全等三角形解題技巧

造全等三角形解題的技巧全等三角形是初中幾何《三角形》中的一個(gè)重要內(nèi)容，是初中生必須掌握的三角形兩大知識(shí)點(diǎn)之一（全等和相似），在解決幾何問題時(shí)，若能根據(jù)圖形特征添加恰當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出全等三角形，并利用全等圖形的性質(zhì)，可以使問題化難為易，出奇制勝，現(xiàn)舉幾例供大家參考。友情提示：證明三角形全等的方法有SAS、SSS、AAS、ASA、HL（Rt△）。一、見角平分線試折疊，構(gòu)造全等三角形例1如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC。求證：∠B：∠C=2：1。證法一：在線段AC上截取AE=AB，連接DE。在△ABD和△AED中∵AE=AB，∠1=∠2，AD=AD，∴△ABD△AED?！郉E=DB，∠B=∠AED?！逜B+BD=AC，∴AE+DE=AC。又∵AE+CE=AC，∴DE=CE?！唷螩=∠EDC?！摺螦ED=∠C+∠EDC，∴∠AED=2∠C，即∠B=2∠C?！唷螧：∠C=2：1。證法二：延長AB到F，使BF=BD，連接DF?！唷螰=∠BDF?！摺螦BC=∠F+∠BDF，∴∠ABC=2∠F。∵AB+BD=AC，∴AB+BF=AC，即AF=AC。在△ADF和△ADC中，∵AF=AC，∠1=∠2，AD=AD，∴△ADF△ADC?！唷螰=∠C。又∵∠ABC=2∠F，∴∠ABC=2∠C，即∠ABC：∠C=2：1。點(diǎn)評(píng)：見到角平分線時(shí)，既可把△ABD沿AD折疊變成△AED，也可把△ACD沿AD折疊變成△AFD，利用全等三角形的性質(zhì)，可使問題得以解決。練習(xí)：如圖3，△ABC中，AN平分∠BAC，CN⊥AN于點(diǎn)N，M為BC中點(diǎn)，若AC=6，AB=10，求MN的長。圖3提示：延長CN交于AB于點(diǎn)D。則△ACN△ADN，∴AD=AC=6。又AB=10，則BD=4?？勺C為△BCD的中位線?！唷｜c(diǎn)評(píng)：本題相當(dāng)于把△ACN沿AN折疊成△AND。二、見中點(diǎn)“倍長”線段，構(gòu)造全等三角形例2如圖4，AD為△ABC中BC上的中線，BF分別交AC、AD于點(diǎn)F、E，且AF=EF，求證：BE=AC。圖4證明：延長AD到G，使DG=AD，連接BG?！逜D為BC上的中線，∴BD=CD，在△ACD和△GBD中，∵AD=DG，∠ADC=∠BDG，BD=CD，∴△ACD△GBD。∴AC=BG，∠CAD=∠G?！逜F=EF，∴∠CAD=∠AEF。∴∠G=∠AEF=∠BEG，∴BE=BG，∵AC=BG，∴BE=AC。又∵∠G=∠AFD，∴∠G=∠GAE?！郃E=GE?！逧G=BE+BG=BE+DF，∴BE+DF=AE。從以上幾例可以看出，全等三角形在證明中具有出奇制勝的作用。在解決有關(guān)角平分線、中點(diǎn)、線段的和差的問題時(shí)，通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形的辦法，不僅能使問題迎刃而解，而且有助于學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和分析能力。1.全等三角形：能夠完全重合的兩個(gè)三角形，叫做全等三角形．1.全等三角形有如下性質(zhì)：(1)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；(2)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；(3)全等三角形的對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)高相等；(4)全等三角形的面積相等，周長相等．2.等腰三角形兩邊相等的三角形叫等腰三角形．(1)等邊對(duì)等角；(2)底邊上的高、底邊上的中線、頂角平分線互相重合；(3)是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是頂角平分線；(4)底邊小于腰長的兩倍并且大于零，腰長大于底邊的一半；(5)頂角等于180°減去底角的兩倍；(6)頂角可以是銳角、直角、鈍角，而底角只能是銳角．3．等腰三角形可分為腰和底邊不等的等腰三角形及等邊三角形．等邊三角形的三邊相等，三個(gè)角都是60°，它具備等腰三角形的一切性質(zhì)。4.等腰三角形的判定：①利用定義；②等角對(duì)二、解題技巧.1利用角平分線構(gòu)造全等三角形解題.2利用中線構(gòu)造全等三角形解題在等腰三角形的題目中常添加的輔助線是頂角的平分線，由此可以得到線段相等和垂直關(guān)系．另外，在未指明邊(角)的名稱時(shí)，應(yīng)分