微積分基本概念

微積分基本概念第1頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六推廣一元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)注意:善于類比,區(qū)別異同多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第2頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六第一節(jié)一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束多元函數(shù)的基本概念第3頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六一、區(qū)域1.鄰域點(diǎn)集稱為點(diǎn)P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑

,也可寫成點(diǎn)P0

的去心鄰域記為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六在討論實(shí)際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)?。因?yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六2.

區(qū)域(1)

內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集

E

及一點(diǎn)P:若存在點(diǎn)P

的某鄰域U(P)E,若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P)∩E=,若對點(diǎn)

P

的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點(diǎn)也含E則稱P為E

的內(nèi)點(diǎn)；則稱P為E

的外點(diǎn);則稱P為E

的邊界點(diǎn).機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束的外點(diǎn),顯然,E

的內(nèi)點(diǎn)必屬于E,

E

的外點(diǎn)必不屬于E,E

的邊界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.第6頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六(2)

聚點(diǎn)若對任意給定的

,點(diǎn)P

的去心機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束鄰域內(nèi)總有E

中的點(diǎn),則稱P

是E

的聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以屬于E,也可以不屬于E(因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為E

的導(dǎo)集

.E

的邊界點(diǎn))第7頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六D(3)開區(qū)域及閉區(qū)域若點(diǎn)集E

的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E

為開集；若點(diǎn)集E

E

,則稱E

為閉集；

若集D

中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于D的折線相連,

開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D

是連通的;

連通的開集稱為開區(qū)域

,簡稱區(qū)域;機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束。。

E

的邊界點(diǎn)的全體稱為E

的邊界,記作E;第8頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六

整個平面點(diǎn)集是開集，是最大的開域,也是最大的閉域；但非區(qū)域.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束o

對區(qū)域D,若存在正數(shù)

K,使一切點(diǎn)PD與某定點(diǎn)A的距離APK,則稱

D

為有界域

,界域.否則稱為無第10頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六3.n

維空間n元有序數(shù)組的全體稱為n

維空間,n維空間中的每一個元素稱為空間中的稱為該點(diǎn)的第k

個坐標(biāo).記作即機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一個點(diǎn),當(dāng)所有坐標(biāo)稱該元素為中的零元,記作O.第11頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六的距離記作中點(diǎn)

a

的

鄰域?yàn)闄C(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束規(guī)定為與零元O

的距離為第12頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六二、多元函數(shù)的概念引例:圓柱體的體積定量理想氣體的壓強(qiáng)三角形面積的海倫公式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六二：

二元函數(shù)的定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．第14頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六例如,

二元函數(shù)定義域?yàn)閳A域說明:

二元函數(shù)

z=f(x,y),(x,y)D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束的圖形一般為空間曲面.三元函數(shù)定義域?yàn)閳D形為空間中的超曲面.單位閉球第15頁，共17頁，2023年，2月20日，星期六例1

求