2019-2020學(xué)年貴州貴陽高二上期末數(shù)學(xué)試卷理科

2019-2020學(xué)年貴州省貴陽市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（每題4分，共40分）（4分）若命題p:VxeR,2x-x>0，則「p是（ ）B.VxeR,2x一x?0C.3xeR,2x0-x>0（4分）貴陽市某中學(xué)高二年級(jí)共有學(xué)生1800人，為進(jìn)行體質(zhì)監(jiān)測(cè)，現(xiàn)按性別用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為36的樣本，已知樣本中共有女生17人，則高二年級(jí)的男生人數(shù)約為（ ）A.850B.950C.1050D.1100（4分）把十進(jìn)制數(shù)19轉(zhuǎn)化為三進(jìn)制數(shù)時(shí)，其末位數(shù)字是（A.3A.850B.950C.1050D.1100（4分）把十進(jìn)制數(shù)19轉(zhuǎn)化為三進(jìn)制數(shù)時(shí)，其末位數(shù)字是（A.3B.2C.D.（4分）拋物線y=3X2的準(zhǔn)線方程為（A.3x-——4B.x=——12C.3y二一一4D.（4分）平面a的一個(gè)法向量是m-（4-｝，平面P的一個(gè)法向量是1—12n=（一,-1,3），則平面a與平面P的位置關(guān)系是（B.平行AB.平行C.C.既不平行也不垂直D.不確定.（4分）劉徽是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是中國最寶貴的文化遺產(chǎn)，他所提出的割圓術(shù)可以估算圓周率兀，理論上能把冗的值計(jì)算到任意的精度.割圓術(shù)的第一步是求圓的內(nèi)接正六邊形的面積.若在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自該圓內(nèi)接正六邊形的概率是（ ）c3-、：3D.—4兀D.—4兀2兀.（4分）在某校舉行的校園十佳歌手大賽中，五位評(píng)委給一位歌手給出的評(píng)分分別為x1=9.5,x2=9.6,x3=9.7,x4=9.8,x5=9.9，運(yùn)行程序框圖，其中x是這五個(gè)數(shù)據(jù)的平均值，則輸出的S值及其統(tǒng)計(jì)意義分別是（ ）第1頁（共17頁）

S=0.02，即5個(gè)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.02S=0.02，即5個(gè)數(shù)據(jù)的方差為0.02S=9.7,即5個(gè)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為9.7S=9.7,即5個(gè)數(shù)據(jù)的方差為9.7（4分）已知關(guān)于變量％,j的線性回歸方程為y=0.25%+0.55，且％,y的一些相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，則表格中m的值為（ ）%1234y0.8m1.41.5A.1 B.1.05 C.1.2 D.2（4分）有下列三個(gè)命題：①設(shè)命題p:若m是質(zhì)數(shù)，則m一定是奇數(shù).那么「p真命題；②在AABC中，"sinA=sinB”是“cosA=cosB”的充要條件；③“若%>1,則I%1>1”的否命題是“若%>1,則I%I1”.TOC\o"1-5"\h\z其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）A.3 B.2 C.1 D.0（4分）已知橢圓C:宗+y=1（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為々，F(xiàn)2,焦距為2c.若直線y=—（%+c）與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)M滿足/MFF=2/MFF,則該橢圓的離心率等于（3 21 12）D.<3-1A.3-<5 B.v?-v3 CD.<3-1第2頁（共17頁）二.填空題（每題4分，共20分）（4分）84和126的最大公約數(shù)為.（4分）已知F（-3,0）,F（3,0）是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，且直線y=區(qū)x是該雙曲線的12'， 2一條漸近線，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為一.（4分）如圖莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件），若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)都相等，則x+y的值為（4分）如圖，在三棱錐S-ABC中，已知SA±平面ABC,AB±AC,^A=AC=AB,點(diǎn)E、F分別在SC和BC上，且EC=1SC,BF=1BC,則直線EF與直線AC所成角的3 3余弦值為一.（4分）設(shè)P為方程式x+4）2+y2+、.■（x-4）2+y2=12表示的曲線上的點(diǎn)，M、N分別為圓(x+4)2+y2=4和圓(x-4)2+y2=1上的點(diǎn)，則|PMI+1PNI的最小值為三.解答題（每題8分，共32分）（8分）設(shè)命題p:方程上+上二1表示雙曲線；命題q:“方程二+空二1表示1-mm+2 m22m焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”.（1）若p和q均為真命題，求m的取值范圍；（2）若pvq為真命題，paq為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.（8分）某高校在2017年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如表：組號(hào)分組頻率第1組[160,165)0.05第2組[165,170)0.35第3頁（共17頁）

第3組[170,175)①第4組[175,180)0.20第5組[180,185]0.10(1)求出頻率分布表中①處應(yīng)填寫的數(shù)據(jù)，并完成如圖所示的頻率分布直方圖；(2)根據(jù)直方圖估計(jì)這次自主招生考試筆試成績的平均數(shù)和中位數(shù)(結(jié)果都保留兩位小數(shù)).0080.070.060050,040.030.020.01頻率組距■■Illi .頻率組距0160165170175180185成績,分兀(8分)在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，ZDAB=—，側(cè)面AADP為等腰直3角三角形，PA=PD,AB=PB=2，點(diǎn)E為棱AD的中點(diǎn).(1)求證：PE±平面ABCD；(2)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.(8分)在區(qū)間［1,6］上任取一個(gè)數(shù)記為a，在區(qū)間［1,5］上任取一個(gè)數(shù)記為b.(1)若a,beN*，求直線ax-by=1的斜率為k?1的概率；2(2)若a,beR，求直線ax-by=1的斜率為k?1的概率.2四.閱讀與探究(本題8分)(8分)閱讀以下材料，然后回答(1)、(2)兩個(gè)問題：例3如圖1,設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0),直線AM,BM的斜率之積是-4,求點(diǎn)M的軌跡方程.9第4頁(共17頁)

分析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(九y)，那么直線AM,BM的斜率就可以用含％,y的式子表示，由于直線AM,BM的斜率之積是-4，因此可以建立％,y之間的關(guān)系式，得出點(diǎn)M的軌跡方程.解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(％,y),因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是(-5,0),所以，直線AMD的斜率k= (%w—5)AMx+5同理，直線BM的斜率k =上(xw5)BMx-5由已知有：一y—x—y—=——(%w±5)x+5x—5 9化簡，得點(diǎn)M的軌跡方程為:化簡，得點(diǎn)M的軌跡方程為:x2 y2 + 25100=1(xw±5).(1)如圖2,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(-5,0),(5,0),直線AM,BM相交于點(diǎn)M，且他的斜率之積是4,試求點(diǎn)M的軌跡方程，并判斷軌跡的形狀；9(2)結(jié)合閱讀材料及(1)的結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？請(qǐng)寫出你的結(jié)論(不需證明).以下第(3)問是附加題，考生可選做，做對(duì)的2分，不做不扣分.以下第(3)問是附加題，考生可選做，做對(duì)的2分，不做不扣分.(3)仿照材料中例3和問題(1),請(qǐng)你提出一個(gè)變式問題，不需解答.第5頁(共17頁)2019-2020學(xué)年貴州省貴陽市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（每題4分，共40分）1.（4分）若命題p:VxeR,2x—x>0，則「p是（ ）VxeR,2x—x?03xeR,2x0-x>0 D.3xeR,2x0-x?0【解答】解：命題為全稱命題，則命題p:VxeR,2x—x>0，則「p是3x0eR,2x0-x0?0.故選：D.（4分）貴陽市某中學(xué)高二年級(jí)共有學(xué)生1800人，為進(jìn)行體質(zhì)監(jiān)測(cè)，現(xiàn)按性別用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為36的樣本，已知樣本中共有女生17人，則高二年級(jí)的男生人數(shù)約為（ ）A.850 B.950 C.1050 D.1100【解答】解：貴陽市某中學(xué)高二年級(jí)共有學(xué)生1800人，按性別用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為36的樣本，樣本中共有女生17人，則高二年級(jí)的男生人數(shù)約為：1800x36-17=950.36故選：B.（4分）把十進(jìn)制數(shù)19轉(zhuǎn)化為三進(jìn)制數(shù)時(shí)，其末位數(shù)字是（ ）A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：19+3=6...16+3=2302+3=032故19（10）=201⑶，可得把十進(jìn)制數(shù)19轉(zhuǎn)化為三進(jìn)制數(shù)時(shí)，其末位數(shù)字是1,故選：C.（4分）拋物線y=3x2的準(zhǔn)線方程為（ ）D．1D．112A.x=—4 B.x=—— C.y=—4第6頁（共17頁）

【解答】解：拋物線y=312的標(biāo)準(zhǔn)方程為：X2=3y,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y=--12故選：D.(4分)平面a的一個(gè)法向量是m=(4,1,-g),平面p的一個(gè)法向量是n=(2,-1,3),則平面a與平面P的位置關(guān)系是( )A.垂直 B.平行C.既不平行也不垂直 D.不確定【解答】解：?一平面a的一個(gè)法向量是m=(4,1,-3),平面P的一個(gè)法向量是n=(1,-1,3)m產(chǎn)=4x—+1x(-1)+(-一)x3=02 3?二平面a與平面P的位置關(guān)系是垂直.(4分)劉徽是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是中國最寶貴的文化遺產(chǎn)，他所提出的割圓術(shù)可以估算圓周率兀，理論上能把冗的值計(jì)算到任意的精度.割圓術(shù)的第一步是求圓的內(nèi)接正六邊形的面積.若在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取TOC\o"1-5"\h\z自該圓內(nèi)接正六邊形的概率是( )D.A.垣 B.遙 CD.4兀 2兀 2?！窘獯稹拷猓喝鐖D所示，設(shè)圓的半徑為R，則圓的面積為冗R2,圓內(nèi)接正六邊形的邊長為R，面積為6x1xR2xsin-=3巫；2 3 23<3R2 _3則所求的概率為P=―2-=3.-R2 2-故選：B故選：B.第7頁(共17頁)7.（4分）在某校舉行的校園十佳歌手大賽中，五位評(píng)委給一位歌手給出的評(píng)分分別為\=9.5,x2=9.6,x3=9.7,x4=9.8,x5=9.9，運(yùn)行程序框圖，其中X是這五個(gè)數(shù)據(jù)的平均值，則輸出的S值及其統(tǒng)計(jì)意義分別是（ ）S=0.02，即5個(gè)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.02S=0.02，即5個(gè)數(shù)據(jù)的方差為0.02S=9.7,即5個(gè)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為9.7S=9.7,即5個(gè)數(shù)據(jù)的方差為9.7【解答】解：由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量155S二一乙（x-x）2,5ii=1由xi=9.5,x2=9.6,x3=9.7,x4=9.8,x5=9.9的平均數(shù)為9.7,故S表示5個(gè)數(shù)據(jù)的方差，代入計(jì)算可得：S=0.02,故選：B.（4分）已知關(guān)于變量x,j的線性回歸方程為y=0.25x+0.55，且x,y的一些相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，則表格中m的值為（ ）x1234y0.8m1.41.5A.1 B.1.05 C.1.2 D.2第8頁（共17頁）【解答】解：5=1+2+3+4=2,5,y=0.8+m+14+1.5=3.7+m,4 4 4樣本點(diǎn)的中心為（2.5,374m）,代入線性回歸方程為y=0.25%+0.55，得3,7+m=0.25x2.5+0.55,4解得：m=1.故選：A.（4分）有下列三個(gè)命題：①設(shè)命題p:若m是質(zhì)數(shù)，則m一定是奇數(shù).那么「p真命題；②在AABC中，"sinA=sinB”是“cosA=cosB”的充要條件；③“若%>1,則I%1>1”的否命題是“若%>1,則I%1?1”.其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）A.3 B.2 C.1 D.0【解答】解：①設(shè)命題p:若m是質(zhì)數(shù)，則m一定是奇數(shù).例如2是質(zhì)數(shù)，但是偶數(shù)，所以命題是假命題，那么「p真命題；所以①正確；②在AABC中，若sinA=sinB，則A=B，故有cosA=cosB，反之成立，故在AABC中，"sinA=sinB”是“cosA=cosB”的充要條件；②正確；③“若%>1,則I%I>1”的否命題是“若%?1,則I%I?1”.所以③不正確；故選：B.（4分）已知橢圓C:2+y=1（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為勺，勺焦距為2c.若直\：3線y=——（%+c）與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)M滿足/MFF=2/MFF,則該橢圓的離心率等于（3 21 12）A.3—5 B.<5—<3 C.<3+1 D.<3-1【解答】解：因?yàn)橹本€y=彳3（%+c）過橢圓左焦點(diǎn)，且斜率為m，所以/MFF2=30。，又/MFF=2/MFF,所以/MFF=20。，/FMF=90°,故IMFJ=<3c,IMF21=c,第9頁（共17頁）

由點(diǎn)M在橢圓上知，c+<3c=2a.故離心率e————^—==、3-1.a1+--.-3故選：D.二.填空題（每題4分，共20分）（4分）84和126的最大公約數(shù)為42.【解答】解：126=84+42,84=42x2.84和126的最大公約數(shù)為42.故答案為：42.TOC\o"1-5"\h\z（4分）已知F（-3,0）,F（3,0）是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，且直線y=區(qū)x是該雙曲線的12'， 2一條漸近線，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為—三-￡=1_.4 5【解答】解：由題意，c=3,雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上，直線y——x是該雙曲線的一條漸近線，所以-——,a2+b2=9,2 a2二.b='5,a=2,???雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：上-竺=1;45故答案為：上-￡=1；45（4分）如圖莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件），若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)都相等，則x+y的值為12.甲組16甲組16x4乙組3y9【解答】解：由已知中甲組數(shù)據(jù)：43,51,56,64,60+x；的中位數(shù)為56,故乙組數(shù)據(jù)：45,53,50+y,59,67；的中位數(shù)也為65,即y=6,將y=6，代入乙組可得乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：56,這兩組數(shù)據(jù)的平均值也相等，故x=6,所以：x+y=6+6=12；故答案為：12.（4分）如圖，在三棱錐S-ABC中，已知SA±平面ABC,AB±AC,SA=AC=AB,第10頁（共17頁）點(diǎn)E、F分別在SC和BC上，且EC=1SC,BF=1BC，則直線EF與直線AC所成角的3 3余弦值為——_.6【解答】解：SA1平面ABC,AB1AC,，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)SA=AC=AB=3，?「點(diǎn)E、F分別在SC和BC上，且EC=1SC，BF=1BC，3 3...E（0，2，1），F(xiàn)（2，1，0），A（0，0，0），C（0，3，0），EF=（2，-1，—1），AC=（0，3，0），設(shè)直線EF與直線AC所成角為0，則“so二lE^ACL二3二旦,EFHACIJ6停6???直線EF與直線AC所成角的余弦值為—.6故答案為：—.6（4分）設(shè)P為方程\；（，+4）2+y2+、心-4）2+產(chǎn)=12表示的曲線上的點(diǎn)，M、N分別為圓(x+4)2+y2=4和圓(x-4)2+y2=1上的點(diǎn)，則IPMI+1PNI的最小值為9第11頁（共17頁）【解答】解：P為方程\6+4)2+產(chǎn)+%-4)2+產(chǎn)=12表示的曲線上的點(diǎn)，,?P是橢圓方程為x2+”二1上任意一點(diǎn)，，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(-4,0),F(4,0),3620 i 2V兩圓：(x+4)2+產(chǎn)=4和(x-4)2+產(chǎn)=1的圓心分別為勺(-4,0)，F(xiàn)(4,0)，又點(diǎn)P為橢圓為x2+”二1上任意一點(diǎn)，3620.?」PFI+1PF21=12，由圖可知，IPMI+1PNI的最小值為IPF\+1PFI-3=9；故答案為：9.三.解答題(每題8分，共32分)(8分)設(shè)命題p:方程二+=1表示雙曲線；命題q:“方程工+上=1表示1-mm+2 m22m焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”.(1)若p和q均為真命題，求m的取值范圍；(2)若pvq為真命題，paq為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解答】解：(1)若p為真命題，則(1-m)(m+2)<0,得m>1,或m<-2,若q為真命題，則m2>2m>0,得m>2,故p和q均為真命題時(shí)，取交集得，m的取值范圍為：m>2.(2)因?yàn)閜vq為真命題，paq為假命題，第12頁(共17頁)

所以p,q一真一假，當(dāng)p真q假時(shí)，［":1或m<一2,解得m<-2，或1<心,Im,,2當(dāng)p假q真時(shí)，『剟m1，無解Im22綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為m<-2或1<m?2.（8分）某高校在2017年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如表:組號(hào)分組頻率第1組[160,165)0.05第2組[165,170)0.35第3組[170,175)①第4組[175,180)0.20第5組[180,185]0.10（1）求出頻率分布表中①處應(yīng)填寫的數(shù)據(jù)，并完成如圖所示的頻率分布直方圖;組距（2）根據(jù)直方圖估計(jì)這次自主招生考試筆試成績的平均數(shù)和中位數(shù)（結(jié)果都保留兩位小數(shù)）.組距0080.070.060C50,040.030.020.01■ ■ I I I I .0160165170175180185成績,分【解答】解：（1）由頻率分布表的性質(zhì)得：①處應(yīng)填寫的數(shù)據(jù)為：1-（0.05+0.35+0.20+0,10）=0.30.完成頻率分布直方圖如下：第13頁（共17頁）（2）平均數(shù)為:0.05x162.5+0.35x167.5+0.3x172.5+0.2x177.5+0.1x182.5=172.25.0.05+0.35+x=0.5，解得x=0.1,??.：.中位數(shù)為：170+0.1=170.10.在(8分)在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，ZDAB二一，側(cè)面AADP為等腰直3角三角形，PA=PD,AB=PB=2,點(diǎn)E為棱AD的中點(diǎn).(1)求證：PE±平面ABCD；(2)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.在【解答】解：（1）證明：：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，ZDAB二一,3側(cè)面AADP為等腰直角三角形，PA=PD,AB=PB=2,點(diǎn)E為棱AD的中點(diǎn).PE±AD,PE=1,BE±AD,BE=<4^1="3,PE2+BE2=PB2, PE±BE,AD^BE=E,「.PE±平面ABCD.??(2)解：以E為原點(diǎn)，EA為x軸，EB為y軸，EP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，A(1,0,0),B(0,<3,0),P(0,0,1),C(-2,<3,0),BA=(1,-+3,0),PB=(0,v3,-1),PC=(-2,<3,-1),第14頁(共17頁)

設(shè)平面PBC的法向量n=（％,j,z）,則卜產(chǎn)=底—z［0- ，取j=1,得n二（0,1,￡,［n^C=-2%+J3j-z=0設(shè)直線1B與平面PBC所成角為9, 一???直線AB與平面PBC所成角的正弦值為：sin9=1BAn1=且=呈.IBA〃nI2出4（8分）在區(qū)間［1,6］上任取一個(gè)數(shù)記為a，在區(qū)間［L5］上任取一個(gè)數(shù)記為b.（1）若a,beN*，求直線ax-bj=1的斜率為k?1的概率；2（2）若a,beR，求直線ax-bj=1的斜率為k?1的概率.2【解答】解：（1）?「在區(qū)間［1,6］上任取一個(gè)數(shù)記為a,在區(qū)間［1,5］上任取一個(gè)數(shù)記為b,a,beN*,/.a=1,2,3,4,5,6,n=1,2,3,4,5.基本事件總數(shù)N=6x5=30,直線ax-bj=1的斜率為k?1，即a?!，也就是2a?b,2b2滿足條件的基本事件(a,b)有6個(gè)，分別是：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),直線ax-bj=1的斜率為k?1的概率P=—=1；2 305(2))在區(qū)間［1,6］上任取一個(gè)數(shù)記為a,在區(qū)間［1,5］上任取一個(gè)數(shù)記為b,a,beR,有序?qū)崝?shù)對(duì)3b）滿足s6,而滿足直線ax而滿足直線ax-bj=1的斜率為k?12］剟a6即11釉