拉氏變換與模擬濾波器設(shè)計

拉氏變換與模擬濾波器設(shè)計第一頁，共64頁。背景介紹信號處理：將信號做必要的變換以獲得所需信息的過程信號分析：研究信號的構(gòu)成與特征時域頻域傅里葉變換提取關(guān)心的頻率成分濾波處理第二頁，共64頁。背景介紹為什么要濾波？在傳感器獲得的信號中，常混有許多其他頻率的干擾有用的信號被淹沒在干擾噪聲中為突出有用信號，抑制噪聲干擾，要對傳感器獲得的信號進行濾波頻率成分多，噪聲干擾第三頁，共64頁。背景介紹濾波的實質(zhì)：對信號進行頻率選擇，完成濾波功能的裝置稱為濾波器當(dāng)信號通過濾波器時，信號中某些頻率成分得以通過，其他頻率成分的信號受到衰減或抑制信號通過濾波器的過程，就稱為對信號進行濾波。濾波后濾波后第四頁，共64頁。背景介紹濾波器的分類：分析對象具體實現(xiàn)應(yīng)用場合①模擬濾波器連續(xù)信號由模擬器件組成電子電路②數(shù)字濾波器離散信號算法編程工程信號處理Questions：模擬濾波器與數(shù)字濾波器的關(guān)系？如何進行濾波器的設(shè)計？如何評價濾波器的性能？第五頁，共64頁。背景介紹簡單的模擬濾波器→RC濾波器：

電路簡單抗干擾性強有較好的低頻性能選用標準的阻容元件設(shè)濾波器的輸入電壓為ex，輸出電壓為ey，電路的微分方程為：(克希荷夫電壓定律)求微分方程的時域解，可獲得系統(tǒng)的運動規(guī)律。第六頁，共64頁。背景介紹一階微分方程的求解方法：常規(guī)數(shù)學(xué)積分法：對復(fù)雜的方程不易求解，參數(shù)設(shè)定困難拉普拉斯變換：將時域的微分運算，簡化為代數(shù)運算改進核心思想求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(s)來分析系統(tǒng)的幅頻、相頻特性第七頁，共64頁。主要內(nèi)容123拉氏變換Z變換模擬濾波器4數(shù)字濾波器第八頁，共64頁。信號f(t）傅里葉變換存在需滿足狄利克雷條件，但像階躍函數(shù)、三角函數(shù)等實際中應(yīng)用廣泛的信號不滿足絕對可積條件，經(jīng)典意義上的傅里葉變換不存在。絕對可積：為了克服傅里葉變換在系統(tǒng)分析中存在的限制，引出了拉普拉斯變換，簡稱拉氏變換。拉氏變換的引入能量有限階躍函數(shù)不收斂，能量無限第九頁，共64頁。拉氏變換對傅里葉變換進行改造：將函數(shù)f(t)乘以一個衰減指數(shù)函數(shù)，使得函數(shù)函數(shù)收斂，滿足絕對可積條件，則可以進行傅里葉變換:滿足條件的信號傅里葉因子雙邊拉氏變換對第十頁，共64頁。拉氏變換基本性質(zhì)線性定理：延遲定理：f(t)ttf(t-t0)t0衰減定理：該定理說明了f(t)在時間域的指數(shù)衰減，其拉氏變換在變換域就成為坐標平移該定理說明了時間域的平移變換在復(fù)數(shù)域有相對應(yīng)的衰減變換。第十一頁，共64頁。拉氏變換基本性質(zhì)時域?qū)?shù)性質(zhì)：頻域?qū)?shù)性質(zhì)：初值定理：且f(∞)存在，則即時域函數(shù)的終值，也可以由變換域求得。第十二頁，共64頁。拉氏變換傅里葉變換拉氏變換分析對象

計算公式基本信號元域時域變量t為實數(shù)頻域變量為實數(shù)時域變量t為實數(shù)頻域變量s為復(fù)數(shù)拉氏變換S平面傅里葉變換F變換是L變換的特例L變換是F變換的擴展第十三頁，共64頁。拉氏變換的應(yīng)用---系統(tǒng)函數(shù)分析拉氏變換作為傅氏變換的推廣，將信號的頻域分析擴展為復(fù)頻域分析，擴大了信號變換的范圍。連續(xù)信號的復(fù)頻域分析方法也從頻域分析方法擴展而來。頻域?qū)τ诰€性時不變系統(tǒng)：輸入信號為f(t),系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，則輸出信號為：系統(tǒng)函數(shù)復(fù)頻域系統(tǒng)函數(shù)第十四頁，共64頁。簡單的模擬濾波器→RC濾波器：令

=RC，稱為時間常數(shù)，對上式取拉氏變換，有：其幅頻、相頻特性公式為:

分析可知:當(dāng)f很小時，A(f)=1，信號不受衰減地通過；當(dāng)f很大時，A(f)=0，信號完全被阻擋，不能通過。

拉氏變換的應(yīng)用---系統(tǒng)函數(shù)分析第十五頁，共64頁。拉氏變換連續(xù)系統(tǒng)拉氏變換獲得系統(tǒng)函數(shù)離散系統(tǒng)如何獲得系統(tǒng)函數(shù)？第十六頁，共64頁。主要內(nèi)容123拉氏變換Z變換模擬濾波器4數(shù)字濾波器第十七頁，共64頁。Z變換的引入Z變換的作用：z變換是離散信號分析和處理，離散系統(tǒng)設(shè)計和實現(xiàn)中一種重要的數(shù)學(xué)工具,它在離散系統(tǒng)中的地位與作用，相當(dāng)于連續(xù)系統(tǒng)中的拉氏變換。應(yīng)用z變換可以把離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型即差分方程轉(zhuǎn)換為簡單的代數(shù)方程，使求解過程簡化。

Z變換兩種定義：定義1:對模擬信號進行沖激抽樣經(jīng)拉氏變換引出,常用于自動控制采樣系統(tǒng)的分析。定義2:直接給出數(shù)學(xué)定義；常用于數(shù)字信號處理中。第十八頁，共64頁。Z變換Step1:若對一模擬信號x(t)作沖激抽樣，得到其沖激抽樣信號:Step2：對上式兩邊進行（雙邊）拉氏變換：Step3：將積分與求和的運算次序?qū)φ{(diào)，利用沖激函數(shù)抽樣性，得：令第十九頁，共64頁。Z變換Step4：對上式引入復(fù)變量,得到一個z的函數(shù)X(z)Z變換:

離散時間域n→

復(fù)數(shù)域z的映射，是復(fù)變量Z-1的冪級數(shù)，即羅朗級數(shù)上式為雙邊z變換，單邊z變換則可定義為：考慮起始條件，更易收斂，實際中應(yīng)用較多第二十頁，共64頁。Z變換收斂域由Z變換的定義式可以看出，Z變換實際上是復(fù)函數(shù)X(z)在Z平面上，以序列x(n)為系數(shù)展開的羅朗級數(shù)。由級數(shù)的理論可知，收斂的充要條件是滿足條件：可以證明，收斂域是z平面上的一個環(huán)狀區(qū)域:第二十一頁，共64頁。Z變換性質(zhì)線性時移性若：則：若：則：第二十二頁，共64頁。Z變換性質(zhì)序列指數(shù)加權(quán)(z域尺度變換)若：那么序列x(n)乘以指數(shù)序列a?（a是常實數(shù)或常復(fù)數(shù)）后，就有序列線性加權(quán)（z域微分）若：則：第二十三頁，共64頁。Z變換與拉氏變換在Z變換過程中，因此，有Z平面用極坐標表示s平面用直角坐標表示得到：Z平面S平面S平面Z平面S平面？第二十四頁，共64頁。變換Z拉氏變換三種變換的關(guān)系---按計算流程連續(xù)信號

傅氏變換絕對可積信號抽樣信號拉氏變換離散信號第二十五頁，共64頁。三種變換的關(guān)系---按變量關(guān)系第二十六頁，共64頁。主要內(nèi)容123拉氏變換Z變換模擬濾波器4數(shù)字濾波器第二十七頁，共64頁?；靖拍顬V波：提取所需要的信號,抑制不需要的信號。所用裝置稱為濾波器。信號通過濾波器的過程，就稱為對信號進行濾波。傳統(tǒng)濾波：信號和噪聲各占不同頻帶。對信號進行頻率選擇。當(dāng)信號通過濾波器時，信號中某些頻率成分得以通過，其他頻率成分的信號受到衰減或抑制?，F(xiàn)代濾波：信號和噪聲的頻譜相互重疊.在統(tǒng)計指標最優(yōu)條件下，利用信號統(tǒng)計特征進行時域估計；Wiener濾波、kalman濾波、線性預(yù)測、自適應(yīng)濾波等。

第二十八頁，共64頁。巴特沃斯切比雪夫橢圓濾波FIRIIR按信號類型分連續(xù)模擬信號離散數(shù)字信號（不可實現(xiàn)）維納濾波卡爾曼濾波線性預(yù)測自適應(yīng)濾波（信噪頻帶分離）（信噪頻帶重疊）現(xiàn)代濾波器在統(tǒng)計指標最優(yōu)條件下，利用信號統(tǒng)計特征進行時域估計總體框架第二十九頁，共64頁。理想濾波器要求：

通帶內(nèi)信號的幅值和相位都不失真，阻帶內(nèi)的頻率成分都衰減為零的濾波器，其通帶和阻帶之間有明顯的分界線。

理想濾波器在通帶內(nèi)的幅頻特性應(yīng)為常數(shù)，相頻特性的斜率為常值；在通帶外的幅頻特性應(yīng)為零。

理想濾波器相頻特性：幅頻特性：第三十頁，共64頁。物理上不可實現(xiàn)！理想濾波器是從一個頻帶到另一個頻帶之間的突變。時域上講，沒有器件能夠在一瞬間完成開關(guān)過程，都會存在時延和振蕩；頻域上講，矩形脈沖需要無窮帶寬，實際中也沒有條件提供這么大帶寬。理想濾波器第三十一頁，共64頁。理想濾波器要物理可實現(xiàn)：應(yīng)從一個到另一個帶之間設(shè)置一個過渡帶，且在通帶和止帶內(nèi)也不應(yīng)嚴格要求為1或0，應(yīng)給以較小容限。過渡帶越窄越好，即對通帶外的頻率成分衰減得越快、越多越好。

實際濾波器頻域特性實際濾波器因此，在設(shè)計實際濾波器時，總是通過各種方法使其盡量逼近理想濾波器。第三十二頁，共64頁。通帶內(nèi)允許誤差：阻帶衰減：通帶截止頻率：衰減：阻帶截止頻率：性能指標

實際濾波器第三十三頁，共64頁。描述實際濾波器的主要參數(shù)：紋波幅度：越小越好截止頻率帶寬：決定濾波器分離信號相鄰頻率成分的能力品質(zhì)因數(shù)：Q值越大，表明濾波器頻率分辨力越高倍頻程選擇性：W值越大，衰減越快，則濾波器的選擇性越好濾波器因數(shù)：越接近于1，濾波器選擇性越好實際濾波器第三十四頁，共64頁。紋波幅度d在一定頻率范圍內(nèi)，實際濾波器的幅頻特性可能呈波紋變化，其波動幅度d與幅頻特性的平均值A(chǔ)0相比，越小越好，一般應(yīng)遠小于-3dB。截止頻率幅頻特性值等于

所對應(yīng)的頻率稱為濾波器的截止頻率。對應(yīng)于-3dB點，即相對衰減3dB。若以信號的幅值平方表示信號功率，則所對應(yīng)的點正好是半功率點。實際濾波器的參數(shù)第三十五頁，共64頁。帶寬B上下兩截止頻率之間的頻率范圍稱為濾波器帶寬，或-3dB帶寬，單位為Hz。帶寬決定著濾波器分離信號中相鄰頻率成分的能力—頻率分辨力。B實際濾波器的參數(shù)品質(zhì)因數(shù)Q對于帶通濾波器，通常把中心頻率

和帶寬B之比稱為濾波器的品質(zhì)因數(shù)Q。例如一個中心頻率為500Hz的濾波器，帶寬為10Hz，則稱其Q值為50。Q值越大，表明濾波器頻率分辨力越高。第三十六頁，共64頁。倍頻程選擇性W所謂倍頻程選擇性，是指在上截止頻率fc2與2fc2之間，或者在下截止頻率fc1與fc1/2之間幅頻特性的衰減值，即頻率變化一個倍頻程時的衰減量。過渡帶的幅頻曲線傾斜程度表明了幅頻特性衰減的快慢，它決定著濾波器對帶寬外頻率成分的衰阻能力。通常用倍頻程選擇性來表征。W值越大，即衰減越快，則濾波器的選擇性越好?；?/p>

實際濾波器的參數(shù)第三十七頁，共64頁。濾波器因數(shù)（或矩形系數(shù)）濾波器因數(shù)是濾波器選擇性的另一種表示方式，它是利用濾波器幅頻特性的-60dB帶寬與-3dB帶寬的比值來衡量濾波器選擇性，即理想濾波器=1，常用濾波器=1~5，顯然，越接近于1，濾波器選擇性越好。實際濾波器的參數(shù)第三十八頁，共64頁。巴特沃斯切比雪夫橢圓濾波FIRIIR按信號類型分連續(xù)模擬信號離散數(shù)字信號（不可實現(xiàn)）維納濾波卡爾曼濾波線性預(yù)測自適應(yīng)濾波（信噪頻帶分離）（信噪頻帶不分離）現(xiàn)代濾波器在統(tǒng)計指標最優(yōu)條件下，利用信號統(tǒng)計特征進行時域估計總體框架第三十九頁，共64頁。傳輸特性時域上用單位脈沖響應(yīng)表示；頻域上用系統(tǒng)函數(shù)或頻率響應(yīng)表示。系統(tǒng)框圖因此，由即可得出濾波器的系統(tǒng)函數(shù)模擬濾波器模擬濾波器表示方法：第四十頁，共64頁。巴特沃斯(Butterworth)濾波器切比雪夫(Chebyshev)濾波器橢圓(Cauer)濾波器……模擬濾波器常用類型第四十一頁，共64頁。幅度平方函數(shù)：N—濾波器的階數(shù)—濾波器截止頻率巴特沃斯濾波：通頻帶的頻率響應(yīng)曲線最平滑。最先由英國工程師StephenButterworth在1930年提出。Butterworth-最平響應(yīng)特性濾波器第四十二頁，共64頁。階數(shù)N越大，越接近理想特性幅度平方函數(shù)：

過渡帶及阻帶內(nèi)，快速單調(diào)減小；

通帶內(nèi)幅度特性平坦，單調(diào)減??；單調(diào)性：Butterworth-最平響應(yīng)特性濾波器第四十三頁，共64頁。

巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次一定，則在靠近截止頻率Ωc處，幅度下降3dB。為了使通帶內(nèi)的衰減足夠小，需要的巴特沃茲濾波器階次N很高，采用切比雪夫多項式逼近|Ha(jΩ)|2,可以降低濾波器階次。切比雪夫濾波器的提出Chebychev-通帶等波紋濾波器右圖中N=8，在靠近Ωc處同階次的巴特沃茲濾波器

衰減大于切比雪夫

濾波器第四十四頁，共64頁。切比雪夫濾波：N為奇數(shù)：N為偶數(shù)：Chebychev-通帶等波紋濾波器Ωc—濾波器截止頻率N—階數(shù)

—與通帶波紋有關(guān)的參量，越大，波紋越大第四十五頁，共64頁。階數(shù)N越大，越接近理想特性。

過渡帶及阻帶內(nèi)，快速單調(diào)減??；

通帶內(nèi)具有等波紋，即誤差分布均勻；切比雪夫濾波：Chebychev-通帶等波紋濾波器第四十六頁，共64頁。切比雪夫濾波器在通帶內(nèi)有起伏，但通帶衰減小于3dB，

值越小，通帶起伏越小，截止頻率點衰減的分貝值也越小。故與巴特沃斯濾波器進行比較，切比雪夫濾波器的通帶有波紋，過渡帶較陡直，更接近理想情況。如右圖（N=8）缺點：進入阻帶后

衰減特性變化緩慢。橢圓濾波器幅值響應(yīng)在通帶

和阻帶內(nèi)都等波紋Chebychev-通帶等波紋濾波器第四十七頁，共64頁。橢圓濾波器：幅值響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的。

對于給定的階數(shù)和波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其它濾波器為窄的過渡帶寬，就這點而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。幅度平方函數(shù)：RN（Ω，L）為雅可比橢圓函數(shù)；L是一個表示波紋性質(zhì)的參量。橢圓濾波器RN（Ω，L）為雅可比橢圓函數(shù)；實際設(shè)計中該函數(shù)需要查表計算。L：表示波紋性質(zhì)的參量。第四十八頁，共64頁。同等濾波效果要求橢圓濾波器的階次最低，切比雪夫次之，巴特沃茲最高，參數(shù)的靈敏度則恰恰相反。幅度平方函數(shù)特點幅頻圖巴特沃斯通帶阻帶內(nèi)單調(diào)下降，衰減約3dB切比雪夫通帶有波紋，過渡帶較陡直，衰減小橢圓通帶阻帶都有波紋，過渡帶最陡直對比第四十九頁，共64頁。對比對同樣階數(shù)的濾波器，從ButterworthChebyshevElliptic，其幅頻特性逼近得越來越好，但階躍響應(yīng)的起伏、超量和振蕩也越厲害。系統(tǒng)的復(fù)雜程度也越來越高，相應(yīng)地，實現(xiàn)系統(tǒng)所付出的代價也越來越大。5階Butterworth濾波器與5階Elliptic濾波器的比較第五十頁，共64頁。確定技術(shù)指標（即濾波器的頻率特性要求）選擇濾波器類型：巴特沃斯、切比雪夫、橢圓……確定性能參數(shù)：得濾波器頻率特性模擬濾波器的設(shè)計步驟第五十一頁，共64頁。模擬濾波器的設(shè)計步驟例：給定模擬濾波器技術(shù)指標，如下圖

通帶允許起伏：-1dB，0≤Ω≤2π×104rad/s阻帶衰減：≤-15dB，Ω≥2π×2×104rad/s求用巴特沃斯濾波器實現(xiàn)時所需階數(shù)N、截止角頻率Ωc和Ha(s)表示式。解：(1)求階數(shù)N和截止頻率Ωc，寫出|Ha(jΩ)|在Ωp和Ωs兩點的方程取整得N=4，代入式（1）求得Ωc由式（1）解得式（1）第五十二頁，共64頁。模擬濾波器的設(shè)計步驟解：(2)求濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，由巴特沃斯多項式表查得N=4的BN(s’)即

Ha(s’)的分母多項式，令代入Ha(s’)得到濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。例：給定模擬濾波器技術(shù)指標

通帶允許起伏：-1dB，0≤Ω≤2π×104rad/s阻帶衰減：≤-15dB，Ω≥2π×2×104rad/s求用巴特沃斯濾波器實現(xiàn)時所需階數(shù)N、截止角頻率Ωc和Ha(s)表示式。第五十三頁，共64頁。模擬濾波器按功能分：低通濾波器，高通濾波器，帶通濾波器，帶阻濾波器低通濾波器從0～f2頻率之間，幅頻特性平直，它可以使信號中低于f2的頻率成分幾乎不受衰減地通過，而高于f2的頻率成分受到極大地衰減。高通濾波器與低通濾波相反，從頻率f1～∞，其幅頻特性平直。它使信號中高于f1的頻率成分幾乎不受衰減地通過，而低于f1的頻率成分將受到極大地衰減。第五十四頁，共64頁。模擬濾波器帶通濾波器它的通頻帶在f1～f2之間。它使信號中高于f1而低于f2的頻率成分可以不受衰減地通過，而其它