2021年福建省中考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2021年福建省中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．（4分）（2021?福建）在實數(shù)2，12，0，﹣1A．﹣1 B．0 C．12 D．2．（4分）（2021?福建）如圖所示的六角螺栓，其俯視圖是（）A． B． C． D．3．（4分）（2021?福建）如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測量學(xué)校A與河對岸工廠B之間的距離，在學(xué)校附近選一點C，利用測量儀器測得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．據(jù)此，可求得學(xué)校與工廠之間的距離AB等于（）A．2km B．3km C．23km D．44．（4分）（2021?福建）下列運算正確的是（）A．2a﹣a＝2 B．（a﹣1）2＝a2﹣1 C．a(chǎn)6÷a3＝a2 D．（2a3）2＝4a65．（4分）（2021?福建）某校為推薦一項作品參加“科技創(chuàng)新”比賽，對甲、乙、丙、丁四項候選作品進(jìn)行量化評分，具體成績（百分制）如表：項目作品甲乙丙丁創(chuàng)新性90959090實用性90909585如果按照創(chuàng)新性占60%，實用性占40%計算總成績，并根據(jù)總成績擇優(yōu)推薦，那么應(yīng)推薦的作品是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．（4分）（2021?福建）某市2018年底森林覆蓋率為63%．為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，該市大力開展植樹造林活動，2020年底森林覆蓋率達(dá)到68%，如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率為x，那么，符合題意的方程是（）A．0.63（1+x）＝0.68 B．0.63（1+x）2＝0.68 C．0.63（1+2x）＝0.68 D．0.63（1+2x）2＝0.687．（4分）（2021?福建）如圖，點F在正五邊形ABCDE的內(nèi)部，△ABF為等邊三角形，則∠AFC等于（）A．108° B．120° C．126° D．132°8．（4分）（2021?福建）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k＞0）的圖象過點（﹣1，0），則不等式k（x﹣1）+b＞0的解集是（）A．x＞﹣2 B．x＞﹣1 C．x＞0 D．x＞19．（4分）（2021?福建）如圖，AB為⊙O的直徑，點P在AB的延長線上，PC，PD與⊙O相切，切點分別為C，D．若AB＝6，PC＝4，則sin∠CAD等于（）A．35 B．23 C．34 10．（4分）（2021?福建）二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的圖象過A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四個點，下列說法一定正確的是（）A．若y1y2＞0，則y3y4＞0 B．若y1y4＞0，則y2y3＞0 C．若y2y4＜0，則y1y3＜0 D．若y3y4＜0，則y1y2＜0二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11．（4分）（2021?福建）若反比例函數(shù)y=kx的圖象過點（1，1），則k的值等于12．（4分）（2021?福建）寫出一個無理數(shù)x，使得1＜x＜4，則x可以是（只要寫出一個滿足條件的x即可）13．（4分）（2021?福建）某校共有1000名學(xué)生．為了解學(xué)生的中長跑成績分布情況，隨機抽取100名學(xué)生的中長跑成績，畫出條形統(tǒng)計圖，如圖．根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計知識可估計該校中長跑成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是．14．（4分）（2021?福建）如圖，AD是△ABC的角平分線．若∠B＝90°，BD=3，則點D到AC的距離是15．（4分）（2021?福建）已知非零實數(shù)x，y滿足y=xx+1，則x-y+316．（4分）（2021?福建）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動點，點E不與A，B重合，且EF＝AB，G是五邊形AEFCD內(nèi)滿足GE＝GF且∠EGF＝90°的點．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①∠GEB與∠GFB一定互補；②點G到邊AB，BC的距離一定相等；③點G到邊AD，DC的距離可能相等；④點G到邊AB的距離的最大值為22．其中正確的是．（寫出所有正確結(jié)論的序號）三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（8分）（2021?福建）計算：12+|18．（8分）（2021?福建）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE＝DF，CE＝BF．求證：∠B＝∠C．19．（8分）（2021?福建）解不等式組：x≥20．（8分）（2021?福建）某公司經(jīng)營某種農(nóng)產(chǎn)品，零售一箱該農(nóng)產(chǎn)品的利潤是70元，批發(fā)一箱該農(nóng)產(chǎn)品的利潤是40元．（1）已知該公司某月賣出100箱這種農(nóng)產(chǎn)品共獲利潤4600元，問：該公司當(dāng)月零售、批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品的箱數(shù)分別是多少？（2）經(jīng)營性質(zhì)規(guī)定，該公司零售的數(shù)量不能多于總數(shù)量的30%．現(xiàn)該公司要經(jīng)營1000箱這種農(nóng)產(chǎn)品，問：應(yīng)如何規(guī)劃零售和批發(fā)的數(shù)量，才能使總利潤最大？最大總利潤是多少？21．（8分）（2021?福建）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．線段EF是由線段AB平移得到的，點F在邊BC上，△EFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形，且點D恰好在AC的延長線上．（1）求證：∠ADE＝∠DFC；（2）求證：CD＝BF．22．（10分）（2021?福建）如圖，已知線段MN＝a，AR⊥AK，垂足為A．（1）求作四邊形ABCD，使得點B，D分別在射線AK，AR上，且AB＝BC＝a，∠ABC＝60°，CD∥AB；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）設(shè)P，Q分別為（1）中四邊形ABCD的邊AB，CD的中點，求證：直線AD，BC，PQ相交于同一點．23．（10分）（2021?福建）“田忌賽馬”的故事閃爍著我國古代先賢的智慧光芒．該故事的大意是：齊王有上、中、下三匹馬A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹馬A2，B2，C2，且這六匹馬在比賽中的勝負(fù)可用不等式表示如下：A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2（注：A＞B表示A馬與B馬比賽，A馬獲勝）．一天，齊王找田忌賽馬，約定：每匹馬都出場比賽一局，共賽三局，勝兩局者獲得整場比賽的勝利．面對劣勢，田忌事先了解到齊王三局比賽的“出馬”順序為上馬、中馬、下馬，并采用孫臏的策略：分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上馬、中馬、下馬比賽，即借助對陣（C2A1，A2B1，B2C1）獲得了整場比賽的勝利，創(chuàng)造了以弱勝強的經(jīng)典案例．假設(shè)齊王事先不打探田忌的“出馬”情況，試回答以下問題：（1）如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應(yīng)出哪種馬才可能獲得整場比賽的勝利？并求其獲勝的概率；（2）如果田忌事先無法打探到齊王各局的“出馬”情況，他是否必敗無疑？若是，請說明理由；若不是，請列出田忌獲得整場比賽勝利的所有對陣情況，并求其獲勝的概率．24．（12分）（2021?福建）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)為邊AB上的兩個三等分點，點A關(guān)于DE的對稱點為A′，AA′的延長線交BC于點G．（1）求證：DE∥A′F；（2）求∠GA′B的大??；（3）求證：A′C＝2A′B．25．（14分）（2021?福建）已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸只有一個公共點．（1）若拋物線過點P（0，1），求a+b的最小值；（2）已知點P1（﹣2，1），P2（2，﹣1），P3（2，1）中恰有兩點在拋物線上．①求拋物線的解析式；②設(shè)直線l：y＝kx+1與拋物線交于M，N兩點，點A在直線y＝﹣1上，且∠MAN＝90°，過點A且與x軸垂直的直線分別交拋物線和l于點B，C．求證：△MAB與△MBC的面積相等．

2021年福建省中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．（4分）（2021?福建）在實數(shù)2，12，0，﹣1A．﹣1 B．0 C．12 D．【分析】根據(jù)正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，即可比較出大小，從而得到最小的數(shù)．【解答】解：∵﹣1＜0＜1∴最小的是﹣1，故選：A．【點評】本題考查了實數(shù)的比較大小，知道負(fù)數(shù)小于0是解題的關(guān)鍵．2．（4分）（2021?福建）如圖所示的六角螺栓，其俯視圖是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)俯視圖是從上面看的到的圖形，可得答案．【解答】解：從上邊看，是一個正六邊形，六邊形內(nèi)部是一個圓，故選：A．【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，俯視圖是從上面看的到的圖形，注意看到的線畫實線，看不到的線畫虛線．3．（4分）（2021?福建）如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測量學(xué)校A與河對岸工廠B之間的距離，在學(xué)校附近選一點C，利用測量儀器測得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．據(jù)此，可求得學(xué)校與工廠之間的距離AB等于（）A．2km B．3km C．23km D．4【分析】直接利用直角三角形的性質(zhì)得出∠B度數(shù)，進(jìn)而利用直角三角形中30°所對直角邊是斜邊的一半，即可得出答案．【解答】解：∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4（km）．故選：D．【點評】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，正確掌握邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵．4．（4分）（2021?福建）下列運算正確的是（）A．2a﹣a＝2 B．（a﹣1）2＝a2﹣1 C．a(chǎn)6÷a3＝a2 D．（2a3）2＝4a6【分析】分別根據(jù)合并同類項法則，完全平方公式，同底數(shù)冪的除法法則以及積的乘方運算法則逐一判斷即可．【解答】解：A.2a﹣a＝a，故本選項不合題意；B．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故本選項不合題意；C．a(chǎn)6÷a3＝a3，故本選項不合題意；D．（2a3）2＝4a6，故本選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了合并同類項，完全平方公式，同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方，掌握相關(guān)公式與運算法則是解答本題的關(guān)鍵．5．（4分）（2021?福建）某校為推薦一項作品參加“科技創(chuàng)新”比賽，對甲、乙、丙、丁四項候選作品進(jìn)行量化評分，具體成績（百分制）如表：項目作品甲乙丙丁創(chuàng)新性90959090實用性90909585如果按照創(chuàng)新性占60%，實用性占40%計算總成績，并根據(jù)總成績擇優(yōu)推薦，那么應(yīng)推薦的作品是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】首先根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的含義和求法，分別求出四人的平均成績各是多少；然后比較大小，判斷出誰的平均成績最高，即可判斷出應(yīng)推薦誰．【解答】解：甲的平均成績＝90×60%+90×40%＝90（分），乙的平均成績＝95×60%+90×40%＝93（分），丙的平均成績＝90×60%+95×40%＝92（分），丁的平均成績＝90×60%+85×40%＝88（分），∵93＞92＞90＞88，∴乙的平均成績最高，∴應(yīng)推薦乙．故選：B．【點評】此題主要考查了加權(quán)平均數(shù)的含義和求法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：數(shù)據(jù)的權(quán)能夠反映數(shù)據(jù)的相對“重要程度”，要突出某個數(shù)據(jù)，只需要給它較大的“權(quán)”，權(quán)的差異對結(jié)果會產(chǎn)生直接的影響．6．（4分）（2021?福建）某市2018年底森林覆蓋率為63%．為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，該市大力開展植樹造林活動，2020年底森林覆蓋率達(dá)到68%，如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率為x，那么，符合題意的方程是（）A．0.63（1+x）＝0.68 B．0.63（1+x）2＝0.68 C．0.63（1+2x）＝0.68 D．0.63（1+2x）2＝0.68【分析】設(shè)從2018年起全市森林覆蓋率的年平均增長率為x，根據(jù)2018年及2020年的全市森林覆蓋率，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：設(shè)從2018年起全市森林覆蓋率的年平均增長率為x，根據(jù)題意得：0.63（1+x）2＝0.68．故選：B．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．7．（4分）（2021?福建）如圖，點F在正五邊形ABCDE的內(nèi)部，△ABF為等邊三角形，則∠AFC等于（）A．108° B．120° C．126° D．132°【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，由正五邊形的性質(zhì)得到AB＝BC，∠ABC＝108°，等量代換得到BF＝BC，∠FBC＝48°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠BFC＝66°，根據(jù)∠AFC＝∠AFB+∠BFC即可得到結(jié)論．【解答】解：∵△ABF是等邊三角形，∴AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，在正五邊形ABCDE中，AB＝BC，∠ABC＝108°，∴BF＝BC，∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝48°，∴∠BFC=180°-∠FBC∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝126°，故選：C．【點評】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記正多邊形的內(nèi)角的求法是解題的關(guān)鍵．8．（4分）（2021?福建）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k＞0）的圖象過點（﹣1，0），則不等式k（x﹣1）+b＞0的解集是（）A．x＞﹣2 B．x＞﹣1 C．x＞0 D．x＞1【分析】先把（﹣1，0）代入y＝kx+b得b＝k，則k（x﹣1）+b＞0化為k（x﹣1）+k＞0，然后解關(guān)于x的不等式即可．【解答】解：把（﹣1，0）代入y＝kx+b得﹣k+b＝0，解b＝k，則k（x﹣1）+b＞0化為k（x﹣1）+k＞0，而k＞0，所以x﹣1+1＞0，解得x＞0．故選：C．方法二：一次函數(shù)y＝kx+b（k＞0）的圖象向右平移1個單位得y＝k（x﹣1）+b，∵一次函數(shù)y＝kx+b（k＞0）的圖象過點（﹣1，0），∴一次函數(shù)y＝k（x﹣1）+b（k＞0）的圖象過點（0，0），，由圖象可知，當(dāng)x＞0時，k（x﹣1）+b＞0，∴不等式k（x﹣1）+b＞0的解集是x＞0，故選：C．【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，把點（﹣1，0）代入解析式求得k與b的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．9．（4分）（2021?福建）如圖，AB為⊙O的直徑，點P在AB的延長線上，PC，PD與⊙O相切，切點分別為C，D．若AB＝6，PC＝4，則sin∠CAD等于（）A．35 B．23 C．34 【分析】連接OC、OD、CD，CD交PA于E，如圖，利用切線的性質(zhì)和切線長定理得到OC⊥CP，PC＝PD，OP平分∠CPD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OP⊥CD，則∠COB＝∠DOB，根據(jù)圓周角定理得到∠CAD=12∠COD，所以∠COB＝∠CAD，然后求出sin∠【解答】解：連接OC、OD、CD，CD交PA于E，如圖，∵PC，PD與⊙O相切，切點分別為C，D，∴OC⊥CP，PC＝PD，OP平分∠CPD，∴OP⊥CD，∴CB=∴∠COB＝∠DOB，∵∠CAD=12∠∴∠COB＝∠CAD，在Rt△OCP中，OP=OC∴sin∠COP=PC∴sin∠CAD=4故選：D．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了圓周角定理和解直角三角形．10．（4分）（2021?福建）二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的圖象過A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四個點，下列說法一定正確的是（）A．若y1y2＞0，則y3y4＞0 B．若y1y4＞0，則y2y3＞0 C．若y2y4＜0，則y1y3＜0 D．若y3y4＜0，則y1y2＜0【分析】觀察圖像可知，y1＞y4＞y2＞y3，再結(jié)合題目一一判斷即可．【解答】解：如圖，由題意對稱軸x＝1，觀察圖像可知，y1＞y4＞y2＞y3，若y1y2＞0，則y3y4＞0或y3y4＜0，選項A不符合題意，若若y1y4＞0，則y2y3＞0或y2y3＜0，選項B不符合題意，若y2y4＜0，則y1y3＜0，選項C符合題意，若y3y4＜0，則y1y2＜0或y1y2＞0，選項D不符合題意，故選：C．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用圖象法解決問題，屬于中考?？碱}型．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11．（4分）（2021?福建）若反比例函數(shù)y=kx的圖象過點（1，1），則k的值等于1【分析】把點（1，1）代反比例函數(shù)y=kx，即可求出【解答】解：∵反比例函數(shù)y=kx的圖象過點（1，∴k＝1×1＝1，故答案為1．【點評】此題考查的是用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．12．（4分）（2021?福建）寫出一個無理數(shù)x，使得1＜x＜4，則x可以是2（只要寫出一個滿足條件的x即可）【分析】根據(jù)1＜2＜【解答】解：∵1＜2＜16，∴1＜2＜∵2是無理數(shù)，故答案為：2．【點評】此題考查了估算無理數(shù)的大小，現(xiàn)實生活中經(jīng)常需要估算，估算應(yīng)是我們具備的數(shù)學(xué)能力，“夾逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．13．（4分）（2021?福建）某校共有1000名學(xué)生．為了解學(xué)生的中長跑成績分布情況，隨機抽取100名學(xué)生的中長跑成績，畫出條形統(tǒng)計圖，如圖．根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計知識可估計該校中長跑成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是270．【分析】用總?cè)藬?shù)乘以長跑成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)所占的百分比即可．【解答】解：根據(jù)題意得：1000×27100故答案為：270．【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖，讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．14．（4分）（2021?福建）如圖，AD是△ABC的角平分線．若∠B＝90°，BD=3，則點D到AC的距離是3【分析】由角平分線的性質(zhì)可求DE＝BD=3【解答】解：如圖，過點D作DE⊥AC于E，∵AD是△ABC的角平分線．∠B＝90°，DE⊥AC，∴DE＝BD=3∴點D到AC的距離為3，故答案為3．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點到角的兩邊距離相等是解題的關(guān)鍵．15．（4分）（2021?福建）已知非零實數(shù)x，y滿足y=xx+1，則x-y+3【分析】由y=xx+1得：x﹣y【解答】解：由y=xx+1得：xy+y∴x﹣y＝xy，∴原式==4＝4．故答案為：4．【點評】本題考查了分式的值，對條件進(jìn)行化簡，得到x﹣y＝xy，把x﹣y看作整體，代入到代數(shù)式求值是解題的關(guān)鍵．16．（4分）（2021?福建）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動點，點E不與A，B重合，且EF＝AB，G是五邊形AEFCD內(nèi)滿足GE＝GF且∠EGF＝90°的點．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①∠GEB與∠GFB一定互補；②點G到邊AB，BC的距離一定相等；③點G到邊AD，DC的距離可能相等；④點G到邊AB的距離的最大值為22．其中正確的是．（寫出所有正確結(jié)論的序號）【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠B＝90°，又∠EGF＝90°，有三角形內(nèi)角和為360°可判斷①；過G作GM⊥AB，GN⊥BC，分別交AB于M，交BC于N，根據(jù)GE＝GF且∠EGF＝90°，∠GEF＝∠GFE＝45°，可以求出∠GEM＝∠GFN，然后證明△GEM≌△GFN，可以判斷②；由AB＝4，AD＝5和②的結(jié)論可以判斷③；當(dāng)四邊形EBFG是正方形時，點G到AB的距離最大，從而可以判斷④．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，又∵∠EGF＝90°，四邊形內(nèi)角和是360°，∴∠GEB+∠GFB＝180°，故①正確；過G作GM⊥AB，GN⊥BC，分別交AB于M，交BC于N，∵GE＝GF且∠EGF＝90°，∴∠GEF＝∠GFE＝45°，又∴∠B＝90°，∴∠BEF+∠EFB＝90°，即∠BEF＝90°﹣∠EFB，∵∠GEM＝180°﹣∠BEF﹣∠GEF＝180°﹣45°﹣（90°﹣∠EFB）＝45°+∠EFB，∠GFN＝∠EFB+∠GFE＝∠EFB+45°，∴∠GEM＝∠GFN，在△GEM和△GFN中，∠GME∴△GEM≌△GFN（AAS），∴GM＝GN，故②正確；∵AB＝4，AD＝5，并由②知，點G到邊AD，DC的距離不相等，故③錯誤：當(dāng)四邊形EBFG是正方形時，點G到AB的距離最大，∵EF＝AB＝4，∴GE＝EB＝BF＝FG＝4×22=故④正確．故答案為：①②④．【點評】本題主要考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定以及三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是對知識的掌握和運用．三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（8分）（2021?福建）計算：12+|【分析】直接利用算術(shù)平方根以及絕對值的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡得出答案．【解答】解：原式＝23+3-=3【點評】此題主要考查了算術(shù)平方根以及絕對值的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．18．（8分）（2021?福建）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE＝DF，CE＝BF．求證：∠B＝∠C．【分析】由垂直的定義，DE＝DF，CE＝BF證明△BDF≌△CDE，得出對應(yīng)角相等即可．【解答】證明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°，在△BDF和△CDE中，DF=∴△BDF≌△CDE（SAS），∴∠B＝∠C．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，能夠證明△BDF≌△CDE是解決問題的關(guān)鍵．19．（8分）（2021?福建）解不等式組：x≥【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【解答】解：解不等式①，得：x≥1，解不等式②，得：x＜3，則不等式組的解集為1≤x＜3．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．20．（8分）（2021?福建）某公司經(jīng)營某種農(nóng)產(chǎn)品，零售一箱該農(nóng)產(chǎn)品的利潤是70元，批發(fā)一箱該農(nóng)產(chǎn)品的利潤是40元．（1）已知該公司某月賣出100箱這種農(nóng)產(chǎn)品共獲利潤4600元，問：該公司當(dāng)月零售、批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品的箱數(shù)分別是多少？（2）經(jīng)營性質(zhì)規(guī)定，該公司零售的數(shù)量不能多于總數(shù)量的30%．現(xiàn)該公司要經(jīng)營1000箱這種農(nóng)產(chǎn)品，問：應(yīng)如何規(guī)劃零售和批發(fā)的數(shù)量，才能使總利潤最大？最大總利潤是多少？【分析】（1）設(shè)該公司當(dāng)月零售這種農(nóng)產(chǎn)品x箱，則批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品（100﹣x）箱，依據(jù)該公司某月賣出100箱這種農(nóng)產(chǎn)品共獲利潤4600元，列方程求解即可．（2）設(shè)該公司當(dāng)月零售這種農(nóng)產(chǎn)品m箱，則批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品（1000﹣m）箱，該公司獲得利潤為y元，進(jìn)而得到y(tǒng)關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：（1）設(shè)該公司當(dāng)月零售這種農(nóng)產(chǎn)品x箱，則批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品（100﹣x）箱，依題意得70x+40（100﹣x）＝4600，解得：x＝20，100﹣20＝80（箱），答：該公司當(dāng)月零售這種農(nóng)產(chǎn)品20箱，批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品80箱；（2）設(shè)該公司當(dāng)月零售這種農(nóng)產(chǎn)品m箱，則批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品（1000﹣m）箱，依題意得m≤1000×30%，解得m≤300，設(shè)該公司獲得利潤為y元，依題意得y＝70m+40（1000﹣m），即y＝30m+40000，∵30＞0，y隨著m的增大而增大，∴當(dāng)m＝300時，y取最大值，此時y＝30×300+40000＝49000（元），∴批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量為10000﹣m＝700（箱），答：該公司零售、批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品的箱數(shù)分別是300箱，700箱時，獲得最大利潤為49000元．【點評】本題主要考查了一元一次方程和一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)表達(dá)式，熟練掌握函數(shù)性質(zhì)根據(jù)自變量取值范圍確定函數(shù)值是解決問題的關(guān)鍵．21．（8分）（2021?福建）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．線段EF是由線段AB平移得到的，點F在邊BC上，△EFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形，且點D恰好在AC的延長線上．（1）求證：∠ADE＝∠DFC；（2）求證：CD＝BF．【分析】（1）由∠ACB＝90°，得∠ACB＝∠CDF+∠DFC＝90°，△EFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形，得∠EDF＝90°，∠EDF＝∠ADE+∠CDF＝90°，由等量代換得∠ADE＝∠DFC；（2）證明四邊形ABEF是平行四邊形，得∠DAE＝∠FCD，AE＝BF，再證△ADE≌△CFD，得AF＝CD，由等量代換得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CDF+∠DFC＝90°，∵△EFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形，∴∠EDF＝90°，DE＝FD，∵∠EDF＝∠ADE+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠DFC；（2）連接AE，∵線段EF是由線段AB平移得到的，∴EF∥AB，EF＝AB，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∴AE∥BC，AE＝BF，∴∠DAE＝∠BCA＝90°，∴∠DAE＝∠FCD，在△ADE和△CFD中，∠DAE∴△ADE≌△CFD（AAS），∴AE＝CD，∵AE＝BF，∴CD＝BF．【點評】本題考查了三角形全等判定與性質(zhì)、等腰直角三角形和平移的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（10分）（2021?福建）如圖，已知線段MN＝a，AR⊥AK，垂足為A．（1）求作四邊形ABCD，使得點B，D分別在射線AK，AR上，且AB＝BC＝a，∠ABC＝60°，CD∥AB；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）設(shè)P，Q分別為（1）中四邊形ABCD的邊AB，CD的中點，求證：直線AD，BC，PQ相交于同一點．【分析】（1）先截取AB＝a，再分別以A、B為圓心，a為半徑畫弧，兩弧交于點C，然后過C點作AR的垂線得到CD；（2）證明：設(shè)PQ交AD于G，BC交AD于G′，利用平行線分線段成比例定理得到GDGA=DQAP，G'DG【解答】（1）解：如圖，四邊形ABCD為所作；（2）證明：設(shè)PQ交AD于G，BC交AD于G′，∵DQ∥AP，∴GDGA∵DC∥AB，∴G'∵P，Q分別為邊AB，CD的中點，∴DC＝2DQ，AB＝2AP，∴G'∴G'∴點G與點G′重合，∴直線AD，BC，PQ相交于同一點．【點評】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行線分線段成比例定理．23．（10分）（2021?福建）“田忌賽馬”的故事閃爍著我國古代先賢的智慧光芒．該故事的大意是：齊王有上、中、下三匹馬A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹馬A2，B2，C2，且這六匹馬在比賽中的勝負(fù)可用不等式表示如下：A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2（注：A＞B表示A馬與B馬比賽，A馬獲勝）．一天，齊王找田忌賽馬，約定：每匹馬都出場比賽一局，共賽三局，勝兩局者獲得整場比賽的勝利．面對劣勢，田忌事先了解到齊王三局比賽的“出馬”順序為上馬、中馬、下馬，并采用孫臏的策略：分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上馬、中馬、下馬比賽，即借助對陣（C2A1，A2B1，B2C1）獲得了整場比賽的勝利，創(chuàng)造了以弱勝強的經(jīng)典案例．假設(shè)齊王事先不打探田忌的“出馬”情況，試回答以下問題：（1）如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應(yīng)出哪種馬才可能獲得整場比賽的勝利？并求其獲勝的概率；（2）如果田忌事先無法打探到齊王各局的“出馬”情況，他是否必敗無疑？若是，請說明理由；若不是，請列出田忌獲得整場比賽勝利的所有對陣情況，并求其獲勝的概率．【分析】（1）根據(jù)題意首局齊王出“上馬”，只需將三局的圖表列出，即可得出答案．（2）根據(jù)題（1）的一種情況，推斷出共有18種對陣情況，只要A1對C2，B1對A2，C1對B2的情況田忌獲得勝利，即可得出答案．【解答】解：（1）田忌首局應(yīng)出“下馬”才可能獲勝，此時，比賽所有可能的對陣為：（A1C2，B1A2，C1B2），（A1C2，C1B2，B1A2），（A1C2，B1B2，C1A2），（A1C2，B1B2，C1A2），共四種，其中獲勝的有兩場，故此田忌獲勝的概率為P=1（2）不是．當(dāng)齊王的出馬順序為A1，B1，C1時，田忌獲勝的對陣是：（A1C2，B1A2，C1B2），當(dāng)齊王的出馬順序為A1，C1，B1時，田忌獲勝的對陣是：（A1C2，C1B2，B1A2），當(dāng)齊王的出馬順序為B1，A1，C1時，田忌獲勝的對陣是：（B1A2，A1C2，C1B2），當(dāng)齊王的出馬順序為B1，C1，A1時，田忌獲勝的對陣是：（C1B2，A1C2，B1A2），當(dāng)齊王的出馬順序為C1，A1，B1時，田忌獲勝的對陣是：（C1B2，A1C2，B1A2），當(dāng)齊王的出馬順序為C1，B1，A1時，田忌獲勝的對陣是：（C1B2，B1A2，A1C2），綜上所述，田忌獲勝的對陣有6種，不論齊王的出馬順序如何，也都有相應(yīng)的6種可能對陣，所以田忌獲勝的概率為P=6【點評】此題考查的是用列表法求概率．列表法適合兩步完成的事件；解題時要注意此題賽馬分三局考慮．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．24．（12分）（2021?福建）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)為邊AB上的兩個三等分點，點A關(guān)于DE的對稱點為A′，AA′的延長線交BC于點G．（1）求證：DE∥A′F；（2）求∠GA′B的大?。唬?）求證：A′C＝2A′B．【分析】（1）由軸對稱的性質(zhì)可得AO＝A'O，AA'⊥DE，由三等份點可得AE＝EF，由三角形中位線定理可得DE∥A'F；（2）由“ASA”可證△ADE≌△BAG，可得AE＝BG，可得∠GFB＝∠FGB＝45°，通過證明點F，點B，點G，點A'四點共圓，可得∠GA'B＝∠GFB＝45°；（3）通過證明△A'FB∽△A'GC，可得A'【解答】證明：（1）如圖，設(shè)AG與DE的交點為O，連接GF，∵點A關(guān)于DE的對稱點為A′，∴AO＝A'O，AA'⊥DE，∵E，F(xiàn)為邊AB上的兩個三等分點，∴AE＝EF＝BF，∴DE∥A'F；（2）∵AA'⊥DE，∴∠AOE＝90°＝∠DAE＝∠ABG，∴∠ADE+∠DEA＝90°＝∠DEA+∠EAO，∴∠ADE＝∠EAO，在△ADE和△BAG中，∠ADE∴△ADE≌△BAG（ASA），∴AE＝BG，∴BF＝BG