中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)定角夾定高難點(diǎn)解析與訓(xùn)練

定角夾定高（探照燈模型）什么叫定角定高，如右圖，直線BC外一點(diǎn)A，A到直線BC距離為定值（定高），∠BAC為定角。則AD有最小值。又因?yàn)?，像探照燈一樣所以也叫探照燈模型。我們可以先看一下下面這張動(dòng)圖，在三角形ABC當(dāng)中，∠BAC是一個(gè)定角，過A點(diǎn)作BC邊的高線，交BC邊與D點(diǎn)，高AD為定值。從動(dòng)態(tài)圖中（如圖定角定高1.gsp）我們可以看到，如果頂角和高，都為定值，那么三角形ABC的外接圓的大小，也就是半徑，是會(huì)隨著A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化的。從而弦BC的長也會(huì)發(fā)生變化，它會(huì)有一個(gè)最小值，由于它的高AD是定值，因此三角形ABC的面積就有一個(gè)最小值。我們可以先猜想一下，AD過圓心的時(shí)候，這個(gè)外接圓是最小的，也就是，BC的長是最小的，從而三角形ABC的面積也是最小的。（定長可用圓處理，特別，定長作為高可用兩條平行線處理）那么該如何證明呢？首先我們連接OA,OB,OC。過O點(diǎn)作OH⊥BC于H點(diǎn).（如圖1）顯然OA+OH≥AD，當(dāng)且僅當(dāng)A,O,D三點(diǎn)共線時(shí)取“=”。由于∠BAC的大小是一個(gè)定值，而且它是圓o的圓周角，因此它所對(duì)的圓心角∠AOB的度數(shù)，也是一個(gè)定值。因此OH和圓O的半徑，有一個(gè)固定關(guān)系，所以，OA+OH也和⊙O的半徑，有一個(gè)固定的等量關(guān)系。再根據(jù)我們剛才說的，OA+OH≥AD，就可以求得圓O[簡證：OA+OH≥ADOEDH為矩形，OH=ED，在Rt△AOE中，AO>AE，∴AO+OH=AO+ED>AE+ED=AD]下面我們根據(jù)一道例題來說明它的應(yīng)用。例：如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=CD=4，AD∥BC，∠B=60°，點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠EAF=60°，則△AEF的面積是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由?！竞喆稹繄D中有角含半角模型，因此我們想到旋轉(zhuǎn)的方式來處理.將△ADF繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得△ABF′，則∠EAF′=60°，易證△AEF′≌△AEF，作△AEF′的外接圓⊙O，作OH⊥BC于點(diǎn)H，AG⊥BC于點(diǎn)G，則∠F′OH=60°，AG=32AB=23，設(shè)⊙O的半徑為r，則OH=OF∵OA+OH≥AG，∴∵∠FAE=∠F’AE=12∠FOE=∴F’E=3∴=∴△AEF的面積最小值為4√3以下是兩到相關(guān)的針對(duì)練習(xí)題，大家學(xué)習(xí)完以后可以去自主的完成一項(xiàng)，后面也有詳細(xì)的解答過程，做完以后大家可以對(duì)照一下答案，學(xué)會(huì)了這種類型題的解法。解題步驟：1.作定角定高三角形外接圓，并設(shè)外接圓半徑為r，用r表示圓心到底邊距離及底邊長；2.根據(jù)“半徑+弦心距≥定高”求r的取值范圍；3.用r表示定角定高三角形面積，用r取值范圍求面積最小值。【針對(duì)練習(xí)】1.（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB=60°，CD為AB邊上的高，若CD=4，試判斷△ABC的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出面積最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.（2）如圖2，某園林單位要設(shè)計(jì)把四邊形花圃劃分為幾個(gè)區(qū)域種植不同花草。在四邊形ABCD中，∠BAD=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=6√2，點(diǎn)E、F分別為邊AB、AD上的點(diǎn)，若保持CE⊥CF，那么四邊形AECF的面積是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由。（1）解：如圖1-1作△ABC的外接圓⊙O，連OA、OB、OC，作OH⊥AB于①設(shè)⊙O半徑為r，則OH=12OA=1②∵CO+HO≥CD即r+12r≥4得③S（2）分析：此處求面積最大值，而定角定高一般求面積最小值。由于：S=72因此，只要S?CDF+S?CBE最小解：如圖1-2所示在AB上找一點(diǎn)H，使AH=HC。延長AB至G，使BG=FD，連CG，作△CEG的外接圓⊙O①證AC為∠BAD平分線②求S四邊形ABCD面積?！螩HB=45°，HB=BC=62AB=12+6S=12+6③△CDF≌△CBG，則S?CDF+④求S?CDF+∠ECG=135°-90°=45°定角，CB=62Ⅰ.設(shè)⊙O的半徑為r，則EK=OK=22OE=22Ⅱ.CO+OK≥CB即r+22r≥6Ⅲ.S⑤求S四邊形AECFS=72=722.已知等邊△ABC，點(diǎn)P是其內(nèi)部一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AP=10，M、N分別是AB、AC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PMN周長最小時(shí)，四邊形AMPN面積的最大值.分析：①△PMN最小值即將軍飲馬問題。如圖2-1。②四邊形AMPN面積該如何表示？如圖2-2AP=10，則P在以A為圓心10為半徑的圓上由軸對(duì)稱性可知，S?APS四邊形AMPN∵S∴只要S?AMN最小，則S③S?AMN最小，且∠MAN=60°定值，AD=12解：①求△PMN周長最小。作P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P1，作P關(guān)AC的對(duì)稱點(diǎn)P2，連P1P2。此時(shí)，②四邊形AMPN面積表達(dá)式。連AP1、AP2，∵∠MAP=∠MA∴∠又AP=A∴∠AAD=12AP1S∴S四邊形∴當(dāng)S?AMN最小時(shí)，S③求S?AMN的最小值。如圖2作△AMN的外接圓⊙O，連OA、OM、ON，作OH⊥MN于HⅠ.設(shè)⊙O的半徑為r則OH=12OM=Ⅱ.AO+OH≥AD，即r+r2≥5Ⅲ.S④S∴四邊形AMPN面積最大值為50這就是我們所說的定價(jià)定高類隱形圓的處理方法。相對(duì)來說難度還是比較大的，這類題通常會(huì)作為中考?jí)狠S題出現(xiàn)，如果沒有學(xué)習(xí)過解題方法的話，自己是很難想出來它的做法，希望同學(xué)們下去以后多加練習(xí)。只要方法掌握了以后，其實(shí)也是很容易拿到滿分的?！就惻漕}】1.如圖3，四邊形ABCD中，AB=AD=42，∠B=45°，∠D=135°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是射線CB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，并且∠EAF=∠C=60°，求△AEF的面積的最小值.2.如圖4，四邊形ABCD中，∠A=135°，∠B=60°，∠D=120°，AD=5，AB=6，E、F分別為邊BC及射線CD上的動(dòng)點(diǎn)，∠EAF=45°，求△AEF面積的最小值.3.如圖5，四邊形ABCD中，