/2=°；

若乙4=55。，則/1+/2=。；

若/A=〃°,則Nl+N2=°.

探索證明：

(2)利用圖1,探索N1、/2與有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

拓展應(yīng)用：

(3)如圖2,把△ABC折疊后，BA'平分/ABC,CA'平分NAC2,若/1+/2=108°,

利用(2)中結(jié)論求/8A'C的度數(shù).

圖1圖2

【變式8-2］（2019春?宿城區(qū)校級(jí)月考）R3ABC中，ZC=90°,點(diǎn)。、E分別是AABC

邊AC、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn).令NPD4=N1,NPEB=N2,ZDPE^Za.

（1）若點(diǎn)P在線段AB上，如圖（1）所示，且Na=50°,求N1+/2的度數(shù)；

（2）若點(diǎn)尸在邊AB上運(yùn)動(dòng)，如圖（2）所示，則Na、ZKN2之間有何關(guān)系？猜想并說(shuō)

明理由；

（3）若點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長(zhǎng)線上，如圖（3）所示，直接寫(xiě)出/a、/I、N2之間關(guān)系

為：.（不需說(shuō)明理由）.

圖1圖2

圖3

【變式8-3］（2019秋?南漳縣校級(jí)月考）如圖（1）,在折紙活動(dòng)中，小明制作了一張AABC

的紙片，點(diǎn)力、

E分別在A&AC上，將AABC沿著￡>E折疊壓平，A與A'重合，若NA=70°,則/1+

/2=；

如圖（2）,當(dāng)點(diǎn)A落在△ABC外部時(shí)，那么/2-/1=.

圖1圖2

專(zhuān)題03全等三角形章末重難點(diǎn)題型匯編【舉一反三】

【人教版】

娛喇舞刑

【考點(diǎn)1利用全等三角形的性質(zhì)求角】

【方法點(diǎn)撥】全等三角形的性質(zhì)：（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等：（2）全等三

角形的周長(zhǎng)相等、面積相等；（3）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的對(duì)應(yīng)中線、角平分線、高線分別

相等。

【例1】（2019春?臨安區(qū)期中）如圖，ZiACB四CB',ZACB=7OQ,ZACB'=100°,

則NBCA'的度數(shù)為（）

A.30B.35°C.40D.50

【變式1-1］（2018秋?紹興期末）如圖，△ABgAEDC,BCLCD,點(diǎn)A,D,E在同一條直

線上，/ACB=20°,則/4DC的度數(shù)是（）

C.65°D.70°

【變式1-2］（2018秋?廈門(mén)期末）如圖，點(diǎn)F,C在8E上，△ABgADEF,18和DE,AC

和。F是對(duì)應(yīng)邊，AC,DF交于點(diǎn)則NA/WF等于（）

A.2ZBB.2ZACBC.ZA+ZDD.ZB+ZACB

【變式1-3］（2018秋?桐梓縣校級(jí)期中）如圖，△ABC絲B'C,ZACB=90°,/8=

'B'交于點(diǎn)。，則/COA'的度數(shù)是（）

C.70D.80

【考點(diǎn)2全等三角形的判定條件】

【方法點(diǎn)撥】尋找并證明全等三角形還缺少的條件，其基本思路是：

（1）有兩邊對(duì)應(yīng)相等，找?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等，或第三邊對(duì)應(yīng)相等.前者利用SAS判定，后者利用

SSS判定.

（2）有兩角對(duì)應(yīng)相等，找?jiàn)A邊對(duì)應(yīng)相等，或任一等角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等.前者利用ASA判定,

后■者利用AAS判定.

（3）有一邊和該邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，找另一角對(duì)應(yīng)相等.利用AAS判定.

（4）有一邊和該邊的鄰角對(duì)應(yīng)相等，找?jiàn)A等角的另一邊對(duì)應(yīng)相等，或另一角對(duì)應(yīng)相等.前者

利用SAS判定，后者利用AAS判定.

【例2】（2019春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC和△AED中，已知Nl=/2,AC=AD,

添加一個(gè)條件后，仍然不能證明△ABC也△AED,這個(gè)條件是（）

C.ZC=ZDD.NB=NE

【變式2-1］（2019秋?潘集區(qū)期中）在△ABC與△OEF中，給出下列四組條件:

(1)AB=DE,AC=DF,BC=EF(2)AB=DE,ZB=ZE,BC=EF

(3)ZB=ZE,BC=EF,ZC=ZF(4)AB=DE,ZB=ZE,AC=DF,

其中能使△ABC絲Z\DEF的條件共有（)

A.1組B.2組C.3組D.4組

【變式2-2］（2018春?渝中區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)8、F、C、￡在一條直線上，ZA=ZD,

NB=NE,再添一個(gè)條件仍不能證明△ABC絲Z^DEF的是（）

A.AB=DEB.BC=EFC.ZACB=ZDFED.AC=DF

【變式2-3］（2018秋?鄂爾多斯期中）如圖，已知AB=AC,AD=AE,若要得到“△A8D也

△ACE”，必須添加一個(gè)條件，則下列所添?xiàng)l件不恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ?/p>

A.BD=CEB.ZABD=ZACEC.ZBAD=ZCAED.ZBAC=ZDAE

【考點(diǎn)3全等三角形判定的應(yīng)用】

【方法點(diǎn)撥】解決此類(lèi)題型的關(guān)鍵是理解題意，利用全等三角形的判定.

【例3】（2019春?鄲城縣期末）如圖所示，要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A、B的距離，因無(wú)法

直接量出4B兩點(diǎn)的距離，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案，求出A、8的距離，并說(shuō)明理由.

B

【變式3-1]（2019春?峰城區(qū)期末）如圖，點(diǎn)C、E分別在直線A8、DF上，小華想知道/

ACE和NDEC是否互補(bǔ)，但是他沒(méi)有帶量角器，只帶了一副三角板，于是他想了這樣一個(gè)

辦法：首先連結(jié)CF,再找出CF的中點(diǎn)O,然后連結(jié)EO并延長(zhǎng)EO和直線AB相交于點(diǎn)B,

經(jīng)過(guò)測(cè)量，他發(fā)現(xiàn)EO=BO,因此他得出結(jié)論：ZACE和NDEC互補(bǔ)，而且他還發(fā)現(xiàn)BC

=EF.小華的想法對(duì)嗎？為什么？

【變式3-2]（2019春?槐蔭區(qū)期末）王強(qiáng)同學(xué)用10塊高度都是2cm的相同長(zhǎng)方體小木塊,

壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板CAC=BC,Z

ACB=90a），點(diǎn)C在DE上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合，求兩堵木墻之間的距離.

B

DCE

【變式3-3］如圖，兩根長(zhǎng)12m的繩子，一端系在旗桿上的同一位置，另一端分別固定在地

面上的兩個(gè)木樁上（繩結(jié)處的誤差忽略不計(jì)），現(xiàn)在只有一把卷尺，如何來(lái)檢驗(yàn)旗桿是否

垂直于地面？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)4利用AAS證明三角形全等】

【方法點(diǎn)撥】?jī)山呛推渲幸唤堑膶?duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成"AAS"）

【例4】（2018秋?仙游縣期中）如圖，△ABC的兩條高AD,BE相交于點(diǎn)F,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條

件，使得AADC也4BEC（不添加其他字母及輔助線），你添加的條件是.并證明

【變式4-1］（2018春?揭西縣期末）如圖，ZABC=ZACB,ZADE=ZAED,BE=CD,試說(shuō)

明：△ABD絲AiACE.

【變式4-2］（2018秋?杭州期中）如圖，ZACB=90°,AC=BC,BE±CE,AD±CE.求證:

【變式4-3］（2018?雁塔區(qū)校級(jí)二模）如圖，在四邊形A8CD中，點(diǎn)E在AD上，其中N8AE

=NBCE=/ACD=90°，且BC=CE,求證：△ABC也△DEC.

【考點(diǎn)5利用SAS證明三角形全等】

【方法點(diǎn)撥】?jī)蛇吅退鼈兊膴A角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成"SAS"）

【例5】（2018春?金山區(qū)期末）如圖，已知CA=CD,CB=CE,NACB=NDCE,試說(shuō)明△ACE

絲△OCB的理由.

【變式5-1］（2018春?黃島區(qū)期末）如圖，點(diǎn)E在A8上，AC=AD,ZCAB=ZDAB,那么

△BCE和ABDE全等嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.

D

【變式5-2］（2018秋?儀征市校級(jí)月考）如圖，已知點(diǎn)8、F、C、E在同一直線上，AC.DF

相交于點(diǎn)G,AB1BE,垂足為8,DEA.BE,垂足為E,且AB=DE,BF=CE,說(shuō)明△ABC

與aDEF全等的理由.

【變式5-3］（2019秋?東莞市校級(jí)月考）如圖：ZMBC和△EA。中，ZBAC=NDAE,AB=

AE,AC=AD,連接8D,CE.求證：/\ABD^/\AEC.

【考點(diǎn)6利用ASA證明三角形全等】

【方法點(diǎn)撥】?jī)山呛退鼈兊膴A邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成"ASA"）

【例6】（2019秋?利辛縣期末）如圖，已知A8=AC,ZABE=ZACD,8E與CD相交于。,

求證：/\ABE^/\ACD.

【變式6-1］（2018?雙柏縣二模）如圖，NA=NB,AE=BE,點(diǎn)。在AC邊上，Z1=Z2,

AE和8。相交于點(diǎn)。.求證：△AEC安△BED；

2

AD

【變式6-2］（2019?陜西模擬）如圖，四邊形A8CD中，E點(diǎn)在上，其中NBAE=NBCE

=NACD=90°，且BC=CE,求證：AABC注ADEC.

【變式6-3］（2019秋?樂(lè)清市校級(jí)期中）如圖，ZXABC的兩條高AD、3E相交于點(diǎn)兒且

=B。，求證：ABDH^AADC.

【考點(diǎn)7利用SSS證明三角形全等】

【方法點(diǎn)撥】三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成"SSS"）

【例7】（2019春?渝中區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB=CD,AE=CF,E、F是8。上兩點(diǎn)，且BF=

DE.

求證：△ABEgACDF.

【變式7-1］（2019秋?扶余縣校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AD=AE,BE=CD,AB=AC.

(1)求證：△ABOZzMCE；

(2)求證：ZBAE^ZCAD.

BDE

【變式7-2］（2019秋?保亭縣校級(jí)月考）如圖，AB=AD,DC=BC,/B與N。相等嗎？為什

【變式7-3］（2019秋?蓬江區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，ZC=90°,D、E分別為AC、

AB上的點(diǎn)，且AO=B。，AE=BC,DE=DC,求證：DE1AB.

【考點(diǎn)8利用HL證明三角形全等】

【方法點(diǎn)撥】對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：

有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可筒寫(xiě)成"斜邊、直角邊"或"HL"）

【例8】（2018秋?思明區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四邊形A8CD中，AD±BD,ACLCB,BD=AC.求

【變式8-1］（2019秋?睢寧縣校級(jí)月考）如圖，RtZXABC中，ZC=90°,BC=2,一條直線

MN=AB,M、N分別在AC和過(guò)點(diǎn)A且垂直于AC的射線AP上運(yùn)動(dòng).問(wèn)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到什么

位置，才能使△ABC和全等？并證明你的結(jié)論.

【變式8-2］（2019秋?合浦縣期末）如圖，已知N4=/D=90°,E、F在線段BC上，DE

與AF交于點(diǎn)。，且AB=CD,BE=CF.求證：RtA4BF^RtADCf.

【變式8-3］（2019春?醴陵市期末）如圖，在四邊形A8CD中，AB=AD,CA平分/BCD,AE

J_8c于點(diǎn)E,AF_LCD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

求證：△ABE絲△ADF.

【考點(diǎn)9全等三角形的判定與性質(zhì)綜合】

【例9】（2019?南岸區(qū)）如圖，在△A8C和△48。中，NBAC=NA8D=90°,點(diǎn)E為AD邊

上的一點(diǎn)，且AC=AE,連接CE交A8于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)A作AF_LAD交CE于點(diǎn)F.

(1)求證：/XAGE絲ZVIFC；

(2)若AB=AC,求證：AD=AF+BD.

ED

【變式9-1］（2019?福州模擬）（1）已知,如圖①，在△ABC中,N8AC=90°,AB=AC,

直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,8。_1直線0?,CE_L直線m,垂足分別為點(diǎn)D、E,求證：DE—BD+CE.

（2）如圖②，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC,。、A、E三點(diǎn)都在直線m

上，并且有/BDA=NAEC=N8AC=a,其中a為任意鈍角，請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE=8D+C￡■是否

成立？若成立，請(qǐng)你給出證明：若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式9-2］（2018秋?天臺(tái)縣期末）如圖，ZACB=90°,AC=BC,AD1.CE,BE1CE,垂足

分別為D，E,若AD=a,DE=b,

（1）如圖1,求BE的長(zhǎng)，寫(xiě)出求解過(guò)程；（用含a,b的式子表示）

（2）如圖2,點(diǎn)。在△ABC內(nèi)部時(shí)，直接寫(xiě)出8E的長(zhǎng).（用含a,b的式子表示）

【變式9-3］（2019春?道外區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，NABC=/8CD=90”,點(diǎn)E

在BC邊上，ZAED=90°

（1）求證：NBAE=NCED；

（2）若A8+CD=DE,求證：AE+BE^CE；

（3）在（2）的條件下，若△CDE與△A8E的面積的差為18,CD=6,求8E的長(zhǎng).

【考點(diǎn)10動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的全等三角形應(yīng)用】

【例10】（2019春?平川區(qū)期末）如圖，已知△A8C中，AB=AC^10cm,BC=8cm,點(diǎn)。為

AB的中點(diǎn).如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/5的速度由點(diǎn)8向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線

段CA上由點(diǎn)C向A點(diǎn)、運(yùn)動(dòng).

（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等,經(jīng)過(guò)1秒后，^BPD與△CQP是否全等，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠

使△8PD與△CQP全等？

【變式10-1】（2019春?永新縣期末）△ABC中，AB=AC,/4=40°,D、E分別是A8,AC

上的不動(dòng)點(diǎn).且BD+CE=BC,點(diǎn)P是BC上的一動(dòng)點(diǎn).

（1）當(dāng)PC=CE時(shí)（如圖1）,求NDPE的度數(shù)；

（2）若PC=B。時(shí)（如圖2）,求/DPE的度數(shù)還會(huì)與（1）的結(jié)果相同嗎？若相同，請(qǐng)

寫(xiě)出求解過(guò)程；若不相同，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式10-2】(2019春?寶安區(qū)期中)如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC=10,AB=CD,BD

=14,點(diǎn)E從。點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿DA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)C出

發(fā)，以每秒5個(gè)單位的速度沿C-8-C,作勻速移動(dòng)，點(diǎn)G從點(diǎn)B出發(fā)沿8D向點(diǎn)D勻

速移動(dòng)，三個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，其余兩點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，假設(shè)移

動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)試證明：AD//BC；

(2)在移動(dòng)過(guò)程中，小明發(fā)現(xiàn)有aDEG與aBFG全等的情況出現(xiàn)，請(qǐng)你探究這樣的情況

會(huì)出現(xiàn)幾次？并分別求出此時(shí)的移動(dòng)時(shí)間t和G點(diǎn)的移動(dòng)距離.

【變式10-3](2018秋?十堰期末)在△ABC中，AB=AC,D是直線BC上一點(diǎn)，以AD為一

條邊在AD的右側(cè)作△ADE,使AE=A。，ZDAE=ZBAC,連接CE.

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)。在8c延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，若NBAC=25°,則NDCE=.

(2)設(shè)NBAC=a,NDCE=R.