數(shù)形結(jié)合解最值

，，，，，，，00數(shù)形結(jié)合最值四川省廣元市寶輪中學(xué)，，，，，，，00

唐明友“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”直觀結(jié)合于“數(shù)”簡便，兩者之間相輔相成，相互轉(zhuǎn)化和“形”的這種辯證關(guān)系就是數(shù)形結(jié)合思想。本文例析運用數(shù)形結(jié)合思想解決最值問題。一結(jié)合數(shù)軸例1.若a<b<c，試求函數(shù)y=

+

+

的最小值。分析與解本題若用“零點區(qū)間討論法”解，且、不是具體的數(shù)，計算起來非常麻煩。根據(jù)絕對值的幾何意義，在數(shù)軸上

、

、

分別表示線段AX、BX、CX的長在要求

+

+

的最小值從幾何意上理解是在數(shù)軸上找一點X，使點XAB三點距離之和最小。由圖知，X與點B重合時，即x=b時該距離之和最小，∴y的最小值為c－a。說明：如果ab、是具體的常數(shù)，還可通過分類討論，畫出分段函數(shù)的圖像，再根據(jù)圖像找出最小值。二結(jié)合直角三角形例2.求代數(shù)式

2+2

的最小值分析與解僅從代數(shù)角度思考顯然難以奏效，觀察到兩個根號下都是平方和的形式，自然聯(lián)想到勾股定理，進(jìn)而可考慮構(gòu)造RACP和tBDP。如圖Cl于C,BD⊥于D,AC=2,BD=3,CD=12,P在直線l上，且由意為負(fù)數(shù)或0均不是最小的，可設(shè)a>0),則PA+PB=

+)2

，因此，本題化為“在直線l求一點P，PA+PB的值最小此，取點A關(guān)于直l對稱點A，過點A作AEBD交其延長線于點E，連接、AB則原式=PA+PB=PA+PBAB=

A

2

=

123)

2

=13因此，原式的最小值是13說明亦能構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系代數(shù)式的最小值當(dāng)要在軸上求一a,0使它到（2,0）和（12，這兩點的距離的和最短，請同學(xué)們?nèi)ニ伎肌ＨY(jié)合二次函數(shù)

A例3.如圖，在△ABC中，AB+AC=12，ADBC于D且AD=3，

B

C⊙O是△ABC外接圓，當(dāng)AB長為多少時，⊙O面積最大？

并求⊙O的最大面積。分析和解由于△ABC形狀不確定，⊙O的積也會隨之變化，

O應(yīng)設(shè)法先找出與半徑的關(guān)系，再利用次函數(shù)求最值。作直徑AE，接BE，則ABE=90,由ABC得ADC=90,

E即∠ABE=∠ADC=90，而∠E=∠，∴△ADC∽△ABE

=AB1頁共

22設(shè)AB=x，⊙O的半徑為y則有

312=,整理得：x2yy=-

16

1x+2x=-(x-6)+6(3x≤9)6因此當(dāng)?shù)臑?時⊙的積最大，其最大面積為36。說明運二次函數(shù)求最值時，有時自變量不一定取頂點的橫坐標(biāo)時函數(shù)獲得最值，要注意考慮自變量的取值范圍。四.結(jié)合一次函例4.為完成一次實地測量任務(wù)夏令營的同學(xué)們成立了一支測繪隊需要人參加測量，20人參加計算，16參加繪圖。測繪隊中很多人是多面手，有8人既參加了測量又參加了計算，有6人既參加了測量又參加了繪圖，有4人既參加了計算又參加了繪圖。另有一些人三項都參加了。請問這支測繪隊至少有多少人？分析和解罷本題有很多人都搞糊涂了吧，如果采用圖示表其意（稱為韋恩圖）將會一目了然。設(shè)三項工作都參加的人數(shù)為x，總?cè)藶閥,列一次函數(shù)為：y=(10-x)+(8-x)+（）+4+6+8+x,整理得∵0x6,∴30≤42-2x≤42,亦30y42

測x6

4

計繪因此，測繪隊人數(shù)最少為30人，此x=6說明：圖示分析法可使應(yīng)用題中的已知量和未知量的關(guān)系更加直觀清晰，解決問題方便快捷，同學(xué)們應(yīng)能熟練運用。五.結(jié)合不等式例、、三個工廠如圖所示，它們都生產(chǎn)同一種產(chǎn)品。已A廠年產(chǎn)量是B年產(chǎn)量的

23

3B年產(chǎn)量是廠年產(chǎn)量的。現(xiàn)在要選一地址建一個公用倉庫把三個工的產(chǎn)品都5運放在該倉庫中，并且總費用最省，問倉庫應(yīng)選在何處？并說明你的理由。分析和解運費應(yīng)與公路里程和產(chǎn)量有關(guān)，設(shè)AB=c,AC=b,BC=a，由題意又廠量為2m,B廠量為3m,C廠產(chǎn)量為5m。本題答案是：倉庫地址應(yīng)選在處。理如下：假定倉庫另選一地設(shè)倉庫在O處時總費用可表示為:2mx+3my+5mz①

A倉庫在C處，總費用可表示為：2mb+3ma②∵x+z≥b,y+z≥a,∴2mx+2mz≥2mb,3my+3mz3ma,此兩式相加得：2mx+3my+5mz≥2mb+3ma③

B

b

C由①②③知，當(dāng)且僅當(dāng)點與C重合時號成立，因此，公用倉庫選在處，總費用最省說明：對于x+z≥b,y+z≥，這里不但慮了三角形中兩邊之和大于第三邊，而且還考慮了兩點之間線段最短。六.結(jié)合一元二方程根的判別式例6.如圖，在矩ADPE中，PD=3PE=7,BC過點的動直線，AD、長線交于BC求△ABC面的最小值。分析和解因直線BC是運動的，它與直線AD所夾角也是變化的。設(shè)∠則∠在Rt△BDP，

3t

，又在eq\o\ac(△,Rt)CEP，CE=7tan

2頁共

tan211tan211∴S

=

12

13ABAC=(2

+7)(7tan+3),整理49tan

2

+2(21-S

)tan+9=0,因?qū)崝?shù)，∴=4(21-S)-449×9≥，即S（S-42）0∵S>0,∴S≥因此，△積的最小值為。說明：運用一元二次方程根的判別式的不等關(guān)系求最值，是一種常用方法，同學(xué)們應(yīng)予以掌握。七.結(jié)合立體圖的展開圖例方體ABCD-ABCD中，AB=3,BC=4,CC=5,只小蟲由A處出發(fā)沿長方體表面111行到C，這時小蟲爬行的最短路線的長度是多少？分析與解因為小蟲是沿長方體表面爬行的，所以必須將爬行的面展開到一個平面內(nèi)，方可找到最短路線。共可分三種情況：（1經(jīng)過面、DCCD到C，如圖（1Rt△ABC中有：AC=

2

2

=

；D

C

D

1

C

1

1

C

1

C

C

A

5

5

A

3D

4D

C

D

C4

5

B

B3

A

3

4

A3

A4(2)

D

A(3)

A(1)（2經(jīng)過面A、ADCB到C，如圖（2Rt△中有：11AC=

2

2

=；（3經(jīng)過面BBBBCC到C，如圖（3Rteq\o\ac(△,)C中有：1111AC=

2

2

=

比較三種結(jié)果，顯然小蟲爬行的最短路徑的長度為

。例如圖，有一錐形糧堆，其主視圖是邊長為6的正三角形，線的中點P處有一老鼠正在偷吃糧食，小貓從沿錐表面去偷襲老鼠，求小貓經(jīng)過的最短路線長。分析與解圓的側(cè)面展開圖是一個扇形設(shè)其圓心角的度數(shù)為由題意知圓底面半徑為12

×6=3，

n180

=2

×3∴n=180，這個扇形是半圓3頁共

過A作⊥AB半圓于E，取