追求“教到底、學到底”的教學：以全景式數(shù)學重建“數(shù)對”為例

追求“教到底、學到底”的教學：以全景式數(shù)學重建“數(shù)對”為例辯證唯物主義認為：認知能力發(fā)展的三個階段是“感性具體→理性抽象（理智抽象）→理性具體”。從“感性具體→理性抽象”是認識的第一次飛躍；從“理性抽象→理性具體”是第二次飛躍。只有讓學生實現(xiàn)第二次飛躍，學生的認識才會更深刻、更綜合、更全面、更系統(tǒng)。全景式數(shù)學教育認為“只有讓學生完整地實現(xiàn)先從“感性具體”上“升理性抽象”，再第二次飛躍和抵達“理性具體階段的教學，才能稱為教到底和學到底的教學。”到底怎樣進行教到底、學到底的教學呢？下面，就以全景式數(shù)學教育團隊自己重建的一個數(shù)學主題活動：“定位萬物——數(shù)對”的設計與施行來進行說明。“定位萬物——數(shù)對”活動設計及學習過程簡錄活動1~3活動1：讓孩子自己扎氣球（見圖<1>），記住自己扎破的氣球的列與行，并用數(shù)對記錄（這就是自己的幸運獎位置）

圖<1>

活動2：根據(jù)自己記錄的數(shù)對，在大櫥子上找到相應的位置，取出自己幸運獎品（見圖<2>）。圖<2>活動3：學生角色扮演：新上崗的司藥，為自己編制抓藥的“數(shù)對索引”。開始，孩子是這樣編的，（1，1）是地膚子，（1，2）是茯苓，（1，3）是冬瓜子……老師們，孩子這樣編寫，“數(shù)對”這項知識用的對嗎？毫無疑問，是對的！通過這個編制索引的應用是不是可以檢測出學生對“數(shù)對”是理解的呢？毫無疑問，是理解的。但是，這些“小藥工”（學生）在真正使用這個索引去抓藥實踐過程中，發(fā)現(xiàn)查表格還不如看柜子上的文字更快，也就是說：他們制作的這個“數(shù)對索引”根本起不到幫助他很快確定藥品位置的作用，即沒能用“數(shù)對”解決實際問題。也就是說，這時候，學生學習的數(shù)學還沒有進行到底，遺憾的是，現(xiàn)實教學中，很多的數(shù)學教學都到此為止了。這時候的學生，他理解他所學的知識，會做同類型的數(shù)學題，卻不能用他所學的數(shù)學知識高效地解決實際問題。其實，這樣習得的所謂的數(shù)學知識乃是“死”的數(shù)學、空洞的數(shù)學，也就是沒有教到底、學到底的數(shù)學。那么，我們還需做什么，才能稱的上真正地教到了底、學到了底的數(shù)學呢？全景式數(shù)學教育是這樣做的。在以上教與學的基礎上，我們引導孩子繼續(xù)研究這樣編制的數(shù)對索引問題到底出在哪里？如何改進才能利用它很快地確定我們要找的藥品位置？經(jīng)過討論和實踐驗證，學生們把數(shù)對索引改進為：藥名首字的首字母+數(shù)對，比如：找“安息香”這味藥：→直奔字母A→找到“安息香”藥名→再查它后面的數(shù)對→找到“安息香”藥。這樣，“數(shù)對”真的就能幫助自己（司藥）很快地找到要抓的那味藥了，索引真正成為索引，“數(shù)對”真正地發(fā)揮了它獨特的數(shù)學價值，成為解決實際問題的利器，而不僅僅是會做數(shù)學題。至此，是不是就到底了呢？還不夠！學生在實際的抓藥實踐中，又發(fā)現(xiàn)了新問題：首字母一樣的藥有很多種，如地膚子、杜仲、丁香等等，如何更快地用字母找到藥品，繼而更快地確定位置（即數(shù)對）。學生經(jīng)過研究又發(fā)明了“首字首字母（大寫）+次字首字母（小寫）+數(shù)對”的進階索引。至此，是不是就到底了呢？還不夠！我們嘗試換個藥店情境：一個大藥店里，多處位置，有大小高矮不一的“藥柜”，面對這種情形，數(shù)對索引如何編織？學生又編制了“字母+數(shù)（指幾號柜）+數(shù)對”的索引。后續(xù)，有的學生又發(fā)現(xiàn)了這樣的現(xiàn)實和問題：有的藥店的藥柜，每個抽屜左、右兩邊裝著不同藥：學生針對此種情況，又發(fā)明了“字母+數(shù)對+?或?的索引”……學到了這里，學生已經(jīng)能夠使用“數(shù)對”解決了更多、更復雜、更綜合的確定位置問題了。至此，是不是就到底了呢？還不夠！全景式數(shù)學認為：還可以再進一步，陪伴孩子走向更遠、更廣闊的未來。

活動4：浪漫拓展我們再引領學生認識地球上的經(jīng)緯網(wǎng)，引入二維坐標，讓學生直觀、浪漫地描述位置、刻畫、描述圖形，即三個頂點的坐標（數(shù)對），決定了這個三角形的形狀、大小和位置……，開闊學生視野。

然后再浪漫認識三維坐標：烤箱里這個蛋撻（紅圈中的）的位置就可以表示為（4，2，3）。然后，再讓孩子浪漫地推及四維……至此，學生學得已經(jīng)很豐富、很透徹、學生解決問題的能力也更強了，是不是就到底了呢？

活動5：深盤本質(zhì)

全景式數(shù)學教育認為還是不夠！我們還可以再深刻一點，陪伴孩子走向更深層的數(shù)學本質(zhì)。為此，我們讓孩子對比數(shù)對、三維坐標、四維坐標……分析、尋找它們內(nèi)在共通統(tǒng)一的東西，孩子發(fā)現(xiàn)：原來，它們的共性共策都是按照一定維序，分別用一個數(shù)表示一維的點位，再把幾個數(shù)結(jié)合起來確定某個或某些事物的位置。至此，學生對“數(shù)對”認識的理性程度是不是更加地具體了？是的，現(xiàn)在和第二階段相比真的不一樣了，他們“數(shù)對”地看、思考、刻畫與表達現(xiàn)實世界的狀況也更加的不一樣了。長此以往這樣地教，學生才能真正具備解決問題的實踐能力，才能實現(xiàn)認識的第二次飛躍，才能真正逼近或者抵達理性的具體階段。辯證唯物主義認識論認為只有在第二次飛躍中，理性的認識才能得到檢驗、得到修正、補充、深化和發(fā)展。筆者上述的案例中的子活動3、子活動4、子活動5都是在實踐、在應用中“綜合和反思研究對象的一系列認知”，讓學生的學習實現(xiàn)第二次飛躍，達到理性具體階段。這時候的“數(shù)學”才是真正解決問題的數(shù)學，有用的數(shù)學，活的數(shù)學，有生命的數(shù)學；才是更深刻的數(shù)學，更本質(zhì)、更系統(tǒng)、更全面、更理性、更數(shù)學的數(shù)學。我們認為：達成這些目標的教學，才算得上是真正教到底、學到底了的教學——全景式數(shù)學就是在致力建設一種教到底、學到底的數(shù)學教育。這樣的教與學，能讓學生抵達理性具體，能對他所學的數(shù)學內(nèi)容理解更深刻，認識更全面、