第四章相似設(shè)計(jì)

第四章相似設(shè)計(jì)第1頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三隨著生產(chǎn)的發(fā)展和人民生活水平的提高，市場(chǎng)的需求越來(lái)越廣泛。為滿(mǎn)足不同用戶(hù)的需求，提高產(chǎn)品的競(jìng)爭(zhēng)能力，希望同類(lèi)產(chǎn)品有大小不同的尺寸和性能參數(shù)，各種產(chǎn)品通過(guò)部分結(jié)構(gòu)的改變，可以增加功能，提高性能或降低成本，由此引出一系列變型產(chǎn)品。系列產(chǎn)品的相似性設(shè)計(jì)及模塊化設(shè)計(jì)等方法正是針對(duì)變型產(chǎn)品的特點(diǎn)而引出的。第2頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三相似理論是進(jìn)行現(xiàn)象模擬和研究自然界及工程中相似現(xiàn)象的基礎(chǔ)，在機(jī)械領(lǐng)域稱(chēng)為相似性設(shè)計(jì)方法，用以解決：1、系列產(chǎn)品設(shè)計(jì)2、模擬試驗(yàn)第3頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一、相似條件1、相似的概念：一組物理過(guò)程其基本參數(shù)之間有固定比例的數(shù)量關(guān)系。2、滿(mǎn)足物理現(xiàn)象相似的條件：①、同類(lèi)現(xiàn)象，不僅現(xiàn)象的性質(zhì)相同，還要用同樣的物理方程或函數(shù)描述。②、兩個(gè)物理現(xiàn)象相似，則參與描述兩現(xiàn)象的一切同名參量之間，在空間對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)以及在時(shí)間上相對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)，都互成比例相似。第4頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.各物理量的相似幾何相似相似概念最初產(chǎn)生在幾何學(xué)中，兩個(gè)相似的圖形或物體，其對(duì)應(yīng)部分的比值必等于同一個(gè)常數(shù)?；蛘哒f(shuō)，在相似系統(tǒng)中，任何對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之比為常數(shù)，稱(chēng)為幾何相似。

——幾何相似常數(shù)也就是兩現(xiàn)象中，任意相對(duì)應(yīng)線(xiàn)性尺寸之比恒相等，任意兩條對(duì)應(yīng)直線(xiàn)間的夾角保持不變。第5頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三時(shí)間相似時(shí)間相似是指兩現(xiàn)象對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔成比例，或者說(shuō)兩系統(tǒng)的相應(yīng)點(diǎn)或者對(duì)應(yīng)部分沿著幾何相似的路程運(yùn)動(dòng)達(dá)到另一個(gè)對(duì)應(yīng)位置時(shí)，所需的時(shí)間比例是一常數(shù)?！獣r(shí)間相似常數(shù)第6頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三運(yùn)動(dòng)相似兩個(gè)物體沿著幾何相似的路線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，各對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的速度或加速度的方向一致，大小相應(yīng)成比例。即運(yùn)動(dòng)相似是指速度或加速度場(chǎng)的幾何相似。

——速度相似常數(shù)

——加速度相似常數(shù)第7頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三動(dòng)力相似動(dòng)力相似是指在幾何相似的力場(chǎng)中，即相似系統(tǒng)的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)處對(duì)應(yīng)時(shí)刻的作用力（廣義）的方向一致，大小互成比例。力相似，或連同轉(zhuǎn)矩相似，稱(chēng)為動(dòng)力相似。

——力相似常數(shù)

——質(zhì)量相似常數(shù)第8頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三溫度相似是指溫度場(chǎng)的幾何相似，表現(xiàn)為相似系統(tǒng)各對(duì)應(yīng)點(diǎn)處對(duì)應(yīng)時(shí)刻的溫度成比例。

——溫度相似常數(shù)其它物理量參數(shù)的相似定義表述形式相同。等稱(chēng)為相似常數(shù)。（相似系數(shù)）第9頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三幾何相似、動(dòng)力相似和運(yùn)動(dòng)相似三者之間的關(guān)系

在兩個(gè)系統(tǒng)中，若滿(mǎn)足幾何相似、動(dòng)力相似和運(yùn)動(dòng)相似，則兩系統(tǒng)的性能相似，其中幾何相似是條件，動(dòng)力相似是關(guān)鍵，也即，凡是在幾何相似條件下，求得動(dòng)力學(xué)相似的解，也滿(mǎn)足運(yùn)動(dòng)學(xué)的相似。第10頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、相似三定理1868年法國(guó)科學(xué)家貝特朗，以力學(xué)方程分析為基礎(chǔ)，首先確定了相似第一定理，描述了相似現(xiàn)象的基本特征。性質(zhì)：相似現(xiàn)象具有相同形式的方程組相似現(xiàn)象的各對(duì)應(yīng)量具有相似系數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。對(duì)于相似現(xiàn)象，相似指標(biāo)等于1（相似現(xiàn)象的一切量各自互成比例，但由于這些量組成的方程組是相同的，所以相似常數(shù)不是任意的，而是彼此約束，具有一定的關(guān)系）。對(duì)于相似現(xiàn)象，必定具有數(shù)值相同的相似準(zhǔn)則（或相似判據(jù)）相似第一定理——相似正定理第11頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三相似準(zhǔn)則在物理現(xiàn)象中常作用有一定規(guī)律，它們涉及一些物理量，并表達(dá)了這些量之間的關(guān)系?？梢詫⑦@些規(guī)律按其物理量間的關(guān)系和一定規(guī)定表達(dá)為無(wú)量綱綜合數(shù)群。在一個(gè)現(xiàn)象中的不同點(diǎn)上和不同時(shí)刻，此數(shù)群的數(shù)值不同。當(dāng)一對(duì)現(xiàn)象在對(duì)應(yīng)時(shí)刻，對(duì)應(yīng)點(diǎn)上此綜合數(shù)群的值兩兩相等時(shí)，此二現(xiàn)象為相似，此無(wú)量綱綜合數(shù)群稱(chēng)為相似準(zhǔn)則。第12頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三相似準(zhǔn)則的特點(diǎn)是綜合數(shù)群，無(wú)量綱相似準(zhǔn)則不是一個(gè)物理量，而是多個(gè)物理量的組合。相似準(zhǔn)則是不變量，而非“常量”，適合無(wú)數(shù)的相似現(xiàn)象第13頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三相似指標(biāo)由相似準(zhǔn)則中與各參數(shù)對(duì)應(yīng)的相似常數(shù)構(gòu)成的關(guān)系稱(chēng)為相似指標(biāo)。由于相似準(zhǔn)則由一定的等式關(guān)系推來(lái)化為相似指標(biāo)后變成了比值之間的關(guān)系，脫離了單位不相應(yīng)的影響，因此二現(xiàn)象相似時(shí)其相似指標(biāo)的值必為1。第14頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三相似常數(shù)、相似指標(biāo)和相似準(zhǔn)則意義上的差別

相似常數(shù)是在兩相似現(xiàn)象上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)上，每一個(gè)物理量的比值保持恒定的數(shù)值，但當(dāng)用另一相似現(xiàn)象替代時(shí)，比值發(fā)生變化即相似比不同。相似指標(biāo)是相似常數(shù)組成的數(shù)群，在相似現(xiàn)象中，相似指標(biāo)等于1。相似準(zhǔn)則與相似常數(shù)都為無(wú)量綱，但意義不同。在相似現(xiàn)象中，相似常數(shù)可變化，但相似準(zhǔn)則不變。第15頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例：兩個(gè)力學(xué)相似系統(tǒng)

對(duì)第一現(xiàn)象對(duì)第二現(xiàn)象各物理量相似常數(shù)

——力學(xué)系統(tǒng)的相似指標(biāo)第16頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三——無(wú)量剛組合數(shù)，牛頓相似準(zhǔn)則相似第一定理歸納為：對(duì)于彼此相似的現(xiàn)象，其相似指標(biāo)為1，相似準(zhǔn)則（判據(jù)）為一個(gè)不變量。第17頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三相似第二定理（π定理）1914年美國(guó)的波金漢提出了相似第二定理。分析了相似現(xiàn)象各物理參量的表述。

相似第二定理主要是說(shuō)明如何確定相似準(zhǔn)則的個(gè)數(shù)的。相似第二定理可描述為：某個(gè)現(xiàn)象的物理量總數(shù)為n，量剛獨(dú)立的物理量（基本量剛數(shù)）總數(shù)為k。則該現(xiàn)象的相似準(zhǔn)則的個(gè)數(shù)為n－k。描述該現(xiàn)象各物理量之間的關(guān)系可表示為相似準(zhǔn)則之間的關(guān)系。第18頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三——準(zhǔn)則關(guān)系式或π關(guān)系式————①兩個(gè)相似現(xiàn)象，由于對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)時(shí)刻上相似準(zhǔn)則π1,π2,…,πn-k的值不變，即————②上式反映了模型試驗(yàn)等的設(shè)計(jì)條件，其意義在于：如果把某現(xiàn)象的結(jié)果整理成①式，則該式可以推廣到和它相似的所有同類(lèi)現(xiàn)象上去，推廣過(guò)程中，并不需真正列出①式，只要利用②式。第19頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三特別指出現(xiàn)象的物理量除去多數(shù)是帶量剛的以外，有時(shí)還會(huì)出現(xiàn)一些不帶量剛的量，在π關(guān)系式中，要直接作為π項(xiàng)來(lái)處理，這是因?yàn)?，這些物理量除了具有無(wú)量剛的特征以外，也往往具有明顯的物理意義。比如：摩擦系數(shù)，它可以理解為摩擦力和正壓力之比，所以符合無(wú)量剛綜合群的要求，再如角度這樣的無(wú)量剛，同樣也可以找到這樣的物理依據(jù)。第20頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三相似第三定理（逆定理）

1930年蘇聯(lián)學(xué)者基爾皮契夫和古赫曼提出了相似第三定理，回答了相似現(xiàn)象的充分而必要的條件。

相似第三定理指出?，F(xiàn)象相似的充要條件：相似的現(xiàn)象都應(yīng)由文字完全相同的方程組所描述相似現(xiàn)象的單值條件也應(yīng)相似由單值條件的物理量所組成的相似準(zhǔn)則，在數(shù)值上相等，即相似指標(biāo)等于1第21頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三綜上所述，現(xiàn)象相似條件可表述為：凡同一完整的方程組所描述的同類(lèi)現(xiàn)象，當(dāng)單值條件相似，且由單值條件的物理量所組成的相似準(zhǔn)則在數(shù)值上相等，則這些現(xiàn)象就相似。這里的單值條件就是如前所述的將一個(gè)個(gè)別現(xiàn)象從同類(lèi)現(xiàn)象中區(qū)分出來(lái)，亦即將現(xiàn)象的通解轉(zhuǎn)變?yōu)樘亟獾木唧w條件，單值條件包括幾何條件、（空間條件）、介質(zhì)條件（或物理?xiàng)l件）、邊界條件和初始條件（或時(shí)間條件）。第22頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三、相似準(zhǔn)則的計(jì)算1.方程分析法任何正確的物理方程都是量剛和諧的，即方程中的每一項(xiàng)的量剛都是相同的，這是通過(guò)方程分析能夠?qū)С龅南嗨茰?zhǔn)則的基礎(chǔ)。第23頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三積分類(lèi)比法的步驟

寫(xiě)出物理現(xiàn)象的基本方程。（可為微分或積分方程）用方程的任一項(xiàng)去除方程的其余各項(xiàng)。將由②得到的各項(xiàng)中涉及的導(dǎo)數(shù)用相應(yīng)的量的比值替代，積分用被積式來(lái)代替，即得相似準(zhǔn)則，相似現(xiàn)象中它們應(yīng)保持不變。單值條件補(bǔ)充基本方程的不足，建立新的方程或等式，求出其余的補(bǔ)充相似準(zhǔn)則。第24頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例如：彈簧——質(zhì)量系統(tǒng)的基本微分方程y——質(zhì)量位置坐標(biāo)m——質(zhì)量η——系統(tǒng)阻尼系數(shù)k——彈簧剛度系數(shù)解：用第三項(xiàng)去除其余各項(xiàng)，第一項(xiàng)/第三項(xiàng)＝第二項(xiàng)/第三項(xiàng)＝得微分方程的相似準(zhǔn)則。第25頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三本例中確定系統(tǒng)特解的單值條件同樣可得另外兩個(gè)相似準(zhǔn)則

注：第26頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例：

相似指標(biāo)第27頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2、量剛分析法

當(dāng)描述某一現(xiàn)象的方程暫無(wú)法寫(xiě)出時(shí)，可采用量剛分析法或因次分析法來(lái)確定相似準(zhǔn)則。所謂量剛就是度量物理量的類(lèi)型，同一類(lèi)型的量具有相同的量剛，如：長(zhǎng)度為[L]，力為[F]，時(shí)間為[T]，質(zhì)量為[M]。第28頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三在實(shí)際現(xiàn)象中，物理量之間的關(guān)系是遵循一定的自然規(guī)律的，在數(shù)學(xué)上，可用方程式來(lái)表達(dá)，因此各量剛之間亦有一定的關(guān)系。基本單位不是固定不變的，任何一組彼此獨(dú)立的并可導(dǎo)出其它單位的單位均可作為基本單位。如：力學(xué)問(wèn)題，在國(guó)際SI單位制中，把長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間的量剛作為基本單位，而工程單位制中，則把長(zhǎng)度、力、和時(shí)間的量剛作為基本單位。當(dāng)研究對(duì)象為靜力問(wèn)題時(shí)，與時(shí)間無(wú)關(guān)，只有兩個(gè)基本單位，但熱力學(xué)問(wèn)題中，還增加溫度為基本單位。第29頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例：已知某構(gòu)件固有頻率f與密度ρ，長(zhǎng)度L，彈性模量E之間的關(guān)系為：

其中K為無(wú)量剛系數(shù)，x，y，z為未知量。并導(dǎo)出相似準(zhǔn)則和相似指標(biāo)，確定振動(dòng)頻率的相似系數(shù)。解：1.列出各物理量的量綱得方程組：第30頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.導(dǎo)出相似關(guān)系的相似準(zhǔn)則為：相似指標(biāo)為：相似系數(shù)為：第31頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三練習(xí)：物體受力運(yùn)動(dòng)的量有F、質(zhì)量m、速度v和時(shí)間t。已知其相似準(zhǔn)則的一般表達(dá)式為：x，y，z為未知量。試用量剛分析法確定x，y，z的值，并求出相似準(zhǔn)則、相似指標(biāo)。第32頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解：由于得x＝－1，y＝－1，z＝1相似準(zhǔn)則為：相似指標(biāo)為：第33頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三量綱分析法的缺點(diǎn)

不能區(qū)別量綱相同但在數(shù)學(xué)方程式中具有不同物理意義的量。從而無(wú)法顯示現(xiàn)象的內(nèi)部結(jié)構(gòu)或辨別主次。如總長(zhǎng)和變形，在模型試驗(yàn)中希望尺寸縮小，變形量增大，但。很難控制量綱為零的物理量（如摩擦系數(shù)）盡管它們具有自身的物理意義，其相似系數(shù)只能取1。第34頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三量綱分析法的缺點(diǎn)量綱分析法的重要一環(huán)是正確選擇系統(tǒng)的參數(shù)，這就要求選取反映現(xiàn)象本質(zhì)的重要物理量。但實(shí)際上可能選入一些次要的、或者對(duì)現(xiàn)象來(lái)說(shuō)關(guān)系不大的物理量。很難發(fā)現(xiàn)在關(guān)系方程中常常遇到的帶有量綱的物理常數(shù)。無(wú)法確定所求得的相似準(zhǔn)則中哪個(gè)是決定性的，哪個(gè)是從屬的。第35頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三四、機(jī)械設(shè)計(jì)中模型試驗(yàn)相似準(zhǔn)則1.彎曲靜剛度模型試驗(yàn)軸的彎曲變形微分方程導(dǎo)出的相似準(zhǔn)則相似指標(biāo)加大模型變形量，提高模型試驗(yàn)讀數(shù)精度，簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)處理。

P1——原型實(shí)際載荷P2——試驗(yàn)應(yīng)加載荷第36頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第37頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第38頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第39頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第三章思考題第40頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三泵相似定律要保證模型泵和實(shí)型泵的流動(dòng)相似，也必須滿(mǎn)足幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似三個(gè)條件。一般來(lái)說(shuō)，只要幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似，葉輪內(nèi)的流動(dòng)可認(rèn)為自動(dòng)滿(mǎn)足壓力相似。對(duì)于大雷諾數(shù)流動(dòng)，由于流動(dòng)處于自模化區(qū)，此時(shí)只要幾何相似就能滿(mǎn)足其動(dòng)力相似。所