投影理論培訓(xùn)教程

第一章投影理論第一頁，共七十七頁。11.1投影法1.2點(diǎn)的投影1.3直線的投影1.4平面的投影1.5直線與平面及兩平面的相對(duì)位置內(nèi)容第二頁，共七十七頁。2投影面投影Aa投射線投影中心BCbc物體1.1投影法投影的形成PS第三頁，共七十七頁。3中心投影法投射線匯交于投影中心投影法SP第四頁，共七十七頁。4斜投影法平行投影法投射線沿S方向相互平行SS正投影法PP投影法第五頁，共七十七頁。5平行投影法投射線相互平行正投影法投射線匯交于投影中心歸納投影法分類投射線類型（匯交或平行）投影面與投射線的相對(duì)位置（傾斜或垂直）中心投影法斜投影法投影法投射線傾斜投影面投射線垂直投影面正投影法第六頁，共七十七頁。6共同點(diǎn)（產(chǎn)生投影必須具備的條件）投影中心或投射方向投影面物體投影三要素SPSPSP第七頁，共七十七頁。71.2點(diǎn)的投影Aa點(diǎn)的一個(gè)投影能確定點(diǎn)的空間位置嗎？矛盾如何解決？對(duì)！用多面投影1.點(diǎn)在兩投影面體系中的投影A1A2P第八頁，共七十七頁。8兩投影面體系的建立HVOXAaa'ax展開HVOXa'aax投影軸水平投影面正面投影面水平投影正面投影1.點(diǎn)在兩投影面體系中的投影第九頁，共七十七頁。9點(diǎn)的投影連線與投影軸的關(guān)系點(diǎn)的投影到投影軸之距與點(diǎn)到投影面之距的關(guān)系aa'oxHVOXa'aax投影規(guī)律a'ax反映點(diǎn)到H面之距aax反映點(diǎn)到V面之距1.點(diǎn)在兩投影面體系中的投影第十頁，共七十七頁。10HVX水平投影面正面投影面O2.點(diǎn)在三投影面體系中的投影W側(cè)面投影面aa'a"YZaxayaz展開A側(cè)面投影VWHOXYYZa'aa"axaz第十一頁，共七十七頁。11投影規(guī)律點(diǎn)的投影連線與投影軸的關(guān)系點(diǎn)的投影到投影軸之距與點(diǎn)到投影面之距的關(guān)系2.點(diǎn)在三投影面體系中的投影a'aOXa'a"OZa'ax=點(diǎn)到H之距a'az=點(diǎn)到W之距aax=aaz=點(diǎn)到V之距OXYYZa'aa"axaz第十二頁，共七十七頁。12aa"用坐標(biāo)表示點(diǎn)的空間位置XZYYxzyy(y,z)(x,z)(x,y)OA(x,y,z)例求a"a'第十三頁，共七十七頁。13例稱點(diǎn)A、點(diǎn)C為對(duì)W面的重影點(diǎn)()a'a"ab'bb"c'cc"點(diǎn)B在點(diǎn)A的右方、下方、前方點(diǎn)C在點(diǎn)A的正左方比較兩點(diǎn)的相對(duì)位置第十四頁，共七十七頁。14直線的投影由兩點(diǎn)的同名投影的連線確定1.3直線的投影a'abb'a"b"第十五頁，共七十七頁。151.直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性平行垂直傾斜直線相對(duì)投影面的位置ABABABabababP第十六頁，共七十七頁。16P—投影ab=ABCos1.直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性AB∥P—投影反映實(shí)長ab=ABABP—投影積聚成一點(diǎn)ab

（積聚性）ABABABabababPAB第十七頁，共七十七頁。17直線相對(duì)于投影面的位置可歸結(jié)為幾類？2.直線在三投影面體系中的投影特性直線相對(duì)于三投影面的位置直線對(duì)三投影面均傾斜—一般位置線VWH第十八頁，共七十七頁。18VWH直線相對(duì)于三投影面的位置直線//某一投影面投影面平行線VWH//V正平線//W側(cè)平線VWH水平線//H第十九頁，共七十七頁。19直線相對(duì)于三投影面的位置直線某一投影面投影面垂直線VWHVWHVWHH鉛垂線正垂線VW側(cè)垂線第二十頁，共七十七頁。20一般位置線投影面平行線投影面垂直線水平線：∥H面正平線：∥V面?zhèn)绕骄€：∥W面鉛垂線：H面正垂線：V面?zhèn)却咕€：W面投影面平行線投影面垂直線特殊位置直線歸納直線相對(duì)于投影面的位置第二十一頁，共七十七頁。21一般位置線對(duì)H、V、W面均傾斜的直線投影特性三個(gè)投影皆為傾斜直線，且均不反映實(shí)長a"b"a'b'ab第二十二頁，共七十七頁。22投影面平行線平行某一個(gè)投影面的直線是什么線？為什么？正平線平行V面投影特性在所平行的投影面上的投影反映實(shí)長及與其它二投影面的傾角實(shí)長另外二投影分別平行相應(yīng)的投影軸一個(gè)b'b"a'a"ba一個(gè)一個(gè)第二十三頁，共七十七頁。23是什么線？投影面垂直線垂直某一個(gè)投影面的直線a'a"b"b'a(b)鉛垂線為什么？垂直H面投影特性在所垂直的投影面上的投影積聚成一點(diǎn)另外二投影分別平行相應(yīng)的投影軸且反映實(shí)長實(shí)長實(shí)長積聚性第二十四頁，共七十七頁。243.屬于直線的點(diǎn)a'b'abc'c點(diǎn)的投影在直線的同名投影上點(diǎn)將線段分割成定比——定比定理ac/cb=a'c'/c'b'=AC/CB判定a'b'bak'k點(diǎn)K屬于直線AB嗎?第二十五頁，共七十七頁。254.兩直線的相對(duì)位置平行相交交叉垂直兩直線平行投影特性同名投影平行a'b'//c'd'ab//cd且長度成比例a'b'c'd'abcd第二十六頁，共七十七頁。26AB//CD?abb'a'c'd'dc如何判斷?根據(jù)投影特性a'b'/c'd'ab/cd求第三投影擺出空間位置AB:上后下前CD：上前下后第二十七頁，共七十七頁。27兩直線相交交點(diǎn)為共有點(diǎn)ABCD=KKABKCD直線的同名投影必相交交點(diǎn)的投影連線符合點(diǎn)的投影規(guī)律投影特性b'abc'd'cdk'ka'第二十八頁，共七十七頁。28兩直線交叉a'b'c'd'cabd121'2'3'4'3（）4（）ABCD?第二十九頁，共七十七頁。29兩直線垂直討論其中一條直線為投影面平行線的情況BC//PABBCabbc直角投影定理EFABCabcP第三十頁，共七十七頁。30a'b'c'd'abcdabcd已知AB//H、ABCD，求cd例第三十一頁，共七十七頁。311.4平面的投影1.平面表示法a'b'c'abca'b'c'abca'b'c'abca'b'c'abc用幾何元素表示a'b'c'abc第三十二頁，共七十七頁。32用跡線表示VWHXYZOPPVPHPWPzPxPy平面與投影面的交線稱為平面的跡線正面跡線水平跡線側(cè)面跡線PVPHPx第三十三頁，共七十七頁。33VWHXYZOPPVPWPVPWPz水平面用跡線如何表示？Pz第三十四頁，共七十七頁。34VWHXYZO鉛垂面用跡線如何表示？PVPHPWPxPyPVPHPxPwPyPy第三十五頁，共七十七頁。352.平面的投影特性平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性平面//P平面P反映實(shí)形實(shí)形性積聚成直線積聚性類似圖形類似性P平面P第三十六頁，共七十七頁。36平面在三投影面體系中的投影特性平面相對(duì)于三投影面的位置平面相于投影面的位置可歸納為幾類？VWH平面對(duì)三投影面均傾斜—一般位置平面第三十七頁，共七十七頁。37平面相對(duì)于三投影面的位置平面某一投影面投影面垂直面V正垂面鉛垂面HW側(cè)垂面VWHVWHVWH第三十八頁，共七十七頁。38平面相對(duì)于三投影面的位置平面//某一投影面投影面平行面//V正平面水平面//H//W側(cè)平面VWHVWHVWH第三十九頁，共七十七頁。39一般位置平面投影面垂直面投影面平行面鉛垂面：H面正垂面：V面?zhèn)却姑妫篧面水平面：∥H面正平面：∥V面?zhèn)绕矫妫骸蜽面特殊位置平面歸納投影面垂直面投影面平行面平面相對(duì)于投影面的位置第四十頁，共七十七頁。40一般位置平面對(duì)H、V、W均傾斜的平面投影特性在H、V、W面上的投影皆為空間平面圖形的類似圖形a'b'c'b"a"c"abc第四十一頁，共七十七頁。41投影面垂直面僅垂直于一個(gè)投影面的平面是什么平面？正垂面為什么？積聚性投影特性在所垂直的投影面上的投影積聚成直線，且反映平面與投影面的傾角另二投影為類似圖形一個(gè)類似圖形一個(gè)a'b'c'c"b"a"acb類似圖形第四十二頁，共七十七頁。42投影面平行面平行于某一投影面的平面是什么平面？水平面為什么？投影特性在所平行的投影面上的投影反映實(shí)形另二投影分別平行于相應(yīng)的投影軸平行OX軸平行OY軸abca'b'c'c"a"b"反映實(shí)形第四十三頁，共七十七頁。433.平面內(nèi)的點(diǎn)和直線作圖根據(jù)若直線在平面內(nèi)，則該線必通過平面內(nèi)的兩點(diǎn)；或通過平面內(nèi)一點(diǎn)并平行于該平面內(nèi)一直線。幾何定理若點(diǎn)在平面內(nèi)，則該點(diǎn)必屬于平面內(nèi)一直線。第四十四頁，共七十七頁。44點(diǎn)K在平面內(nèi)，已知k'，求k例1'1k1'1k可見:在平面內(nèi)取點(diǎn)取線二者互為條件a'c'cabk'b'a'c'cabk'b'第四十五頁，共七十七頁。454.平面內(nèi)的特殊位置直線屬于平面的投影面平行線例過點(diǎn)C在該平面內(nèi)作水平線a'b'c'bac分析直線的屬性LABC水平線Ｖ投影//OXd'dCD為所求第四十六頁，共七十七頁。46已知AC為正平線，完成平面四邊形的水平投影例cda'b'c'd'ab第四十七頁，共七十七頁。47HABKklLP1abABP

KLPAB//HKLAB平面內(nèi)垂直于該平面的投影面平行線的直線，稱為平面的最大斜度線KL為平面內(nèi)對(duì)H面的最大斜度線平面的最大斜度線第四十八頁，共七十七頁。48投影特性klab(直角投影定理）KL與H面的傾角即為平面P與H面的傾角KL是平面內(nèi)對(duì)H面傾角最大的直線HABKklLP1ab第四十九頁，共七十七頁。491.5直線與平面、兩平面的相對(duì)位置點(diǎn)、直線、平面之間的相對(duì)位置從屬關(guān)系平行關(guān)系相交關(guān)系屬于直線的點(diǎn)屬于平面的點(diǎn)屬于平面的直線直線與直線平行直線與平面平行平面與平面平行直線與直線相交直線與平面相交平面與平面相交垂直關(guān)系直線與平面垂直平面與平面垂直直線與直線垂直第五十頁，共七十七頁。501.平行問題

定理

若直線平行于平面內(nèi)一直線，則該直線平行于平面。反之，若直線平行于平面，則在平面內(nèi)必可作一直線與該直線平行。

d'da'b'c'abck'kl'l直線//平面平面//平面第五十一頁，共七十七頁。51

定理

若兩平面內(nèi)有一對(duì)相交直線對(duì)應(yīng)平行，則該兩平面平行。a'b'c'bcae'f'd'fdeg'g第五十二頁，共七十七頁。52過點(diǎn)K作直線平行已知平面c'a'b'abck'km'mn'n可作多少條直線？滿足條件的直線的軌跡是什么？例第五十三頁，共七十七頁。53若平面為特殊位置面(如鉛垂面），過點(diǎn)作直線與之平行將如何？直線的水平投影應(yīng)平行平面具有積聚性的投影直線的正面投影呢？作平面與該平面平行呢？mm'n'na'b'c'abck'k第五十四頁，共七十七頁。542.相交問題直線與平面相交--交點(diǎn)為共有點(diǎn)平面與平面相交--交線為共有線求交問題的本質(zhì)是求共有點(diǎn)幾何元素相對(duì)投影面的位置均不具有積聚性投影至少其一具有積聚性投影一般位置的相交問題特殊位置的相交問題第五十五頁，共七十七頁。55求直線與平面的交點(diǎn)kk'判別可見性例1b'e'ba'c'acf'ef特殊位置的相交問題K第五十六頁，共七十七頁。56e'f'ef求直線與平面的交點(diǎn)kk'例2K第五十七頁，共七十七頁。57求二平面的交線mnn'm'例3b'a'c'abcMN第五十八頁，共七十七頁。58a'b'c'cbadfed'e'f'請(qǐng)同學(xué)們想一想：若兩個(gè)正垂面相交，其交線是什么線？交線為正垂線判別可見性mnm'(n')這種相交形式稱為互交第五十九頁，共七十七頁。59一般位置的相交問題a'd'e'b'c'aedcbPHmnm'n'k'k作圖步驟包含直線作輔助平面求輔助平面與已知平面的交線交線與已知直線的交點(diǎn)即為所求例1求DEABC＝KEDABCMNKP第六十頁，共七十七頁。60例2RVSV求兩平面的交線用求一般位置線面交點(diǎn)的方法求解結(jié)果第六十一頁，共七十七頁。61例31'2'3'4'1234mm'5'8'58nn'P1P2RSMN12345678求兩平面的交線RVSV用“三面共點(diǎn)”原理求解作圖步驟作輔助平面（投影面）分別求輔助平面與二已知平面的交線求二交線的交點(diǎn)即為二平面交線上的點(diǎn)第六十二頁，共七十七頁。623.垂直問題直線與平面垂直幾何定理若一直線垂直于某平面，則此直線必垂直于該平面內(nèi)的一切直線。反之若一直線垂直于某平面內(nèi)二相交直線則此直線必垂直于該平面。第六十三頁，共七十七頁。63VHABECDc'd'a'b'ceabABP（DCE）CD//VCE//Ha'b'c'd'abce若直線垂直于平面，則直線的水平投影垂直于平面內(nèi)水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于平面內(nèi)正平線的正面投影直線投影方向如何確定第六十四頁，共七十七頁。64例過點(diǎn)A作直線垂直于平面a'ab'b第六十五頁，共七十七頁。65兩平面垂直幾何定理若一直線垂直于某平面，則包含此直線的一切平面均垂直于該平面。反之，若兩平面相互垂直，則由平面A內(nèi)任一點(diǎn)向平面B所作的垂線必在平面A內(nèi)。第六十六頁，共七十七頁。66例過點(diǎn)A作平面垂直于平面a'ab'b分析包含已知平面的垂線的平面已知平面過點(diǎn)A作直線已知平面包含該垂線作平面作圖步驟c'c平面ABC為所求第六十七頁，共七十七頁。67例求點(diǎn)A到BC之距a'abcb'c'分析過點(diǎn)A與BC垂直相交的直線段為點(diǎn)到直線之距作圖步驟過點(diǎn)A作平面SBC求BCS＝K連接AK，即為所求kk'PV此例為作兩一般位置直線垂直相交的方法s's第六十八頁，共七十七頁。68a'b'abcc'd'd完成矩形ABCD的投影分析矩形的對(duì)邊相互平行鄰邊相互垂直本題關(guān)鍵是求b'c'作圖步驟過點(diǎn)B作平面AB在平面內(nèi)取直線BC作AD//BCCD//BA綜合問題舉例第六十九頁，共七十七頁。69a'c'ab已知ABC為等邊三角形，ab//OX，完成其投影ADBC分析b'已知CB(=a'b')、c'b'，

求cbCBP實(shí)長距P之差CB實(shí)長c'b'CB距V之差c第七十頁，共七十七頁。70小結(jié)點(diǎn)在三投影面體系中的投影作圖是解決一切問題的基楚熟練掌握各種位置直線、平面的投影特性特別要注意H面投影與W面投影的關(guān)系特別是特殊位置直線、平面的投影特性第七十一頁，共七十七頁。71相交問題求一般位置直線與平面的交點(diǎn)作圖步驟包含直線作輔助平面（投影面）求輔助平面與已知平面的交線交線與已知直線的交點(diǎn)即為所求求交問題的本質(zhì)是求共有點(diǎn)求交點(diǎn)（線）的基本方法