專升本高數(shù)章節(jié)練習(xí)題

高數(shù)章習(xí)練習(xí)第一節(jié)數(shù)限持續(xù)x一設(shè)x，f[fx)]x二設(shè)

fx)3

，

(

，

f[(x)]

．、

f()arcsin(2xln(1)、

f(xarccos(2

．五設(shè)

f(x)和g(x)

為意數(shù)概域?yàn)?/p>

(

，判以函的偶．（1）

f(x)f(()(

（2）

f(()x)g(六判函

fxx

的偶．．

lim(n

n

)八

lim(n

2

2

2

)九

2lim(1)nnn2

n、

lim(n

nn

)

n

．．

lim

xx

．一．

x

x

x

．二、

x0

sin(x3

．

x0

xsinx

．、

lim(

)

2x

．、

lim(sin

1)x

．

【例1-6】已

f(x

是項(xiàng)，

x

fxx2

fx)，lim，求f()x0

．【例1-7】當(dāng)

x

0

時(shí)比以無小階．x比x二、比

x

．3、

比x．4．比

xx【例1-8】討論以下分段函數(shù)在指定點(diǎn)處的持續(xù)性．．

f(x)

2x1,

在

x

處持性1,x．

f(x

xxln(1x

在

x

處持性【例1-9】當(dāng)數(shù)為值，數(shù)

f(x

x,xln(1),x

在

x

處續(xù)【例1-10】求以下函數(shù)的中斷點(diǎn)判定其類型．．

f(x)

．2

fx)

xsinx

．3．

fx)

exex

．4．

fx

1arctan0,

．【例1-11】證方

x

2在間

內(nèi)少一根【例1-12】證方

x

至有個(gè)于的根一、選擇題（2020年，分）數(shù)

y

1

x

的念是）（A）

[3,1]

（B）

[

（C）

[

（D）

[（2020年，分）限

lim0

sin3xx

等（）

（A）

（B）

1

（C）

（D）

（2020年，分）限

nnn

（）（A）

1

（B）

（C）

（D）存（2020年1分假

xf(x)

，么

limf(x

（

）

xx

x（）

（）

（）

1

（）不存（2020年1分

x

是數(shù)

y

xtan

的）（）持續(xù)（B）去斷（C）躍斷（）二中點(diǎn)（2020年3分設(shè)

f)

x

，么

limx

f()

等（）（）

（）不在C）

（）

1（2020年3分當(dāng)

x

0時(shí)3x2是sin2x的（）（）高階窮（B）階窮，不價(jià)（）低階窮（D）等無?。?007年3分當(dāng)

x

0時(shí)2x是）（）比sin3高階無?。﹕in3低的窮小（）與sin3同階無?。┡cx等的窮（2006年2分設(shè)

f(x)sin，g(

xxxx

，么

f[g()]

（

）（）

x

（）

（）

sinx

（）

（2005年分設(shè)

mx

1x

2，那x（）

（）

2

（）

（D）

1c1c11（2005年3分）設(shè)

y

是窮，么的轉(zhuǎn)進(jìn)是）（）

0

（）

0

（）

x

（D）

x

二、填空題（2020年2分假函

xf()x,x

在

x

處續(xù)那

a

．（2020年2分

x

是數(shù)

f(xcos

x

的

類斷．

（2020年2分設(shè)

f(x)

，

)

，么

g[f(ln2)]

．

（2020年2分

y在處第x

類斷．（2020年4分函

y

arcsinx

的念為．（2020年4分設(shè)列有，

lim

y

，那

y

．（2020年4分函

y

的函為．（2007年4分函

y

arcsin

x

的念為．（2007年4分

lim(

x)x

2x

．（2006年分假函

1xf(x1

)xx

在

x

處續(xù)那

a

．三、計(jì)算題（2020年5分求限

lim

,其為常數(shù)（2020年5分求限（2020年5分求限

tanlim．xx03lim1

．

（2020年5分求限

x0

x

．（2020年5分求限

lim

sinxcos()

．（2007年5分求限

lim()0

．（2006年4分求限

1x()0x

．（2006年4分設(shè)

f(x)

x

t

x5x6，()56

，

lim

f()(x

．（2005年5分求限

lim()1

．第二節(jié)、導(dǎo)數(shù)與微分【例2-1】下各題中均假定

f

存在，指出

A

表示什么．．

lim0

f(xf(x)0．

limx0

f(xx

，其，且f在．

lim

fxf()0h

．【例2-2】段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)問題．．論數(shù)

f(x)

23

在

x

處可性

2．論數(shù)

f(x

12sin,

在

x

處可性

0,

11．知數(shù)

xxf(xaxx

在

x

處續(xù)可，常

和的值【例2-3】知

xxfxx

，求

f

．【例2-4】以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．．

y

x

xcosx

．．．

xye

)

．．

yln(1

)

．【例2-5】以下冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．．

sinx

（

x

．

x

（

x

【例2-6】對數(shù)求導(dǎo)法求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．．

x

（

x

．

y

5

x2x2【例2-7】以下抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．．知數(shù)

y

(x)

可，函

y

f(e

1x

)

的數(shù)

．．函

f(x和)

可，

f

()

(

，求數(shù)

y

f2()

(

的數(shù)

．【例2-8】由以下方程所確信的隱函數(shù)

y

y(

的導(dǎo)數(shù)．．

2

y

2

．

t．t

y

y

．【例2-9】由以下參數(shù)方程所確信的函數(shù)et．．y．．

y

y(

的導(dǎo)數(shù)．【例2-10求以下函數(shù)的微分．．

fxtan

x

)

．．

f(x)

1

．．

f()2．

fxsin

x

)

．【例】求曲線

y

在(0,1)

處的切線方程和法線方程．【例2-12求曲線

x

xyy

在(2,處的切線方程和法線方程．【例2-13求橢圓在t處切線方程和法線方程．y【歷年真】一、選擇題（2020年1分已

f

，么lim0

f(1)(1)

等（）（）

1

（）

（）

2

（D）

（2020年1分曲

y

在(1,1)處的線程（）

（）

y

（）

y

x32（）

x3y（D）y2（2020年1分設(shè)數(shù)

f(x)在點(diǎn)x處持，么）0（）

f

0

)

存B）

f

0

不在（）

limf(x)x

必在（D）

f(x)在處微0（2020年1分假

lim

fxx)0h

A，么）（）

f

)

（）

2f

)

（）

（）

f

)（2020年3分函

f)，在點(diǎn)xfx)

（）（）可導(dǎo)（）斷（C持續(xù)可（D）持可（2020年3分設(shè)

f(x)在處可，0

f

0

，么

f

0

不于）（）

lim

fx)f(xx

（）

lim

ff(x)00（）

lim

f(x(x)00

（）

f(xx)00(（2007年3分以選中作函

f(x)在x處導(dǎo)概的項(xiàng)是）0（）

lim[

(x))]（）（）（）

limlimlim

fx)f(x)xfxf00fxfx00（2007年3分假

f()

可，

y

x

)，么dy）（）

f

x

)

（B）

f

x

)2

x

（）（）（）（）（）（）（）

[fx

（）

f（2006年2分設(shè)

u()，vx)

為導(dǎo)數(shù)那

()v

（）

vduudv（）

dvu

2udvvdu

udvvdu（）

2u

2（2005年分設(shè)

f(xx(1)(2)(x99)，那么f

（）（）

（）

（C）

99!

（）

!11（2005年3分）設(shè)(（）

y

ln，么y

()

（）(（B）

(nx

n（）

(

(n1)!

（）

(!（2005年分

dsinxd(x2

（）（）

（）

sinx

（）

cosxcos2二、填空題（年2分）假設(shè)曲線

yf()

在點(diǎn)

(0

f())0

處的切線行直線

yx

，么f)．0（2020年2分設(shè)

y

)，么dy

．（2020年4分曲

y

x

在點(diǎn)

的線斜等．（2020年4分由數(shù)程

xcostyt

確的

．（2006年2分曲

y

x

x在點(diǎn)(

)

處切方是．（2006年2分函

f(x)(2x

不導(dǎo)的數(shù)．（2006年2分設(shè)

y

(1x

，么

．

0三、計(jì)算題0（2020年5分設(shè)數(shù)

y

y(x)由程

xy

x

y

所信求

x

．（2020年5分求數(shù)

y

（x）的數(shù)（2020年5分設(shè)

y

sin

x

，

．（2006年4分設(shè)

f()

可，

f

x2

2

，

f(a

)

．（年，分）已

f(x)

xx

（）

f(x)在x處續(xù)，求

；（2）

f

．第三節(jié)、微中值定理與數(shù)的應(yīng)用【例3-1】證羅爾定理對函數(shù)

5f)lnsin在間[,]

上的正確性．【例3-2】證拉格朗日中值定理對函數(shù)

f(xx

x在間[0,1]上正確性．【例】不求導(dǎo)數(shù)，判定函數(shù)什么范圍．

f(x2)(x3)(4)

的導(dǎo)數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)，這些零點(diǎn)別離在【例3-4】明

arcsinx

，中

x

．【例3-5】以下函數(shù)的極限．

．

x

x

x3x

．

．

x

．．

lim

lnsin2xlnsin3x

．．

lim

xx

．．

lim0

tanxx

．．

1lim()sinxx

．．

xx

x

．．

lim

xxx

．【例3-6】以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．．

f(x)x3

．．

f(x)

x

2

．【例3-7】用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式．．證

x

時(shí))

成．．證

x

時(shí)，2x

x

．【例3-8】明方程

x

在間內(nèi)且僅有一個(gè)實(shí)根【例3-9】以下函數(shù)的極值．

．

f(x)x

．

．

3f()x2

．【例3-10求函數(shù)

fx)3x2x在區(qū)間[上最．【例】求以下曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．．

f()x

．．

f(3x

．【歷年真】一、選擇題（2020年1分假函

y

(x)

知

f

)0

，么x

0

必

f(x

的）（）極大點(diǎn)（）極值（）點(diǎn)（D拐（2020年1分當(dāng)

x

時(shí)曲y

x

（）（）沒有平近（）僅有平近（）僅有直近（）有平近，有直近（2020年3分函

f()lnx在區(qū)[1,2]上足格朗公中

等（）（）

ln2

（）

ln1

（）

lne

（）

1ln（2007年3分曲

y

x

上線行軸的為）（）

(

（）

（C）

（D）

（2007，3分假在間

(ab)

內(nèi)導(dǎo)

f

，階數(shù)

f那函f(x)

在區(qū)間（）（）單調(diào)加曲為的（）單增，線凹的（）單調(diào)少曲為的（）調(diào)少曲為的

512m2（2020年2分函512m2

f(xx

x

的調(diào)區(qū)是．（2020年2分當(dāng)

x

時(shí)

fx)

sinxx

是

函（“調(diào)增單遞（2020年2分函

fx)x

在間[0,2]上的最值是．2（2007年4分曲在t處切方程．yt（2005年3分

y

的區(qū)是．（2005年3分曲

x

通(1,1)點(diǎn)的線程三、應(yīng)用題或綜合題（2020年，分）有長96厘米正形紙，其角剪一大相的正形折成無蓋箱問區(qū)小方邊為少做的蓋箱積大？2020年，10分）函

f(x)在上持續(xù)而關(guān)[0,1]上的意

所應(yīng)函值

f(x)

均f(x)，證：至存一

，得

f(

．（年，10分）工需圍一面為的矩堆場一能利原的壁，他邊需砌的壁問料的和各多時(shí)才使墻用的料省（2020年10分）當(dāng)

x

，0時(shí)

．（2020年8分求數(shù)

y

x

的調(diào)間極、凸間拐．（2007年8分求數(shù)

y

x

x

的調(diào)間極、凸間拐．

lxlx（2007年8分在長定所扇中當(dāng)形半取值時(shí)得形面最？（2006年10分）求數(shù)

y

x

的調(diào)間極及凸間拐．（2006年10分設(shè)數(shù)

f(在[0,1]上續(xù)且

f()

．明程

(t)dt01

1f(t)

在

(0,1)

內(nèi)且有個(gè)．（2005年，分）知

yfy

arctanx

e在(0,0)

處線同寫該線程求()n

．第四節(jié)、不積分【例4-1】算以下不定積分．．

xe

．．

x

．．

12x(12)

．

xx

．．

xx

．．

secxx)dx

．

．

sin

xdx

．．．

cos

xdxxdx

．．．

xdx

．11．

dx

．．

x2

dx

．．

2xcosxdx

．．

cos32xdx

．【例4-2】算以下不定積分．．

xcosxdx

．．

xe

．．

x

．．

xxdx

．．

xdx

．．

xdx

．．

x

cos

．．

sin(lnx)

．【例4-3】算以下不定積分．

．

xx

dx

．．

dx(2xx

．．

．．

dx1

．【例4-4】

xfdxarcsinx

，求

1fx

dx

．【例4-5】知

xx

是

f)

的一個(gè)原函數(shù)，求

xf

dx

．【歷年真】一、選擇題（2020年1分以等中正的個(gè)（）（）

f(dx

)

（B）

d

fxdxx（）

f(

（）

d

()（2007年3分設(shè)

f)（那f(x

（）（）

2x

（）

ln

（C）

x

（）

1

（2006年2分假

f(xe

1x

1x

，么f()

（）（）

1（）（C）x

（）

x（2005年3分

lnxdtan

（）（）

tanx

（）

tanx

（）

tanx

dxcos

（）

tan

dxcosx二、填空題（2020年2分不積

(x)

．（2020年2分設(shè)

f(x

，么

fx

．三、計(jì)算題（2020年5分求定分

x

．（2020年5分求定分

lnx

dx

．（2006年4分假

f

，

xf

)

．（2005年5分求定分

．四、應(yīng)用題或綜合題（2020年8分設(shè)

f(x)

的個(gè)函為lnx，

f(x)f

．第五節(jié)、定分【例5-1】算以下定積分．．

2

5

sin

．0．

x

．

1414．

cos

．．

l(11)

3

dx

．．

2

2

．0．

sin3

．．

dx

（

．

0

2x

dx

．【例5-2】算以下定積分．．

xxdx

．．

12

arcsin

．0．

xlnxdx

．1．

4

x

．0【例5-3】算以下廣義積分．．

dx

．0．．

2

dx

．．．

2

12x

．

1【例5-4】算以下積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．1．

dx

0

2dt

．．

dx

0

．．

dx

sin

ln(1)dt

．．

dx

．【例5-5】以下極限．．

lim0

0

t2x

．．

lim

0

arctantdtx2

．．

lim

1

dt

．．

lim0

()20t

．0【例5-6】函數(shù)

xe,0,f()x

計(jì)算

f(x

．【例5-7】算定積分

1

(xxx

2

dx

．【例5-8】以下平面圖形的面積．．計(jì)由兩拋線

y

和x

所成平圖的積

（））（））．由物

，線及y圍的面形面．．算曲

y

x和線y

所成平圖的積一、選擇題（2020年1分設(shè)

()

dt

，么

等（）（）

（）

（）

（）

（2020年1分曲

y

與線圍的形面為）（）

23

（）

1（2020年1分定分

xxdx

等（）（）

（）

（C）

1

（）

12二、填空題（2020年2分

1

1

2

dx

．0（2020年2分設(shè)

x

f(tdtx那么(x)

．1（2020年2分由線

y

x

，及軸圍的形面是．（2007年4分積

e1

dx

的等．（2006年2分積

1

x

dx

．：（2006年2分

lim

0

ln(13)txx

．（2005年3分

1

x(sin3x)

．三、計(jì)算題

（2020年5分求積

xlnxdx

．1（2020年5分求積

e

x

．（2020年5分求積

2

xdx

．0（2020年7分求義分

xe

dx

．0（2007年5分求積

3

．0（2006年分設(shè)數(shù)

f(x

,x

，

F(x)

ft)dt在

內(nèi)

其

表式（2006年4分求積

1

x

dx

．0（2005年5分求積

sin

．（2005年8分求曲

y

與線

y

0，x

，所平圖的積e第六節(jié)、微方程【典型例】【例6-1】以下微分方程的通解．．

xy

．．

1

．．

(x

xy2)dx2yydy

．

．

y2)

．【例6-2】以下微分方程的通解．．

dyyx2dxx

．．

xy

y

x

．．

(

x

．dysinx．．dx【例6-3】以下微分方程的通解．．

y

．．

y

．．

y

．．

y

．【例6-4】微分方程

dy1dxxy

．【例6-5】微分方程

x

dyyxy

)

知足初始條件

y

的特解．【例6-6】

d2ydyydx2

知足初始條件

y

，

的特解．【例6-7】知曲線過點(diǎn)，且在點(diǎn)

(x,y)

處的斜率為

x

y

，求該曲線方程．

【例6-8】可導(dǎo)函數(shù)

x)

知足

)sin，x)

．【歷年真】一、選擇題（2007年3分微方

y

y

的解（）（）

C

e

（）

xsinx（）

(C

x)

（）

Ce

（2006年2分微方

y

y

的解（）（）

e

x

(c

cosxx)

（）

c

sinxcos（）

e

y

(

cosx)

（）

c

xxsin二、填空題（2020年2分微方

y

的解．（2020年2分微方

x

足初y

的解（2007年4分微方

(1)dy

的解（2006年2分方

dydx

的解．（2005年3分微方

y

x

的解．三、計(jì)算題（2020年5分求分程

yxsinx

的解（2020年5分求分程

xy

的解（2020年5分求分程

yln

的解

（2007年7分求分程

(y

dxxdy

的解第七節(jié)、向代數(shù)與空間何【典型例】【例7-1】軸求與兩點(diǎn)

A(4,1,7)B

等距離的點(diǎn)．【例7-2】知兩點(diǎn)(4,0,5)和，求與同向的單位向量e．【例7-3】知兩點(diǎn)

(2,2,

和M

2

(1,3,0)

，計(jì)算向量

的模、方向余弦和方向角．【例7-4】

b(1,1,2)，算

和

．【例】已三角形

ABC

的三個(gè)極點(diǎn)別離是

A(1,2,3)、

和

(2,4,7)

，求三角形ABC

的面積．【例7-6】知向量

，向量

，量a和b的角

，求

ab

．【例7-7】過三點(diǎn)

A、(和C的平面方程．【例7-8】平行于平面：1

3,2)

，且與平面

4x

yz

垂直，求此平面的方程．【例7-9】平行于平面：

xy

z且與球面x

相切的平面方程．【例7-10求過兩點(diǎn)

M和

的直線方程．

tt【例】求過點(diǎn)且平行于直線

22

的直線方程．【例7-12求直線：

xyz

與平面

5xy

的交點(diǎn)．【例7-13求與兩平面

xz

和xy

的交線平行且過點(diǎn)

(

的直線的方程．【例7-14確信直線：

32yz

與平面y

的位置關(guān)系．【歷年真】一、選擇題（2020年1分已向

2,1)與向bt)

垂，么等（）（）

（）

1

（）

（）

（2020年1分直l

xyz

與面

4yz

的置系（

）（）平行（）直交（C）l在上（）交不直（2020年3分過(,0,0)且垂直于的面程（）（）

（）

y

（）

z

（）

x

（2020年3分直

x

與下

平垂（）（）

4

y

（）

xy

z（）

2x

z

（）

x

y（2007年3分直

xyz與面6xyz

的置系（）

（）平行不面（）直垂直平（C）線平上（D）者交二、填空題（2020年2分通點(diǎn)(0,0,0)，(1,0,1)和(2,1,0)三點(diǎn)平方是．（2020年分設(shè)，b向，設(shè)

a

2，b

，與b的夾為

，么

a

．（2006年2分點(diǎn)到平xy三、計(jì)算題

的離．（2020年5分求行y軸過(1,2,3)

的面程（年，5分求過

M

1

5,1)和2

且直平

x

的面程第八節(jié)、多函數(shù)與微分【典型例】【例8-1】以下函數(shù)在指定點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)．．

(1)

y

，

，

．．

x

y

)

，

，

．【例8-2】以下函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)．．

z

1xy

．．

sinx

siny

．．

ln(xx

．．

)

y

．．

xy

．

．

ux

y

．

和．和．和．【例8-3】以下函數(shù)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)．和．和．和．．

z

)

．．

z

．【例8-4】以下函數(shù)的全微分．．．

z

xyx

．)

．【例8-5】

z

esinv而

，v

x

y

，求

【例8-6】

x

)，

t，

4

2

，求

dzdt

．【例8-7】以下函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（其中

f

具有二階持續(xù)偏導(dǎo)數(shù)．

f(xy2x)

．．

fx)

．【例8-8】以下方程所確信的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)．．程

sin

x2

確了數(shù)

y

y(x)

，

．．程

x

2

arctan

yx

確了數(shù)

y

y(x)

，

．．程

yxyz

確了數(shù)

z

z(,y)

，

．程

ey

確了數(shù)

(x,

，

22

fxy)x2y2x

的極值．【例8-10求函數(shù)【歷年真】一、選擇題

f(xy)2x

的極值．（2020年1分二函

f(,y)在點(diǎn)(

y)

處在導(dǎo)是

f(x,y)

在點(diǎn)微的）（）必要不分件（B）分沒要條（）必要充條（）沒要也充條（2020年3分已

z

e

，么

（）（）

（）

（）

xy

（D）

e

（2007年3分設(shè)

z

x

，么）（）

2e

x

()

（）

(xdyydx)（）

x

2

(ydy)

（D）

x

2

(dx22)二、填空題年分?jǐn)?shù)

z

f(y)

的導(dǎo)

、在

(xy)

存“函

zf(,y在點(diǎn)(x,)可分的三、計(jì)算題

條．（2020年5分求方

e

z

所信二函

f(x)

的微

dz

．（2020年5分求數(shù)

yx

的微．（2020年5分求元數(shù)

z

3

的微．（2007年5分設(shè)

fy,z)

y

，

x2

，，．

（2006年4分設(shè)

sin(xy)ln(x

xy

y

)，

(2,0)

．（2006年4分求

f(x,)

x

(

)

的值（2005年5分設(shè)

z

yx

，．第節(jié)二積【典型例】【例9-1】算

其中D由直線、xy所成的閉區(qū)域．【典型例】【例9-1】算

其中D由直線、xy所成的閉區(qū)域．【例9-2】

y

2d

，其中D是直線y

、xy所圍成的閉區(qū)域．D【例9-3】

其中D是拋物線

及線x

所圍成的閉區(qū)域．【例9-4】算

xy

22

，其中D是由直線y、3和線

所圍成的閉區(qū)域．D【例9-5】算

，其中D由中心在原點(diǎn)、半徑為

（

）的圓周所圍成的閉區(qū)域．D【例9-6】算

ln(1

22

，其中D由圓周x

及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域．

010010【例9-7】算

x2

，其中D是環(huán)形閉區(qū)域

x2

．D【例9-8】換以下二重積分的積分順序．．

dy

ln

f(xy

．

．

dx

f(,)dy

．x．

22x

f(,)dy

．1

2．

0

dx

sinsin2

f,y

．【歷年真】一、選擇題（2020年3分設(shè)D：x

y

，么dxdy于）D（）

x33（）3

（C）

（D）

（2006年2分互積順

f)dy

（）

（）

0

f(x,)

（）

01

f(xy)（）

y)

（）

(xy)（2005年3分設(shè)D：

x

，