線性代數(shù)二次型及標(biāo)準(zhǔn)形演示文稿

線性代數(shù)二次型及標(biāo)準(zhǔn)形演示文稿當(dāng)前1頁，總共32頁。（優(yōu)選）線性代數(shù)二次型及標(biāo)準(zhǔn)形當(dāng)前2頁，總共32頁。一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的概念稱為二次型.當(dāng)前3頁，總共32頁。只含有平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）．例如都為二次型；為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.當(dāng)前4頁，總共32頁。和號(hào)表示矩陣表示二、二次型的表示方法當(dāng)前5頁，總共32頁。當(dāng)前6頁，總共32頁。1．用和號(hào)表示對(duì)二次型一般地當(dāng)前7頁，總共32頁。2．用矩陣表示當(dāng)前8頁，總共32頁。當(dāng)前9頁，總共32頁。三、二次型的矩陣及秩在二次型的矩陣表示中，任給一個(gè)二次型，就唯一地確定一個(gè)對(duì)稱矩陣；反之，任給一個(gè)對(duì)稱矩陣，也可唯一地確定一個(gè)二次型．這樣，二次型與對(duì)稱矩陣之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．當(dāng)前10頁，總共32頁。解例１當(dāng)前11頁，總共32頁。四、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形當(dāng)前12頁，總共32頁。當(dāng)前13頁，總共32頁。設(shè)對(duì)于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形．當(dāng)前14頁，總共32頁。當(dāng)前15頁，總共32頁。說明當(dāng)前16頁，總共32頁。一、正交變換法當(dāng)前17頁，總共32頁。用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟當(dāng)前18頁，總共32頁。解例21．寫出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值當(dāng)前19頁，總共32頁。當(dāng)前20頁，總共32頁。2．求特征向量當(dāng)前21頁，總共32頁。當(dāng)前22頁，總共32頁。當(dāng)前23頁，總共32頁。當(dāng)前24頁，總共32頁。3．將特征向量正交化單位化當(dāng)前25頁，總共32頁。解1．寫出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例3當(dāng)前26頁，總共32頁。從而得特征值2．求特征向量3．將特征向量正交化得正交向量組當(dāng)前27頁，總共32頁。4．將正交向量組單位化，得正交矩陣當(dāng)前28頁，總共32頁。于是所求正交變換為當(dāng)前29頁，總共32頁。五、小結(jié)1.實(shí)二次型的化簡問題，在理論和實(shí)際中經(jīng)常遇到，通過在二次型和對(duì)稱矩陣之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，將二次型的化簡轉(zhuǎn)化為將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣，而這是已經(jīng)解決了的問題，請同學(xué)們注意這種研究問題的思想方法．2.實(shí)二次型的化簡，并不局限于使用正交矩陣，根據(jù)二次型本身的特點(diǎn)，可以找到某種運(yùn)算更快的可逆變換．下一節(jié)，我們將介紹另一種方法——拉格朗日配方法．當(dāng)前30頁，總共32頁?；癁闃?biāo)準(zhǔn)型，并指出表示