第八章繞流運動

第八章繞流運動第一頁，共五十頁，2022年，8月28日實際流體都有粘性，但對于一些實際問題，如本章要介紹的繞流問題，由于其雷諾數(shù)相對較大，因而流體中的慣性切應(yīng)力遠遠大于粘性切應(yīng)力，則粘性切應(yīng)力可以忽略不計，因而流體可以簡化為理想流體，則相應(yīng)的計算理論可選用理性流體的計算理論。流體在繞障礙物流動時，在靠近障礙物的一薄層內(nèi)，存在著強烈的剪切流動，因而粘性切應(yīng)力不能忽略，這一層我們稱為附面層，在附面層內(nèi)，粘性切應(yīng)力對流動起著主導作用。本章主要介紹理想流體的運動規(guī)律，同時簡單介紹附面層的理論。引言第二頁，共五十頁，2022年，8月28日§8.1無旋流動

由第七章知，如果在一個流動區(qū)域內(nèi)各處的渦量或它的分量都等于零，也就是沿任何封閉曲線的速度環(huán)量都等于零，則在這個區(qū)域內(nèi)的流動一定是無旋流動，即：而由速度的全微分理論得，空間必然存在一個勢函數(shù)，使得：第三頁，共五十頁，2022年，8月28日§8.1無旋流動

而由勢函數(shù)的全微分得：即速度在三坐標軸上的投影，等于速度勢函數(shù)對于相應(yīng)坐標的偏導數(shù)。

進一步，我們可以得出速度速度在任一方向的分量等于速度勢函數(shù)在該方向上的偏導數(shù)，即：結(jié)論：流速勢函數(shù)的存在條件：不可壓縮流體的無旋流；因而流速勢函數(shù)只能存在于理想流體中。第四頁，共五十頁，2022年，8月28日§8.1無旋流動

現(xiàn)在我們把速度勢函數(shù)代入不可壓縮流體的連續(xù)性方程或上式為速度勢函數(shù)的拉普拉斯方程形式。

問題：設(shè)速度勢函數(shù)

，則點B（1，2，1）處的速度為：（）A、5；B、1；C、3；D、2。

C第五頁，共五十頁，2022年，8月28日§8.1無旋流動在極坐標中中，徑向微元線段是，四周的微元線段是，則速度勢函數(shù)與速度的關(guān)系為：相應(yīng)的其速度勢函數(shù)的拉普拉斯方程極坐標形式為：

第六頁，共五十頁，2022年，8月28日速度勢函數(shù)的性質(zhì)（1）速度沿三個坐標軸的分量等于速度勢對于相應(yīng)坐標的偏導數(shù)（2）在有勢流動中，沿一曲線的速度環(huán)量等于曲線終點與起點的速度勢之差。（3）在有勢流動中，速度勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程?！?.1無旋流動第七頁，共五十頁，2022年，8月28日§8.2平面無旋流動在流場中，如果只是的函數(shù)，且與無關(guān)，而，則這種流動稱為平面流動。此時只有旋轉(zhuǎn)角速度分量，而如果旋轉(zhuǎn)角速度分量，則這種流動稱為平面無旋流動。相應(yīng)的，其連續(xù)性方程為由上式可以定義一個函數(shù),使得式中：—不可壓縮流體平面流動的流函數(shù)。適用范圍：無旋流、有旋流、實際流體、理想流體的不可壓縮流體的平面流動。則流函數(shù)的拉普拉斯方程形式為：

對于無旋流，有第八頁，共五十頁，2022年，8月28日流函數(shù)的性質(zhì)（1）流函數(shù)等值線就是流線。

（2）在平面流動中，兩條流線間單位厚度通過的體積流量等于兩條流線上的流函數(shù)之差?！?.2平面無旋流動得平面流線方程：

得證

第九頁，共五十頁，2022年，8月28日例1：有下面二個流動(a):;(b):。試求：（1）判別流動(a)中是否存在流函數(shù)？若存在，求流函數(shù)。

（2）判別流動(b)中是否存在勢函數(shù)？若存在，求勢函數(shù)。第十頁，共五十頁，2022年，8月28日例2：已知流場的流函數(shù)；（1）證明此流動是無渦流；（2）求出相應(yīng)的速度勢函數(shù)；（3）證明流線與等勢線正交。第十一頁，共五十頁，2022年，8月28日速度勢函數(shù)和流函數(shù)的關(guān)系

則等勢線簇和流線簇相互垂直?！?.2平面無旋流動第十二頁，共五十頁，2022年，8月28日§8.2平面無旋流動流網(wǎng)（flownet）：不可壓縮流體平面流動中，在流體質(zhì)點沒有旋轉(zhuǎn)角速度的情況下，流線簇與等勢線簇構(gòu)成的正交網(wǎng)格。

1流網(wǎng)的性質(zhì)

（1）等勢線與等流函數(shù)線處處正交

證明：等勢線簇：

為等勢線斜率；

等流線簇：為流線斜率；

得證。

第十三頁，共五十頁，2022年，8月28日§8.2平面無旋流動1流網(wǎng)的性質(zhì)

（2）流網(wǎng)中每一網(wǎng)格的邊長之比等于

和的增值之比若取，則流網(wǎng)網(wǎng)格為正方形網(wǎng)格。證明：如右圖所示，取相鄰兩線間的差值為ΔC，流線間隔為Δn

，等勢線間隔為Δs。且所以，則流網(wǎng)網(wǎng)格為正方形網(wǎng)格。第十四頁，共五十頁，2022年，8月28日§8.2平面無旋流動2流網(wǎng)的繪制（1）圖解法

1）固體邊界上的運動學條件是垂直于邊界的流速分量應(yīng)為零，液體必然沿固體邊界流動，所以固體邊界本身是流線之一。等勢線與邊界正交。

2）自由液面處和液面垂直的流速等于零。所以自由液面必是流線。

3）根據(jù)事先選定的網(wǎng)格比例繪制出流線和等勢線。再根據(jù)流網(wǎng)特征反復(fù)修改，力爭使每一個網(wǎng)格都繪制成曲邊正方形。（2）電比擬法。3.流網(wǎng)的應(yīng)用

流網(wǎng)原理已廣泛用于理想流體勢流中的速度場、壓強場求解，如土壩滲流等。

流速場：因流網(wǎng)中，任兩相鄰流線之間相同，亦即網(wǎng)格內(nèi)流量，

又，所以各網(wǎng)格內(nèi)（流速與間距△n成反比）。

已知一點流速其他各點流速

壓強場：

已知一點壓強

其他各點壓強

第十五頁，共五十頁，2022年，8月28日§8.3幾種簡單的平面無旋流動

一、均勻直線流動流速的大小和方向沿流線不變的流動為均勻流；若流線平行且流速相等，則稱均勻等速流。如：

由于而在以上二式中均取積分常數(shù)為零，這對流動的計算并無影響。第十六頁，共五十頁，2022年，8月28日一均勻流第十七頁，共五十頁，2022年，8月28日圖2均勻流示意圖第十八頁，共五十頁，2022年，8月28日二源流和匯流

無限大平面上，流體從一點沿徑向直線均勻地向外流出的流動，稱為點源，這個點稱為源點；如果流體沿徑向均勻的流向一點，稱為點匯，這個點稱為匯點。不論是點源還是點匯，流場中只有徑向速度，即源流和匯流

(a)(b)第十九頁，共五十頁，2022年，8月28日第二十頁，共五十頁，2022年，8月28日第二十一頁，共五十頁，2022年，8月28日例1：平面點源（匯）流動，

求：（1）問是否為有勢流。（2）若有勢，求流速勢函數(shù)

。（3）是否為不可壓縮流體。（4）求平面流動的流函數(shù)。（5）求壓強分布。第二十二頁，共五十頁，2022年，8月28日三環(huán)流點渦

第二十三頁，共五十頁，2022年，8月28日第二十四頁，共五十頁，2022年，8月28日§8.4勢流疊加一、匯流和點渦疊加的流動——螺旋流

二、源流和匯流疊加的流動——偶極子流

幾個簡單有勢流動疊加得到的新的有勢流動，其速度勢函數(shù)和流函數(shù)分別等于原有幾個有勢流動的速度勢函數(shù)和流函數(shù)的代數(shù)和，速度分量為原有速度分量的代數(shù)和。

研究勢流疊加原理的意義：將簡單的勢流疊加起來，得到新的復(fù)雜流動的流函數(shù)和勢函數(shù)，可以用來求解復(fù)雜流動。

第二十五頁，共五十頁，2022年，8月28日一匯流和點渦疊加的流動——螺旋流

螺旋流網(wǎng)

第二十六頁，共五十頁，2022年，8月28日二源流和匯流疊加的流動——偶極子流

點源和點匯疊加

偶極流

第二十七頁，共五十頁，2022年，8月28日第二十八頁，共五十頁，2022年，8月28日第二十九頁，共五十頁，2022年，8月28日§8.6繞流運動與附面層的基本概念

1904年，在德國舉行的第三屆國際數(shù)學家學會上，德國著名的力學家普朗特第一次提出了邊界層的概念。他認為對于水和空氣等黏度很小的流體，在大雷諾數(shù)下繞物體流動時，黏性對流動的影響僅限于緊貼物體壁面的薄層中，而在這一薄層外黏性影響很小，完全可以忽略不計，這一薄層稱為邊界層。普朗特的這一理論，在流體力學的發(fā)展史上有劃時代的意義。

邊界層：（boundarylayer）：亦稱附面層，雷諾數(shù)很大時，粘性小的流體（如空氣或水）沿固體壁面流動（或固體在流體中運動）時壁面附近受粘性影響顯著的薄流層，

第三十頁，共五十頁，2022年，8月28日

設(shè)平板固定不動，來流的速度為，方向與板面方向一致。當流體流過平板時，根據(jù)固壁無滑移條件，板面上流體質(zhì)點的速度為零，在與板面垂直的方向上存在很大的速度梯度，因此存在很大的摩擦阻力，它將阻滯鄰近的流體質(zhì)點的運動。在邊界層區(qū)域以外，速度基本均勻，保持和來流速度基本相同的大小和方向。繞流邊界層在平板的前緣開始形成，隨著流動向下游發(fā)展，受摩擦阻力的影響，越來越多的流體質(zhì)點受到阻滯，邊界層的厚度也隨之增加。在平板的前部邊界層呈層流狀態(tài)，隨著流程的增加，邊界層的厚度也在增加，層流變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài)，流體的質(zhì)點運動變得不規(guī)則，最終發(fā)展為紊流，這一變化發(fā)生在一段很短的長度范圍，稱之為轉(zhuǎn)類區(qū)，轉(zhuǎn)類區(qū)的開始點稱為轉(zhuǎn)類點。轉(zhuǎn)類區(qū)下游邊界層內(nèi)的流動為紊流狀態(tài)。如圖所示，由于紊流邊界層內(nèi)的流體質(zhì)點更容易和外部主流區(qū)的流動進行動量交換，因此紊流區(qū)域邊界層厚度的增加比層流增加的更快。在轉(zhuǎn)類區(qū)和紊流區(qū)的壁面附近，由于流體的質(zhì)點的隨機脈動受到平板壁面的限制，因此在靠近壁面的更薄的區(qū)域內(nèi)，流動仍保持為層流狀態(tài)，稱為層流底層和粘性底層。第三十一頁，共五十頁，2022年，8月28日邊界層的基本特征:（1）與物體的長度相比，邊界層的厚度很?。唬?）邊界層內(nèi)沿邊界層厚度的速度變化非常急劇，即速度梯度很大；（3）邊界層沿著流體流動的方向逐漸增厚；（4）邊界層中各截面上的壓強等于同一截面上邊界層外邊界上的壓強；（5）在邊界層內(nèi)粘滯力和慣性力是同一數(shù)量級的；（6）邊界層內(nèi)流體的流動存在層流和紊流兩種流動狀態(tài)。

層流邊界層：當邊界層厚度較小時，邊界層內(nèi)的流速梯度很大，粘滯應(yīng)力的作用也很大，這時邊界層內(nèi)的流動屬于層流，這種邊界層稱為層流邊界層。

紊流邊界層：當雷諾數(shù)達到一定數(shù)值時，邊界層中的層流經(jīng)過一個過渡區(qū)后轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪?，就成為紊流邊界層?/p>

第三十二頁，共五十頁，2022年，8月28日邊界層的厚度兩個流動區(qū)域之間并沒有明顯的分界線。邊界層的厚度：通常，取壁面到沿壁面外法線上速度達到勢流區(qū)速度的99％處的距離作為邊界層的厚度，以δ表示，這一厚度也稱邊界層的名義厚度。邊界層的厚度取決于慣性和粘性作用之間的關(guān)系，即取決于雷諾數(shù)的大小。雷諾數(shù)越大，邊界層就越薄；反之，隨著粘性作用的增長，邊界層就變厚。沿著流動方向由繞流物體的前緣點開始，邊界層逐漸變厚。對光滑平板邊界層：臨界雷諾數(shù)的范圍：臨界雷諾數(shù)并非常量，而是與來流的擾動程度有關(guān)，如果來流受到擾動，脈動強，流態(tài)的改變在較低的雷諾數(shù)就會發(fā)生。則邊界層厚度：層流邊界層紊流邊界層第三十三頁，共五十頁，2022年，8月28日管流附面層對于管流，除入口段外，都出于壁面附面層內(nèi)。由圖知，在入口段，附面層的厚度隨離管口的距離增加而增加，當附面層厚度等于管的半徑時，則附面層占領(lǐng)整個管流。在進行試驗和計算分析時，應(yīng)避開管流入口段。第三十四頁，共五十頁，2022年，8月28日§8.7附面層動量方程邊界層的動量積分方程是對邊界層內(nèi)流動的再簡化。其推導過程有兩種方法：一種是沿邊界層厚度方向積分邊界層的方程組，一種是在邊界層內(nèi)直接應(yīng)用動量守恒原理。下面的推導采用第二種方法。第三十五頁，共五十頁，2022年，8月28日邊界層動量積分方程的推導如圖所示為不可壓縮流體的恒定二維邊界層流動，設(shè)物體表面線型的曲率很小。

取一個單位厚度的微小控制體，它的投影面ABDC。用動量定理來建立該控制體內(nèi)的流體在單位時間內(nèi)沿x方向的動量變化和外力之間的關(guān)系。

第三十六頁，共五十頁，2022年，8月28日邊界層動量積分方程的推導設(shè)壁面上的摩擦應(yīng)力為根據(jù)邊界層的控制方程組，邊界層內(nèi)的壓強僅近似地依賴于而與無關(guān)，設(shè)AB面上的壓強為，DC上的壓強為

控制面AC為邊界層的外邊界

其外部為理想流體的勢流，只有與之垂直的壓力，設(shè)AC上的壓強為A，C兩點壓強的平均值。作用在控制體上的表面力沿x方向的合力為：

第三十七頁，共五十頁，2022年，8月28日邊界層動量積分方程的推導式中α為邊界層外邊界AC與方向的夾角，由幾何關(guān)系可知：，上式經(jīng)整理并略去高階小量，得：單位時間內(nèi)沿x方向經(jīng)過AB流入控制體的質(zhì)量和動量分別為：經(jīng)過CD面流出的質(zhì)量和動量分別為：定常流動條件下，可知從控制面AC流入控制體中的流量為：由此引起流入的動量為：

第三十八頁，共五十頁，2022年，8月28日邊界層動量積分方程的推導式中V為邊界層外邊界上的速度。這樣，可得單位時間內(nèi)該控制體內(nèi)沿x方向的動量變化為

根據(jù)動量定理，，則可得邊界層的動量積分方程為：

上式也稱為卡門動量積分關(guān)系式。該式是針對邊界層流動在二維定常流動條件下導出的，并沒有涉及邊界層的流態(tài)，所以其對層流和紊流邊界層都能適用。后面講對積分方程的求解。第三十九頁，共五十頁，2022年，8月28日積分方程的求解實際上可以把、和看作已知數(shù)，而未知數(shù)只有u、和三個。

再補充兩個關(guān)系式：一、沿邊界層厚度的速度分布u=u(u)

二、切向應(yīng)力與邊界層厚度的關(guān)系式

一般在應(yīng)用邊界層的動量積分關(guān)系式來求解邊界層問題時，邊界層內(nèi)的速度分布是按照已有的經(jīng)驗來假定的。假定的愈接近實際，則所得到的結(jié)果愈正確。所以，選擇邊界層內(nèi)的速度分布函數(shù)是求解邊界層問題的重要關(guān)鍵。

第四十頁，共五十頁，2022年，8月28日§8.10邊界層的分離與卡門渦街

第四十一頁，共五十頁，2022年，8月28日一、邊界層的分離以右圖所示的圓柱繞流為例在勢流流動中流體質(zhì)點從D到E是加速的，為順壓強梯度;從E到F則是減速的,為逆壓強梯度流體質(zhì)點由D到E過程，由于流體壓能向動能的轉(zhuǎn)變，不發(fā)生邊界層分離E到F段動能只存在損耗，速度減小很快，在S點處出現(xiàn)粘滯，由于壓力的升高產(chǎn)生回流導致邊界層分離，并形成尾渦。下圖為邊界層分離示意圖。第四十二頁，共五十頁，2022年，8月28日從以上的分析中可得如下結(jié)論：粘性流體在壓力降低區(qū)內(nèi)流動（加速流動），決不會出現(xiàn)邊界層的分離，只有在壓力升高區(qū)內(nèi)流動（減速流動），才有可能出現(xiàn)分離，形成漩渦。尤其是在主流減速足夠大的情況下，邊界層的分離就一定會發(fā)生。

邊界層分離示意圖第四十三頁，共五十頁，2022年，8月28日

二、卡門渦街

上右圖表示不同雷諾數(shù)條件下繞圓柱的流動圖譜

討論圓柱繞流問題：隨著雷諾數(shù)的增大邊界層首先出現(xiàn)分離，分離點并不斷的前移，當雷諾數(shù)大到一定程度時，會形成兩列幾乎穩(wěn)定的、非對稱性的、交替脫落的、旋轉(zhuǎn)方向相反的旋渦，并隨主流向下游運動，這就是卡門渦街，如上左圖?？ㄩT對渦街進行運動分析得出了阻力、渦釋放頻率以及斯特羅哈數(shù)的經(jīng)驗公式?？ㄩT渦街會產(chǎn)生共振，危害很大；也可應(yīng)用于流量測量。第四十四頁，共五十頁，2022年，8月28日§8.10繞流阻力和升力

繞流物體的阻力分成摩擦阻力和形狀阻力兩種，前者用邊界層理論求解，后者一般依靠實驗。

形狀阻力（壓差阻力）：粘性流體繞流時，在物體表面上所作用的壓力的合力在流動方向上的投影。對非流線型物體，是由于邊界層的分離，在物體尾部形成旋渦，旋渦區(qū)的壓強較物體前部低，在流動方向上產(chǎn)生了壓強差，形成了作用于物體上的阻力，稱為壓差阻力。壓差阻力主要取決于物體的形狀。第四十五頁，共五十頁，2022年，8月28日一摩擦阻力是由于流體的粘性引起的，當流體繞流物體時，在表面上形成了邊界層，邊界層內(nèi)速度梯度大，粘性的牽制作用使物體受到阻力。阻力發(fā)生在運動物體表面上。

二壓差阻力與邊界層的分離現(xiàn)象密切相關(guān)。當流體流過一個圓頭尖尾的回轉(zhuǎn)體時，在物體前端形成減速區(qū)，在前端頂點A形成駐點，流體壓強隨流速變化而變化，在駐點處最大，離開駐點，壓強逐漸減小，從B點處開始變成負值，過最大速度點C后，流速減小，壓強上升，壓強又變成正值。第四十六頁，共五十頁，2022年，8月28日壓強分布如實線所示，虛線理想壓強分布。從圖中可以看出，前端的正壓強產(chǎn)生一個向后的水平合力，后端的正壓強產(chǎn)生一個向前的水平合力，中段壓強為負值，產(chǎn)生吸力，其前半部合成一向前