淺談同構(gòu)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力 論文

淺談同構(gòu)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力摘要：通過對函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生對用函數(shù)圖象解決問題有一定的掌握。但對于用“同構(gòu)法”解決問題掌握不是很好，所以作者對“同構(gòu)法”解決問題舉了幾個例子，希望對同學(xué)們的思維發(fā)展有一定的幫助。要培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)的思維，構(gòu)造函數(shù)或者利用數(shù)形結(jié)合去解決問題的能力。尊重學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，精心設(shè)計問題，通過一系列問題的解決，引發(fā)學(xué)生的思考和交流，讓學(xué)生思維得到提升和鍛煉。關(guān)鍵詞：同構(gòu)法，數(shù)學(xué)思維，數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)。1一、問題提出近幾年高考數(shù)學(xué)客觀題壓軸題，多以導(dǎo)數(shù)為工具來證明不等式或求參數(shù)的取值范圍，這類試題具有結(jié)構(gòu)獨特、技巧性高、綜合性強等特點，而構(gòu)造函數(shù)是解決導(dǎo)數(shù)問題的基本方法。構(gòu)造函數(shù)方法很多，形式多樣。對于具體問題要具體分析。這里只對“同構(gòu)法”加以簡單的分析?！巴瑯?gòu)法”就是：在不等式或者等式中，同時含有ax、logax兩種形式的函數(shù)，可以考慮將式子進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化、變形、拼湊，將不等式或等式轉(zhuǎn)化成同一個函數(shù)的兩個不同的函數(shù)值的形式，然后借助該函數(shù)的單調(diào)性來解決問題?！巴瑯?gòu)法”的三個基本模式：（1）積型：aeablnb三種同構(gòu)方式 同左：aex(lnb)elnb同右：ealneablnb取對：alnalnbln(lnf(x)xexxxlnxf(x)xlnb)f(x)（2）商型：b ea同左：elnbf(x)exea三種同構(gòu)方

aaelnblnxelnb(x)xxflnealnb lnea取對：a

lnblnf(x)xlnxlnalnbln(lnb)（3）和差型：aeablnb兩種同構(gòu)方式

同左：

同右：aeaelnaeelnblnbf(x)xexxablnbf(x)xln二、例題講解例1、已知34，log34，求。分析：問題描述很簡單，但是常規(guī)做法有點無從下手。課堂上留學(xué)生思考5分鐘，基礎(chǔ)好的同學(xué)做出來的也很少。所以學(xué)生的函數(shù)思想的建立很難一蹴而就。在課上介紹了有兩種解決這種問題的方法。法一：（數(shù)形結(jié)合思想[1]）2根據(jù)對稱性很容易得到4。（法二）33

log

3

4

4

log3

，3log3 4log3，與3 4形式一致，所以構(gòu)造函數(shù)g(x)3xx4，易知函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，由上面兩個等式可以得到，兩個零點分別為 、log3，容易得到 log3。容易得到4。例2、已知實數(shù) p、 q滿足 2pp5， log2 q1q1，則pq2( ) 。分析：方法一（數(shù)形結(jié)合）3由兩個等式分別變形可得：2p5p,log2(2p2)5(2p2)，令y2x，ylog2x，y5x畫出函數(shù)圖象。則方程2pp5的解是函數(shù)y2x和y5x的交點的橫坐標(biāo)。方程log2q1q1的解是函數(shù)y5x和ylog2x的交點的橫坐標(biāo)。又因為y2x和ylog2x互為反函數(shù)，圖象關(guān)于yx對稱。易得這兩個方程的交點關(guān)于yx與y5x的交點對稱。如圖，5x解得：

y5，即pq2)5，pq23。25x2(2方法二（同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)）由兩個等式分別變形可得：42pp,5log2(2p2)(2p2)5log2(2p2)2log2(2p2)5。構(gòu)造函數(shù)：f(x)2xx，易知f(x)2xx單調(diào)遞增。所以函數(shù)f(p)f(log2(2q2))可得plog2(2q2)2p2q2，代入2pp5可得：p(2q2)5，pq23。例3、設(shè)函數(shù)f(x)axx3的零點為m，g(x)logaxx3的零點為n，則mn的取值范圍()A.(,09B.94,

C.(,09D.9,

422a，分析：這個例題只可以用數(shù)形結(jié)合思想類比例1、2的法一解決問題。因為底數(shù)是構(gòu)造的函數(shù)單調(diào)性不好判斷。例4、實數(shù)、滿足e31和(ln)1e4，求。分析：e31和(ln)1e4，對上面兩式兩邊同時取對數(shù)可得ln30ln3，lnln(ln)14ln1ln(ln)13。能用構(gòu)造函數(shù)f(x)xlnx3的思想解決問題。單調(diào)函數(shù)f(x)xlnx3的零點唯一可得:ln1代入ln3得lnln13，可得4e。例5、已知f(x)exlnx2x，若0x是函數(shù)f(x)的一個零點，則x0xe0的值為。5分析：由題意得，f(x0)ex0lnx02x00，所以1。ex0x0lnx0x0，不妨設(shè)g(x)xlnx(x0)，故g(ex)exlnexexx，從而g(ex0)g(x0)，易知g(x)xlnx在()上單調(diào)遞增，故exx0，從而ex0x0三、歸納總結(jié)“同構(gòu)法”的理解就是同一個式子不同的表示形式。把左右兩邊的式子變成形式一致，然后構(gòu)造函數(shù)解決問題。“同構(gòu)法”只是一個巧妙的方法，應(yīng)用廣泛，同時需要運用等量代換和轉(zhuǎn)化的思[2]。若能熟練掌握這個技巧，可以提高解題效率。但是