數(shù)學(xué)史之微積分的發(fā)展

數(shù)學(xué)史之微積分的發(fā)展第1頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五解析幾何是代數(shù)與幾何相結(jié)合的產(chǎn)物，它將變量引進(jìn)了數(shù)學(xué)，使運(yùn)動與變化的定量表述成為可能，從而為微積分的創(chuàng)立搭起了舞臺。微積分的思想萌芽，特別是積分學(xué)，部分可以追潮到古代。我們已經(jīng)知道，面積和體積的計算自古以來一直是數(shù)學(xué)家們感興趣的課題，在古代希措、中國和印度數(shù)學(xué)家們的著述中，不乏用無窮小過程計算特殊形狀的面積、體積和曲線長的例子。前面已經(jīng)介紹過阿基米德、劉微和祖沖之父子等人的方法，他們的工作，確實(shí)是人們建立一般積分學(xué)的漫長努力的先驅(qū)。第2頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五與積分學(xué)相比而言，微分學(xué)的起源則要晚得多。刺激微分學(xué)發(fā)展的主要科學(xué)問題是求曲線的切線、求瞬時變化率以及求函數(shù)的極大極小值等問題。古希臘學(xué)者曾進(jìn)行過作曲線切線的嘗試，如阿基米德《論螺線》中給出過確定螺線在給定點(diǎn)處的切線的方法；阿波羅尼奧斯《圓錐曲線論》中討論過圓錐曲線的切線，等等。但所有這些都是基于靜態(tài)的觀點(diǎn)第3頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五古代與中世紀(jì)中國學(xué)者在天文歷法研究中曾涉及到天體運(yùn)動的不均勻性及有關(guān)的極大、極小值問題，如郭守敬《按時歷》中求“月離遲疾”(月亮運(yùn)行的最快點(diǎn)和最慢點(diǎn))、求月亮白赤道交點(diǎn)與黃赤道交點(diǎn)距離的極值(郭守敬甚至稱之為“極數(shù)”)等問題，但東方學(xué)者以慣用的數(shù)值手段(“招差術(shù)”，即有限差分計算)來處理，從而回避了連續(xù)變化率?？傊?，在17世紀(jì)以前，真正意義上的微分學(xué)研究的例子可以說是很罕見的。第4頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五一、微積分的醞釀近代微積分的醞釀，主要是在17世紀(jì)上半葉這半個世紀(jì)。為了理解這一醞釀的背景，我們首先來賂微回顧一下這一時期自然科學(xué)的一般形勢和天文、力學(xué)等領(lǐng)域發(fā)生的重大事件。首先是1608年，荷蘭眼鏡制造商里帕席發(fā)明了望遠(yuǎn)鏡，不久伽利略將他制成的第一架天文望遠(yuǎn)鏡對準(zhǔn)星空而作出了令世人驚奇不已的天文發(fā)現(xiàn)。望遠(yuǎn)鏡的發(fā)明不僅引起了天文學(xué)的新高漲，而且推動了光學(xué)的研究。第5頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五1619年，開普勒公布了他的最后一條行星運(yùn)動定律。開普勒行星運(yùn)動三大定律要意是：1.行星運(yùn)動的軌道是橢圓，太陽位于該橢圓的一個焦點(diǎn)；2.由太陽到行星的矢徑在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等；

3.行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方，與其橢圓軌道的半長軸的立方成正比。開普勒主要是通過觀測歸納出這三條定律從數(shù)學(xué)上推證開普勒的經(jīng)驗(yàn)定律，成為當(dāng)時自然科學(xué)的中心課題之一。第6頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五1638年，伽利略的《關(guān)于兩門新科學(xué)的對話》出版。伽利略建立了自由落體定律、動量定律等，為動力學(xué)奠定了基礎(chǔ)；他認(rèn)識到彈道的拋物線性質(zhì)，并斷言炮彈的最大射程應(yīng)在發(fā)射角為45度時達(dá)到，等等。伽利略本人竭力倡導(dǎo)自然科學(xué)的數(shù)學(xué)化，他的著作激起了人們對他所確立的動力學(xué)概念與定律作精確的數(shù)學(xué)表述的巨大熱情。凡此一切，標(biāo)志著自文藝復(fù)興以來在資本主義生產(chǎn)力刺激下蓬勃發(fā)展的自然科學(xué)開始邁入綜合與突破的階段，而這種綜合與突破所面臨的數(shù)學(xué)困難，使微分學(xué)的基本問題空前地成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)。第7頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五當(dāng)時，人們主要集中的焦點(diǎn)有：非勻速運(yùn)動物體的速度與加速度使瞬時變化率問題的研究成為當(dāng)務(wù)之急；望遠(yuǎn)鏡的光程設(shè)計需要確定透鏡曲面上任一點(diǎn)的法線，這又使求任意曲線的切線問題變得不可回避；確定炮彈的最大射程及尋求行星軌道的近日點(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn)等涉及的函數(shù)極大值、極小值問題也亟待解決。與此同時，行星沿軌道運(yùn)動的路程、行星矢徑掃過的面積以及物體重心與引力的計算等又使積分學(xué)的基本問題——面積、體積、曲線長、重心和引力計算的興趣被重新激發(fā)起來。第8頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五在17世紀(jì)上半葉，幾乎所有的科學(xué)大師都致力于尋求解決這些難題的新的數(shù)學(xué)工具，特別是描述運(yùn)動與變化的無限小算法，并且在相當(dāng)短的時期內(nèi)，取得了迅速的進(jìn)展。代表性的工作有：1、開普勒與旋轉(zhuǎn)體體積；開普勒方法的要旨，是用無數(shù)個同維無限小元素之和來確定曲邊形的面積及旋轉(zhuǎn)體的體積。例如他認(rèn)為球的體積是天數(shù)個小圓錐的體積的和，這些圓錐的頂點(diǎn)在球心，底面則是球面的一部分；他又把圓錐看成是極薄的圓盤之和，并由此計算出它的體積，然后進(jìn)一步證明球的體積是半徑乘以球面面積的三分之一。第9頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五2、卡瓦列里不可分量原理他在《用新方法促進(jìn)的連續(xù)不可分量的幾何學(xué)》中發(fā)展了系統(tǒng)的不可分量方法。認(rèn)為線是由無限多個點(diǎn)組成；面是由無限多條平行線段組成；立體則是由無限多個平行平面組成。他分別把這些元素叫做線、面和體的“不可分量”?？ㄍ吡欣锢眠@條原理計算出許多立體圖形的體積，他對積分學(xué)創(chuàng)立最重要的貢獻(xiàn)還在于在1639利用平固下的不可分量原理建立了等價于下列積分式子：第10頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五3、笛卡兒的“圓法”笛卡兒的這種代數(shù)方法在推動微積分的早期發(fā)展方面有很大的影響，牛頓就是以笛卡兒圓法為起跑點(diǎn)而踏上研究微積分的道路的。笛卡兒圓法在確定重根時會導(dǎo)致極繁復(fù)的代數(shù)計算，1658年荷蘭數(shù)學(xué)家胡德提出了一套構(gòu)造曲線切線的形式法則，稱為“朗德法則”。朗德法則為確定笛卡兒圓法所需的重根提供了機(jī)械的算法，可以完成求任何代數(shù)曲線的切線斜率時所要進(jìn)行的計算。第11頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五4、費(fèi)馬求極大值和極小值方法按費(fèi)馬的方法。設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)a處取極值，費(fèi)弓用“a+e”代替原來的未知量a，并使f(a+e)與f(a)逼近,即：f(a+e)～f(a)這里所提到的“e”就是后來微積分學(xué)當(dāng)中的“”第12頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五5、巴羅的“微分三角形”巴羅是牛頓的老師。是英國劍橋大學(xué)第一任“盧卡斯數(shù)學(xué)教授”，也是英國皇家學(xué)會的首批會員。當(dāng)巴羅發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識到牛頓的杰出才能時，便于1669年辭去了盧卡斯教授的職位，舉薦自己的學(xué)生——當(dāng)時才27歲的牛頓來擔(dān)任。巴羅讓賢，已成為科學(xué)史上的佳話。第13頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五6、沃利斯的“無窮算術(shù)”沃利斯另“一項(xiàng)重要的研究是計算四分之一單位圓的面積，并由此得到的無窮乘積表達(dá)式。并有以下猜想：第14頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五二、牛頓的“流數(shù)術(shù)”牛頓于1661年入劍橋大學(xué)三一學(xué)院，受教于巴羅，同時鉆研伽利賂、開普勒、笛卡兒和沃利斯等人的著作。三一學(xué)院至今還保存著牛頓的讀書筆記，從這些筆記可以看出，就數(shù)學(xué)思想的形成而言，笛卡兒的《幾何學(xué)》和沃利斯的《無窮算術(shù)》對他影響最深，正是這兩部著作引導(dǎo)牛頓走上了創(chuàng)立微積分之路1665年8月，劍橋大學(xué)因瘟疫流行而關(guān)閉，牛頓離校返鄉(xiāng)，隨后在家鄉(xiāng)躲避瘟疫的兩年，競成為牛頓科學(xué)生涯中的黃金歲月。制定微積分，發(fā)現(xiàn)萬有引力和顏色理論，……，可以說牛頓一生大多數(shù)科學(xué)創(chuàng)造的藍(lán)圖，都是在這兩年描繪的。第15頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五1、流數(shù)術(shù)的初建牛頓對微積分問題的研究始于1664年秋，當(dāng)時他反復(fù)閱讀笛卡兒《幾何學(xué)》，對笛卡兒求切線的“圓法”發(fā)生興趣并試圖尋找更好的方法。就在此時，牛頓首創(chuàng)了小o記號表示x的無限小且最終趨于零的增量。1665年夏至1667年春，牛頓在家鄉(xiāng)躲避瘟疫期間，繼續(xù)探討微積分并取得了突破性進(jìn)展。據(jù)他自述，1665年11月發(fā)明“正流數(shù)術(shù)”(微分法)，次年5月又建立了”反流數(shù)術(shù)”(積分法)。1666年10月，牛頓將前兩年的研究成果整理成一篇總結(jié)性論文，此文現(xiàn)以《流數(shù)簡論》著稱，《流數(shù)簡論》是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)。第16頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五2、流數(shù)術(shù)的發(fā)展《流數(shù)簡論》標(biāo)志著微積分的誕生，但它在許多方面是不成熟的。牛頓于1667年春天回到劍橋，對自己的微積分發(fā)現(xiàn)未作宣揚(yáng)。他在這一年10月當(dāng)選為三一學(xué)院成員，次年又獲碩士學(xué)位，并不是因?yàn)樗谖⒎e分方面的工作，而是因?yàn)樵谕h(yuǎn)鏡制作方面的員獻(xiàn)。但從那時起直到1693年大約四分之一世紀(jì)的時間里，牛頓始終不渝努力改進(jìn)、完善自己的微積分學(xué)說，先后寫成了三篇微積分論文，它們分別是：(1)1669年的《運(yùn)用無限多項(xiàng)方程的分析》；(2)1671年的《流數(shù)法與無窮級數(shù)》；(3)1691年的《曲線求積術(shù)》。第17頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五牛頓微積分學(xué)說最早的公開表述出現(xiàn)在1687年出版的力學(xué)名著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》之中。因此《原理》也成為數(shù)學(xué)史上的劃時代著作?！对怼吩趧?chuàng)導(dǎo)首末比方法的同時保留了無限小瞬，這種做法常常被認(rèn)為自相矛盾而引起爭議。實(shí)際上，在牛頓的時代，建立微積分嚴(yán)格基礎(chǔ)的時機(jī)尚不成熟，在這樣的條件下，牛頓在大膽創(chuàng)造新算法的同時，堅(jiān)持對微積分基礎(chǔ)給出不同解釋，說明了他對微積分基礎(chǔ)所存在的困難的深邃洞察和謹(jǐn)慎態(tài)度。第18頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五《原理》被愛因斯坦盛贊為“無比輝煌的演繹成就”。全書從三條基本的力學(xué)定律出發(fā)，運(yùn)用微積分工具，嚴(yán)格地推導(dǎo)證明了包括開普勒行星運(yùn)動三大定律、萬有引力定律等在內(nèi)的一系列結(jié)論，并且還將微積分應(yīng)用于流體運(yùn)動、聲、光、潮汐、彗星乃至宇宙體系，充分顯示了這一新數(shù)學(xué)工具的威力?！对怼分械奈⒎e分命題雖然都采用了幾何形式來敘述、證明，但正如牛頓本人后來解釋的那樣：發(fā)現(xiàn)原理中的絕大多救命題是依靠使用了“新分析法”，然后再“綜合地證明”。事實(shí)上，1664年參加巴羅主考的三一學(xué)院津貼生考試時，因歐氏幾何成績不佳差一點(diǎn)未能通過。第19頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五三、萊布尼茨的微積分在微積分的創(chuàng)立上，牛頓與萊布尼茨分享榮譽(yù)。萊布尼茨(1646——1716)出生于德國萊比錫一個教授家庭，早年在萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，同時開始接觸伽利略、開普勒、笛卡兒、帕斯卡以及巴羅等人的科學(xué)思。1667年獲阿爾持多夫大學(xué)法學(xué)博士學(xué)位，次年開始為緬因茨選帝侯服務(wù)，不久被派往巴黎任大使。萊布尼茨在巴黎居留了四年[1672—1676)，這四年對他整個科學(xué)生涯的意義，可以與牛頓在家鄉(xiāng)躲避瘟疫的兩年類比，萊布尼茨許多重大的成就包括創(chuàng)立微積分都是在這一時期完成或奠定了基礎(chǔ)。第20頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五1、特征三角形萊布尼茨在巴黎與荷蘭效學(xué)家、物理學(xué)家惠更斯的結(jié)識、交往，激發(fā)了他對數(shù)學(xué)的興趣．他通過卡瓦列里、帕斯卡、巴羅等人的著作，了解并開始研究求曲線的切線以及求面積、體積等微積分問題．與牛頓流數(shù)論的運(yùn)動學(xué)背景不同，萊布尼茨創(chuàng)立微積分首先是出于幾何問題的思考，尤其是特征三角形的研究．特征三角形，也稱“微分三角形”，在巴羅的著作中已經(jīng)出現(xiàn)．帕斯卡在特殊情形下也使用過這種三角形．萊布尼茨在1673年提出了他自己的特征三角形．第21頁，共24頁，2023年，2月20日，星期