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第十章第四節(jié)獨(dú)立性檢驗(yàn)基礎(chǔ)夯實(shí)練1.高二第二學(xué)期期中考試,按照甲、乙兩個(gè)班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀和及格統(tǒng)計(jì)人數(shù)后,得到如下2×2列聯(lián)表:優(yōu)秀及格合計(jì)甲班113445乙班83745合計(jì)197190則隨機(jī)變量χ2的值約為()A.0.600B.0.828C.2.712D.6.004答案:A2.通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng),得到如下的列聯(lián)表:男女總計(jì)愛好402060不愛好203050總計(jì)6050110由χ2=eq\f(nad-bc2,a+bc+da+cb+d)算得,χ2=eq\f(110×40×30-20×202,60×50×60×50)≈7.8.附表:P(χ2≥k)0.050.010.001k3.8416.63510.828參照附表,得到的正確結(jié)論是()A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”C.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”解析:選Cχ2=eq\f(110×40×30-20×202,60×50×60×50)≈7.822,又因?yàn)?-99%=1%,而且查表可得P(χ2≥6.635)=0.01,由于7.822>6.635,所以我們有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”.3.(多選題)有兩個(gè)分類變量X,Y,其一組的調(diào)查數(shù)據(jù)如下表所示.Y1Y2X1a20-aX215-a30+a其中a,15-a均為大于5的整數(shù),若在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為X,Y有關(guān),則a的值可以為()A.6B.7C.8D.9解析:選CD根據(jù)公式,得χ2=eq\f(65×[a30+a-15-a20-a]2,20×45×15×50)=eq\f(13×13a-602,20×45×3×2)>3.841.根據(jù)a>5且15-a>5,a∈R,求得a=8,9滿足題意,故選CD.4.千百年來,我國(guó)勞動(dòng)人民在生產(chǎn)實(shí)踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化,總結(jié)了豐富的“看云識(shí)天氣”的經(jīng)驗(yàn),并將這些經(jīng)驗(yàn)編成諺語,如“天上鉤鉤云,地上雨淋淋”“日落云里走,雨在半夜后”…小波同學(xué)為了驗(yàn)證“日落云里走,雨在半夜后”,觀察了所在地區(qū)A100天的日落和夜晚天氣,得到如下2×2列聯(lián)表:夜晚天氣日落云里走下雨未下雨合計(jì)出現(xiàn)25530未出現(xiàn)254570合計(jì)5050100附表:α=P(χ2≥k)0.10.050.010.001k2.7063.8416.63510.828經(jīng)計(jì)算得到χ2≈19.05,下列對(duì)地區(qū)A天氣的判斷不正確的是()A.夜晚下雨的概率約為eq\f(1,2)B.未出現(xiàn)“日落云里走”時(shí)夜晚下雨的概率約為eq\f(5,14)C.有99.9%的把握認(rèn)為“‘日落云里走’是否出現(xiàn)”與“當(dāng)晚是否下雨”有關(guān)D.出現(xiàn)“日落云里走”,有99.9%的把握認(rèn)為夜晚會(huì)下雨解析:選D用頻率估計(jì)概率可得,夜晚下雨的概率約為eq\f(25+25,100)=eq\f(1,2),故A判斷正確;未出現(xiàn)“日落云里走”時(shí)夜晚下雨的概率約為eq\f(25,25+45)=eq\f(5,14),故B判斷正確;由χ2≈19.05>10.828,可得有99.9%的把握認(rèn)為“‘日落云里走’是否出現(xiàn)”與“當(dāng)晚是否下雨”有關(guān),故C判斷正確,D判斷不正確.故選D.5.某食堂對(duì)30名高三學(xué)生偏愛蔬菜與偏愛肉類進(jìn)行了一次調(diào)查,將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)制成如下表格:偏愛蔬菜偏愛肉類男生/人48女生/人162則認(rèn)為偏愛蔬菜與偏愛肉類與性別有關(guān)的把握至少有()附:χ2=eq\f(nad-bc2,a+bc+da+cb+d),n=a+b+c+d.α=P(χ2≥k)0.010.0050.001k6.6357.87910.828A.95%B.99%C.99.5%D.99.9%解析:選C由已知,2×2列聯(lián)表為:偏愛蔬菜偏愛肉類合計(jì)男生/人4812女生/人16218合計(jì)201030則χ2=eq\f(30×4×2-16×82,12×18×20×10)=10,又因?yàn)?-99.5%=0.5%,而且查表可得P(χ2≥7.879)=0.005,由于10>7.879,故至少有99.5%的把握認(rèn)為偏愛蔬菜與偏愛肉類與性別有關(guān),故選C.6.在獨(dú)立性檢驗(yàn)中,統(tǒng)計(jì)量χ2有兩個(gè)臨界值:3.841和6.635.當(dāng)χ2≥3.841時(shí),至少有95%的把握說明兩個(gè)事件有關(guān),當(dāng)χ2≥6.635時(shí),至少有99%的把握說明兩個(gè)事件有關(guān),當(dāng)χ2<3.841時(shí),認(rèn)為兩個(gè)事件無關(guān).在一項(xiàng)打鼾與患心臟病的調(diào)查中,共調(diào)查了2000人,經(jīng)計(jì)算χ2=20.87.根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析,我們可認(rèn)為打鼾與患心臟病之間是________的(填“有關(guān)”或“無關(guān)”).解析:χ2=20.87>6.635,至少有99%的把握認(rèn)為打鼾與患心臟病有關(guān).答案:有關(guān)7.某研究小組為了研究生的身體發(fā)育情況,在某隨機(jī)抽取20名15至16周歲的男生,將他們的身高和體重制成2×2的列聯(lián)表,根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過________的前提下認(rèn)為該15至16周歲的男生的身高與體重有關(guān).超重不超重總計(jì)偏高415不偏高31215總計(jì)71320附表α=P(χ2≥k)0.10.050.0250.05k2.7063.8415.0247.879解析:χ2=eq\f(20×4×12-3×12,5×7×13×15)≈5.934.又因?yàn)椴楸砜傻肞(χ2≥5.024)=0.025,由于5.934>5.024,所以可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為該15至16周歲的男生的身高與體重有關(guān).答案:0.0258.為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān),對(duì)本班48人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的2×2列聯(lián)表:性別打籃球合計(jì)喜愛不喜愛男生6女生10合計(jì)48已知在全班48人中隨機(jī)抽取1人,抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為eq\f(2,3).(1)請(qǐng)將上面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整(不用寫計(jì)算過程);(2)能否有95%的認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)?(3)現(xiàn)從女生中抽取2人做進(jìn)一步調(diào)查,設(shè)其中喜愛打籃球的女生人數(shù)為X,求X的分布列與均值.附表:α=P(χ2≥k)0.1000.0500.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828解:(1)列聯(lián)表補(bǔ)充如下:性別打籃球合計(jì)喜愛不喜愛男生22628女生101020合計(jì)321648(2)由題意得χ2=eq\f(48×220-602,28×20×32×16)≈4.286,又因?yàn)?-95%=5%,而且查表可得P(χ2≥3.841)=0.05,由于4.286>3.841,故有95%的把握認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān).(3)喜愛打籃球的女生人數(shù)X的可能取值為0,1,2.則:P(X=0)=eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,20))=eq\f(9,38),P(X=1)=eq\f(C\o\al(1,10)C\o\al(1,10),C\o\al(2,20))=eq\f(10,19),P(X=2)=eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,20))=eq\f(9,38),故X的分布列為X012Peq\f(9,38)eq\f(10,19)eq\f(9,38)X的均值為E(X)=0+eq\f(10,19)+eq\f(9,19)=1.綜合提升練9.(多選題)有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試,按照大于等于85分為優(yōu)秀,85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī),得到如表所示的列聯(lián)表:優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)甲班10b乙班c30合計(jì)105已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人,成績(jī)優(yōu)秀的概率為eq\f(2,7),則下列說法不正確的是()A.列聯(lián)表中c的值為30,b的值為35B.列聯(lián)表中c的值為15,b的值為50C.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下,能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)”D.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下,不能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)”解析:選ABD由題意知,成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是30,成績(jī)非優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是75,所以c=20,b=45,選項(xiàng)A,B錯(cuò)誤.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),得到χ2=eq\f(105×10×30-20×452,55×50×30×75)≈6.109,又因?yàn)椴楸砜傻肞(χ2≥3.841)=0.05,由于6.109>3.841,因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”.D錯(cuò)誤,故選ABD.10.(多選題)2020年12月1日,貴陽市地鐵1號(hào)線全線開通,在一定程度上緩解了市內(nèi)交通的擁堵狀況.為了了解市民對(duì)地鐵1號(hào)線開通的關(guān)注情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)在地鐵開通后的某兩天抽取了部分乘坐地鐵的市民作為樣本,分析其年齡和性別結(jié)構(gòu),并制作出如圖(1)(2)所示的等高堆積條形圖:根據(jù)圖中的信息,下列結(jié)論中正確的是()A.樣本中男性比女性更關(guān)注地鐵1號(hào)線全線開通B.樣本中多數(shù)女性是35歲及以上C.樣本中35歲以下的男性人數(shù)比35歲及以上的女性人數(shù)多D.樣本中35歲及以上的人對(duì)地鐵1號(hào)線開通的關(guān)注度更高解析:選ABD設(shè)等高堆積條形圖對(duì)應(yīng)的2×2列聯(lián)表如下:35歲及以上35歲以下合計(jì)男性aca+c女性bdb+d合計(jì)a+bc+da+b+c+d根據(jù)圖(1)可知,35歲及以上男性比35歲及以上女性多,即a>b;35歲以下男性比35歲以下女性多,即c>d.根據(jù)圖(2)可知,男性中35歲及以上的比35歲以下的多,即a>c;女性中35歲及以上的比35歲以下的多,即b>d.對(duì)于A,男性人數(shù)為a+c,女性人數(shù)為b+d,因?yàn)閍>b,c>d,所以a+c>b+d,所以A正確;對(duì)于B,35歲及以上女性人數(shù)為b,35歲以下女性人數(shù)為d,因?yàn)閎>d,所以B正確;對(duì)于C,35歲以下男性人數(shù)為c,35歲及以上女性人數(shù)為b,無法直接判斷b與c的大小關(guān)系,所以C不一定正確;對(duì)于D,35歲及以上的人數(shù)為a+b,35歲以下的人數(shù)為c+d,因?yàn)閍>c,b>d,所以a+b>c+d,所以D正確.故選ABD.11.(多選題)(2021·廣東梅州高二模擬)針對(duì)時(shí)下的“抖音熱”,某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和喜歡抖音是否有關(guān)”作了一次調(diào)查,其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同,男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的eq\f(4,5),女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)eq\f(3,5),若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡抖音和性別有關(guān),則調(diào)查人數(shù)中男生可能有()附表:α=P(χ2≥k)0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828附χ2=eq\f(nad-bc2,a+bc+da+cb+d).A.25人B.35人C.45人D.60人解析:選CD設(shè)男生可能有x人,依題意得女生有x人,可得2×2列聯(lián)表如下:性別是否喜歡抖音合計(jì)喜歡抖音不喜歡抖音男生eq\f(4,5)xeq\f(1,5)xx女生eq\f(3,5)xeq\f(2,5)xx合計(jì)eq\f(7,5)xeq\f(3,5)x2x若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡抖音和性別有關(guān),則χ2>3.841,即χ2=eq\f(2x·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)x·\f(2,5)x-\f(3,5)x·\f(1,5)x))2,\f(7,5)x·\f(3,5)x·x·x)=eq\f(2,21)x>3.841,解得x>40.3305,由題意知x>0,且x是5的整數(shù)倍,所以45和60都滿足題意.故選CD.12.第七屆世界軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)在湖北武漢舉辦,中國(guó)代表團(tuán)共獲得133金64銀42銅,共239枚獎(jiǎng)牌.為了調(diào)查各國(guó)參賽人員對(duì)主辦方的滿意程度,研究人員隨機(jī)抽取了500名參賽運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行調(diào)查,所得數(shù)據(jù)如下表所示:?jiǎn)挝唬喝四行赃\(yùn)動(dòng)員女性運(yùn)動(dòng)員合計(jì)對(duì)主辦方表示滿意200220420對(duì)主辦方表示不滿意503080合計(jì)250250500現(xiàn)有如下說法:①在參與調(diào)查的500名運(yùn)動(dòng)員中任取1人,抽到對(duì)主辦方表示滿意的男性運(yùn)動(dòng)員的概率為eq\f(1,2);②在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下可以認(rèn)為“是否對(duì)主辦方表示滿意與運(yùn)動(dòng)員的性別有關(guān)”;③沒有99.9%的把握認(rèn)為“是否對(duì)主辦方表示滿意與運(yùn)動(dòng)員的性別有關(guān)”.則正確說法的為________(填序號(hào)).附:χ2=eq\f(nad-bc2,a+bc+da+cb+d),解析:任取1人參賽人員,抽到對(duì)主辦方表示滿意的男性運(yùn)動(dòng)員的概率為eq\f(200,500)=eq\f(2,5),故①錯(cuò)誤;χ2=eq\f(500×200×30-50×2202,420×80×250×250)≈5.952<6.635,故②錯(cuò)誤,③正確.答案:③13.某部門通過隨機(jī)調(diào)查89名工作人員的休閑方式是讀書還是健身,得到的數(shù)據(jù)如下表:?jiǎn)挝唬喝俗x書健身合計(jì)女243155男82634合計(jì)325789在犯錯(cuò)誤的概率不超過________的前提下認(rèn)為性別與休閑方式有關(guān).附表:α=P(χ2≥k)0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828解析:由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),得χ2=eq\f(89×24×26-31×82,55×34×32×57)≈3.689,又因?yàn)椴楸砜傻肞(χ2≥2.706)=0.1,由于3.689>2.706,所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為性別與休閑方式有關(guān).答案:0.114.某城市地鐵將于2021年6月開始運(yùn)營(yíng),為此召開了一個(gè)價(jià)格聽證會(huì),擬定價(jià)格后又進(jìn)行了一次調(diào)查,隨機(jī)抽查了50人,他們的收入與態(tài)度如下:月收入(單位:百元)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]贊成定價(jià)者人數(shù)123534認(rèn)為價(jià)格偏高者人數(shù)4812521(1)若以區(qū)間的中點(diǎn)值為該區(qū)間內(nèi)的人均月收入,求參與調(diào)查的人員中“贊成定價(jià)者”與“認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入的差距是多少(結(jié)果保留2位小數(shù));(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為月收入以55百元為分界點(diǎn)對(duì)地鐵定價(jià)的態(tài)度有差異.月收入不低于55百元的人數(shù)月收入低于55百元的人數(shù)合計(jì)認(rèn)為價(jià)格偏高者贊成定價(jià)者合計(jì)附:χ2=eq\f(nad-bc2,a+bc+da+cb+d).參考數(shù)據(jù):α=P(χ2≥k)0.10.050.010.005k2.7063.8416.6357.879解:(1)“贊成定價(jià)者”的月平均收入為x1=eq\f(20×1+30×2+40×3+50×5+60×3+70×4,1+2+3+5+3+4)≈50.556.“認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入為x2=eq\f(20×4+30×8+40×12+50×5+60×2+70×1,4+8+12+5+2+1)=38.75,∴“贊成定價(jià)者”與“認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入的差距是x1-x2≈50.556-38.75=11.806≈11.81(百元).(2)根據(jù)條件可得2×2列聯(lián)表如下:月收入不低于55百元的人數(shù)月收入低于55百元的人數(shù)合計(jì)認(rèn)為價(jià)格偏高者32932贊成定價(jià)者71118合計(jì)104050χ2=eq\f(50×3×11-7×292,10×40×18×32)≈6.27,又因?yàn)?-99%=1%,而且查表可得P(χ2≥6.635)=0.01,由于6.27<6.635,故沒有99%的把握認(rèn)為“月收入以55百元為分界點(diǎn)對(duì)地鐵定價(jià)的態(tài)度有差異”.創(chuàng)新應(yīng)用練15.某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天
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