2022高考聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試卷

2022年高考聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試卷一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則（）A.B.C.D.【1題答案】【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合B，再根據(jù)交集的定義即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，，所?故選：B.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.1B.C.D.5【2題答案】【答案】B【解析】【分析】將等式兩邊同時取?？汕蠼?【詳解】將等式兩邊同時取模，有，即，所以.故選：B3.“”是“函數(shù)－kx－k的值恒為正值”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【3題答案】【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)－kx－k的值恒為正值求出k的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可判斷.【詳解】函數(shù)－kx－k的值恒為正值，則，∵，∴“”是“函數(shù)－kx－k的值恒為正值”的必要不充分條件.故選：B.4.已知，則（）A.B..C.D.【4題答案】【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式以及余弦的二倍角公式即可求出結(jié)果.【詳解】故選：D.5.已知單位向量和滿足，則與的夾角為（）A.B.C.D.【5題答案】【答案】B【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律，將已知條件轉(zhuǎn)化為，即可求與的夾角.【詳解】由題設(shè)，，則，∴，又和為單位向量，∴，又，∴.故選：B6.已知直線：恒過點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與圓：相交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.B.2C.4D.【6題答案】【答案】A【解析】【分析】根據(jù)將最小值問題轉(zhuǎn)化為d取得最大值問題，然后結(jié)合圖形可解.【詳解】將，變形為，故直線恒過點(diǎn)，圓心，半徑，已知點(diǎn)P在圓內(nèi)，過點(diǎn)作直線與圓相交于A，兩點(diǎn)，記圓心到直線的距離為d，則，所以當(dāng)d取得最大值時，有最小值，結(jié)合圖形易知，當(dāng)直線與線段垂直的時候，d取得最大值，即取得最小值，此時，所以.故選：A.7.河圖是上古時代神話傳說中伏羲通過黃河中浮出龍馬身上的圖案，與自己的觀察，畫出的“八卦”，而龍馬身上的圖案就叫做“河圖”．把一到十分成五組，如圖，其口訣：一六共宗，為水居北；二七同道，為火居南；三八為朋，為木居?xùn)|；四九為友，為金居西；五十同途，為土居中．“河圖”將一到十分成五行屬性分別為金，木，水，火，土的五組，在五行的五種屬性中，五行相克的規(guī)律為：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金；五行相生的規(guī)律為：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木．現(xiàn)從這十個數(shù)中隨機(jī)抽取3個數(shù)，則這3個數(shù)字的屬性互不相克的條件下，取到屬性為土的數(shù)字的概率為（）A.B.C.D.【7題答案】【答案】C【解析】【分析】從這十個數(shù)中隨機(jī)抽取3個數(shù)，這3個數(shù)字的屬性互不相克，包含的基本事件個數(shù)，這3個數(shù)字的屬性互不相克的條件下，取到屬性為土的數(shù)字包含的基本事件個數(shù)為：，由此能求出這3個數(shù)字的屬性互不相克的條件下，取到屬性為土的數(shù)字的概率．【詳解】由題意得數(shù)字4，9屬性為金，3，8屬性為木，1，6屬性為水，2，7屬性為火，5，10屬性為土，從這十個數(shù)中隨機(jī)抽取3個數(shù)，這3個數(shù)字的屬性互不相克，包含的基本事件個數(shù)，這3個數(shù)字的屬性互不相克的條件下，取到屬性為土的數(shù)字包含的基本事件個數(shù)為：，∴這3個數(shù)字的屬性互不相克的條件下，取到屬性為土的數(shù)字的概率．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查古典概型，關(guān)鍵在于根據(jù)計數(shù)原理準(zhǔn)確求解基本事件總數(shù)和某一事件包含的基本事件個數(shù).8.已知函數(shù)，若且，則有（）A.可能是奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù)B.C.時，D.【8題答案】【答案】D【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義結(jié)合即可判斷A；令，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合已知判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷BCD即可得解.【詳解】解：若是奇函數(shù)，則，又因?yàn)?，與矛盾，所有函數(shù)不可能時奇函數(shù)，故A錯誤；令，則，因?yàn)椋?，所以，所以函?shù)為增函數(shù)，所以，即，所以，故B錯誤；因?yàn)?，所以，，所以，故，即，所以，故C錯誤；有，即，故D正確.故選：D.二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.下列說法中正確的是（）A.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，則B.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布且，則C.已知隨機(jī)變量X的方差為，則D.以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，設(shè)，將其變換后得到線性回歸方程，則【9題答案】【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布得方差公式即可判斷A；根據(jù)正態(tài)分布得對稱性求出，從而可判斷B；根據(jù)方差得性質(zhì)即可判斷C；根據(jù)題意求出，即可判斷D．【詳解】解：對于A，由隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，得，故A正確；對于B，因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則對稱軸為，又，所以，所以，故B錯誤；對于C，因?yàn)殡S機(jī)變量X的方差為，則，故C錯誤；對于D，模型，則，又因，，所以，所以，故D正確．故選：AD．10.已知函數(shù)對任意都有，且函數(shù)的圖象關(guān)于對稱.當(dāng)時，.則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱B.函數(shù)的最小正周期為2C.當(dāng)時，D.函數(shù)在上單調(diào)遞減【10題答案】【答案】BC【解析】【分析】先求出周期和解析式，畫出圖像，對四個選項(xiàng)一一驗(yàn)證：對于A：由圖像可判斷函數(shù)的中心對稱；對于B：利用圖像變換作出函數(shù)的圖象，即可判斷；對于C：直接求出解析式即可判斷；對于D：利用圖像變換作出的圖像，即可判斷；【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)對任意都有，所以，即，所以所以，即恒成立，所以的周期為4.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于對稱，所以將的圖象向右平移一個單位，得到的圖象，所以關(guān)于對稱.任取，則，因?yàn)楹瘮?shù)對任意都有，即，所以.所以，作出的圖象如圖所示：對于A：由圖象可知：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故A錯誤；對于B：函數(shù)的圖象可以看成的圖象x軸上方的圖象保留，把x軸上方的圖象軸下方的圖象翻折到x軸上方，所以函數(shù)的最小正周期為2.故B正確；對于C：由前面的推導(dǎo)可得：當(dāng)，.故C正確；對于D：作出的圖像如圖所示，在上函數(shù)單調(diào)遞增.故D錯誤.故選：BC11.已知拋物線，C的準(zhǔn)線與x軸交于K，過焦點(diǎn)F的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，連接AK、BK，設(shè)的中點(diǎn)為P，過P作的垂線交x軸于Q，下列結(jié)論正確的是()A.B.C.的面積最小值為D.【11題答案】【答案】BD【解析】【分析】設(shè)直線AB的傾斜角為α，即∠AFx＝α，設(shè)，，.可根據(jù)角平分線的性質(zhì)判斷A；過A作AD⊥x軸，垂足為D，表示出，即可判斷B；，數(shù)形結(jié)合即可判斷C；求出PQ方程，令y＝0求出Q的橫坐標(biāo)，求出即可判斷它們的關(guān)系，由此判斷D.【詳解】設(shè)直線AB的傾斜角為α，即∠AFx＝α，設(shè)，，，①若，則，則根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，x軸為∠AKB的角平分線，但x軸不一定是∠AKB的平分線，故A錯誤；②過A作AD⊥x軸，垂足為D，則tan，，，故B正確；③，當(dāng)，即AB⊥x軸時，取等號，故的面積最小值為，故C錯誤；對于D：，則，∴PQ方程為：，令y＝0得，，∴，∴，∴，故D正確.故選：BD.12.已知正四棱臺的上下底面邊長分別為4，6，高為，E是的中點(diǎn)，則（）A.正四棱臺的體積為B.正四棱臺的外接球的表面積為104πC.AE∥平面D.到平面的距離為【12題答案】【答案】BCD【解析】【分析】利用正四棱臺的體積計算可判斷A；連接相交于，連接相交于，分外接球的球心在正四棱臺的內(nèi)部、內(nèi)部，根據(jù)、，求出可判斷B；取的中點(diǎn)，利用面面平行的判斷定理可判斷平面平面，從而可判斷C；以為原點(diǎn)，所在的直線分別為建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，利用點(diǎn)到平面的距離的向量求法可判斷D.【詳解】正四棱臺的體積為，，故A錯誤；連接相交于，連接相交于，如果外接球的球心在正四棱臺的內(nèi)部，則在上，，因?yàn)樯舷碌酌孢呴L分別為4，6，所以，，設(shè)外接球的半徑為，所以，即，無解，所以外接球的球心在正四棱臺的外部，如下圖，則在延長線上，，因?yàn)樯舷碌酌孢呴L分別為4，6，所以，，設(shè)外接球的半徑為，所以，即，解得，所以正四棱臺外接球的表面積為，故B正確；取的中點(diǎn)，連接，，連接，所以，所以是的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又，所以，又因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，因?yàn)?，所以，平面，平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，故C正確；以為原點(diǎn)，所在的直線分別為建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，所以，即，令可得，到平面的距離為，故D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知雙曲線C的一條漸近線方程為，且其實(shí)軸長小于4，則C的一個標(biāo)準(zhǔn)方程可以為___________.【13題答案】【答案】【解析】【分析】可設(shè)雙曲線的方程為，假設(shè)，則雙曲線的實(shí)軸為，再根據(jù)實(shí)軸長小于4，求得此時的范圍，即可寫出符合題意的雙曲線方程.【詳解】解：可設(shè)雙曲線的方程為，即，當(dāng)時，雙曲線的實(shí)軸為，則，所以，可取，則C的一個標(biāo)準(zhǔn)方程可以為.故答案為：.（答案不唯一）14.在的展開式中，第3項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中的系數(shù)為___________.【14題答案】【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的第3項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求得，再求出展開式的通項(xiàng)，令的指數(shù)等于，從而可得出答案.【詳解】解：因?yàn)槎?xiàng)式的第3項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，所以，則二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，則，所以展開式中的系數(shù)為.故答案：.15.在棱長為的正方體中，是的中點(diǎn)，是上的動點(diǎn)，則三棱錐外接球表面積的最小值為_______.【15題答案】【答案】【解析】【分析】作出圖形，設(shè)，利用基本不等式可求得的最大值，可求得的最小值，利用正弦定理求得外接圓直徑的最小值，可求得該三棱錐外接球直徑的最小值，由此可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示，設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長為，圓柱的外接球半徑為，取圓柱的軸截面，則該圓柱的軸截面矩形的對角線的中點(diǎn)到圓柱底面圓上每個點(diǎn)的距離都等于，則為圓柱的外接球球心，由勾股定理可得.本題中，平面，設(shè)的外接圓為圓，可將三棱錐內(nèi)接于圓柱，如下圖所示：設(shè)的外接圓直徑為，，該三棱錐的外接球直徑為，則.如下圖所示：設(shè)，則，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，由，可得，，所以，的最大值為，由正弦定理得，即的最小值為，因此，，所以，三棱錐外接球的表面積為.故三棱錐外接球的表面積的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可.16.已知三棱錐，P是面內(nèi)任意一點(diǎn)，數(shù)列共9項(xiàng)，且滿足，滿足上述條件的數(shù)列共有___________個.【16題答案】【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題意可得，從而可求得或，再分和討論結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)镻是面內(nèi)任意一點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面，因?yàn)?，所以，即，解得或，?dāng)時，則數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，則，符合題意；當(dāng)時，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以，則，符合題意，所以滿足上述條件的數(shù)列共有2個.故答案為：2.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.己知等差數(shù)列的公差為正實(shí)數(shù)，滿足，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且___________，求數(shù)列的前項(xiàng)和為，以下有三個條件：①；②；③從中選一個合適的條件，填入上面橫線處，使得數(shù)列為等比數(shù)列，并根據(jù)題意解決問題.【17~18題答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意求得公差，從而可得出答案；（2）根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)與數(shù)列前項(xiàng)和的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用錯位相減法即可得出答案.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，解得（負(fù)值舍去），所以，所以；【小問2詳解】解：選①，由，當(dāng)時，，當(dāng)時等式也成立，所以，則，所以，則，兩式相減得，所以.選②，由，當(dāng)時，，所以，所以數(shù)列為以1為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，所以，則，以下步驟同①.選③，由，得，兩式相減得：，又，所以數(shù)列為以1為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，所以，則，以下步驟同①.18.已知△的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角A的大??；（2）若點(diǎn)D在邊BC上，且，，求△的面積.【18~19題答案】【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理的邊角關(guān)系、三角形內(nèi)角的性質(zhì)可得，再應(yīng)用二倍角正弦公式化簡可得，即可求A的大小.（2）由題設(shè)可得，法一：由正弦定理及可得，再由余弦定理得到，最后根據(jù)三角形面積公式求△面積；法二：根據(jù)三角形面積公式有，由△的邊BD與△的邊DC上的高相等及已知條件可得，再由余弦定理得到，最后根據(jù)三角形面積公式求△面積；【小問1詳解】由已知及正弦定理得：，又，∴，又，∴，則，而，∴，則，故，得【小問2詳解】由，，則.法一：在△中，，①在△中，，②∵，∴，③由①②③得：，又，得，∴，不妨設(shè)，，在△中，由余弦定理可得，，得，所以.法二：.∵△的邊BD與△的邊DC上的高相等，∴，由此得：，即，不妨設(shè)，，在△中，由余弦定理可得，，得，所以.19.如圖，在直四棱柱中，底面ABCD為菱形，且，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為與的交點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【19~20題答案】【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）先證明DE⊥平面，進(jìn)而根據(jù)面面垂直的判定定理證明問題；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而根據(jù)空間向量的夾角運(yùn)算求得答案.【小問1詳解】如圖，連接BD.在菱形ABCD中，連接BD，∠BAD=60°，所以為正三角形，因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以DE⊥AB.因?yàn)锳B//CD，所以DE⊥CD.因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，而，所以DE⊥平面.又因?yàn)槠矫鍰EF，所以平面DEF⊥平面.【小問2詳解】設(shè)，以D為原點(diǎn)，以直線DE，DC，分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，.設(shè)為平面DEF的法向量，由得取，得.由（1），則平面，即為平面的一個法向量，所以，由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.20.某汽車生產(chǎn)廠家為了解某型號電動汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”，收集了使用該型號電動汽車年以上的部分客戶的相關(guān)數(shù)據(jù)，得到他們的電動汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”．從年齡在40歲以下的客戶中抽取10位歸為A組，從年齡在40歲（含40歲）以上的客戶中抽取10位歸為B組，將他們的電動汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”整理成下圖，其中“+”表示A組的客戶，“⊙”表示B組的客戶．注：“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”是指電動汽車的行駛總里程與充電次數(shù)的比值．（Ⅰ）記A，B兩組客戶的電動汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”的平均值分別為，，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，試比較，的大?。ńY(jié)論不要求證明）；（Ⅱ）從A，B兩組客戶中隨機(jī)抽取2位，求其中至少有一位是A組的客戶的概率；（III）如果客戶的電動汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”不小于350，那么稱該客戶為“駕駛達(dá)人”．從A，B兩組客戶中，各隨機(jī)抽取1位，記“駕駛達(dá)人”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望．【20題答案】【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（III）見解析.【解析】【分析】（Ⅰ）；（Ⅱ）設(shè)“從抽取的20位客戶中任意抽取2位，至少有一位是A組的客戶”為事件M，利用古典概型及排列組合能求出從抽取的20位客戶中任意抽取2位至少有一位是A組的客戶的概率；（III）依題意ξ的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．【詳解】（Ⅰ）．（Ⅱ）設(shè)“從抽取的位客戶中任意抽取位，至少有一位是A組的客戶”為事件M，則．所以從抽取的位客戶中任意抽取位至少有一位是A組的客戶的概率是．（III）依題意的可能取值為，，．則；；．所以隨機(jī)變量的分布列為：所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．即．【點(diǎn)睛】求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合，枚舉法，概率公式，求出隨機(jī)變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離