北京市中考數(shù)學(xué)試卷及答案(完整版)

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2021年北京市高級中等學(xué)校招生考試北京市中考數(shù)學(xué)試卷及答案（完整版）(文檔可以直接使用，也可根據(jù)實(shí)際需要修改使用,可編輯歡迎下載）數(shù)學(xué)試卷解析滿分120分，考試時(shí)間120分鐘一、選擇題（本題共32分，每小題4分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的。1.在《關(guān)于促進(jìn)城市南部地區(qū)加快發(fā)展第二階段行動(dòng)計(jì)劃（2021-2021）》中，北京市提出了總計(jì)約3960億元的投資計(jì)劃。將3960用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示應(yīng)為A.39.6×102B.3.96×103C.3.96×104D.3.96×10答案：B解析：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．3960＝3.96×1032.的倒數(shù)是A.B.C.D.答案：D解析：的倒數(shù)為，所以，的倒數(shù)是3.在一個(gè)不透明的口袋中裝有5個(gè)完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，其標(biāo)號(hào)大于2的概率為A.B.C.D.答案：C解析：大于2的有3、4、5，共3個(gè)，故所求概率為4.如圖，直線，被直線所截，∥，∠1=∠2，若∠3=40°，則∠4等于A.40°B.50°C.70°D.80°答案：C解析：∠1＝∠2＝（180°－40°）＝70°，由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)相等，得∠4＝70°。5.如圖，為估算某河的寬度，在河對岸邊選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點(diǎn)E在BC上，并且點(diǎn)A，E，D在同一條直線上。若測得BE=20m，EC=10m，CD=20m，則河的寬度AB等于A.60mB.40mC.30mD.20m答案：B解析：由△EAB∽△EDC，得：，即，解得：AB＝406.下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是答案：A解析：B既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；C只是軸對稱圖形；D既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，只有A符合。7.某中學(xué)隨機(jī)地調(diào)查了50名學(xué)生，了解他們一周在校的體育鍛煉時(shí)間，結(jié)果如下表所示：時(shí)間（小時(shí)）5678人數(shù)1015205則這50名學(xué)生這一周在校的平均體育鍛煉時(shí)間是A.6.2小時(shí)B.6.4小時(shí)C.6.5小時(shí)D.7小時(shí)答案：B解析：平均體育鍛煉時(shí)間是＝6.4小時(shí)。8.如圖，點(diǎn)P是以O(shè)為圓心，AB為直徑的半圓上的動(dòng)點(diǎn)，AB=2，設(shè)弦AP的長為，△APO的面積為，則下列圖象中，能表示與的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是答案：A解析：很顯然，并非二次函數(shù)，排除；采用特殊位置法；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)，； 當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)，； 本題最重要的為當(dāng)時(shí)，此時(shí)為等邊三角形，；排除、、.選擇.【點(diǎn)評】動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問題選取合適的特殊位置，然后去解答是最為直接有效的方法二、填空題（本題共16分，每小題4分）9.分解因式：=_________________答案：解析：原式＝＝10.請寫出一個(gè)開口向上，并且與y軸交于點(diǎn)（0，1）的拋物線的解析式__________答案：y＝x2＋1解析：此題答案不唯一，只要二次項(xiàng)系數(shù)大于0，經(jīng)過點(diǎn)（0,1）即可。11.如圖，O是矩形ABCD的對角線AC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)，若AB=5，AD=12，則四邊形ABOM的周長為__________答案：20解析：由勾股定理，得AC＝13，因?yàn)锽O為直角三角形斜邊上的中線，所以，BO＝6.5，由中位線，得MO＝2.5，所以，四邊形ABOM的周長為：6.5＋2.5＋6＋5＝2012.如圖，在平面直角坐標(biāo)系O中，已知直線：，雙曲線。在上取點(diǎn)A1，過點(diǎn)A1作軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B1，過點(diǎn)B1作軸的垂線交于點(diǎn)A2，請繼續(xù)操作并探究：過點(diǎn)A2作軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B2，過點(diǎn)B2作軸的垂線交于點(diǎn)A3，…，這樣依次得到上的點(diǎn)A1，A2，A3，…，An，…。記點(diǎn)An的橫坐標(biāo)為，若，則=__________，=__________；若要將上述操作無限次地進(jìn)行下去，則不能取的值是__________答案：解析：根據(jù)求出；根據(jù)求出；根據(jù)求出；根據(jù)求出；根據(jù)求出；根據(jù)求出；至此可以發(fā)現(xiàn)本題為循環(huán)規(guī)律，3次一循環(huán)，∵；∴；重復(fù)上述過程，可求出、、、、、、；由上述結(jié)果可知，分母不能為，故不能取和.【點(diǎn)評】找規(guī)律的題目，規(guī)律類型有兩種類型，遞進(jìn)規(guī)律和循環(huán)規(guī)律，對于循環(huán)規(guī)律類型，多求幾種特殊情況發(fā)現(xiàn)循環(huán)規(guī)律是最重要的.三、解答題（本題共30分，每小題5分）13.如圖，已知D是AC上一點(diǎn)，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE。求證：BC=AE。解析：14.計(jì)算：。解析：解不等式組：解析：16.已知，求代數(shù)式的值。解析：17.列方程或方程組解應(yīng)用題：某園林隊(duì)計(jì)劃由6名工人對180平方米的區(qū)域進(jìn)行綠化，由于施工時(shí)增加了2名工人，結(jié)果比計(jì)劃提前3小時(shí)完成任務(wù)。若每人每小時(shí)綠化面積相同，求每人每小時(shí)的綠化面積。解析：18．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（1）求的取值范圍；（2）若為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求的值。解析：四、解答題（本題共20分，每小題5分）19．如圖，在□ABCD中，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，延長BC到點(diǎn)E，使CE=BC，連結(jié)DE，CF。（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的長。解析：20．如圖，AB是⊙O的直徑，PA，PC分別與⊙O相切于點(diǎn)A，C，PC交AB的延長線于點(diǎn)D，DE⊥PO交PO的延長線于點(diǎn)E。（1）求證：∠EPD=∠EDO（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的長。解析：21．第九屆中國國際園林博覽會(huì)（園博會(huì)）已于2013年5月18日在北京開幕，以下是根據(jù)近幾屆園博會(huì)的相關(guān)數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計(jì)圖的一部分：（1）第九屆園博會(huì)的植物花園區(qū)由五個(gè)花園組成，其中月季園面積為0.04平方千米，牡丹園面積為__________平方千米；（2）第九屆園博會(huì)園區(qū)陸地面積是植物花園區(qū)總面積的18倍，水面面積是第七、八兩屆園博會(huì)的水面面積之和，請根據(jù)上述信息補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并標(biāo)明相應(yīng)數(shù)據(jù)；（3）小娜收集了幾屆園博會(huì)的相關(guān)信息（如下表），發(fā)現(xiàn)園博會(huì)園區(qū)周邊設(shè)置的停車位數(shù)量與日接待游客量和單日最多接待游客量中的某個(gè)量近似成正比例關(guān)系，根據(jù)小娜的發(fā)現(xiàn)，請估計(jì)將于2021年舉辦的第十屆園博會(huì)大約需要設(shè)置的停車位數(shù)量（直接寫出結(jié)果，精確到百位）。第七屆至第十屆園博會(huì)游客量與停車位數(shù)量統(tǒng)計(jì)表日均接待游客量（萬人次）單日最多接待游客量（萬人次）停車位數(shù)量（個(gè)）第七屆0.86約3000第八屆2.38.2約4000第九屆8（預(yù)計(jì)）20（預(yù)計(jì)）約10500第十屆1.9（預(yù)計(jì)）7.4（預(yù)計(jì)）約________解析：22．閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在邊長為的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當(dāng)∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°時(shí)，求正方形MNPQ的面積。小明發(fā)現(xiàn)：分別延長QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延長線于點(diǎn)R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四個(gè)全等的等腰直角三角形（如圖2）請回答：（1）若將上述四個(gè)等腰直角三角形拼成一個(gè)新的正方形（無縫隙，不重疊），則這個(gè)新的正方形的邊長為__________；（2）求正方形MNPQ的面積。參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3，在等邊△ABC各邊上分別截取AD=BE=CF，再分別過點(diǎn)D，E，F(xiàn)作BC，AC，AB的垂線，得到等邊△RPQ，若，則AD的長為__________。解析：五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分）23．在平面直角坐標(biāo)系O中，拋物線（）與軸交于點(diǎn)A，其對稱軸與軸交于點(diǎn)B。（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線與直線AB關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，求直線的解析式；（3）若該拋物線在這一段位于直線的上方，并且在這一段位于直線AB的下方，求該拋物線的解析式。解析：【解析】（1）當(dāng)時(shí)，.∴拋物線對稱軸為∴（2）易得點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為則直線經(jīng)過、.沒直線的解析式為則，解得∴直線的解析式為（3）∵拋物線對稱軸為拋物體在這一段與在這一段關(guān)于對稱軸對稱結(jié)合圖象可以觀察到拋物線在這一段位于直線的上方在這一段位于直線的下方；∴拋物線與直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，則拋物線過點(diǎn)（-1，4）當(dāng)時(shí)，，∴拋物線解析為.【點(diǎn)評】本題第(3)問主要難點(diǎn)在于對數(shù)形結(jié)合的認(rèn)識(shí)和了解，要能夠觀察到直線與直線關(guān)于對稱軸對稱，∵拋物線在這一段位于直線的下方，∴關(guān)于對稱軸對稱后拋物線在這一段位于直線的下方；再結(jié)合拋物線在這一段位于直線的上方;從而拋物線必過點(diǎn).24．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD。（1）如圖1，直接寫出∠ABD的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?；（2）如圖2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判斷△ABE的形狀并加以證明；（3）在（2）的條件下，連結(jié)DE，若∠DEC=45°，求的值。解析：【解析】（1）（2）為等邊三角形證明連接、、∵線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段則，又∵∴且為等邊三角形.在與中∴≌（SSS）∴∵∴在與中∴≌（AAS）∴∴為等邊三角形（3）∵，∴又∵∴為等腰直角三角形∴∵∴而∴【點(diǎn)評】本題是初中數(shù)學(xué)重要模型“手拉手”模型的應(yīng)用，從本題可以看出積累掌握常見模型、常用輔助線對于平面幾何的學(xué)習(xí)是非常有幫助的.25．對于平面直角坐標(biāo)系O中的點(diǎn)P和⊙C，給出如下定義：若⊙C上存在兩個(gè)點(diǎn)A，B，使得∠APB=60°，則稱P為⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)。已知點(diǎn)D（，），E（0，-2），F(xiàn)（，0）（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，①在點(diǎn)D，E，F(xiàn)中，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是__________；②過點(diǎn)F作直線交軸正半軸于點(diǎn)G，使∠GFO=30°，若直線上的點(diǎn)P（，）是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求這個(gè)圓的半徑的取值范圍。解析：【解析】(1)①；②由題意可知，若點(diǎn)要?jiǎng)偤檬菆A的關(guān)聯(lián)點(diǎn)； 需要點(diǎn)到圓的兩條切線和之間所夾的角度為；由圖可知，則，連接，則；∴若點(diǎn)為圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；則需點(diǎn)到圓心的距離滿足；由上述證明可知，考慮臨界位置的點(diǎn)，如圖2；點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；過作軸的垂線，垂足為；；∴；∴；∴；∴；易得點(diǎn)與點(diǎn)重合，過作軸于點(diǎn)；易得；∴；從而若點(diǎn)為圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則點(diǎn)必在線段上；∴；(2)若線段上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，欲使這個(gè)圓的半徑最小， 則這個(gè)圓的圓心應(yīng)在線段的中點(diǎn)；考慮臨界情況，如圖3；即恰好點(diǎn)為圓的關(guān)聯(lián)時(shí)，則；∴此時(shí)；故若線段上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，這個(gè)圓的半徑的取值范圍為.【點(diǎn)評】“新定義”問題最關(guān)鍵的是要能夠把“新定義”轉(zhuǎn)化為自己熟悉的知識(shí)，通過第(2)問開頭部分的解析，可以看出本題的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”本質(zhì)就是到圓心的距離小于或等于倍半徑的點(diǎn).了解了這一點(diǎn)，在結(jié)合平面直角坐標(biāo)系和圓的知識(shí)去解答就事半功倍了.2021年北京市中考數(shù)學(xué)試題難點(diǎn)解析2021北市考試數(shù)試整難較2021年有下。從四（-2021北中數(shù)試題難程度以北京中學(xué)整大年規(guī)。2021年京考學(xué)均預(yù)計(jì)較年所升。本套卷保對礎(chǔ)識(shí)的察度加對數(shù)思方和生合素能力的現(xiàn)“與操綜與新與用的題與中考說明中C要相應(yīng)。一、試題的基本結(jié)構(gòu)：整個(gè)試卷五道大題、25個(gè)題目，總分120分。其中包括選擇題（共8個(gè)題目，共32分）、填空題（共4個(gè)題目，共16分）、解答題（包括計(jì)算題，證明題、應(yīng)用題和綜合題；共13個(gè)題目，共72分）。1.題型與題量選擇題填空題解答題題數(shù)分值題數(shù)分值題數(shù)分值83241613722.考查的內(nèi)容及分布從試卷考查的內(nèi)容來看，幾乎覆蓋了數(shù)學(xué)《課程標(biāo)準(zhǔn)》所列的主要知識(shí)點(diǎn)，并且對初中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容都作了重點(diǎn)考查。內(nèi)容數(shù)與代數(shù)圖形與空間統(tǒng)計(jì)與概率分值6047133.每道題目所考查的知識(shí)點(diǎn)題型題號(hào)考查知識(shí)點(diǎn)選擇題1科學(xué)記數(shù)法2有理數(shù)的概念（倒數(shù)）3概率4平行線的性質(zhì)5相似三角形6軸對稱、中心對稱7平均數(shù)8圓中的動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖像填空題9因式分解（提公因式法、公式法）10拋物線的解析式11矩形、中位線12函數(shù)綜合找規(guī)律（循環(huán)規(guī)律）解答題一13三角形全等證明14實(shí)數(shù)運(yùn)算（0次冪、-1次冪、絕對值、特殊角三角函數(shù)）15解一元一次不等式組16代數(shù)式化簡求值（整體代入）17列分式方程解應(yīng)用題18一元二次方程（判別式、整數(shù)解）解答題二19梯形中的計(jì)算（平行四邊形判定、梯形常用輔助線作法、特殊三角形的性質(zhì)）20圓中的證明與計(jì)算（三角形相似、三角函數(shù)、切線的性質(zhì)）21統(tǒng)計(jì)圖表（折線統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、統(tǒng)計(jì)表）22操作與探究（旋轉(zhuǎn)、從正方形到等邊三角形的變式、全等三角形）解答題三23代數(shù)綜合（二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖像對稱、二次函數(shù)的圖像對稱、數(shù)形結(jié)合思想、二次函數(shù)解析式的確定）24幾何綜合（等邊三角形、等腰直角三角形、旋轉(zhuǎn)全等、對稱全等、倒角）25代幾綜合（“新定義”、特殊直角三角形的性質(zhì)、圓、特殊角三角形函數(shù)、數(shù)形結(jié)合）二、命題主要特點(diǎn)：第822232425依是比難題他型屬基礎(chǔ)或中題近年京考學(xué)題這道考分：題型年份2021202120212021第8題（創(chuàng)題）立體形開圖動(dòng)點(diǎn)數(shù)象動(dòng)點(diǎn)數(shù)象動(dòng)點(diǎn)數(shù)象第22題（操與究）軸對、方形平移等變換幾何標(biāo)、方程與程組正方、邊三角形全三角形第23題（綜題）（代綜）反比函、旋轉(zhuǎn)、等形（代綜）二次數(shù)一次函數(shù)等直角三角、形結(jié)合（代綜）二次數(shù)一次函數(shù)一二次方程函圖象平移數(shù)結(jié)合（代綜）一次數(shù)二次函形稱數(shù)形合第24題（綜題）（代綜）二次數(shù)等腰直角角、分類討、形結(jié)合（幾綜）旋轉(zhuǎn)等直角三角、邊三角形直三角形、行邊形（幾綜）軸對、腰三角形倒角（幾綜）等邊角、等腰直三形、旋轉(zhuǎn)倒角第25題（綜題）（幾綜）等腰角、軸對稱倒角（代綜）一次數(shù)圓、平行邊、分類討論（代綜）“新義一次函數(shù)圓相似（代綜）一次數(shù)圓、特殊角角形特點(diǎn)一、題目總體難度降低，23題代數(shù)綜合和25題代幾綜合等壓軸題理解題意仍有一定難度，以體現(xiàn)試卷區(qū)分度，但試題總體難度相較去年有大幅下降。特點(diǎn)二、題型設(shè)置上較以往有微調(diào)，例如第1、2題位置調(diào)整；第18題的一次函數(shù)綜合體換成了一元二次方程；第19題回歸對梯形的考察；第20題第(1)問沒有考察切線的證明等。特點(diǎn)三、試題內(nèi)容上趨于穩(wěn)定，沒有“偏難怪”題，除了25題中的新定義“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”之外，其他題都較為常規(guī)，較好的體現(xiàn)了“穩(wěn)中求變”的命題主導(dǎo)思想。特點(diǎn)四、從試卷中最直觀反應(yīng)出的是閱讀量的減小，去年中考第25題占了一整頁紙，閱讀占了很大比重，今年題型仍然新穎，但閱讀量明顯減少。特點(diǎn)五、計(jì)算量大幅下降，去年計(jì)算題19題、20題是幾何計(jì)算題，有一定的難度，計(jì)算量普遍大，但今年的19題、20題不論解題難度還是計(jì)算難度都驟降。特點(diǎn)六、填空第12題考察循環(huán)規(guī)律，與前2年的遞進(jìn)規(guī)律類型有所不同，當(dāng)然如果重視觀察能力和精確作圖能力，也可以很容易發(fā)現(xiàn)四次變化后回到。特點(diǎn)八、延續(xù)了去年和前年的改革方向，增加對圓的考察，例如選擇題第8題、解答題第20題。解答題第25題都涉及圓的知識(shí)。特點(diǎn)九、考察學(xué)生對于知識(shí)點(diǎn)的深入理解能力逐漸加大。解答題第23題第三小問，重點(diǎn)考察直線與拋物線位置關(guān)系的深入理解，難度較大。三、重難易錯(cuò)題目點(diǎn)評：1.易錯(cuò)題目易錯(cuò)題號(hào)錯(cuò)誤原因8易被圓的對稱性誤導(dǎo)，從而誤認(rèn)為函數(shù)圖象為對稱圖像12前2年均為遞進(jìn)規(guī)律，形成思維定勢，不太容易抓住本質(zhì)規(guī)律（循環(huán)規(guī)律）17分式方程應(yīng)用題忘記檢驗(yàn)2.難題難題題號(hào)不得分原因22沒看懂題，不理解圖2的作用是什么23利用對稱來進(jìn)行數(shù)形結(jié)合練得比較少，抓不住第(3)問的關(guān)鍵24對重要全等模型“手拉手”不熟悉，很難發(fā)現(xiàn)如何構(gòu)造三角形全等；倒角證明三角形全等也是本題的難點(diǎn)25題目沒讀懂，沒有理解“新定義”的關(guān)鍵是到原點(diǎn)的距離要小于半徑的2倍總體來看，2021年并沒有出現(xiàn)一點(diǎn)兒都無從下手的題目，體現(xiàn)了很好的梯度，讓學(xué)生上手容易拿全難，有比較好的區(qū)分度，這是北京中考命題的一大特點(diǎn)，相信2021年也會(huì)是這種形式。2021年北京市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共32分，每小題4分。下列各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的。1．（4分）（2021?北京）在《關(guān)于促進(jìn)城市南部地區(qū)加快發(fā)展第二階段行動(dòng)計(jì)劃（2021﹣2021）》中，北京市提出了共計(jì)約3960億元的投資計(jì)劃，將3960用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A．39.6×102B．3.96×103C．3.96×104D．0.396×1042．（4分）（2021?北京）﹣的倒數(shù)是（）A．B．C．﹣D．﹣3．（4分）（2021?北京）在一個(gè)不透明的口袋中裝有5個(gè)完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，其標(biāo)號(hào)大于2的概率為（）A．B．C．D．4．（4分）（2021?北京）如圖，直線a，b被直線c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，則∠4等于（）A．40°B．50°C．70°D．80°5．（4分）（2021?北京）如圖，為估算某河的寬度，在河對岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點(diǎn)E在BC上，并且點(diǎn)A，E，D在同一條直線上．若測得BE=20m，CE=10m，CD=20m，則河的寬度AB等于（）A．60mB．40mC．30mD．20m6．（4分）（2021?北京）下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A．B．C．D．7．（4分）（2021?北京）某中學(xué)隨機(jī)地調(diào)查了50名學(xué)生，了解他們一周在校的體育鍛煉時(shí)間，結(jié)果如下表所示：時(shí)間（小時(shí)）5678人數(shù)1015205則這50名學(xué)生這一周在校的平均體育鍛煉時(shí)間是（）A．6.2小時(shí)B．6.4小時(shí)C．6.5小時(shí)D．7小時(shí)8．（4分）（2021?北京）如圖，點(diǎn)P是以O(shè)為圓心，AB為直徑的半圓上的動(dòng)點(diǎn)，AB=2．設(shè)弦AP的長為x，△APO的面積為y，則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A．B．C．D．二、填空題（本題共16分，每小題4分）9．（4分）（2021?北京）分解因式：ab2﹣4ab+4a=_________．10．（4分）（2021?北京）請寫出一個(gè)開口向上，并且與y軸交于點(diǎn)（0，1）的拋物線的解析式，y=_________．11．（4分）（2021?北京）如圖，O是矩形ABCD的對角線AC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)．若AB=5，AD=12，則四邊形ABOM的周長為_________．12．（4分）（2021?北京）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：y=﹣x﹣1，雙曲線y=，在l上取一點(diǎn)A1，過A1作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B1，過B1作y軸的垂線交l于點(diǎn)A2，請繼續(xù)操作并探究：過A2作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B2，過B2作y軸的垂線交l于點(diǎn)A3，…，這樣依次得到l上的點(diǎn)A1，A2，A3，…，An，…記點(diǎn)An的橫坐標(biāo)為an，若a1=2，則a2=_________，a2021=_________；若要將上述操作無限次地進(jìn)行下去，則a1不可能取的值是_________．三、解答題（本題共30分，每小題5分）13．（5分）（2021?北京）已知：如圖，D是AC上一點(diǎn)，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．求證：BC=AE．14．（5分）（2021?北京）計(jì)算：（1﹣）0+|﹣|﹣2cos45°+（）﹣1．15．（5分）（2021?北京）解不等式組：．16．（5分）（2021?北京）已知x2﹣4x﹣1=0，求代數(shù)式（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值．17．（5分）（2021?北京）列方程或方程組解應(yīng)用題：某園林隊(duì)計(jì)劃由6名工人對180平方米的區(qū)域進(jìn)行綠化，由于施工時(shí)增加了2名工人，結(jié)果比計(jì)劃提前3小時(shí)完成任務(wù)，若每人每小時(shí)綠化面積相同，求每人每小時(shí)的綠化面積．18．（5分）（2021?北京）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若k為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求k的值．四、解答題（本題共20分，每小題5分）19．（5分）（2021?北京）如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，延長BC到點(diǎn)E，使CE=BC，連接DE，CF．（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的長．20．（5分）（2021?北京）如圖AB是⊙O的直徑，PA，PC與⊙O分別相切于點(diǎn)A，C，PC交AB的延長線于點(diǎn)D，DE⊥PO交PO的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：∠EPD=∠EDO；（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的長．21．（5分）（2021?北京）第九屆中國國際園林博覽會(huì)（園博會(huì)）已于2013年5月18日在北京開幕，以下是根據(jù)近幾屆園博會(huì)的相關(guān)數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計(jì)圖的一部分．（1）第九屆園博會(huì)的植物花園區(qū)由五個(gè)花園組成，其中月季園面積為0.04平方千米，牡丹園面積為_________平方千米；（2）第九屆園博會(huì)會(huì)園區(qū)陸地面積是植物花園區(qū)總面積的18倍，水面面積是第七、八界園博會(huì)的水面面積之和，請根據(jù)上述信息補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并標(biāo)明相應(yīng)數(shù)據(jù)；（3）小娜收集了幾屆園博會(huì)的相關(guān)信息（如下表），發(fā)現(xiàn)園博會(huì)園區(qū)周邊設(shè)置的停車位數(shù)量與日均接待游客量和單日最多接待游客量中的某個(gè)量近似成正比例關(guān)系．根據(jù)小娜的發(fā)現(xiàn)，請估計(jì)，將于2021年舉辦的第十屆園博會(huì)大約需要設(shè)置的停車位數(shù)量（直接寫出結(jié)果，精確到百位）．第七屆至第十屆園博會(huì)游客量和停車位數(shù)量統(tǒng)計(jì)表：日接待游客量（萬人次）單日最多接待游客量（萬人次）停車位數(shù)量（個(gè)）第七屆0.86約3000第八屆2.38.2約4000第九屆8（預(yù)計(jì)）20（預(yù)計(jì)）約10500第十屆1.9（預(yù)計(jì)）7.4（預(yù)計(jì)）約_________22．（5分）（2021?北京）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在邊長為a（a＞2）的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當(dāng)∠AFQ=∠BGM=∠GHN=∠DEP=45°時(shí)，求正方形MNPQ的面積．小明發(fā)現(xiàn)，分別延長QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延長線于點(diǎn)R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四個(gè)全等的等腰直角三角形（如圖2）請回答：（1）若將上述四個(gè)等腰直角三角形拼成一個(gè)新的正方形（無縫隙不重疊），則這個(gè)新正方形的邊長為_________；（2）求正方形MNPQ的面積．（3）參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3，在等邊△ABC各邊上分別截取AD=BE=CF，再分別過點(diǎn)D，E，F(xiàn)作BC，AC，AB的垂線，得到等邊△RPQ．若S△RPQ=，則AD的長為_________．五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分）23．（7分）（2021?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx2﹣2mx﹣2（m≠0）與y軸交于點(diǎn)A，其對稱軸與x軸交于點(diǎn)B．（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線l與直線AB關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，求直線l的解析式；（3）若該拋物線在﹣2＜x＜﹣1這一段位于直線l的上方，并且在2＜x＜3這一段位于直線AB的下方，求該拋物線的解析式．24．（7分）（2021?北京）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD．（1）如圖1，直接寫出∠ABD的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆唬?）如圖2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判斷△ABE的形狀并加以證明；（3）在（2）的條件下，連接DE，若∠DEC=45°，求α的值．25．（8分）（2021?北京）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙C，給出如下的定義：若⊙C上存在兩個(gè)點(diǎn)A、B，使得∠APB=60°，則稱P為⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．已知點(diǎn)D（，），E（0，﹣2），F(xiàn)（2，0）．（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，①在點(diǎn)D、E、F中，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是_________．②過點(diǎn)F作直線l交y軸正半軸于點(diǎn)G，使∠GFO=30°，若直線l上的點(diǎn)P（m，n）是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求m的取值范圍；（2）若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求這個(gè)圓的半徑r的取值范圍．

2021年北京市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共32分，每小題4分。下列各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的。1．B2．D3．C4．C5．B6．A7．B8．A解答：解：作OC⊥AP，如圖，則AC=AP=x，在Rt△AOC中，OA=1，OC===，所以y=OC?AP=x?（0≤x≤2），所以y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象為A．故選A．二、填空題（本題共16分，每小題4分）9．10．y=x2+1（答案不唯一）．11．20．解答：解：∵O是矩形ABCD的對角線AC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)，∴OM=CD=AB=2.5，∵AB=5，AD=12，∴AC==13，∵O是矩形ABCD的對角線AC的中點(diǎn)，∴BO=AC=6.5，∴四邊形ABOM的周長為AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，故答案為20．12．.（解答：解：當(dāng)a1=2時(shí)，B1的縱坐標(biāo)為，B1的縱坐標(biāo)和A2的縱坐標(biāo)相同，則A2的橫坐標(biāo)為a2=﹣，A2的橫坐標(biāo)和B2的橫坐標(biāo)相同，則B2的縱坐標(biāo)為b2=﹣，B2的縱坐標(biāo)和A3的縱坐標(biāo)相同，則A3的橫坐標(biāo)為a3=﹣，A3的橫坐標(biāo)和B3的橫坐標(biāo)相同，則B3的縱坐標(biāo)為b3=﹣3，B3的縱坐標(biāo)和A4的縱坐標(biāo)相同，則A4的橫坐標(biāo)為a4=2，A4的橫坐標(biāo)和B4的橫坐標(biāo)相同，則B4的縱坐標(biāo)為b4=，即當(dāng)a1=2時(shí)，a2=﹣，a3=﹣，a4=2，a5=﹣，b1=，b2=﹣，b3=﹣3，b4=，b5=﹣，∵=671，∴a2021=a3=﹣；點(diǎn)A1不能在y軸上（此時(shí)找不到B1），即x≠0，點(diǎn)A1不能在x軸上（此時(shí)A2，在y軸上，找不到B2），即y=﹣x﹣1≠0，解得：x≠﹣1；綜上可得a1不可取0、﹣1．故答案為：﹣、﹣；0、﹣1．三、解答題（本題共30分，每小題5分）13．解答：證明：∵DE∥AB，∴∠CAB=∠ADE，∵在△ABC和△DAE中，，∴△ABC≌△DAE（ASA），∴BC=AE．14．5.15．﹣1＜x＜16．1217．解答：解：設(shè)每人每小時(shí)的綠化面積x平方米，由題意，得，解得：x=2.5．經(jīng)檢驗(yàn)，x=2.5是原方程的解，且符合題意．答：每人每小時(shí)的綠化面積2.5平方米．18．解答：解：（1）根據(jù)題意得：△=4﹣4（2k﹣4）=20﹣8k＞0，解得：k＜；（2）由k為正整數(shù)，得到k=1或2，利用求根公式表示出方程的解為x=﹣1±，∵方程的解為整數(shù)，∴5﹣2k為完全平方數(shù)，則k的值為2．四、解答題（本題共20分，每小題5分）19．解答：（1）證明：在?ABCD中，AD∥BC，且AD=BC．∵F是AD的中點(diǎn)，∴DF=．又∵CE=BC，∴DF=CE，且DF∥CE，∴四邊形CEDF是平行四邊形；（2）解：如圖，過點(diǎn)D作DH⊥BE于點(diǎn)H．在?ABCD中，∵∠B=60°，∴∠DCE=60°．∵AB=4，∴CD=AB=4，∴CH=2，DH=2．在?CEDF中，CE=DF=AD=3，則EH=1．∴在Rt△DHE中，根據(jù)勾股定理知DE==．20．解答：（1）證明：PA，PC與⊙O分別相切于點(diǎn)A，C，∴∠APO=∠EPD且PA⊥AO，∴∠PAO=90°，∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°，∴∠APO=∠EDO，∴∠EPD=∠EDO；（2）解：連接OC，∴PA=PC=6，∵tan∠PDA=，∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10，∴CD=4，∵tan∠PDA=，∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5，∵∠EPD=∠ODE，∴△OED∽△DEP，∴，在Rt△OED中，OE2+DE2=52，∴OE=．21．解答：解：（1）∵月季園面積為0.04平方千米，月季園所占比例為20%，則牡丹園的面積為：15%×=0.03（平方千米）；（2）植物花園的總面積為：0.04÷20%=0.2（平方千米），則第九屆園博會(huì)會(huì)園區(qū)陸地面積為：0.2×18=3.6（平方千米），第七、八界園博會(huì)的水面面積之和=1+0.5=1.5（平方千米），則水面面積為1.5平方千米，如圖：；（3）由圖標(biāo)可得，停車位數(shù)量與單日最多接待游客量成正比例關(guān)系，比值約為500，則第十屆園博會(huì)大約需要設(shè)置的停車位數(shù)量約為：500×7.4≈3.7×103．．故答案為：0.03；3.7×103．22．解答：解：（1）四個(gè)等腰直角三角形的斜邊長為a，則斜邊上的高為a，每個(gè)等腰直角三角形的面積為：a?a=a2，則拼成的新正方形面積為：4×a2=a2，即與原正方形ABCD面積相等∴這個(gè)新正方形的邊長為a．故填空答案為：a．（2）∵四個(gè)等腰直角三角形的面積和為a2，正方形ABCD的面積為a2，∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4××12=2．（3）如答圖1所示，分別延長RD，QF，PE交FA，EC，DB的延長線于點(diǎn)S，T，W．由題意易得：△RSF，△QEF，△PDW均為底角是30°的等腰三角形，其底邊長均等于△ABC的邊長．不妨設(shè)等邊三角形邊長為a，則SF=AC=a．如答圖2所示，過點(diǎn)R作RM⊥SF于點(diǎn)M，則MF=SF=a，在Rt△RMF中，RM=MF?tan30°=a×=a，∴S△RSF=a?a=a2．過點(diǎn)A作AN⊥SD于點(diǎn)N，設(shè)AD=AS=x，則AN=AD?sin30°=x，SD=2ND=2ADcos30°=x，∴S△ADS=SD?AN=?x?x=x2．∵三個(gè)等腰三角形△RSF，△QEF，△PDW的面積和=3S△RSF=3×a2=a2，正△ABC的面積為a2，∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS，∴=3×x2，得x2=，解得x=或x=（不合題意，舍去）∴x=，即AD的長為．故填空答案為：．五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分）23．解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣2，∴A（0，﹣2），拋物線的對稱軸為直線x=﹣=1，∴B（1，0）；（2）易得A點(diǎn)關(guān)于對稱軸直線x=1的對稱點(diǎn)A′（2，﹣2），則直線l經(jīng)過A′、B，設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），則，解得，所以，直線l的解析式為y=﹣2x+2；（3）∵拋物線的對稱軸為直線x=1，∴拋物線在2＜x＜3這一段與在﹣1＜x＜0這一段關(guān)于對稱軸對稱，結(jié)合圖象可以觀察到拋物線在﹣2＜x＜﹣1這一段位于直線l的上方，在﹣1＜x＜0這一段位于直線l的下方，∴拋物線與直線l的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1，當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=﹣2×（﹣1）+2=4，所以，拋物線過點(diǎn)（﹣1，4），當(dāng)x=﹣1時(shí)，m+2m﹣2=4，解得m=2，∴拋物線的解析式為y=2x2﹣4x﹣2．24．解答：解：（1）∵AB=AC，∠A=α，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=90°﹣α，∵∠ABD=∠ABC﹣∠DBC，∠DBC=60°，即∠ABD=30°﹣α；（2）△ABE是等邊三角形，證明：連接AD，CD，ED，∵線段BC繞B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD，則BC=BD，∠DBC=60°，∵∠ABE=60°，∴∠ABD=60°﹣∠DBE=∠EBC=30°﹣α，且△BCD為等邊三角形，在△ABD與△ACD中∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，∵∠BCE=150°，∴∠BEC=180°﹣（30°﹣α）﹣150°=α=∠BAD，在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC，∴AB=BE，∴△ABE是等邊三角形；（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴∠DCE=150°﹣60°=90°，∵∠DEC=45°，∴△DEC為等腰直角三角形，∴DC=CE=BC，∵∠BCE=150°，∴∠EBC=（180°﹣150°）=15°，∵∠EBC=30°﹣α=15°，∴α=30°．25．解答：解：（1）①如圖1所示，過點(diǎn)E作⊙O的切線設(shè)切點(diǎn)為R，∵⊙O的半徑為1，∴RO=1，∵EO=2，∴∠OER=30°，根據(jù)切線長定理得出⊙O的左側(cè)還有一個(gè)切點(diǎn)，使得組成的角等于30°，∴E點(diǎn)是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，∵D（，），E（0，﹣2），F(xiàn)（2，0），∴OF＞EO，DO＜EO，∴D點(diǎn)一定是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，而在⊙O上不可能找到兩點(diǎn)與點(diǎn)F的連線的夾角等于60°，故在點(diǎn)D、E、F中，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是D，E；故答案為：D，E；②由題意可知，若P要?jiǎng)偤檬恰袰的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，需要點(diǎn)P到⊙C的兩條切線PA和PB之間所夾的角為60°，由圖2可知∠APB=60°，則∠CPB=30°，連接BC，則PC==2BC=2r，∴若P點(diǎn)為⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則需點(diǎn)P到圓心的距離d滿足0≤d≤2r；由上述證明可知，考慮臨界點(diǎn)位置的P點(diǎn)，如圖3，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離OP=2×1=2，過點(diǎn)O作l軸的垂線OH，垂足為H，tan∠OGF===，∴∠OGF=60°，∴OH=OGsin60°=；sin∠OPH==，∴∠OPH=60°，可得點(diǎn)P1與點(diǎn)G重合，過點(diǎn)P2作P2M可得∠P2OM=30°，∴OM=OP2cos30°=，從而若點(diǎn)P為⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則P點(diǎn)必在線段P1P2上，∴0≤m≤；（2）若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，欲使這個(gè)圓的半徑最小，則這個(gè)圓的圓心應(yīng)在線段EF的中點(diǎn)；考慮臨界情況，如圖4，即恰好E、F點(diǎn)為⊙K的關(guān)聯(lián)時(shí)，則KF=2KN=EF=2，此時(shí)，r=1，故若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，這個(gè)圓的半徑r的取值范圍為r≥1．2021年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽高一年級復(fù)賽試題及參考解答2010年5月一、填空題小題號(hào)12345答案202151.函數(shù)是定義在R上的周期為3的函數(shù),右圖中表示的是該函數(shù)在區(qū)間上的圖像.則的值等于.答:.理由:則2.方程的所有根的立方和等于.答:.解:方程等價(jià)于………=1\*GB3①與……=2\*GB3②由=1\*GB3①得：，由=2\*GB3②得：，所以所以.所以.3.如右圖,AB與⊙O切于點(diǎn)A.連接B與⊙O內(nèi)一點(diǎn)D的線段交圓于點(diǎn)C.并且AB=6，DC=CB=3，OD=2，則⊙O的半徑等于.答：解:延長BD交圓于E，延長OD交圓于F，G（如左圖）.FG是⊙O的直徑.設(shè)⊙O的半徑為r，由切割線定理，有即所以DE=6.由相交弦定理可得即所以解得.4．滿足方程的函數(shù).答：解：取x=1和x=0代入方程，得，進(jìn)而得于是經(jīng)檢驗(yàn)，所求的函數(shù)滿足方程.5．若一個(gè)自然數(shù)比它的數(shù)字和恰好大2007,這樣的自然數(shù)叫做“好數(shù)”,則所有“好數(shù)”的和等于.答:20215.解：設(shè)其中是自然數(shù)n的數(shù)字和.則函數(shù)是非嚴(yán)格的增函數(shù).所以滿足條件的所有自然數(shù)只有10個(gè)：2021，2021，2021，2021，2021，2021，2021，2021，2021，2021．其和為2021+2021+2021+2021+2021+2021+2021+2021+2021+2021=20215.二、（滿分15分）如圖,四個(gè)陰影三角形的面積都等于1（1）求證:；（2）求證:；（3）求的值.解答：（1）設(shè)，連接AB2，則連接B1C2，CA2，則B1C2//CA2所以由所以同理，設(shè)設(shè)因此，得（2）由上所證，易知也就是所以.同理由BA2=B1A2可證得因此（3）由即這樣由解得（負(fù)根舍去！）.所以因此三、（滿分15分）能否將2021寫成k個(gè)互不相等的質(zhì)數(shù)的平方和?如果能,請確定出所有的k值，并對相應(yīng)的k值各寫出一個(gè)例子;如果不能,請簡述理由.解：（1）設(shè)為質(zhì)數(shù)，若2021能寫成k個(gè)質(zhì)數(shù)的平方和，則當(dāng)時(shí),取最小的10個(gè)互不相等的質(zhì)數(shù)的平方和,則4+9+25+49+121+169+289+361+529+841=2397>2021，因此（2）因?yàn)橹挥幸粋€(gè)偶質(zhì)數(shù)2，其余質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，而奇數(shù)的平方仍是奇數(shù)，并且被8除余1.所以若時(shí)，則20