聚焦中考第二章8節(jié)

人教數(shù)學第二章方程與不等式第8講列方程(組)解應(yīng)用題要點梳理

1．列方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟(1)

；(2)

；(3)找出包含未知數(shù)的

；(4)

；(5)

；(6)

．審題設(shè)元等量關(guān)系列出方程（組）求出方程（組）的解檢驗并作答要點梳理

2．各類應(yīng)用題的等量關(guān)系(1)行程問題：路程＝速度×時間；相遇問題：兩者路程之和＝全程；追及問題：快者路程＝慢者先走路程(或相距路程)＋慢者后走路程．(2)工程問題：工作量＝工作效率×工作時間．

要點梳理

(3)幾何圖形問題：

面積問題：S長方形＝ab(a，b分別表示長和寬)；

S正方形＝a2(a表示邊長)；

S圓＝πr2(r表示圓的半徑)；

體積問題：V長方體＝abh(a，b，h分別表示長、寬、高)；

V正方體＝a3(a表示邊長)；

V圓錐＝13πr2h(r表示底面圓的半徑，h表示高)；

其他幾何圖形問題：如線段、周長等．

要點梳理

(4)增長率問題：如果基數(shù)用a表示，末數(shù)用A表示，x表示增長率，時間間隔用n表示，那么增長率問題的數(shù)量關(guān)系是：a(1±x)n＝A.

(5)利潤問題：

利潤＝銷售價－進貨價＝標價×折扣(x10)－進貨價(x表示打x折)；

利潤率＝利潤進貨價；

銷售價＝(1＋利潤率)×進貨價．

(6)利息問題：

利息＝本金×利率×期數(shù)；

本息和＝本金＋利息．

一種思想方法方程思想是把未知數(shù)看成已知數(shù)，讓所設(shè)未知數(shù)的字母和已知數(shù)一樣參加運算．這種思想方法是數(shù)學中常用的重要方法之一，是代數(shù)解法的重要標志．兩種設(shè)元方法(1)直接設(shè)元．在全面透徹地理解問題的基礎(chǔ)上，根據(jù)題中求什么就設(shè)什么是未知數(shù)，或要求幾個量，可直接設(shè)出其中一個為未知數(shù)，再用這個未知數(shù)表示另一個未知量．這種設(shè)未知數(shù)的方法叫做直接設(shè)元法．(2)間接設(shè)元．如果對某些題目直接設(shè)元不易求解，便可將并不是直接要求的某個量設(shè)為未知數(shù)，從而使得問題變得容易解答，我們稱這種設(shè)未知數(shù)的方法為間接設(shè)元法．三個注意列方程(組)解應(yīng)用題的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的數(shù)量關(guān)系，并根據(jù)題意或生活實際建立等量關(guān)系．一般來說，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須注意：①方程兩邊表示的是同類量；②同類量的單位要統(tǒng)一；③方程兩邊的數(shù)值要相等．1．(2014·寧夏)服裝店銷售某款服裝，一件服裝的標價為300元，若按標價的八折銷售，仍可獲利20%，則這款服裝每件的進價是

元．2002．(2014·新疆)六一兒童節(jié)前夕，某超市用3360元購進A，B兩種童裝共120套，其中A型童裝每套24元，B型童裝每套36元．若設(shè)購買A型童裝x套，B型童裝y套，依題意列方程組正確的是(

)

A.?íìx＋y＝12036x＋24y＝3360

B.?íìx＋y＝12024x＋36y＝3360

C.?íì36x＋24y＝120x＋y＝3360

D.?íì24x＋36y＝120x＋y＝3360

B3．(2014·萊蕪)已知A，C兩地相距40千米，B，C兩地相距50千米，甲、乙兩車分別從A，B兩地同時出發(fā)到C地．若乙車每小時比甲車多行駛12千米，則兩車同時到達C地，設(shè)乙車的速度為x千米/小時，依題意列方程正確的是(

)

A.40x＝50x－12

B.40x－12＝50x

C.40x＝50x＋12

D.40x＋12＝50x

B4．(2014·鄂州)近幾年，我國經(jīng)濟高速發(fā)展，但退休人員待遇持續(xù)偏低．為了促進社會公平，國家決定大幅增加退休人員退休金．企業(yè)退休職工李師傅2012年月退休金為1500元，2014年達到2160元．設(shè)李師傅的月退休金從2012年到2014年年平均增長率為x，可列方程為()A．2016(1－x)2＝1500B．1500(1＋x)2＝2160C．1500(1－x)2＝2160D．1500＋1500(1＋x)＋1500(1＋x)2＝2160B5．(2014·隨州)某小區(qū)2012年屋頂綠化面積為2000平方米，計劃2014年屋頂綠化面積要達到2880平方米．如果每年屋頂綠化面積的增長率相同，那么這個增長率是

．20%一元一次方程的應(yīng)用【例1】

(2014·淄博)為鼓勵居民節(jié)約用電，某省試行階段電價收費制，具體執(zhí)行方案如表：檔次每戶每月用電數(shù)(度)執(zhí)行電價(元/度)第一檔小于等于2000.55第二檔大于200小于4000.6第三檔大于等于4000.85例如：一戶居民7月份用電420度，則需繳電費420×0.85＝357(元)．某戶居民5，6月份共用電500度，繳電費290.5元．已知該用戶6月份用電量大于5月份，且5，6月份的用電量均小于400度．問該戶居民5，6月份各用電多少度．解：當5月份用電量為x度≤200度，6月份用電(500－x)度，由題意，得0.55x＋0.6(500－x)＝290.5，解得x＝190，∴6月份用電500－x＝310度．當5月份用電量為x度＞200度，6月份用電量為(500－x)度，由題意，得0.6x＋0.6(500－x)＝290.5，300＝290.5，原方程無解．∴5月份用電量為190度，6月份用電310度【點評】

(1)列方程解應(yīng)用題，要抓住關(guān)鍵性詞語，如共、多、少、倍、幾分之幾等，順著題意來理清等量關(guān)系，可采用直接設(shè)未知數(shù)，也可以采用間接設(shè)未知數(shù)的方法，要根據(jù)實際情況靈活運用．(2)當要求的未知量有兩個時，可以用字母x表示其中一個，再根據(jù)兩個未知量之間的關(guān)系，用含x的式子表示另一個量，解方程后，再代入求出另一個未知量的值．1．(2012·云南)某企業(yè)為嚴重缺水的甲、乙兩所學校捐贈礦泉水共2000件，已知捐給甲校的礦泉水件數(shù)比捐給乙校件數(shù)的2倍少400件，求該企業(yè)捐給甲、乙兩所學校的礦泉水各多少件．解：設(shè)該企業(yè)捐給乙校的礦泉水件數(shù)是x，則捐給甲校的礦泉水件數(shù)是2x－400，依題意得方程(2x－400)＋x＝2000，解得x＝800，2x－400＝1200.即該企業(yè)捐給甲校的礦泉水1200件，捐給乙校的礦泉水800件二元一次方程組的應(yīng)用【例2】

(2014·呼和浩特)為鼓勵居民節(jié)約用電，我市自2012年以來對家庭用電收費實行階梯電價，即每月對每戶居民的用電量分為三個檔級收費，第一檔為用電量在180千瓦時(含180千瓦時)以內(nèi)的部分，執(zhí)行基本價格；第二檔為用電量在180千瓦時到450千瓦時(含450千瓦時)的部分，實行提高電價；第三檔為用電量超出450千瓦時的部分，執(zhí)行市場調(diào)節(jié)價格．我市一位同學家今年2月份用電330千瓦時，電費為213元，3月份用電240千瓦時，電費為150元．已知我市的一位居民今年4，5月份的家庭用電量分別為160和410千瓦時，請你依據(jù)該同學家的繳費情況，計算這位居民4，5月份的電費分別為多少元．解：設(shè)基本電價為x元/千瓦時，提高電價為y元/千瓦時，由題意，得?íì180x＋150y＝213，180x＋60y＝150，解得?íìx＝0.6，y＝0.7，則4月份電費為160×0.6＝96(元)，5月份電費為180×0.6＋230×0.7＝108＋161＝269(元)．即這位居民4月份的電費為96元，5月份的電費為269元

【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程組求解．2．(2014·濟南)2014年世界杯足球賽在巴西舉行，小李在網(wǎng)上預訂了小組賽和淘汰賽兩個階段的球票共10張，總價為5800元．其中小組賽球票每張550元，淘汰賽球票每張700元，問小李預定了小組賽和淘汰賽的球票各多少張．

分式方程的應(yīng)用【例3】

(2013·安徽)某校為了進一步開展“陽光體育”活動，購買了一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍貴20元，購買羽毛球拍的費用比購買乒乓球拍的2000元要多，多出的部分能購買25副乒乓球拍．(1)若每副乒乓球拍的價格為x元，請你用含x的代數(shù)式表示該校購買這批乒乓球拍和羽毛球拍的總費用；(2)若購買的兩種球拍數(shù)一樣，求x.解：(1)(4000＋25x)元

(2)購買每副乒乓球拍用去了x元，則購買每副羽毛球拍用去了(x＋20)元，由題意得2000x＝2000＋25xx＋20，解得

x1＝40，x2＝－40，經(jīng)檢驗，x1，x2都是原方程的根，

但x＞0，∴x＝40.即每副乒乓球拍的價格為40元

【點評】分式方程解應(yīng)用題．注意雙重檢驗，先檢驗是否有增根，再檢驗是否符合題意．3．(2014·威海)端午節(jié)期間，某食堂根據(jù)職工食用習慣，用700元購進甲、乙兩種粽子260個，其中甲種粽子比乙種粽子少用100元，已知甲種粽子單價比乙種粽子單價高20%，乙種粽子的單價是多少元？甲、乙兩種粽子各購買了多少個？一元二次方程的應(yīng)用

【例4】某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，為了擴大銷售、增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出4件．若商場平均每天盈利2100元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？解：設(shè)每件襯衫應(yīng)降價x元，可使商場每天盈利2100元，根據(jù)題意得(45－x)(20＋4x)＝2100，解得x1＝10，x2＝30，因應(yīng)盡快減少庫存，故x＝30.即每件襯衫應(yīng)降價30元【點評】

(1)現(xiàn)實生活中存在大量的實際應(yīng)用問題，需要用一元二次方程的知識去解決，解決這類問題的關(guān)鍵是在充分理解題意的基礎(chǔ)上，尋求問題中的等量關(guān)系，從而建立方程．(2)解出方程的根要結(jié)合方程和具體實際選擇合適的根，舍去不合題意的根．

4．(2014·新疆)如圖，要利用一面墻(墻長為25米)建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長AB，BC各為多少米．解：設(shè)AB的長度為x米，則BC的長度為(100－4x)米．根據(jù)題意得(100－4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5.則100－4x＝20或100－4x＝80.∵80＞25，∴x2＝5舍去．即AB＝20，BC＝20.答：羊圈的邊長AB，BC分別是20米，20米試題

甲、乙兩人分別從相距30千米的A，B兩地同時相向而行，經(jīng)過3小時后相距3千米，再經(jīng)過2小時，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙兩人的速度．

錯解

解：設(shè)甲的速度為每小時x千米，乙的速度為每小時y千米，得??í?ì3x＋3y＝30－3，30－（3＋2）x＝2[30－（3＋2）y]，解得??í?ìx＝4，y＝5.答：甲的速度為每小時4千米，乙的速度為每小時5千米．

剖析(1)一道應(yīng)用題，究竟列一元一次方程予以解決為好，還是列二元一次方程組為好，要具體分析．一般來說，列一元一次方程時，在列方程的思考上，難度稍大；而列方程組，由于把思考量分攤到兩個方程上，降低了列方程的難度，但解方程過程的運算量較大．因此，對于思考