專題20 平面向量的數(shù)量積

rrrrrrrrrrrr|a||b|121212專題面向量的數(shù)量一、基礎(chǔ)知識：（一）所涉及的平面向量定理及數(shù)量積運(yùn)算法則：rur、平面向量基本定理：若向e

r為兩個(gè)不共線的向量，那么對于平面上任意的一個(gè)向

，均存在唯一一對實(shí)數(shù)

rrr，使得a。中e12212

成為平面向量的一組基底言之，不共線的兩個(gè)向量可以表示所有向量）、向量數(shù)量積運(yùn)算

rrrracos

，其中

為向量

rr,b

的夾角rrrr、向量夾角的確定：向量a的角的將起點(diǎn)重合所成的角，

其中

：同向

：反向

：

rrab、數(shù)量積運(yùn)算法則：（1）交換律：

rrrra（2）系數(shù)結(jié)合律：

（3）分配律：

rrrrrrr、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)(1)e·a＝a·e＝θ；(2)非零向量，b，⊥ba·b＝0；(3)當(dāng)同向時(shí)a·b＝|a||b|當(dāng)a與b反向時(shí)a·b＝－|a||b|，a·a＝a2

，a＝a·a；a·b(4)cosθ＝；(5)||、平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量＝，y，＝(x，y，則a·b＝x＋y，此得到

→122121212a2→122121212a2(1)若＝(x，y)，a＝x

＋y2

或a＝2

＋y

(2)設(shè)A，y，(x，)，則A、B點(diǎn)間的距離|＝AB＝

x－

＋

y－

.(3)設(shè)兩個(gè)非零向量a，，a(x，，＝x，y，則⊥＋yy＝0.例1蘇暑假測試已平面向量＝(2a＝若＋＝則的值是_______年高考北京卷文數(shù)】已知向量=（4），

b

=，），且

，則m．【答案】8【解析】向量

ab(6,)，

變式2019年高考全國III【答案】

卷文數(shù)）已知向量

(2,2),b，cosa

___________.【解析】

,

a|

2222(

210

．變式2蘇北四市期末）已知非零向量足＝b＝＋a與2－夾的余弦值為________．【答案【解法1因非零向量，滿＝＝ab，所以a＝2＝a＋2＋

，a＝－a2－b

，所以a·(2a－)＝2

－a＝a2

，a－＝

a－

2

5

－4b＝a，2ab257〈a,2ab＝＝＝＝aaba27解法2

2π因?yàn)榉橇阆蛄縜b＝＝＋，以，b＝，所以a·(2a－)＝22

－＝a2

－a

2π＝2

，－b＝

a－

2

＝

a2

－4＝2πa2ab＝以下同解法

rrrrrrrrrrrr22rrrrrrrrrrrr222222AB22例2年蘇高考

如圖，在△中D是中點(diǎn)E在邊上BE=2EA，CE交點(diǎn)

rrrr若ABAO，

AB

的值是_【答案】3.【解析】如圖，過點(diǎn)D作DF//，交于，=2，為中，知BF=AO=.AOgECADg

rrrrrACABgAC

rrrrrrrrrrABgACABACABgAC32

，得

rrrrAB,ABAC故

3

rr變式江卷如圖，D是BC的點(diǎn)是上兩個(gè)三等分點(diǎn)BC

，rrrr，則的是

▲

114ADBCFDBC11114FD513211EDBCFD→114ADBCFDBC11114FD513211EDBCFD→→→→【解DC(－OB)·(－)(OCODOCOD22＝OD類似BAD2＝AO－OD＝－→→－2→→→→→→7【答案】8【解析】因?yàn)閞rrrrrrrrBABCAD2

，rrrrrrrBFAD234

rr因此FD,BC8

rrrrrrrrrr2，BEBCED244變式2、南、揚(yáng)州淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調(diào)）如，在平面四邊形ABCDO為BD的中點(diǎn)，且OA＝，OC＝5.A＝－7，則BDC值．【答案→→→→→→→→→→→→，所以BDC＝2－OD2＝OC2AO－7＝思想根源極恒等式a＝

＋2

在中，若是的點(diǎn)，則B＝AM

－MC

其作用是：用線段的長度來計(jì)算向量的數(shù)量積．例、(2019鎮(zhèn)江期末）已ABC是長為等邊三角形，點(diǎn)DE分是邊BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE并延長到點(diǎn)，使得DE＝3EF則AF·BC的值為________．【答案.【解解(基底法連AE.ABC為正三角形為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC.所以A＝→→→→→→→→→→→→→→1→→11(AE＋EF)·BCAE·BCEF·BC＝由題EF＝DEACA＝＝63

000000→→→→→AM·BC＝[000000→→→→→AM·BC＝[λAC＋－AB)＝|＋(－1)|AB＋－AB·＝4λ＋9(λ－1)＋(1－3解法(向量法)建如圖所示平面直角坐標(biāo)系，3)，－，0)，，0)，D－，，E(0，0)，22→→3→設(shè)點(diǎn)F(x)DE＝3EF得E＝，＝)x＝＝AF，，→→71故A＝，－·(2，0)＝.3→→→→17變式、(2018南學(xué)調(diào)研）ABC中AB＝AC2＝＝BC.若M·BC＝－，則實(shí)數(shù)的_______．【答案

【解法1基法)因?yàn)锳＋BM＝＋λ＝＋AC－AB)＝＋(1－AB，以→→→→→→2212＝λ－12－，解得λ＝解法2坐標(biāo)運(yùn)算法)建如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，－λ，由題意有－1，3)M的標(biāo)為(x(－＝－－，3，→→1故AM·BC＝－λ，λ)·(，3)＝19－＝－，解得＝.變式、南、泰州一調(diào)）如，已知矩形ABCD的＝2AD＝1.P，Q分別在邊，

→→π1－，，≤θ.→→→→π1－，，≤θ.→→tantan→244，即＝＝時(shí)?。剑訠Q·CP的大值是－.上，且∠＝，則AP·AQ的最小值為_．【答案】.－4解法以A坐標(biāo)原點(diǎn)AB所直線為x所直線為y軸立平面直角坐標(biāo)系A(chǔ)(0B(2，，．設(shè)∠PAB，AP＝，2tan，AQ＝→→π2－）因?yàn)锳P·AQ＝(2，θ)·－，＝2－＋θ＋tan

＋2θ＋＋tan→→＋2(＋1)4≥42－4當(dāng)且僅當(dāng)＝21時(shí)＝成，所以AP·AQ最小值為4－＋變式、蘇常鎮(zhèn)調(diào)研）在ABC中，已知AB＝，＝，∠BAC90°D，E分為，AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于，交AC于Q則B最大值________．【答案】－【解析(坐標(biāo)法以A為點(diǎn)AB為x軸AC為軸立平面直角坐標(biāo)系如圖所示則A(00)，11，C(0，1)，D，，E，，xy1→設(shè)P(pQ(0q)，則且線：＋＝1因點(diǎn)E直線上所以＋＝1BQ·CP4q＝(－2，＝－2p－＝(－

15q5＋＝－－＋－－2

×＝－，且僅當(dāng)＝2p→→44

ab2→→→→→→→→→→2ab2→→→→→→→→→→22→＝ABACAC·AB－＝－cos＝－→(2017無期末）已知向量＝＝(1－1)若a－mab垂則實(shí)數(shù)的為________．【答案【解據(jù)向量，的標(biāo)可得－b(1,2)，ma＋b＝＋，m－，因?yàn)?－)⊥ab)，所a－)·(ma＋)＝m＋1)＋－＝－＝0故m、(2016蘇四市摸底）.已＝，b＝2a＝，，則向量ab的夾角為________．【答案

π【解為＋b＝，，所以＋＝3兩邊平方得22ab＋2

＝3將a＝，|b＝代入得12＋2b＋4，從而＝－1所以〈ab〉＝，而a，b〉∈，，所以〈，〉＝，即向量，的角為π.→→→3、(2019南學(xué)情調(diào)）在菱形ABCD中∠＝60°，為邊上點(diǎn)，AB·AE＝，，則AB·AD值________．【答案－【解B＝，且菱形的邊長為x，則AE＋AD，AB·AE＝AB·(AB＋＝2

－λx2

＝6，→→→→1→9＝AD·(AB＋＝x＋＝，解x2＝，所以AB·ADx2＝－.蘇三市期末在ABC中AB2AC∠＝ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)滿足C→→→＝＋2PA，則P·AB值．【答案－→3→→→→→→→→→→【解CP＝＋2PA所以－AC－AP)－2AP解＝＋故CP·AB＝(AP239→→2→7→79蘇三市期在ABC中AB2AC∠＝ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)滿足C→→→＝＋2PA，則P·AB值．【答案－解法(坐標(biāo))以A為原點(diǎn)，AC為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，，，，0)，

2AB＋AC－AB＝AB2－＝－×2×3×60°＝－1.︵→2AB＋AC－AB＝AB2－＝－×2×3×60°＝－1.︵→cosππ3→→→→→33設(shè)P(x＝＋得(x3＝(1－x，3－y)－xy)＝1＝以，，→→CP·AB2，，3)＝－＋＝－解法2基底法)→3→→→→→→→→→2→→→→→因?yàn)镻＝＋2PA所AP－AC＝－AP)－2AP解得P＝ABACP·AB＝(APAC)·AB＝

→2→→→33、(2018蘇期）如圖為腰三角形，＝ABAC，以A圓心為半徑的圓分別交，AC于，，點(diǎn)P是弧EF上的一動(dòng)點(diǎn)，則的值范圍________【答案】.[11，－【解析(坐標(biāo)法以A為原點(diǎn)垂直BC的線x軸建立平面直角坐標(biāo)系xAy則B(2－2，，設(shè)sin，其中∈－，.PB·PC＝－

cos

－2－

，2－

sin

)＝(

cos

－2)＋2－＝－－4θ.因?yàn)?/p>

cos

→→∈，1，以PB·∈[－11－9]OPt)

)4

rr，所以的值范圍為[21,1]

．、(2017南、揚(yáng)州、泰州、淮安三調(diào)如圖，在直角梯形ABCD中AB∥，ABC9