用向量方法解立體幾何題

前言：在高考的立體幾何試題 中 ,求角與距離是?？疾榈膯?題 ,其傳統(tǒng)的“三步曲”解法 “作圖、 證明、解三角形 ” ,作輔助線多 、 技巧性強(qiáng) ,是教學(xué)和學(xué)習(xí)的難點．向量進(jìn)入高中教材 ,為立體幾 何增添了活力 ,新思想、新方法與時俱進(jìn) ,本專題將運(yùn)用向量方法簡捷地解決這些問題． 求空間角問題 空間的角主要有：異面直線所成的角 ； 直線和平面所成的 角；（平面和平面所成的角）二面 角． （１）求異面直線所成的角 （３） 求二面角

l|n|設(shè) a設(shè) a、 b分別為異面直線 a、 b的方向向量 ,則兩異面直線所成的角 =|ab|a|方法一： 在 內(nèi) al，在 內(nèi) bl，其方向如圖，則二面 （２）求線面角 設(shè) l是斜線 l的方向向量， n是平面 的法向量， 則斜線 l與平面 所成的角 =|ln|角 l的平面角 =

ab|a|方法二：設(shè)n方法二：設(shè)n,n ,是二面角 l的兩個半平面的法向量，其方向1 2一個指向內(nèi)側(cè)，另一個指向外側(cè)，則二面角 l的平面角 =nn|n |n 1 212方法一：設(shè) n是平面 的法向量，在 內(nèi)取一點 B,則 A到的距離 d|AB|ABn||n|方 法 二 ： 設(shè) 于O,利 用 和 點O 在 內(nèi)的向量表示，可確定點 O的位置，從而求出 |AO．方法一：找平面 使 b且 a ，則異面直線 a、b的距離就轉(zhuǎn)化為直線 a到平面 的距離，又轉(zhuǎn)化為點 A到平面 的距離．法二：在 a上取一點 A,在 b上取一點 B,設(shè)a、b分別為異面直線 a、b的方向向量,求 n （ n a， n b），則異面直線a 、b的距離求空間距離問題構(gòu)成空間的點、線、面之間有七種距離，這里著重介紹點面距離的求法，像異面直線間的距離、線面距離、面面距離都可化為點面距離來求．（１）求點面距離（２）求異面直線的距離d|Bs|Bn|（此方法移植于點面距離的求法 ）．|n|1（ ）求 B到面 EFBD的距離 1解 ：（Ⅰ）記異面直線 DEFC1

所成的角為 ，則 等于向量 1

的夾角或其補(bǔ)角， cos

DEFC|1||DE||FC|1(DD E)(FB C)1 1 1 1 1 |得 n(2,2,1)

又 (2,0,2)1記 BC和面 EFBD所成的角為 1則 sin

|cosBC1

,n

11

n2| 2例１． 如圖，在棱長為例１． 如圖，在棱長為２的正方體 ABCDABCD中， E、 F分別是 11 1 1棱AD,AB的中點． 1 1 11（Ⅰ）求異面直線 DEFC所成的角； 1（ ）求 BC和面 EFBD所成的角； 則（ ）如25|DE||FC |152圖建立 空間坐標(biāo)系 D，(1,0,2)， DB設(shè)面的 法 向 量 為n(x,由DEn0DBn01 4（ ）點 B到面 EFBD的距離ｄ等于 1向量 在面 EFBD的法向量上的投影的絕對值， 1n| 2d

1 | 3點評： 作為本專題的例１，首先選擇以一個容易建立空間直角坐標(biāo)系的多面體―正方體為載體，來說明空間角和距離的向量求法易于學(xué)生理解．解決(1)后，可讓學(xué)生進(jìn)一步求這兩條異面直線的距離，并讓學(xué)生體會一下：如果用傳統(tǒng)方法恐怕很難（不必多講，高考對公垂線的作法不作要求完成這３道小題后，總結(jié)：對于易建立空間直角坐標(biāo)系的立幾題，無論求角、距離還是證明平行、垂直（是前者的特殊情況），都可用向量方法來解決，向量方法可以人人學(xué)會，它程序化，不需技巧．例2．如圖，三棱柱中，已知ABCD是邊長為1的正方形，四邊形則 設(shè)面

DC(0,1,0)

A'n0的法向量為 n(x,則11得n1

DCn01是 矩形， 面AABB面ABCD。（ Ⅰ） 若＝１，求直線 AB到面的距離． （ ） ： 當(dāng)?shù)?為多 ， 面角 DACA的 大小為 60？解 ：（ ）如圖建立空間坐標(biāo)系 Az，直線 AB到面 的距離ｄ就等于點Ａ到 面的距離， 也等于向量 AD在面 的法向量上的投影的絕對值， d

|ADn|212|n| 21（ ）易得面 AC的法向量 n (,0)2向量 n,n的夾角為 601 2由 nn

1 得 a1cosn,n 1 2 1 2

a21 2 21 2 當(dāng) ＝１時，二面角

DACA的大小為 60．點評 ： １．通過（Ⅰ ），復(fù)習(xí)線面距離轉(zhuǎn)化為點面距離再轉(zhuǎn)化為一向量在一向量（法向量）投 影的絕對值的解題思路與方法． ２．通過（ ），復(fù)習(xí)面面角轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角或其補(bǔ)角的方法，也可借此機(jī)會說明為什么 這兩個角相等或互補(bǔ)，就沒有其他情況． 例 3． 正三棱柱

ABC11

的所有棱長均為２，Ｐ是側(cè)棱 AA上任意一點． 1（Ⅰ）求（Ⅰ）求證： 直線 BP不可能與平面 ACCA垂直； 1 11（ ）當(dāng) CBP時，求二面角 CBPC的大小． 1 1 1 1證明 ：（Ⅰ）如圖建立空間坐標(biāo)系 O，設(shè) a則A,C,B,P的坐標(biāo)分別為 (0,1,0),(0,1,0),(13,0,2)(0,a)BP( 3,a1BP0， BP不垂直 1 1直線 BP不可能與平面 A垂直． 1 11（）

BC(

，由

BP，得 BP01即 22(a

1 1 1 1a1又 B

CBP1 (1

1 1是面 CBP的法向量1

BPn0設(shè)面CBP的法向量為ny,z)，由 111 BC1 1

n0得 n3,2 3),設(shè)二面角CBPC1 1

的大小為則 cos

n616|BC1

| 4二面角 CBPC1 1

的大小為 arccos ．646點評：１．前面選擇的兩個題，可有現(xiàn)成的坐標(biāo)軸，但本題ｘ、ｚ軸需要自己添加（也可不這樣建立２．第（１）小題是證明題，同樣可用向量方法解答，是特殊情況；本小題也可證明這條直線與這個面的法向量不平行．例 4（安徽卷）如圖，在四棱錐 O

中，底面 四邊長為 1的菱形，

,4

2,M為的中點， N為 BC的中點（Ⅰ）證明：直線D ；（Ⅱ）求異面直線 AB與 MD所成角的大小；（Ⅲ）求點 B到平面 OCD的距離。解：作

于點 P,如圖,分別以 AB,AP,AO所在直線為 x,y,z軸建立坐標(biāo)系22222A(0,0,0),B(1,0,0),P(0, ,0),D( , ,0),O(0,0,2),M(0,N , ,0),222222 2 2 4 4

2, 2,OP(0, 2,2),OD( 2, ,2) zO24 4 2 2 22OCD的法向量為n(xyzn

nOD02M2 2y2z即2即2222

取z ,得n(0,2) A D x 2

y2z0

x B

CP yNn1 2, 2,),, 2)04 4設(shè)B與D所成的角為

(1,0,0),MD

2, ,22 22∴cos

1

, ABMDBABMDB點B到平面OCD的距離為d,則d為OB在向量n(0,2)上的投影的絕對值,由2,得

BOCDBnnBnn2 例5（福建?理 18題 ）如圖，正三棱柱 C－ AB

3有棱長都 為， D為

中 點。Ⅰ）求證： AB⊥ 面A

11 1 11 1Ⅱ）求二 角－ AD－ B；1Ⅲ）求 點C面AD；1：Ⅰ） 取C中 點O，連結(jié) O

△ABC

為正三 角形，⊥．在正三棱柱 ABCABC11 1

中， 平面⊥面B11

⊥B．11取BC中點O，以O(shè)為原 點， OB

， OA的方 向為

的正方 向建立空間直 角坐標(biāo)系， 1 1則B)

1D()

A3)1

1(，3)

A AB0)， 111

3)

BD(0)

A(3)．F1F2001

1430， C CD1 1 O 1D品 yBB1x⊥， ⊥．AB⊥平面 ABD．1 1 1 1 1（Ⅱ）設(shè)平面 AAD的法向量為 n．1D(

3)

A)．1n⊥AD

n⊥，1n

AD

xy

3z

y，n

0 2y

x

3z．1令 z1得

，n

)為平面

AAD的一個法向量．1由（Ⅰ）知 AB⊥平面 ABD

為平面

ABD的法向量．1 1 1 11n AB16nAB 31n AB16cosn

AB ．1 22 2 4二面角 AADB的大小為 arccos 6．1 4（Ⅲ）由（Ⅱ），

AB為平面1

ABD法向量，1

C(1

3)． 22 22．BCAB1AB1點 C到平 22 22．BCAB1AB11總結(jié)：通過上面的例子，我們看到向量方法（更確切地講，是用公式： ab|a|cos）解決空間角和距離的作用，當(dāng)然，以上所舉例子，用傳統(tǒng)方法去做，也是可行的，甚至有的（例２）還較為簡單，用向量法的好處在于克服傳統(tǒng)立幾以純幾何解決問題帶來的高度的技巧性和隨機(jī)性．向量法可操作性強(qiáng)―――運(yùn)算過程公式化、程序化，有效地突破了立體幾何教學(xué)和學(xué)習(xí)中的難點，是解決立體幾何問題的重要工具．充分體現(xiàn)出新教材新思想、新方法的優(yōu)越性．這是繼解析幾何后用又一次用代數(shù)的方法研究幾何形體的一塊好內(nèi)容，數(shù)形結(jié)合，在這里得到淋漓盡致地體現(xiàn)．計算異面直線所成角的關(guān)鍵是平移（補(bǔ)形）轉(zhuǎn)化為兩直線的夾角計算1 計算直線與平面所成的角關(guān)鍵是作面的垂線找射影，或向量法 (直線上向量與 1 平面法向量夾角的余角 )，三余弦公式 最小角定理，

)，或先運(yùn)用 等積法求點到直線的距離，后虛擬直角三角形求解 .注：一斜線與平面上以斜足 為頂點的角的兩邊所成角相等 斜線在平面上射影為角的平分線 .計算二面角的大小主要有：定義法 (先作其平面角后計算大小 )、公式法 (cos

S )、向量法 (兩平面法向量的夾角 )、等價轉(zhuǎn)換法等等 二面角平面角的主 S影原要作法有：定義法 (取點、作垂、構(gòu)角 )、三垂線法 (兩垂一連，關(guān)鍵是第一垂 (二面角一個面內(nèi)一點，作另一個面的垂線 ))、垂面法 .計算空間距離的主要方法有：定義法 先作垂線段后計算 、等積法、轉(zhuǎn)換 (平行 換點、換面 )等 .空間平行垂直關(guān)系的證明，主要依據(jù)相關(guān)定義、公理、定理和空間向量進(jìn)行， 模式是： 線線關(guān)系 線面關(guān)系 面面關(guān)系，請重視線面平行關(guān)系、線面垂直關(guān)系 垂線定理及其逆定理 )的橋梁作用 注意：書寫證明過程需規(guī)范 .特別聲明：①證明計算過程中，若有“中點”等特殊點線，則常借助于“中 位線、重心”等知識轉(zhuǎn)化 .②在證明計算過程中常 將運(yùn)用轉(zhuǎn)化 思想，將具體問題轉(zhuǎn)化 (構(gòu) 造) 為特殊 何體(如三 棱錐、 正方 體、 長方 體、三 棱柱、 四棱柱等 中 問題， 并獲得去解 決.據(jù) 知 ，在 中有“三 直線兩兩垂直 ”， 以 此為 基礎(chǔ) ， 建立 空間直角 坐標(biāo) 系， 并運(yùn)用空間向量解 決問題