數(shù)學模型初等模型

數(shù)學模型初等模型第1頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六引論第2頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六原型model指為了某個特定的目的將原型的某一部分信息簡縮、提煉而構造的原型替代物。Prototype指人們在現(xiàn)實世界里關心、研究或者從事生產(chǎn)、管理的實際對象。在科技領域通常使用系統(tǒng)（system）、過程(process)等詞匯。模型與第3頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六模型物質(zhì)模型（形象模型）理想模型（抽象模型）直觀模型、物理模型…思維模型、符號模型、數(shù)學模型…第4頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學模型

“數(shù)學模型是關于部分現(xiàn)實世界為一定目的而作的抽象、簡化的數(shù)學結構。”更簡潔地，也可以認為“數(shù)學模型是用數(shù)學術語對部分現(xiàn)實世界的描述。”——本德（E.A.Bender）第5頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六一般地說，數(shù)學模型可以描述為：

對于現(xiàn)實世界地一個特定對象，為了一個特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結構。數(shù)學模型第6頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六

甲乙兩地相距750km，船從甲到乙順水航行需要30h，從乙到甲逆水航行需要50h，問船速、水速各是多少？解方程組用x，y分別代表船速和水速，得方程第7頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六描述性的數(shù)學模型解釋性的數(shù)學模型按照人們對原型的認識過程分為類分第8頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六人口模型交通模型電氣系統(tǒng)模型通信系統(tǒng)模型機電系統(tǒng)模型環(huán)境模型傳染病模型水資源模型再生資源利用模型污染模型…生態(tài)模型按照模型的應用領域分為

類分第9頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六幾何模型代數(shù)模型圖論模型規(guī)劃論模型微分方程模型最優(yōu)控制模型信息模型隨機模型決策與對策模型模擬模型…按照建立模型的數(shù)學方法分為

類分第10頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六靜態(tài)模型和動態(tài)模型……確定性模型和隨機模型離散模型和連續(xù)性模型線性模型和非線性模型按照模型的特征分為

類分第11頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六白箱模型灰箱模型黑箱模型按照對模型結構的了解程度分為

類分第12頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六作用預報與決策：

生產(chǎn)過程中產(chǎn)品質(zhì)量指標的預報、氣象預報、人口預報、經(jīng)濟增長預報等等，都要有預報模型；使經(jīng)濟效益最大的價格策略、使費用最少的設備維修方案，都是決策模型的例子?？刂婆c優(yōu)化

電力、化工生產(chǎn)過程的最優(yōu)控制、零件設計中的參數(shù)優(yōu)化，要以數(shù)學模型為前提。建立大系統(tǒng)控制與優(yōu)化的數(shù)學模型，是迫切需要和十分棘手的課題。

分析與設計

例如描述藥物濃度在人體內(nèi)的變化規(guī)律以分析藥物的療效；建立跨音速流和激波的數(shù)學模型，用數(shù)值模擬設計新的飛機翼型。規(guī)劃與管理

生產(chǎn)計劃、資源配置、運輸網(wǎng)絡規(guī)劃、水庫優(yōu)化調(diào)度，以及排隊策略、物資管理等，都可以用數(shù)學規(guī)劃模型解決。第13頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六局限技藝條理非預制可轉移強健漸近折衷逼真性和可行性

建模時往往需要在模型的逼真性和可行性，“費用”與“效益”之間作出折衷和選擇。數(shù)學模型的特點第14頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六折衷局限技藝條理非預制可轉移強健漸近漸近性稍微復雜一些的實際問題的建模通常不可能一次成功，要經(jīng)過建模過程的反復迭代，包括由簡到繁，也包括刪繁就簡，以獲得越來越滿意的模型。數(shù)學模型的特點第15頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六漸近折衷局限技藝條理非預制可轉移強健強健性

一個好的模型應該具有下述意義的強健性：當模型假設改變時，可以導出模型結構的相應變化；當觀測數(shù)據(jù)有微小改變時，模型參數(shù)也只有相應的微小的變化。數(shù)學模型的特點第16頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六強健漸近折衷局限技藝條理非預制可轉移可轉移性

一個模型時現(xiàn)實對象抽象化、理想化的產(chǎn)物，它不為對象的所屬領域所獨有，可以轉移到另外的領域。在生態(tài)、經(jīng)濟、社會等領域內(nèi)建模就常常借用物理領域中的模型。數(shù)學模型的特點第17頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六可轉移強健漸近折衷局限技藝條理非預制非預制性

模型的非預制性使得建模本身常常是事先沒有答案的問題（Open-end-problem）。在建立新的模型的過程中甚至會伴隨折新的數(shù)學方法或者概念的產(chǎn)生。

數(shù)學模型的特點第18頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六非預制可轉移強健漸近折衷局限技藝條理條理性

從建模的角度考慮問題可以促使人們對現(xiàn)實對象的分析更全面、更深入、更具有條理性。數(shù)學模型的特點第19頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六條理非預制可轉移強健漸近折衷局限技藝技藝性

從建模的方法無法歸納出若干條普遍適用的建模準則和技巧。經(jīng)驗、想象力、洞察力、判斷力以及直覺、靈感等在建模過程中起的作用往往比一些具體的數(shù)學知識更大。數(shù)學模型的特點第20頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六技藝條理非預制可轉移強健漸近折衷局限局限性

1.當結論應用于實際問題，就回到的現(xiàn)實世界，那些被忽視、簡化的因素必須考慮，所以結論的通用性和精確性只是相對的和近似的。2.由于人們認識能力和科學技術發(fā)展水平的限制，還有不少實際問題很難得到有實用價值的數(shù)學模型。3.還有些領域中的問題今天尚未發(fā)展到用建模的方法尋求數(shù)量規(guī)律的階段，如中醫(yī)診斷過程。數(shù)學模型的特點第21頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六開設目的對數(shù)學教育而言，既應該讓學生掌握準確快捷的計算方法和嚴密的邏輯推理，也需要培養(yǎng)學生用數(shù)學工具分析解決實際問題的意識和能力。傳統(tǒng)的數(shù)學教學體系和內(nèi)容偏重于前者，開設數(shù)學建模課程則是加強后者的一種嘗試。另外，開設本課也是為了一年一度的“全國大學生數(shù)學建模大賽”做一些準備工作。第22頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六商人過河

建模示例之

三名商人各帶一個隨從乘船渡河，一只小船只能容納兩人，由他們自己劃船。隨從們密約，在河的任何一岸，一旦隨從的人數(shù)比商人多，就殺人越貨。但是如何乘船渡河的大權掌握在商人們手中。商人們怎么樣才能安全渡河呢?第23頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六分析：

安全渡河問題可以視為一個多步?jīng)Q策過程。每一步，即船由此岸駛向彼岸或從彼岸駛回此岸，都要對船上的人員（商人、隨從各幾人）作出決策，在保證安全的前提下（兩岸的隨從數(shù)都不比商人數(shù)多），在有限步內(nèi)使全部人員過河。用狀態(tài)（變量）表示某一岸的人員狀況，決策（變量）表示船上的人員狀況，可以找出狀態(tài)隨決策變化的規(guī)律。問題轉化為在狀態(tài)的允許變化范圍內(nèi)（即安全渡河條件），確定每一步的決策，達到渡河的目的。第24頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六模型構成

記第次渡河前此岸的商人數(shù)，隨從數(shù)為.將二維向量定義為狀態(tài)。安全渡河條件下的狀態(tài)集合成為允許狀態(tài)集合，記做.

第25頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六模型構成

記第次渡河渡船上的商人數(shù)，隨從數(shù)為.將二維向量定義為決策。允許狀態(tài)集合，記做.由小船的容量可知

因為為奇數(shù)時船從此岸駛向彼岸，為偶數(shù)時船由彼岸駛回此岸，所以狀態(tài)隨決策變化的規(guī)律是，稱之為狀態(tài)轉移律。第26頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六這樣制訂安全渡河方案歸結為如下的多步?jīng)Q策模型：

求決策，使狀態(tài) 按照轉移律，由初始狀態(tài)經(jīng)有限步到達狀態(tài)。模型構成

第27頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六O123xy321模型求解

在商人和隨從人數(shù)不大的簡單情況，用圖解法比較簡便。第28頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六

這里講述的是一種規(guī)格化的方法，所建立的多步?jīng)Q策模型可以用計算機求解，從而具有推廣的意義。譬如，當商人和隨從人數(shù)增加或小船的容量加大時，靠邏輯思考就困難了，而用這種模型則仍可方便的求解。適當?shù)卦O置狀態(tài)和決策，確定狀態(tài)轉移律，建立多步?jīng)Q策模型，是有效地解決很廣泛的一類問題的方法。評注第29頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六設船速和水速為常數(shù)x，y表示船速和水速勻速運動中s=vt二元一次方程解出x＝20，y=5船速為20km/h水速為5km/h根據(jù)建模的目的和問題的背景作出必要的簡化假設用字母表示待求的未知量利用相應的物理和其他規(guī)律求出數(shù)學上的解答用這個答案解釋原問題列出數(shù)學式子驗證合格第30頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六論文、上機指導概率統(tǒng)計模型應用軟件微分方程模型優(yōu)化模型第31頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六

某學校有3個系共200名學生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名?，F(xiàn)學生代表會議設20個席位，公平而又簡單的席位分配辦法是按學生人數(shù)的比例分配，顯然甲乙丙三系分別應占有個席位。初等模型之

公平的席位分配10，6，4現(xiàn)在丙系有6名學生轉入甲乙兩系，有3人轉入甲系，3人轉入乙系。這時代表席位應該怎樣分配呢？第32頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六表1按照比例并參照慣例的席位分配21個席位的分配比例分配席位參照慣例結果10.815116.61573.570321.00021系別學生人數(shù)學生人數(shù)的比例(％)20個席位的分配比例分配席位參照慣例結果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44總和200100.02020第33頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六建立數(shù)量指標

討論A,B兩方公平席位分配的情況。

設兩方人數(shù)分別為和，占有席位分別為和，則每個席位代表的人數(shù)為和。公平的條件：但是，通常情況下，即不公平，并且數(shù)值較大的一方吃虧，即對這一方不公平。第34頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六則。不妨假設不公平程度可用數(shù)值衡量。分析：設(1)則；又設(2)

為了改進上述絕對標準，故采用相對標準。第35頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六若，則定義為對A的相對不公平度。若，則定義為對A的相對不公平度。原則：使盡可能小。第36頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六

不失一般性可設，即對A不公平。當再增加1席時，關于的不等式有以下可能：確定分配方案

利用和討論，當增加1席時，應該分配給A還是B。1.，1.，這說明即使A方增加1席仍然對A不公平，所以這一席顯然應該分給A方；第37頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六2.，這說明A方增加一席時將變?yōu)閷不公平，參照可計算出對B的相對不公平度為3.，即當B方增加一席時將對A不公平，參照可計算出對B的相對不公平度為第38頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六所以如果則這1席應分給A方；反之則分給B方。由得第39頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六記則增加的1席應分給Q值較大的一方。這種席位分配方法稱為Q值法。第20席：第40頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六記則增加的1席應分給Q值較大的一方。這種席位分配方法稱為Q值法。第21席：第41頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六

尋求公平分配席位的方法的關鍵，是建立衡量公平程度的既簡單又簡明的數(shù)量指標，本模型提出的的指標是相對不公平度，在這個前提下得到的Q值方法應該是公平的。但是如果跳出這個前提，公平席位問題還遠未解決。評注第42頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六練：學校共有1000名學生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。學生們要組織一個10人的委員會，試著用以下方法分配各宿舍的委員數(shù)：(1)Q值法。(2)d’Hondt方法：將A,B,C各宿舍的人數(shù)用正整數(shù)n=1,2,3,…相除，其商數(shù)如表：12345A235117.578.358.7547B333166.511183.2566.6C43221614410886.4第43頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六初等模型之

雙層玻璃窗的功效

如圖所示，兩層厚度為的玻璃夾著一層厚度為的空氣。據(jù)說這樣做是為了保暖，即減少室內(nèi)向室外的熱量流失。墻墻墻墻第44頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六模型假設

1.熱量的傳播只有傳導，沒有對流。即假定窗戶密封性能很好，兩層玻璃之間的空氣是不流動的。2.室內(nèi)溫度和室外溫度保持不變，熱傳導過程處于穩(wěn)定狀態(tài)，即沿熱傳導方向，單位時間通過單位面積的熱量是常數(shù)。3.玻璃材料均勻，熱傳導系數(shù)是常數(shù)。第45頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六在上述假設下熱傳導過程遵從下面的物理定律：厚度為的均勻介質(zhì)，兩側溫度差為，則單位時間由溫度高的一側向溫度低的一側通過單位面積的熱量與成正比，與成反比，即為熱傳導系數(shù)。模型構成

第46頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六記雙層窗內(nèi)玻璃的外側溫度是，外層玻璃的內(nèi)側溫度是，玻璃的熱傳導系數(shù)為，空氣的熱傳導系數(shù)為，由式單位時間單位面積的熱量傳導(即熱量流失)為從上式中消去，可得墻墻第47頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六對于厚度為的單層玻璃窗，容易寫出其熱量傳導為墻墻那么，二者之比為從有關資料可知，常用玻璃的熱傳導系數(shù)為不流通、干燥空氣的熱傳導系數(shù)為第48頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六取，由，式可得熱量損失比與的關系第49頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六模型應用

這個模型具有一定應用價值。制作雙層玻璃窗雖然工藝復雜會增加一些費用，但它減少的熱量損失卻是相當可觀的。通常，建筑規(guī)范要求。按照這個模型，3％，即雙層窗比用同樣多的玻璃材料制成的單層窗節(jié)約熱量97％左右。不難發(fā)現(xiàn)，之所以有如此高的功效主要是由于層間空氣的極低的熱傳導系數(shù)，而這要求空氣是干燥、不流通的，這當然不能完全滿足，所以功效實際上會差一些。另外，房間熱量的散失，通過玻璃窗的實際上只占一小部分。第50頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六初等模型之劃艇比賽的成績

賽艇是一種靠槳手劃槳前進的小船，分單人艇、雙人艇、四人艇、八人艇四種。各種艇雖大小不同，但形狀相似。T.A.McMahon比較了各種賽艇1964～1970年四次2000m比賽的最好成績(包括64年和68年的兩次奧運會和兩次世界錦標賽)，發(fā)現(xiàn)他們之間有相當一致的差別，他認為比賽成績與槳手數(shù)量之間存在著某種聯(lián)系，于是建立了一個模型來解釋這種關系。第51頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六艇種2000m成績t(min)艇長(m)艇寬(m)1234平均單人7.167.257.287.177.217.930.29327.016.3雙人6.876.926.956.776.889.760.35627.413.6四人6.336.426.486.136.3211.750.57421.018.1八人5.875.925.825.735.8418.280.61030.014.7各種艇的比賽成績和規(guī)格第52頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六問題分析賽艇前進時受到的阻力主要是艇浸沒部分與水之間的摩擦力。艇靠槳手的力量克服阻力保持一定的速度前進。槳手越多劃艇前進的動力越大。但是艇和槳手總重量的增加會使艇浸沒面積加大，于是阻力便會加大，增加的阻力將抵消一部分增加的動力。建模目的是尋求槳手數(shù)量與比賽成績的關系之間的數(shù)量規(guī)律。如果假設艇速在整個賽程中保持不變，那么只需要構造一個靜態(tài)模型，使問題簡化為建立槳手數(shù)量與艇速之間的關系。第53頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六為了分析所受阻力的情況，調(diào)查各種艇的幾何尺寸和重量，可以看出，槳手數(shù)增加時，及艇重都隨之增加，但是比值和變化不大。若假定是常數(shù)，即各種艇的形狀一樣，則可得艇浸沒面積與排水體積之間的關系。若假定是常數(shù)，則可得到艇與槳手總重量與槳手數(shù)之間的關系。此外還需對槳手體重、劃槳功率、阻力與艇速的關系等方面作出簡化且合理的假定，才能用合適的物理定律建立需要的模型。第54頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六模型假設1.各種艇的幾何形狀相同，為常數(shù)；艇重槳手數(shù)成正比。這是艇的靜態(tài)特性。2.艇速是常數(shù)，前進時受的阻力與成正比(其中是艇浸沒部分的面積)。這是艇的動態(tài)特性。3.所有槳手的體重都相同，記作；在比賽中每個槳手的劃槳功率保持不變，且與成正比。第55頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六由假設1，各種艇幾何形狀相同。若艇浸沒面積與某特征尺寸的平方成正比，則艇排水體積必與的立方成正比其中，代入得模型構成有名槳手的艇的總功率與阻力和速度的乘積成正比，即由假設1，各種艇幾何形狀相同第56頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六而由阿基米德定律，艇排水體積與總重量成正比，即又根據(jù)艇重與槳手數(shù)成正比，所以艇和槳手數(shù)的總重量也與成正比，即式代入式，當是常數(shù)時得到第57頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六初等模型之動物的身長和體重四足動物的軀干長度(不含頭尾)與它的體重有什么關系，這個問題有一定實際意義。比如，在生豬收購站或屠宰場工作的人們，往往希望能從生豬的身長估計出它的體重。動物的生理構造因種類不同而異，如果陷入對生物學復雜生理結構的研究，將很難得到滿足上述目的的有使用價值的模型。第58頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六把四足動物的軀干看作圓柱體，長度、直徑、斷面面積。將這種圓柱體的軀干類比作一根支撐在四肢上的彈性梁。設動物在自身體重作用下軀干的最大下垂度為(即梁的最大彎曲),根據(jù)對彈性梁的研究因為，所以第59頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六類比法是建模中常用的一種方法。在這個模型中將動物軀干類比作彈性梁實屬一個大膽的假設，其可信程度自然應該用實際數(shù)據(jù)仔細檢驗。但是這種充分發(fā)揮想象力，把動物軀干長度和體重的關系這樣一個看來無從下手的問題轉化為已經(jīng)有確切成果的彈性梁在自重下?lián)锨鷨栴}的作法，是值得借鑒的。評注第60頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六初等模型之實物交換

甲有面包一斤，乙