流體力學(xué)課件第6章：可壓縮氣體一元流動

本章介紹從流體力學(xué)原理出發(fā)研究可壓縮性一元流動的一般方法

伯努利方程等熵關(guān)系式連續(xù)性方程狀態(tài)方程介紹長管可壓縮流動的研究方法

第六章可壓縮氣體一元流動

可壓縮流體：≠const

6.1

問題的提出可壓縮流動下，流速受什么因素限制？密度為變數(shù)的情況下，如何從質(zhì)量守恒和能量守恒關(guān)系導(dǎo)出流動參數(shù)的變化規(guī)律？如何獲得超聲速氣流？如何避免不利因素而對流動裝置進行優(yōu)化設(shè)計？

熱力學(xué)基本公式狀態(tài)方程：熱力學(xué)第一定律：加入系統(tǒng)的能量=內(nèi)能的增加+系統(tǒng)對外界所作的功（：比容）比熱：單位質(zhì)量的氣體，溫度升高1K所需的熱量焓和熵氣體做絕熱且沒有摩擦損失的流動時，熵不發(fā)生變化，稱為等熵流動。6.2壓縮性氣體的能量方程沿流線伯努利方程寫為考慮一個短管內(nèi)的高速一元定常流動，假定①忽略重力，②忽略散熱—絕熱等熵流動利用等熵關(guān)系式積分或或上式可寫成：比不可壓流動多一項于是可見：等熵流動時，溫度與速度有關(guān)，速度提高則溫度降低。6.3小擾動波的傳播及聲速

在可壓縮流體中，如果某處產(chǎn)生一個局部的微弱壓力擾動，這個壓力擾動將以波面的形式（稱為小擾動波）在流體內(nèi)傳播，其傳播速度稱為音速（或聲速），記作c(a)。

如用錘擊鼓時，引起鼓膜的震動，勢必擠壓鄰近的一層空氣，使其壓強和密度稍微升高，于是它有擠壓外層的空氣，依次傳遞下去‥‥‥當(dāng)鼓膜一凸一凹震動時，會使鄰近空氣壓強一升一降，使密度一密一疏的產(chǎn)生微弱擾動。

因此，音速實際上是發(fā)聲器所發(fā)出的微弱擾動而引起周圍空氣的一種微弱擾動波（小擾動波），一般稱為聲波或音波。擾動在流體內(nèi)的傳播是以“波”的形式進行的，稱為“擾動波”。擾動波通過流體的某一部分介質(zhì)后使其流動參數(shù)發(fā)生變化。在受擾部分與未受擾部分之間有一個界面，稱為“波陣面”。

聲速就是小擾動波陣面在流體中的傳播速度。說明：①擾動波的傳播速度與流體本身的運動速度完全不同。②聲音的傳播依賴于產(chǎn)生擾動波的介質(zhì)。

如圖6-1所示，在一個截面積為A、足夠長的直圓管中充滿了靜止的氣體，將圓管左端的活塞以微小速度dV向右輕微地推動一下，使活塞右側(cè)的氣體壓強升高一個微小增量dp，dp所產(chǎn)生的微弱壓強擾動向右傳播。活塞將首先壓縮緊貼活塞的那一層氣體，這層氣體受壓后，又傳及下一層氣體，這樣依次一層一層地傳下去，就在圓管中形成一個不連續(xù)的微弱的壓強突躍，就是壓縮波mn，它以速度c

向右推進。壓縮波面mn是受活塞微小推移的影響而被擾動過的氣體與未被擾動過的靜止氣體的分界面。設(shè)在壓縮波前未被擾動過的靜止氣體的壓強為p、密度為ρ、溫度為T，波后已被擾動過的氣體以與活塞的微小運動同樣的微小速度dV向右運動，其壓強增高到p+dp，密度和溫度也相應(yīng)增加到ρ+dρ和T+dT。圖6-1微弱擾動波的一維傳播

顯然，這是非定常流動。為了得到定常流動，可以設(shè)想觀察者隨波面mn一起以速度c向右運動。氣體相對于觀察者定常地從右向左流動，經(jīng)過波面速度由c降為c-dv，而壓強由p升高到p+dp，密度和溫度由ρ、T增加到ρ+dρ、T+dT。如圖6-1(b)所示，取包圍壓縮波的控制面，根據(jù)連續(xù)性條件，在dt時間內(nèi)流入和流出該控制面的氣體質(zhì)量應(yīng)該相等，即化簡后，得

（6-1）由于壓縮波很薄，作用在該波上的摩擦力可以忽略不計。于是對于控制面，根據(jù)動量定理利用連續(xù)方程，得（6-2）由式（6-1）和式（6-2）得略去小量，得（6-3）式（6-3）與物理學(xué)中計算聲速的拉普拉斯公式完全相同。可見氣體中微弱擾動波的傳播速度就是聲速。在式（6-3）的推導(dǎo)過程中，并未對介質(zhì)提出特殊要求，故該式既適用于氣體，也適用于液體，乃至適用于一切彈性連續(xù)介質(zhì)。不同介質(zhì)的壓縮性不同，壓縮性小的擾動波傳播速度高，壓縮性大的擾動波傳播速度低，因此聲速值反映了流體可壓縮性的大小。由于微弱擾動波的傳播過程進行得很迅速，與流體來不及進行熱交換，而且其中的壓強、密度和溫度變化極為微小，摩擦阻力被忽略，所以這個傳播過程可以近似地認(rèn)為是一個可逆的絕熱過程，即等熵過程（Laplace，1816）。根據(jù)等熵過程關(guān)系式和理想氣體狀態(tài)方程代入（6-3），得到氣體聲速（6-4）由式（6-4）可知，氣體中的聲速與氣體常數(shù)γ、R及溫度有關(guān)。在同一流場中，不同時刻，不同點的溫度若不同，則聲速也不同。所以聲速指的是流場中某一點在某一瞬時的聲速，稱為當(dāng)?shù)芈曀?。對于空氣：?1.4，R=287N·m/(kg·K)

聲速是相對于流體運動而言的小擾動傳播速度。

聲速是標(biāo)志著流體壓縮性的一個重要參數(shù)。聲速小使密度改變dρ所需的壓強dp小，流體易壓縮。反之，聲速大表明流體難壓縮。對于不可壓縮流體聲速趨于無限大，即小擾動在不可壓縮流體中的傳播是瞬時的，而在壓縮性流體中的傳播是需要一段時間的，這是不可壓縮流體和可壓縮流體的本質(zhì)區(qū)別之一。對于液體和彈性介質(zhì)，壓強的變化對溫度的變化影響很小，彈性模量可寫為聲速對20℃的水，查附表A-1得，E=2.18x109N/m2，ρ=998.2kg/m3，所以聲速c=1478m/s。對于理想剛體，彈性模量E趨于無限大，聲速也趨于無限大。實際計算中，常用氣體速度V與當(dāng)?shù)芈曀賑的比值來作為判斷氣體壓縮性對流動影響的一個標(biāo)準(zhǔn)Ma稱為馬赫數(shù)，是一個無量綱數(shù)，也是氣體動力學(xué)中一個重要參數(shù)。馬赫數(shù)Ma表征流體的慣性力與壓縮的彈性力之比。按Ma的大小，可壓縮流體流動分成三種類型。Ma<1，亞音速流動；Ma≈1，跨音速流動；1<Ma≤3，超音速流動；Ma>3，高超音速流動。

（6-5）微弱擾動波的空間傳播

前面討論了微弱擾動波的一維傳播，下面進一步討論微弱擾動波在空間流場中的傳播。為了便于分析問題，假設(shè)流場中某點有一固定的擾動源，每隔1s發(fā)生一次微弱擾動，現(xiàn)在分析前3s產(chǎn)生的微弱擾動波在空間的傳播情況。由于不論流場是靜止的還是運動的，是亞聲速的還是超聲速的，都將對微弱擾動波在空間的傳播情況產(chǎn)生影響，所以下面分四種情況來討論。a．靜止流場(V=0)b.亞聲速流場(V<c)c.聲速流場（V=c）d.超聲速流場（V>c）

1．靜止流場(V=0)

在靜止流場中，擾動源產(chǎn)生的微弱擾動波以聲速c向四周傳播，形成以擾動源所在位置為中心的同心球面波，微弱擾動波在3s末的傳播情況如圖(a)所示。如果不考慮微弱擾動波在傳播過程中的損失，隨著時間的延續(xù)，擾動必將傳遍整個流場。也就是說，微弱擾動波在靜止氣體中的傳播是無界的。2．亞聲速流場(V<c)

在亞聲速流場中，擾動源產(chǎn)生的微弱擾動波在3s末的傳播情況如圖(b)所示。由于擾動源本身以速度運動，故微弱擾動波在各個方向上傳播的絕對速度不再是當(dāng)?shù)芈曀賑，而是這兩個速度的矢量和。這樣，球面擾動波在順流和逆流方向上的傳播就不對稱了。但是由于V<c，所以微弱擾動波仍能逆流傳播，相對氣流傳播的擾動波面是一串不同心的球面波。如果不考慮微弱擾動波在傳播過程中的損失，隨著時間的延續(xù)，擾動仍可以傳遍整個流場。也就是說，微弱擾動波在亞聲速氣流中的傳播也是無界的。3．聲速流場（V=c）

在聲速流場中，擾動源產(chǎn)生的微弱擾動波在3s末的傳播情況如圖(c)所示。由圖可見，由于V=c，所以擾動波已不能逆流向上游傳播，所有擾動波面是與擾動源相切的一系列球面。隨著時間的延續(xù)，球面擾動波不斷向外擴大，但無論它怎樣擴大，也只能在擾動源所在的垂直平面的下游半空間內(nèi)傳播，永遠不可能傳播到上游半空間。也就是說，微弱擾動波在聲速氣流中的傳播是有界的。

4．超聲速流場（V>c）

在超聲速流場中，擾動源產(chǎn)生的微弱擾動波在3s末的傳播情況如圖5-2(d)所示。由圖可見，由于V>c，所以相對氣流傳播的擾動波不僅不能向上游傳播，反而被氣流帶向擾動源的下游，所有擾動波面是自擾動源點出發(fā)的圓錐面的一系列內(nèi)切球面，這個圓錐面就是馬赫錐。隨著時間的延續(xù)，球面擾動波不斷向外擴大，但也只能在馬赫錐內(nèi)傳播，永遠不會傳播到馬赫錐以外的空間。也就是說，微弱擾動波在超聲速氣流中的傳播也是有界的，界限就是馬赫錐。

馬赫錐的半頂角，即圓錐的母線與氣流速度方向之間的夾角，稱為馬赫角，用θ表示。由圖(d)可以容易地看出，馬赫角θ與馬赫數(shù)Ma之間的關(guān)系為

馬赫角從90°[這時相當(dāng)于擾動源以聲速V=c流動的情況，如圖(c)所示]開始，隨著馬赫數(shù)的增大而逐漸減小。由于圓錐頂就是擾動源，所以當(dāng)物體以超聲速運動時，它所引起的擾動不能傳到物體的前面。馬赫錐外面的氣體不受擾動的影響，微弱擾動波的影響僅在馬赫錐內(nèi)部，即微弱擾動波不能向馬赫錐外傳播。（6-6）

馬赫錐外面的空氣不受影響，故又稱為寂靜區(qū)。當(dāng)飛機作超音速飛行時，在飛機的前方聽不道聲音，只有當(dāng)飛機掠過頭頂時才能聽到聲音。因此，陸地上的交通車輛不應(yīng)以超音速行始，否則行人將聽不到車輛的鳴笛聲。例：子彈在15℃的大氣中飛行，以測得其頭部的馬赫角是40°，求子彈的飛行速度u。

上述關(guān)系也適用于氣流流過一靜止微小障礙物時的情況。假如氣體以與上述擾動源的運動速度數(shù)值相等而方向相反的速度作等速直線運動，則擾動源就成為靜止微小障礙物，即圖(a-d)中的3點就是靜止擾動源，而擾動源所發(fā)出的擾動波（圖中的各圓）不斷地被氣流以速度-V帶走。很明顯，在（即）的亞聲速流動時，帶走的各擾動波在一定時間后可達到空間中的任何一點。也就是說，擾動波不僅能順流傳播，而且也能逆流傳播。但在（即）的超聲速流動時，帶走的各擾動波只能在馬赫錐內(nèi)順流傳播，不能逆流傳播，也就是說在超聲速流動中的微弱擾動不能傳播到整個空間。這就是超聲速流動和亞聲速流動的一個重要差別，從而使這兩種流動的圖形有著根本的不同。一元定常流的連續(xù)方程或由考慮管道截面變化對一元可壓縮流的影響，忽略摩擦效應(yīng)和熱交換，忽略重力。

氣流參數(shù)與通道面積的變化關(guān)系可得6.4壓縮性氣流的連續(xù)性方程馬赫數(shù)聲速代入連續(xù)性方程或則則②M>1，超聲速流動，A↑則V↑，ρ↓，P↓，T↓①M<1，亞聲速流動，A↓則V↑，ρ↓，P↓，T↓③M=1，

臨界狀態(tài)：流速達到聲速時A為極小值（臨界截面）。與不可壓氣體流動相反，原因是氣體密度減小（膨脹）。應(yīng)用：收縮性噴嘴，流速最大可達聲速（最小截面處），要想得到超聲速必須采用縮放型噴管—拉伐爾噴管。

討論

可壓縮流體作一元等熵流動時，當(dāng)流速發(fā)生變化時，溫度、壓力和密度等也發(fā)生變化。這些熱力學(xué)參數(shù)的變化關(guān)系，都可以表示為無量綱（如馬赫數(shù)）的函數(shù)。也稱為氣體動力學(xué)函數(shù)。等熵流動的總能量是常數(shù)，可以用某一個參考點的參數(shù)表示。6.5壓縮性氣流中各參數(shù)的變化規(guī)律V=0的熱力學(xué)狀態(tài)參數(shù)：根據(jù)利用狀態(tài)方程和等墑關(guān)系式，推出下列關(guān)系式：一、滯止參數(shù)（流體速度為零的熱力學(xué)狀態(tài)）氣流速度加快、馬赫數(shù)增大時，溫度降低，壓強減低，氣體膨脹。對于空氣，γ=1.4，當(dāng)Ma=0.3時，ρ0/ρ=1.0456，密度的變化小于5％，因此通常不考慮壓縮性。高速流動中溫度的測定，測得溫度為滯止溫度T0，而不是流體溫度T。故應(yīng)修正：例：對空氣，T0=52℃，γ=1.4，R=287J/kg，V=200m/s,則

T=32.1℃，T0-T≈20℃，可見必須予以修正。狀態(tài)參數(shù)則：空氣γ=1.4,另外：注意：在流動過程中聲速是變化的，二、臨界參數(shù)（流體速度等于聲速，即Ma=1的狀態(tài)）溫度降至絕對零度，氣流速度達到最大值的極限狀態(tài)。則有三、最大速度狀態(tài)習(xí)題6-166-176.6壓縮性氣體經(jīng)噴管的流動一、收縮型噴管（或孔口出流）儲氣罐中的壓縮氣體經(jīng)噴管或孔口流出，可視為絕熱流動，根據(jù)得及實際應(yīng)用時，需乘以流量系數(shù)加以修正噴管質(zhì)量流量噴管截面積出口速度最大只能達到聲速，此時噴管出口壓強降至臨界壓強p*，流量Qm達到最大值。如果噴管出口外面壓強（一般稱背壓）小于p*，噴管出口壓強和流量不變，氣體在出口外部進行膨脹。二、經(jīng)拉伐爾噴管的流動拉伐爾噴管是瑞典工程師拉瓦爾（deLaval）發(fā)明的，用于產(chǎn)生超音速氣流，它由收縮段﹑喉部及擴張段三部分組成，氣流在收縮部分加速，在最小截面（喉部）上達到臨界狀態(tài)，然后在擴張段繼續(xù)加速成超音速，整個流動為等熵流動。拉伐爾噴管內(nèi)的流速和流量仍然可以用上述收縮型噴管的公式計算，流量系數(shù)一般取0.96～0.99。喉部壓強為臨界壓強p*，將代入，可得臨界質(zhì)量流量和截面積噴管出口流量與喉部相同，出口與喉部截面積之比為任意兩個截面面積比與馬赫數(shù)的關(guān)系：連續(xù)方程等墑關(guān)系滯止參數(shù)所以考慮粘性摩擦，熱交換對等徑長管內(nèi)一元可壓縮流的影響。一、基本方程連續(xù)方程：或動量方程：6.7壓縮性氣體的等徑管流或切應(yīng)力：于是，運動方程可寫為面積：定常流動加速度：假定包含流體的管段dl（含管壁）無外力功，外界傳熱量為dq，忽略管壁內(nèi)能增量，能量方程可寫為或狀態(tài)方程由連續(xù)方程動量方程能量方程：①④②③即絕熱無摩擦流動即絕熱有摩擦等徑管流即無摩擦等徑管流即等徑等溫管流代入能量方程，整理可得討論：(1)M<1時，dV>0，摩擦使氣流沿程加速，且dT<0，降溫(2)M>1時，dV<0，摩擦使氣流沿程減速，且dT>0，升溫(3)最大管長lmax

：氣流加速到當(dāng)?shù)芈曀贂r的管長二、絕熱有摩擦等徑管流沿程流速(V1=入口流速）：沿程壓力(p1=入口壓力）：沿程溫度(T1=入口溫度）：討論：⑶⑴⑵時，dV>0，沿程加速，吸熱；存在最大管長lmax時，dV<0，沿程減速，放熱；三、等溫等徑管流沿程流速V2：沿程壓力p2：體積流量：對小壓差流動，p1p2，則：（達西公式）習(xí)題6-186-206-226.8膨脹波與激波膨脹波是小擾動在超音速氣流中傳播的物理現(xiàn)象。所謂小擾動指的是使流動參數(shù)發(fā)生小變化是個微量，因而可以略去高階小量而使得方程線性化。它的特點是擾動以當(dāng)?shù)匾羲賯鞑ィ瑪_動波在傳播過程中波形不變。

當(dāng)飛機、炮彈和火箭以超音速飛行時，或者發(fā)生強爆炸、強爆震時，氣流受到急劇的壓縮，壓強和密度發(fā)生急劇增加，這時所產(chǎn)生的壓強擾動將以比聲速大得多的速度傳播，波陣面所到之處氣流的各種參數(shù)發(fā)生突然的顯著變化，產(chǎn)生突躍，這個強間斷面叫做激波陣面。一.膨脹波

當(dāng)超音速氣流中出現(xiàn)微弱壓力擾動時，這個微弱擾動可以傳播到流場的一部分區(qū)域，擾動區(qū)和未擾動區(qū)的分界面是馬赫線（馬赫波）。如果擾動源是一個低壓源，則氣流受擾動后壓強將下降，速度將增大，這種馬赫波稱為膨脹波—降壓增速波；反之，如果擾動源是一個高壓源，則氣流受擾動后壓強將增加，速度將減小，這種馬赫波稱為壓縮波—增壓減速波。由于通過馬赫波時氣流參數(shù)值變化不大，因此氣流通過馬赫波的流動仍可作為等熵流動過程。

如圖，由于氣流外折一個角度，流通面積增加，由可壓縮流體連續(xù)性方程：

在超音速氣流的情況下，速度增加。且馬赫數(shù)增大。如圖,馬赫線OL與速度VL夾角就是馬赫角θ。取波面控制體，聯(lián)立連續(xù)性方程和等熵過程熱力學(xué)方程，可得：凸壁面,dθ>0,dM>0,即馬赫數(shù)增大，氣流加速。凹壁面，dθ<0,dM<0,即馬赫數(shù)減小，氣流減速。如果氣流連續(xù)折過幾個微小角度，則會產(chǎn)生幾個馬赫波。

如果超音速氣流折過一個有限角△θ，則會產(chǎn)生無數(shù)個匯交于O點的馬赫波，這些發(fā)散的馬赫波稱為膨脹波。

求得θ與M1、M2的關(guān)系式：——普朗特-邁耶函數(shù)。二.激波1.正激波的形成

以氣體中的微弱擾動波在直圓管中傳播的情況為例來說明正激波形成的物理過程。如圖所示，在一個充滿靜止氣體的直圓管中，活塞向右突然加速到某一速度Vg，活塞右側(cè)的靜止氣體受壓后被擾動形成一個壓縮波向右移動，已被擾動的氣體的壓強從p1升高到p2。設(shè)p2-p1是一個有限的壓強量。為了分析方便起見，假定把這個有限的壓強增量看作是無數(shù)個無限小壓強增量dp的總和。于是，可認(rèn)為在活塞右側(cè)形成的壓縮波是一系列微弱擾動波連接而成的。每一個微弱擾動波壓強增加dp。當(dāng)活塞開始運動時，第一個微弱擾動波以聲速c1傳到未被擾動的靜止氣體中去，緊跟著第二個微弱擾動波以聲速c2傳到已被第一個微弱擾動波擾動過的氣體中去。在t=0～△t時段，活塞速度增至△V，氣體被擾動產(chǎn)生音波：波后的溫度從T1增至T1+△T1，波后氣體以△V向右運動。在t=△t～2△t時段，活塞速度增至2△V，產(chǎn)生第二道音波：c2＞c1，第二道音波很快將趕上第一道音波。

以此類推，第三個微弱擾動波又以比第二個略快一些的聲速向右傳播，…。經(jīng)過一段時間后，后面的微弱擾動波一個一個追趕上前面的波，波形變得愈來愈陡，最后疊加成一個垂直于流動方向的具有壓強不連續(xù)面的壓縮波，這就是正激波。激波的性質(zhì)和原來的各個小壓力波有很大的不同。氣流通過激波除壓強突躍地升高外，密度和溫度也同樣突躍地增加，而速度則下降。激波是以大于其前方氣體的聲速來傳播的。

由于激波是無數(shù)道壓縮波疊加而成的，使氣流的性質(zhì)發(fā)生質(zhì)的變化，激波前后參數(shù)不再等熵。所以激波與聲波有本質(zhì)的區(qū)別。激波壓縮是一個絕熱，增熵過程。

激波的厚度非常小，激波不連續(xù)變化是在與氣體分子平均自由行程同一數(shù)量級（在空氣中約3×10-4mm左右）內(nèi)完成的。例如，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓、M=2的超音速氣流中的激波厚度約為2.5×10-5cm。在這個非常小的厚度內(nèi)，氣體的壓強﹑密度﹑溫度等發(fā)生急劇變化，內(nèi)部結(jié)構(gòu)很復(fù)雜，人們通常忽略其厚度，認(rèn)為波面是一個間斷面，激波前后的參數(shù)發(fā)生