立體幾何（亮點練）-【過高考】2023年高考數(shù)學大一輪單元復習課件與檢測（新高考專用）（解析版）

專題08立體幾何

提升絳I

1.一個菱形的邊長為4cm,一個內角為60。，將菱形水平放置并且使較長的對角線成橫向,

則此菱形的直觀圖的面積為（）.

A.8>/3cm2B.4\/3cm2C.2>/6cm2D.\/6cm2

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，求出對角線的長度，根據(jù)圖形，求直觀圖的面積.

【詳解】

由條件口J知,較長的對角線的尺度是>/42+42-2x4x4xcosl20=4x/4cm,

較短的對角線的長度是“2+4?-2x4x4xcos60-=4cm>

根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則可知，AC=46,BD=2,菱形直觀圖的面積

S=—x4gx2x=2\Z6cm2

22

故選：C

2.如圖，四棱錐P-ABCD,AC[}BD=O,M是PC的中點，直線40交平面R町于

點N,則下列結論正確的是（）

A.O,N,P,M四點不共面B.四點共面

C.o,MM三點共線D.P,M。三點共線

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)基本事實一、二、三逐一排除即可.

【詳解】

直線AC與直線PO交于點。，所以平面PCA與平面PBD交于點O,所以必相交于直線PO,

直線AM在平面PAC內，點NeAM故Ne面PAC,故0,N,P,M四點共面，所以A錯.

點D若與M,N共面，則直線BD在平面PAC內，與題目矛盾，故B錯.

0，M為中點，所以OM//PA,ONnPA=P,故ONcOM=O,故C錯.

故選D.

【點睛】

本題屬于中檔題，考查基本事實一、二、三的應用，學生不易掌握，屬于易錯題.

3.如圖，在四面體ABCO中，E,F分別是AC與的中點，若CD=2AB=4,EFVBA,貝恒產

與C￡>所成的角為（）

A.90°B.45°C.60°D.30°

【答案】D

【解析】

【分析】

設G為的中點，連接GF,GE,由三角形中位線定理可得,G"CD,則/GFE即

為E尸與C。所成的角，結合48=2,C￡>=4,EF1AB,在△GEF中，利用三角函數(shù)即可得到

答案.

【詳解】設G為AO的中點，連接G凡GE

則G凡GE分別為△A3D,△4C。的中線.

/.GF^AB,且GF=gAB=l,GE^CD,且6￡=*。=2,則E/與8所成角的度數(shù)等于E尸

與GE所成角的度數(shù)

X￡F±AB,GF//AB

：.EF±GF

則4GE尸為直角三角形，GF=1,GE=2,ZGF￡=90°

在直角△GEF中，sinNGEF=；

：.ZGEF=30°.

4.如圖所示，在棱長為a的正方體ABCO-A/B/C/。/中，E是棱￡>￡>/的中點，尸是側面C0QG

上的動點，且⑶尸〃平面A/8E,則/=*在側面C￡>。。上的軌跡的長度是（）

A.aB.-C.41aD,—

22

【答案】D

【解析】

【分析】

過用做與平面A8E平行的平面，該平面與側面CD。?的交線，即為滿足條件的軌跡，求

解即可.

【詳解】

設G,H,I分別為CD,CC,,GD邊上的中點，

連接BiH,IH,CDi,EG,BG,則Af〃CA〃GE,

所以4,B,E,G四點共面，

由44〃AE，AE<Z平面8/印，8du平面8/H/,

所以A/E〃平面B/H/,同理48〃平面B/m，

A]Br\AlE=A,,所以平面4/8GE〃平面3/”/,

又因為8萬〃平面A/BE,所以F落在線段印上，

因為正方體438///&/）/的棱長為小

所以m=，卬=①°,

212

即尸在側面8QG上的軌跡的長度是玄〃.

2

故選：D.

5.直四棱柱ABC。-AgGA的底面是菱形，其側面積是8夜，若該直四棱柱有外接球,

則該外接球的表面積的最小值為（）

A.3冗B.5乃C.6萬D.8%

【答案】D

D因為直四棱柱4BCO-AQCIA的底面是菱形，菱形的四個頂點在球上，

所以底面是正方形.

設直叫棱柱ABC。-A4GA底面正方形的邊長為“，側棱長為〃，

由側面積是8垃，得4皿=8夜，即a〃=20，

且該直四棱柱的外接球的半徑R=h2/+配,

2

所以其外接球的表面積S=4兀R?=萬（2"+h2）>7r-2>[2ah-8^,

（當且儀當6a=h，即聽血,〃=2時等號成立）.

所以其外接球的表面積的最小值為8%.

故選：D

6.如圖在正方體ABC。一AB'C'D'中，點M為AB的中點，點N為的中點，點P在

底面ABCD內，且。爐//平面C'MN,ZXP與底面ABC。所成的角為a,則sina的最

大值為（）

【答案】D

取40、CO的中點S、T,連接ST,D'S,￡）T,

因為￡>'S//C'N,所以O'S//平面C'MN，

ST//MN，所以ST〃平面C'MN,

又因STcDS=S

所以平面D'ST//平面C'MN,

故點P在ST上時，D步〃平面C'MN,

設正方體的棱長為1,

因為"_L底面48C。，

所以NDPD即為OP與底面A8C0所成的角為a,

當k為ST的中點時，a取最大值，

,___________anz.DD'12>/2

D，P="）產+。如=地，sma=麗=邁=亍,

此時，DP=—

44—^―

4

故sina的最大值為述.

3

故選：D.

7.在如圖所示的直三棱柱45c-48C中，例=4,AB1AC,過點A作平面a分別

交棱AB，AC于點。，E，且AF1DE，ZAA,F=60°,則截面AAOE面積的最小值

為()

A.16百B.32GC.36百D.48百

【答案】B

在即AE4A中，由NAAF=60°,A41=4,可得A「=8,AF=4y/3,

設AD=x,AE=y,在?△位史中，AFLDE>由等面積法可知4+-1=4,

xy48

因為A41_LO￡,AF1DE'AAtr>AF=A,AA,,AFu平面引片，所以OEJ■平面

FAA,,

又由AFu平面E4A，所以。

/i\,22、

2

因為％2+y2=48_L+-L(x+/)=482+與+T>48x(2+2)=192,

<xy)Ixy)

當且僅當x=y=4#時，等號成立，所以(SAME%,,=32石.

故選：B.

8.正方體ABC3-A4G。中，E,尸分別是棱4G,的中點，則正方體被截面3麗分

成兩部分的體積之比為.

【答案】17：7或7：17

【解析】

【分析】

如圖，正方體被截面BEm所載的一部分為棱臺，求出棱臺的體積，然后用止方體的體積

減去棱臺的體積可得另一部分的體積，從而可求得結果

【詳解】

設正方體的棱長為2,則正方體的體積為8,

因為E,尸分別是棱B,G，CQ的中點，

所以棱臺EFC.-BDC的體積為

1c/cc1,,〃、c1,7

—x2x(—x2x2d■—xlxj+.—x2x2x—xlxl)=—,

322V223

7|7

所以另一部分的體積為8.=(,

所以正方體被截面8瓦口分成兩部分的體積之比為17：7或7：17,

故答案為：17：7或7：17

9.如圖，在直三棱柱ABC-45c中，ABLAC,A4,=BC=2,則當四棱錐C-AB4A

的體積最大時，三棱柱ABC-A^Q外接球的體積為.

設AB=x,AC=y,

由ABLAC,例=BC=2可得/+y2=4

12

因為四棱錐C—A34A體積丫=gx2xxxy=§孫，

所以V=|町wg(/+y2)=g,當且僅當x=y=0時等號成立，

即43=AC=&時，四棱錐c-ABB,A體積最大，

此0寸，三棱柱ABC-A￡G的外接球半徑2R=JAB?+A4/+AC?=2夜,

即R=\p2，

所以三棱柱ABC—48c外接球的體積y=g萬(&)3=容加

故答案為：鼠1萬

3

10.如圖，在四棱錐P-AB8中，AB//CD,AB±AD,CD=2AB,平面始￡>_L底面

ABCD,PA±AD,E和尸分別是CO和PC的中點.

求證：(1)PA_L底面ABCZ)；

(2)8E〃平面PAD；

(3)平面跳萬_L平面PCD

【答案】(1)證明見解析?.

(2)證明見解析.

(3)證明見解析.

【解析】

【詳解】

試題分析：(1)根據(jù)條件，利用平面和平面垂直的性質定理可得PA,平面ABCD.

(2)根據(jù)已知條件判斷ABED為平行四邊形，故有BE〃AD,再利用直線和平面平行的判

定定理證得BE〃平面PAD.

(3)先證明ABED為矩形，可得BEJ_CD①.現(xiàn)證CD_L平面PAD,可得CD_LPD,再由

三角形中位線的性質可得EF〃PD,

從而證得CD1EF②.結合①②利用直線和平面垂直的判定定理證得CDJ_平面BEF,再

由平面和平面垂直的判定定理

證得平面BEF_L平面PCD.

解：(1)VPA1AD,平面PAD_L平面ABCD,平面PADC1平面ABCD=AD,由平面和平

面垂直的性質定理可得PA_L平面ABCD.

(2)?.?AB〃CD,AB1AD,CD=2AB,E和F分別是CD和PC的中點，故四邊形ABED為

平行四邊形，故有BE〃AD.

又ADu平面PAD,BE不在平面PAD內，故有BE〃平面PAD.

(3)平行四邊形ABED中，由ABJ_AD可得，ABED為矩形，故有BE_LCD①.

由PA_L平面ABCD,可得PA_LAB,再由AB_LAD可得AB_L平面PAD,

二CD，平面PAD,故有CDLPD.

再由E、F分別為CD和PC的中點，可得EF〃PD,

ACDIEF(2).

而EF和BE是平面BEF內的兩條相交直線，故有CD,平面BEF.

由于CDu平面PCD,二平面BEF_L平面PCD.

膜揪緘7

單選題：

l.A,B,C表示不同的點，”，/表示不同的直線，?,尸表示不同的平面，下列推理表述不

正確的是()

A.AG/,AGa,BG【,BGa=/ua

B.AGa,Ae/},BG0,BGa=>af~l4=直線AB

C.A,B,C&a,A,B,Ce。，且A,B,C不共線=a與夕重合

D./ca,?ca,/n〃=A=>/與〃不能確定唯一平面

【答案】D

【解析】

【分析】

由平面性質的三個公理得選項A正確；an/?=直線AB,所以選項B正確；因為不共線的三

個點只能確定一個平面，所以選項C正確；/與〃能確定唯一平面，所以選項D不正確.

【詳解】

由平面性質的三個公理得選項A正確；

由題得ABua,A8u分，所以aDp=直線A8,所以選項B正確；

因為不共線的三個點只能確定一個平面，所以a與4重合，所以選項C正確；

/ua,〃ua,/rin=A,/與〃能確定唯一平面，所以選項D不正確.

2.已知圓錐的頂點為P,母線%,PB,PC兩兩垂直且長為3,則該圓錐的體積為

().

A.垂>兀B.屈無C.26兀D.2屈兀

【答案】C

由題意可得AA6c為圓錐底面圓的內接正角形，且邊長為3啦，

由正弦定理2r=-^-，r=V6.圓錐的高〃=五乙荷=百，

sin60°

由圓錐的體積公式得^=！兀，〃=26兀，

3

故選：C.

3.設〃?，"是兩條不同的直線，a，尸是兩個不同的平面，且帆ua,〃u/7,則下列

命題正確的為（）

①若加//￡,ntla,則尸；

②若機J_〃，〃_La,則a"L,；

③若a///?,則機//2，n//a；

④若。_1_尸，則根_L/?,〃J_a.

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】C

對于命題①，在如圖正方體A8CDEFG”中，若a為底面A8CZ）,加為直線C。，

夕為面A8FE,〃為直線EF,則機//￡,〃//a，但a_L/7,不滿足。//尸，

所以①錯誤；

對于命題②，若小工0,且帆ua,由面面垂直的判定定理得a_1夕，所以正確；

對于命題③，若。//6，且mua,nu/3,由面面平行的性質，則，”//￡,〃〃a，

所以正確；

對于命題④，在如圖正方體48C6EFG”中，若a為底面ABC。，。為面ABFE,

則a_L￡,又mua，nu0,令機為直線CD,〃為直線EF,則m/〃？，nlla,

不滿足加」,，nla,所以不正確；綜上，②③正確.

故選：C

4.如圖，圓臺。?的上底面半徑為0/=1，下底面半徑為。4=2,母線長AA=1,過

OA的中點5作OA的垂線交圓。于點C,則異面直線。。與AC所成角的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】B

由題知8在直角梯形。OAA中，因為8為OA的中點，0A=2,

所以?A=OB=AB-1,

連接A3,易證四邊形0QI4B為矩形，所以。。//48,

所以NBAC為異面直線。a與AC所成的角，

在放VA0A中，AA,=2,所以48=百，

連接。C，在府4。8。中，由08=1,0C=2,得BC=6；

在RfAA/C中，BC=\B,所以N8AC=45°,

故選：B.

5.正方體ABCD-ABCa中，M.N分別為A。、AC上的點，且滿足4Q=3M/),

AN=2NC,則異面直線MN與GA所成角的余弦值為().

A.@B.—C.—D.B

5453

【答案】C

【解析】

取AD上一點E,使AE=2￡D,結合正方體的結構特征可得A/E//CZ),進而可得NE//CQ,

所以NMNE■為異面直線與GA所成角，在.Rt^MNE中,cosNMNE=—,即可求解.

MN

【詳解】

取線段AD上一點E,使AE=2E￡),連接ME,NE,如圖所示,

MDCNDE1

因為=AN=2NC,所以%=左=77；=￡，

ziiJLXziziJL-^J

所以NE//CD,ME〃AA,,又因為C0//CQ,

所以ZMNE為異面直線MN與CR所成角，

21

設該正方體的棱長為3a,則EN=§8=2"，ME=-AA,=a,

所以在RtAMNE中，MN=yjME2+EN2=1a、(2a)2=氐，

所以cosNMNE=^~=單=空,

MN45a5

故選：C

【點睛】平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異

面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：

(1)平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

(2)認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

(3)計算：求該角的值，常利用解三角形；

(4)取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是(0,,當所作的角為鈍角時，應取它的

補角作為兩條異面直線所成的角.

6.如圖，正方體ABCO-44CQ的棱長為1,線段上有兩個動點E,F,且EF。,

則三棱錐A-8EF的體積為(

C.*D.不確定

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可知42〃平面ABC。，而E，尸在線段BQ上運動，則EF//平面ABC。，從而

得出點B到直線的距離不變，求出ABE戶的面積，再根據(jù)線面垂直的判定定理可證出

AOL平面班產，得出點A到平面3所的距離為A0=也，最后利用棱錐的體積公式求出

2

三棱錐A-BEF的體積.

【詳解】

解：由題可知，正方體48CO-AMG。的棱長為1,

則BQ//平面ABC。，又E,F在線段耳。上運動，

所〃平面A3CD,

???點8到直線BQ的距離不變，

由正方體的性質可知/叫!平面A4GA,則BB、1EF,

而EF=受，BB]=1,

2

故ABE尸的面積為,xx1—W~,

224

又由正方體可知，AC±BD,ACLBB,,且BDcB與=B,

AC_L平面BBQQ,則AC_L平面,

設4c與8。交于點。，則AO_L平面比產，

???點A到平面BEF的距離為AO=也，

2

.“1V2V21

34212

故選：A.

7.已知正四棱錐的側棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為367，且

3</<373,則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

【答案】C

【詳解】

球的體積為36萬，所以球的半徑R=3,

設正四棱錐的底面邊長為2a,高為〃，

則『=2a2+h2,32=2a2+(3-h)2,

所以6/J=/，2a2=l2-h2

426

所以正四棱錐的體積V=[Si〃=iWX4/X〃=7X（/2—7記）XI=\（/4—I

33336636

所以式竿>

當34/426時，V>0,當2m</436時，H<0,

所以當/=2a時，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為三,

77Q1

又/=3時，V=-,/=36時，V=

44

所以正四棱錐的體積丫的最小值為2一7,

4

所以該正四棱錐體積的取值范圍是

故選：C.

二、多選題:

1.如圖，四棱錐S-ABCD底面為正方形，SO,底面A3CO,則下列結論中正確的有

()

A.AC1SB

B.A3〃平面SCO

C.SA與平面A8CZ）所成的角是ZS4D

D.A3與SC所成的角等于。C與SC所成的角

【答案】ABCD

【解析】

【分析】

分別由線面垂直的性質定理，線面平行的判定定理，直線與平面所成角和異面直線所成角

的定義判斷各選項.

【詳解】

ABC￡）是正方形，則ACJ_B￡>,又SO_L面ABC。，ACABCD,所以SD_L4C,

SDCBD=D,5。,8。匚平面5即，

所以4c，平面SBO,而SBu平面SBO,所以AC_LS8,A正確：

ABI/CD,ABu平面SCO,CDu平面SCO,所以A8//平面SCO,B正確；

SOJ_底面ABC。，所以以與平面488所成的角是NSA￡>,C正確；

ABIICD,A8與SC所成的角等于。CHSC所成的角，D正確，

故選：ABCD.

2.如圖所示，在正方體ABCD-ABGQ中，。為的中點，直線A。交平面68。于點

則下列結論正確的是（

A.G，M,。三點共線B.G，M,O,C四點共面

C.c,,o,A,M四點共面D.D,,D,0,〃四點共面

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根據(jù)點與線、點與面、線與面的位置關系判斷即可;

【詳解】

解：在正方體ABCO-A4GA中，。為08的中點，直線AC交平面GBC于點

在選項A中，?.?直線AC交平面GBD于點M,

.?.何€平面08。，Me直線AC,又ACu平面ACC,A，平面AC￡4，

???O為DB的中點，B￡>u平面080,底面ABCD為正方形，所以。為AC的中點，

平面GBC，且0w平面ACGA，

又G€平面GBC,且G€平面ACGA,

C,,M,。三點共線，故選項A正確；

在選項8中，VC],M,。三點共線，.?<,M,。，C四點共面，故B正確；

在選項C中，???G，M,。三點共線，M,O,A四點共面，故C正確；

在選項。中，???直線OMp|CC,=G,OD.//CC,,

??.Q,D,0,M四點不共面，故。錯誤.

故選：ABC.

3.正三棱錐底面邊長為3,側棱長為26,則下列敘述正確的是（）

B.正三棱錐的斜高為叵

A.正三棱錐高為3

2

C.正三棱錐的體積為2D.正三棱錐的側面積為觀

44

【答案】ABD

【解析】

【分析】

先求出正三棱錐的高和斜高，從而可判斷AB的正誤，再計算出體積和側面積，從而可判

斷CD的正誤.

【詳解】

A.

設E為等邊三角形AOC的中心，尸為8的中點，連接PEERPE,

則PE為正三棱錐的高，PF為斜高,

又叫用吟,叫亭東故叫告|=3,

故AB正確.

而正三棱錐的體積為』x3x3x9=當叵，側面積為3x1x3x=見亙,

344224

故C錯誤，D正確.

故選：ABD.

4.如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，以下說法正確的是（）

A.BM〃平面AQEB.CN〃平面BAFC.平面BDW〃平面AFND.平面8QE

〃平面NCF

【答案】ABCD

【解析】

【分析】

將正方體的平面展開圖還原成直觀圖，結合線面平行和面面平行的判定定理，即可得出結

論.

【詳解】

以488為下底還原正方體，如圖所示，

則有8M〃平面4DE,CN〃平面84尸，選項A,B正確；

在正方體中，BD//FN,可匚平面人河津八仁平面人硒，

所以80〃平面AFM同理8M〃平面AFM

=B,3M,8。u平面BDM,

所以平面3DM〃平面AFN,同理平面8DE〃平面NCF,

選項C,D正確，

故選：ABCD.

用

4B

5.如圖，在四面體ABCD中，點P，Q，M,N分別是棱AB,BC,CD,4。的中點，截面

PQMN是正方形，則下列結論正確的是（）

A.ACLBDB.AC〃截面PQMV

C.AC=CDD.異面直線PM與2。所成的角為45

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根據(jù)線線、線面平行判定和性質逐一判斷即可.

【詳解】

解：因為截面PQMN是正方形，所以PQ〃MMPN//QM,

又MYu平面。AC,平面DAC

所以P?！ㄆ矫鎆MC

又PQu平面BAC,平面B4C八平面"AC=AC

所以尸。//AC//MN,

因為ACZ截面尸QMV,MN〃截面PQMN,

所以AC//截面PQMN,故B正確

同理可證PN//BD//MQ,

因為PN工NM,所以AC_LB￡>,故A正確

又NPMQ=45"

所以異面直線PM與BD所成的角為45。，故D正確

AC和CD不一定相等，故C錯誤

故選：ABD

三、填空題：

1.周總理紀念館是由正方體和正四棱錐組合體建筑設計，如圖所示，若該組合體接于半徑

R的球。（即所有頂點都在球上），記正四棱錐側面PBC與正方體底面AB?。所成二面

角為，，則tan8=

【答案】6-1##-1+石

【詳解】

由正方體的性質可知該組合體的外接球的球心為正方體的中心,

設正方體底面的中心為。-8￡的中點為￡,連接

則尸4c?,

則/啊應設正方體的棱長為。，則P。邛—邛0一六玷十,

tan0==x/3—1

O.E

故答案為：V3-1.

2.在三棱錐P-A5c中，平面PACJ_平面ABC,AB1BC,△ft4C為等邊三角形，若

AB=BC=2y/3,則三棱錐尸-ABC外接球的體積為.

【答案】也"

3

【解析】

【分析】

設AC的中點為。，連接尸。，三棱錐尸-ABC外接球的球心0在直線尸￡>上，解方程

R2=6+(3j5-R)2即得解.

【詳解】

解：設AC的中點為￡>,連接刊1

因為平面_平面ABC,所以三棱錐P-ABC外接球的球心。在直線PD上，

設球的半徑為R.由題得4c=42+12=2",AD=y/6.

所以P￡>=j24-6=3&,

在直角△AOD中,心=6+(3&-RR;.R=2夜.

所以三棱錐外接球的體積為$“8x2五號血.

故答案為：不屈兀

3.如圖所示，ZVIBC和AA5c的對應頂點的連線BB',CC交于同一點。，且

AOBOCOm,,

~^b~~^d~~cd~2,人VO-A'BC-------------------------

【答案】:

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得平面ABC〃平面A'B'C',且三棱錐O-ABC和三棱錐O-A'?C高之

比也為:，又!巫=：,利用體積公式即可得解.

AOBOCO1

【詳解】如題干圖,而一麗一西

可證A8//A0,ACHA'C,8c7/8C.所以平面A8C〃平面A'8'C'

三極錐O-ABC和三棱錐O-A'8'C'高之比也為千，

由等角定理得NCAB=/CAE,ZACB=ZA'C'B',所以△ABCs/WSC,

1,11-A-O=-B-O=-C-O=一1,可得衿^=（；）2=；,

A!OB'OCO2*\A7TCr乙今

vy。-八3c=』』=.故答案為：-

所以x1

^O-A'B'C4288

4.已知直三棱柱ABC-A/B/G中，ZABC=90°,AB=2,BC=CC1=l,則異面直線43/與

BG所成角的正弦值為.

【答案】①

10

【解析】

【分析】

連接B/C，交8。于點。，取AC的中點。，連接OD,易知或其補角即為所求，再在

△08。中，由余弦定理，即可得解.

【詳解】

連接8/C，交8G于點O,則。為8。的中點，取AC的中點。，連接?！辏?

：.OD//ABi,OD=』ABj=叵,

22

??./BO?；蚱溲a角即為異面直線4囪與8。所成角,

在AOBD中,BD=±AC=&,OB=^BC1=—

2222

士人*，~訓5feeOB2OD2BD2Vio

由余弦理大Fl,cosZ.BOD=------+---------------=-----

2OBxOD10

：.sinZBOD=^!^-,

10

.?.異面直線AB/與80所成角的正弦值為觀.

10

故答案為：迎.

10

Bi

5.已知四面體A8CO中，AB,BC,8。兩兩垂直，BC=BD=0，AB與平面ACD所成角的

正切值為則點8到平面AC。的距離為.

【答案】氈.

5

【解析】

【分析】

取CO的中點E,連接4E,過8作交AE于凡可證得NBAF為48與平面ACO所成的

角，點8到平面AC。的距離為BE計算可求得結果.

【詳解】

如圖，取8的中點E,連接AE,過8作交AE于F.

■.BC=BD,E是CD的中點，..BELCD.

AB1BC,AB1BD,BC=BD.

AC=AD,:.AE±CD.

又AEcBE=E,AE,BEu平面A8E,

\CD入平面ABE.又COu平面AC。，

???平面平面ACD

又平面ABEC平面ACD=AE,BFLAE,

BE_L平面48,故NBAF為AB與平面4CZ）所成的角.

tanNBAF=sinNBAF=—.

25

?;BC=BD=R:.CD=2,故8E=1.

RR1

又tanZBAF=——=AB=2

AB2f

2Is

/.BF=A3sinZBAF=

5

故答案為：巫.

5

四、解答題:

1.如圖，正方體ABC。-A4CQ中，E,尸分別為G〃，BG的中點.

(1)求證：B,D,E,尸四點共面；

(2)若ACIBO=尸，AC.IEF=Q,4G與平面1交于點R,求證：？,Q,R三點共

線.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)證明即可得出結論；

(2)只需說明P,Q,R三點都是平面8DEF和平面ACC//的公共點即可得出結論.

【詳解】證明：(1)連接BQ,

在正方體ABCO-A4CQ中，尸分別為GA，8g的中點，

二E尸是△4GD的中位線，；.EFUBR,

又因為用R//BD,：.EF//BD

,四邊形皮比F為梯形，即8,D,E,B四點共面.

(2)在正方體ABCD-ABG。中，ACIBD=P,AtCtlEF=Q,

PQ是平面AA,GC與平面3。燈的交線，

又因為AC交平面BDEF于點R,

???R是平面肌GC與平面8OE尸的一個公共點.

因為兩平面相交的所有公共點都在這兩個平面的交線上，

???P，Q，R二點共線.

2.如圖，在四棱柱4BCO-ABGS中，側面都是矩形，底面四邊形ABCD是菱形且

AB=BC=2yf3,ZABC=\20°,若異面直線和4R所成的角為90。，試求4A的長.

【答案】A/6

【解析】

【分析】

連接CR,AC,得到AB//CQ,根據(jù)題意，得到NARC=90°,再求得AC=6,AR=3垃,

結合9=*：-“；,即可求解.

【詳解】

如圖，連接C",4C,在四棱柱ABCO-ABCQ中，\DJiBC,AtDt=BC,

所以四邊形ABC。是平行四邊形，所以4B//C。，

所以乙40C(或其補角)為A8和AQ所成的角，

因為異面直線AB和A2所成的角為90。，所以NA。。=90。，

因為四棱柱ABCO-A4G。中，側面都是矩形，底面四邊形A3CD是菱形，

所以△ACR是等腰直角二角形，所以AAM^AC,

因為底面四邊形ABCO是菱形且48=BC=2G,ZABC=120°,

所以4c=2月xsin6(Tx2=6,AD,=^AC=3x/2,

所以A4,=JAD；_4￡＞：=43可_(2扃=V6.

3.在正方體A8CD—A/BC/P中，E是棱朋5/的中點.

(1)求證：B/O〃平面ACE.

(2)若尸是棱CG的中點，求證：平面8QF〃平面ACE.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】

(1)連8。，使BDCIAC=G,連EG,由中位線定理以及線面平行判定定理證明即可:

(2)證明8戶〃平面ACE,結合平面ACE,利用面面平行判定定理證明即可.

【解析】

⑴連80,使80nAe=G,連EG.

?.?ABC。是正方形，BDC}AC=G,：.DG=BG.

又；E是BB,中點,：.B/E=BE,

：.DB,//GE,

又DB、＜z平面4CE,GEI平面ACE,

平面ACE.

(2)是棱88/的中點，尸是棱CO的中點.

B/E//CF且8/E=CF,：.四邊形B/Eb是平行四邊形，

：.BiF//CE,又二平面ACE,CEu平面ACE,二8不〃平面ACE,

由(1)B/D〃平面ACE,又；DBCBIF=BI,二平面8/。尸〃平面4CE.

CQBP2

4.已知正方體ABCO-AgCQ中，/\。分別為對角線8￡＞、。上的點，且/=］萬=『

(1)作出平面PQC和平面AAA。的交線(保留作圖痕跡)，并求證：PQ〃平面ARD4；

(2)若R是AB上的點，當黑的值為多少時，能使平面PQRH平面\D.DA?請給出證明.

AB

【答案】(1)答案見解析

(2)^=4,證明見解析

AB5

【分析】

(1)由題意結合幾何性質可作出兩平面的交線，然后證明線面平行即可；

(2)首先確定點R的位置，然后給出證明即可.

【解析】

⑴連結CP并延長與D4的延長線交于M點，則平面PQC和平面小。。的線為。陽，

因為四邊形A8CZ)為正方形，所以8C〃AO,

CPBP2

故APBCS&PDM，所以=――=—,

PMPD3

CQBP2一CQCP2一〃

又因為西=而甘所以函=旃="所以尸。〃曲.

又MRu平面ARDA,P。不在平面4SOA內，

故P?！ㄆ矫鍭OQ4

AR3

⑵當說的值為S時,能使平面尸外〃平面ADQA.

B

口mMAR3BR2,,BRBP

證明：因為覆q=n即tl=故=i右，所以PR〃D4.

AB5RA3RAPD

又D4u平面ARDA,PR不在平面AAD!內，

所以秋〃平面又PQcPR=P,P。〃平面A〃D4.

所以平面PQR//平面A。以.

5.如圖，三棱臺DEF-ABC中，AB=2DE,G,〃分別為AC,2C的中點.

(1)求證：平面ABED〃平面FG”；

(2)若CFJ_8C,ABLBC,求證：平面8C￡)J_平面EGH.

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】(1)在三棱臺OEFABC中，?:BC=2EF,”為BC的中點，."，〃"，BH=EF,

二四邊形BHFE為平行四邊形，有8E〃HF.

?.,BEa平面尸G"HFu平面FG"/.BE〃平面fG”

在△ABC中，「G為AC的中點，，為3c的中點，，G//〃AR

?.?480平面打；“GHu平面FGH:.AB〃平面FGH

MBCBE=B,所以平面〃平面PG".

(2)連接HE,EG

：G,〃分別為AC,8c的中點，..GH〃A8.；48J_8C,SBC.

又?〃為BC的中點，.?.￡-〃，(7，EF=HC,二四邊形EFCH是平行四邊形，有CF〃/7E.

.CF±BC,-.HELBC.

■,HE,GHu平面EGH,HEHGH=H,..8CJ_平面EG”.

???8Cu平面BCO,..平面BC。，平面EG”.

6.如圖，在直三棱柱A8C-ABG中，D,E分別是AB,B片的中點，已知"=2,

A4,=AC=CB=R

A\

(1)證明：BG〃平面ACQ；

(2)求8與平面A〈E所成角的正弦值；

⑶求。到平面ACE的距離.

【答案】(1)證明見解析⑵也⑶立

22

【解析】⑴

證明：連接AG，AC}nAtC=F,連接￡)廠，

在直三棱柱A8C-A8G中ACC0為矩形，則F為AG的中點，又。為A3的中點，所以

DF//BC,,

BCttz平面\CD,￡>Fu平面ACD.

.--8C”平面ACD.

(2)

222

解：AAl=AC=CB=>/2,AB=2,AC+BC=AB,/.ZACB=90°,:.ACYCB.

由直三棱柱A8C-44G中，CCJ底面ABC,4仁8。(2底面4?。，..814(7,

CC、±BC.

以C為原點，C4為X軸，CB為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標系，

則C(0,0,0),A(&'O,0),E0,0,當,D曰

所以前=,0,可=(0,0,0),CE=0,72,

住2坐2。1

n-C\—y/2x+&z=0

設平面ACE的法向量為〃=(x,y,z),則，一L五，令z=2,則x=-2

n'CE=>j2y+z=0

y=-i,所以3=(-2,-1,2),

L372

設CD與平面ACE所成的角為凡則sine=J^4=W=也,

回響1x32

所以CD與平面ACE所成角的止弦值為它；

2

⑶

3夜

解：設。到平面ACE的距離為d,則=三二包;

32

真題締7

1.【2022年全國甲卷理科07］在長方體ABC。一4816。1中，已知與平面4BC。和平

面44/道所成的角均為30。，則()

A.AB=2ADB.AB與平面在無力。所成的角為30°

C.AC=CBVD.BR與平面BB/iC所成的角為45。

【答案】D

【解析】

如圖所示：

不妨設AB=a,4）=b,41i=c,依題以及長方體的結構特征可知，與平面ABCD所成

Ch

角為4B1DB,嗎。與平面所成角為所以$訪30°=帝=不，即/,=c,

222

B1D=2c=y/a+b+c^解得a=^2c-

對于A,AB=a,AD=b,AB=pAD，A錯誤；

對于B,過8作BE_LABI于E,易知BE_L平面所以48與平面481]。所成角為

/.BAE,因為tan4BAE=￡=/，所以NB/EH30°,B錯誤；

a2

對于C,ac=\ZQ2+-2=CB]=yjb?+c2=HCB],C錯誤；

對于D,82與平面BBiGC所成角為4DBIC,sin^DBC=也=巧=^，而。<

1

BXD2c2

Z-DB^C<9Q°,所以NOB]C=45°.D正確.

故選：D.

2.【2022年全國甲卷理科09】甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和

為2兀，側面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和吃.若*=2,則把=（）