【教案】函數(shù)的概念教學設(shè)計高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

【新教材】3.1.1函數(shù)的概念（人教A版）學生在初中學習函數(shù)的概念，函數(shù)定義采用“變量說”；介紹函數(shù)的三種表示方法、一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二元一次函數(shù)的三種函數(shù)模型，借助圖像簡單討論圖像的性質(zhì)；初中所學的函數(shù)知識，與代數(shù)式、方程等聯(lián)系緊密，對“變量”、“變化”、“對應關(guān)系”等涉及函數(shù)的基本性質(zhì)做出初步要求，但不強調(diào)定義域、值域.而高中階段要建立函數(shù)“對應說”，比初中的“變量說”更具一般性.但其實兩者本質(zhì)是一樣，只是描述函數(shù)的表述方式不同.高中是集合與對應的語言表述函數(shù)，明確定義域、值域；引入抽象函數(shù)函數(shù)表示集合與對應的數(shù)，當確定也確定了.因而作為函數(shù)的第一節(jié)內(nèi)容，主要從三個實例出發(fā)，引出函數(shù)的概念.從而就函數(shù)概念的分析判斷函數(shù)，求定義域和函數(shù)值，再結(jié)合三要素判斷函數(shù)相等.課程目標1.過豐富的實例進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學模型;2.用集合與對應的思想理解并刻畫函數(shù)的概念，了解構(gòu)成函數(shù)的三要素;3.會求函數(shù)的定義域;數(shù)學學科素養(yǎng)1.數(shù)學抽象：通過教材中四個實例總結(jié)函數(shù)定義；2.邏輯推理：相等函數(shù)的判斷；3.數(shù)學運算：求函數(shù)定義域和求函數(shù)值；4.數(shù)據(jù)分析：運用分離常數(shù)法和換元法求值域；5.數(shù)學建模：通過從實際問題中抽象概括出函數(shù)概念的活動，培養(yǎng)學生從“特殊到一般”的分析問題的能力，提高學生的抽象概括能力。重點：函數(shù)的概念，函數(shù)的三要素。難點：函數(shù)概念及符號的理解。教學方法：以學生為主體，采用誘思探究式教學，精講多練。教學工具：多媒體。情景導入初中已經(jīng)學過：正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等，那么在初中函數(shù)是怎樣定義的？要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷.【答案】設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說y是x的函數(shù).其中x叫自變量，y叫因變量.探究新知問題1某“復興號”高速列車到350km/h后保持勻速運行半小時。這段時間內(nèi)，列車行進的路程S（單位：km）與運行時間t（單位：h）的關(guān)系可以表示為S=350t。1.思考：根據(jù)對應關(guān)系S=350t，這趟列車加速到350km/h后，運行1h就前進了350km，這個說法正確嗎？【答案】不正確。對應關(guān)系應為S=350t，其中，問題2某電氣維修告訴要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天。如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資，那么你認為該怎樣確定一個工人每周的工資？一個工人的工資w（單位：元）是他工作天數(shù)d的函數(shù)嗎？【答案】是函數(shù)，對應關(guān)系為w=350d,其中。2.思考：在問題1和問題2中的函數(shù)有相同的對應關(guān)系，你認為它們是同一個函數(shù)嗎？為什么？【答案】不是。自變量的取值范圍不一樣。問題3如圖，是北京市2016年11月23日的空氣質(zhì)量指數(shù)變化圖。如何根據(jù)該圖確定這一天內(nèi)任一時刻th的空氣質(zhì)量指數(shù)的值I？你認為這里的I是t的函數(shù)嗎？【答案】是，t的變化范圍是，I的范圍是。問題4國際上常用恩格爾系數(shù)反映一個地區(qū)人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高。上表是我國某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況，從表中可以看出，該省城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量越來越高。你認為該表給出的對應關(guān)系，恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎？【答案】y的取值范圍是，，恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)。3.思考：上述問題1~問題4中的函數(shù)有哪些共同特征？由此你能概括出函數(shù)概念的本質(zhì)特征嗎？【答案】共同特征有：（1）都包含兩個非空數(shù)集，用A，B來表示；（2）都有一個對應關(guān)系；（3）盡管對應關(guān)系的表示方法不同，但它們都有如下特性：對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)，按照對應關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)和它對應。4定義：如果A，B是非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應關(guān)系，使對于集合A中的任意一個數(shù)，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應，那么就稱為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作，。其中，叫做自變量，的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與的值相對應的的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值fx|x∈A的集合叫做函數(shù)的值域。顯然，值域是集合B的子集．思考4新的函數(shù)定義與函數(shù)的傳統(tǒng)定義有什么異同點？引導學生發(fā)現(xiàn)，函數(shù)是特殊的對應，二者的本質(zhì)相同。本質(zhì)：函數(shù)是特殊的對應。（板書）提問：是不是函數(shù)的問題，要求從集合的角度解釋。此時學生可以清楚的看到滿足集合與對應觀點下的函數(shù)定義，這樣解釋就很自然。從剛才的分析可以看出，集合觀點下的函數(shù)定義更具一般性，更能揭示函數(shù)的本質(zhì)。這也是我們后面要對函數(shù)進行理論研究的一種需要．所以我們著重從集合角度再來認識函數(shù)。5.對函數(shù)符號的理解：（1）、為“是的函數(shù)”的數(shù)學表示，僅是一個函數(shù)符號，不是與相乘。例如：可以寫成。當時可以寫成想一想：表示什么意思？與有什么區(qū)別？一般地，表示當時的函數(shù)值，是一個常量。表示自變量x的函數(shù)，一般情況下是變量。（2）、“”是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，如:“”，“”；6、思考：函數(shù)的值域與集合B什么關(guān)系？請你說出上述四個問題的值域？【答案】函數(shù)的值域是集合B的子集。問題1和問題2中，值域就是集合B1和B2；問題3和問題4中，值域是B3和B4的真子集。練習：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的定義域和值域：函數(shù)一次函數(shù)二次函數(shù)反比函數(shù)a>0a<0對應關(guān)系[Z|y=ax+b(a≠0)yX|X|K]y=ax2+bx+c(a≠0)y=ax2+bx+c(a≠0)y=(k≠0)定義域RX&K]RR值域R探究二區(qū)間的概念設(shè)a，b是兩個實數(shù)，而且a<b,我們規(guī)定：⒈滿足不等式a≤x≤b的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]⒉滿足不等式a<x<b的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為(a，b)⒊滿足不等式a≤x<b或a<x≤b的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，表示為[a，b）或（a，b]這里的實數(shù)a，b叫做相應區(qū)間的端點實數(shù)集Ｒ可以用區(qū)間表示為，把“”讀作“無窮大”，“”讀作“負無窮大”，“”讀作“正無窮大”。3．其它區(qū)間的表示探究三函數(shù)相等1.思考：一個函數(shù)由哪幾個部分組成？如果給定函數(shù)的定義域和對應關(guān)系，那么函數(shù)的值域確定嗎？兩個函數(shù)相等的條件是什么？【答案】定義域、對應關(guān)系、值域；函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域和對應關(guān)系所確定；定義域相同，對應關(guān)系完全一致.函數(shù)是由三件事構(gòu)成的一個整體，分別稱為定義域。值域和對應法則．當我們認識一個函數(shù)時，應從這三方面去了解認識它。例3.下列函數(shù)哪個與函數(shù)y=x相等解：這個函數(shù)與對應關(guān)系一樣，定義域不同，所以和函數(shù)y=x不相等。，這個函數(shù)與對應關(guān)系一樣，定義域相同，所以和函數(shù)y=x相等。，這個函數(shù)和定義域相同，但是當x<0時，它的對應關(guān)系為，所以和不相等。，這個函數(shù)與對應關(guān)系一樣，但的定義不同，所以和不相等。四、達標檢測1．下列圖象中表示函數(shù)圖象的是()【解析】根據(jù)函數(shù)的定義，對任意的一個x都存在唯一的y與之對應，而A、B、D都是一對多，只有C是多對一．故選C.【答案】C下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x相等的是（）【解析】函數(shù)y＝x的定義域為R；y＝(eq\r(x))2的定義域為[0，＋∞)；y＝eq\r(x2)＝|x|，對應關(guān)系不同；y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x>0,－x，x<0，))對應關(guān)系不同；y＝eq\r(3,x3)＝x，且定義域為R.故選D.【答案】D3．函數(shù)y＝x2－2x的定義域為{0,1,2,3}，那么其值域為()A．{－1,0,3}B．{0,1,2,3}C．{y|－1≤y≤3}D．{y|0≤y≤3}【解析】當x＝0時，y＝0；當x＝1時，y＝1－2＝－1；當x＝2時，y＝4－2×2＝0；當x＝3時，y＝9－2×3＝3，∴函數(shù)y＝x2－