第五時變電磁場演示文稿

第五時變電磁場演示文稿目前一頁\總數(shù)八十頁\編于八點優(yōu)選第五時變電磁場目前二頁\總數(shù)八十頁\編于八點5.1法拉第電磁感應(yīng)定律

一、法拉第電磁感應(yīng)定律感應(yīng)電動勢：法拉第發(fā)現(xiàn)當穿過導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時，回路中就會出現(xiàn)感應(yīng)電流，表明此時回路中存在電動勢，這就是感應(yīng)電動勢。

著名的法拉第電磁感應(yīng)定律：法拉第發(fā)現(xiàn)進一步的研究發(fā)現(xiàn)，感應(yīng)電動勢的大小和方向與磁通量的變化有密切關(guān)系。

當通過導(dǎo)體回路所圍面積的磁通量發(fā)生變化時回路中就會產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，其大小等于磁通量的時間變化率的負值，方向是要阻止回路中磁通量目前三頁\總數(shù)八十頁\編于八點

的改變，即

(5-2)

式中負號即表示回路中感應(yīng)電動勢的作用總是要阻止回路中磁通量的變化。這里已規(guī)定：感應(yīng)電動勢的正方向和磁力線的正方向之間存在右手螺旋系。設(shè)任意導(dǎo)體回路圍成的曲面為，其單位法向矢量為，如圖5.1所示。圖5-1感應(yīng)電動勢的正方向和磁通的方向目前四頁\總數(shù)八十頁\編于八點

回路附近的磁感應(yīng)強度為，穿過回路的磁通于是（5-2）可以寫成（5-3）二、法拉第電磁感應(yīng)定律的積分與微分形式

從一般意義上講，電流是電荷的定向運動形成的，而電荷的定向運動往往是電場力對其作用的結(jié)果。所以，當磁通量發(fā)生變化時導(dǎo)體回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，這一定預(yù)示著空間中存在電場。這個電場不是電荷激發(fā)的，而是由于回路的磁通量發(fā)生變化而引起的，它不同于靜電場。當一個單位正電荷在電場力的作用下繞回路c一周時，電場力所做的功為它等效于電源對電荷所做的功，即電源電動勢。此時電源電動勢就是感應(yīng)電動勢,有

目前五頁\總數(shù)八十頁\編于八點

（5-4）

式（5-3）右邊的表示穿過面積s的磁通量隨時間的變化率，而磁通量變化的原因可以歸結(jié)為兩個：回路靜止（既無移動又無形變），磁場本身變化；磁場不變，回路運動（包括位移和形變）。1.法拉第電磁感應(yīng)定律的積分形式

當回路靜止時，磁通量的變化是因磁場隨時間變化而引起的，時間導(dǎo)數(shù)可以換成時間偏導(dǎo)數(shù)，并且可以移到積分內(nèi)，故有

(5-5)

目前六頁\總數(shù)八十頁\編于八點2.法拉第電磁感應(yīng)定律的微分形式

利用斯托克斯公式，并考慮到回路c(或面積s)的任意性，得

(5-6)

這就是，是時變場的一個基本方程，同時也是麥克斯韋方程組中的一個方程。對法拉第電磁感應(yīng)定律的解釋：

?式中的電場強度是因磁場隨時間變化而激發(fā)的，稱為感應(yīng)電場。

?

感應(yīng)電場是有旋場，其旋渦源為，即磁場隨時間變化的地方一定會激發(fā)起電場，并形成旋渦狀目前七頁\總數(shù)八十頁\編于八點

的電場分布。故又稱為渦旋電場。?

式（5-6）雖然是對導(dǎo)體回路得到的，但是它對任意回路（不一定有導(dǎo)體存在）同樣成立。?當磁場隨時間的變化率為零時，有,這與靜電場所得的形式完全相同，因此靜電場實際上是時變電場的特殊情況。如果空間中還存在靜止電荷產(chǎn)生的庫侖電場,則總電場為，這時

（5-7）

（5-8）

目前八頁\總數(shù)八十頁\編于八點?當導(dǎo)體回路以速度運動時，利用關(guān)系式和，可以得到

（5-9）等式右邊的兩個積分分別對應(yīng)著磁場變化和導(dǎo)體運動的貢獻。當磁場不隨時間變化時，有

（5-10）

比較等式兩邊，。得當導(dǎo)體在磁場中運動時，其內(nèi)部的電荷隨之運動，導(dǎo)體中電荷受到的洛倫茲力為。顯然，導(dǎo)體中的感應(yīng)電場實際上是導(dǎo)體中單位電荷所受的洛侖茲力，同時也可以說明，感應(yīng)電場是由于電荷在磁場中運動而形成的。目前九頁\總數(shù)八十頁\編于八點5.2位移電流

矛盾分析:

★靜態(tài)下:，★★非靜態(tài)下:(法拉第電磁感應(yīng)定律所揭示的一個極為重要的電磁現(xiàn)象—變化的磁場可以激發(fā)電場)?！镬o態(tài)下，安培環(huán)路定律，★★非靜態(tài)下，安培環(huán)路定律是否也有所變化呢？如果發(fā)生變化，又會產(chǎn)生什么物理現(xiàn)象呢？★★非靜態(tài)情況下,再由電荷守恒定律得（這一個結(jié)果是由電荷守恒定律得到的，而電荷守恒定律是大量試驗總結(jié)出的普遍規(guī)律，顯然這目前十頁\總數(shù)八十頁\編于八點顯然這個結(jié)果應(yīng)該是正確的）。假定非靜態(tài)情況下方程仍然成立，對此方程邊取散度，有。利用恒等式

,得（一個結(jié)果是在假定靜態(tài)場的安培環(huán)路定律在非靜態(tài)時仍然成立的條件得出的）。解決矛盾的方法:必須對靜態(tài)情況下所得到的安培環(huán)路定律作相應(yīng)的修正。修正的思路：

1.在方程的右邊加入一個附加項,即有,

且滿足;

2.加入的應(yīng)該具有合理的物理意義。目前十一頁\總數(shù)八十頁\編于八點

對高斯定理的兩邊求時間的偏導(dǎo)數(shù)，得:

。如果令

,可得:

（5-11）顯然，此時。式（5-11）就是時變場的安培環(huán)路定律的微分形式，是麥克斯韋方程組中的一個，其中的,即為位移電流密度。這里已經(jīng)解決了前面所述的矛盾，但是附加項位移電流密度的物理意義如何？是否符合物理事實？下面將進一步討論。時變場的安培環(huán)路定律也具有積分形式，即:目前十二頁\總數(shù)八十頁\編于八點

（5-12）式中，和分別為穿過回路所圍區(qū)域的真實電流（傳導(dǎo)電流和運流電流）和位移電流。對安培環(huán)路定律和位移電流的詮釋：

1.在時變電場情況下，磁場仍然是有旋場，但其旋渦源除了傳導(dǎo)電流外，還有位移電流。

2.位移電流代表的是電場隨時間的變化率,當空間中電場發(fā)生變化時，就會形成磁場的旋渦源，從而激發(fā)起旋渦狀的磁場，即變化的電場會激發(fā)磁場這就是位移電流的物理意義，同時也是前面分析所期望的。目前十三頁\總數(shù)八十頁\編于八點

3.位移電流是一種假想的電流。麥克斯韋用數(shù)學(xué)方法引入了位移電流，深刻地提示了電場和磁場之間的相互聯(lián)系，并且由此建立了麥克斯韋方程組，從而奠定了電磁理論的基礎(chǔ)。赫茲實驗和近代無線電技術(shù)的廣泛應(yīng)用，完全證實了麥克斯韋方程組的正確性，同時也證實了位移電流的假想。

4.將

,代入位移電流的定義式中，得

,式中第一項為真空中的位移電流，僅表示電場隨時間的變化，并不對應(yīng)于任何帶電質(zhì)點的運動，而第二項表示介質(zhì)分子的電極化強度隨時間變化引起的極化電流。目前十四頁\總數(shù)八十頁\編于八點【例5-1】

海水的電導(dǎo)率為，相對介電常數(shù)為81，求當頻率為1時，位移電流與傳導(dǎo)電流的比值。

解:設(shè)電場是正弦變化的，表示為

則位移電流密度為

其振幅值為傳導(dǎo)電流密度的振幅值為故目前十五頁\總數(shù)八十頁\編于八點5.3麥克斯韋方程組一、非限定形式的麥克斯韋方程組

麥克斯韋方程組是整個宏觀電磁場理論的核心。用

四個場量寫出的方程稱為麥克斯韋方程的非限定形式?！舴e分形式包括如下的四個方程

(5-13a)

(5-13b)(5-13c)

(5-13d)

目前十六頁\總數(shù)八十頁\編于八點◆

相應(yīng)的微分形式為

(5-14a)(5-14b)(5-14c)(5-14d)

式中，

,為外部強加的電流源，為傳導(dǎo)電流。本書中若沒有特別說明，將無外部強加的電流源時的記為

。

習(xí)慣上把上述四個方程稱為麥克斯韋第一、二、三、四方程

。

關(guān)于麥克斯韋方程組的討論：?時變電場的激發(fā)源除了電荷以外，還有變化的磁場；而時變磁場的激發(fā)源除了傳導(dǎo)電流以外，還目前十七頁\總數(shù)八十頁\編于八點

有變化的電場。電場和磁場互為激發(fā)源，相互激發(fā)

?

電場和磁場不再相互獨立，而是相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成一個整體——電磁場，電場和磁場分別為電磁場的兩個分量。

?在離開輻射源（如天線）的無源空間中，電荷密度和電流密度為零，電場和磁場仍然可以相互激發(fā)，從而在空間形成電磁振蕩并傳播，這就是電磁波。所以，麥克斯韋方程組實際上已經(jīng)預(yù)言了電磁波的存在，而這個預(yù)言已被事實證明。

?在無源空間中，兩個旋度方程分別為和。可以看到兩個方程的右邊相差一個負號，而正是這個負號使得電場和磁場構(gòu)成一個相互目前十八頁\總數(shù)八十頁\編于八點

約束的關(guān)系，即當磁場減小時，電場的旋渦源為正，電場將增大；而當電場增大時，將使磁場增大，磁場增大反過來又使電場減小，……。但是，如果沒有這個負號的差別，電場和磁場之間就不會形成這種不斷繼續(xù)下去的激勵關(guān)系。

?麥克斯韋方程可以以不同的形式寫出。用四個場量寫出的方程稱為麥克斯韋方程的非限定形式。因為它沒有限定與之間及與

之間的關(guān)系，故適用于任何媒質(zhì)。二、限定形式的麥克斯韋方程組用和兩個場量寫出的麥克斯韋方程組，是麥克斯韋方程的限定形式。

目前十九頁\總數(shù)八十頁\編于八點

對于線性和各向同性媒質(zhì)，有

(5-15)

(5-16)(5-17)

這是媒介的本構(gòu)關(guān)系。利用本構(gòu)關(guān)系，麥克斯韋方程組可用和兩個場量寫出

(5-18a)

(5-18b)

(5-18c)

(5-18d)

麥克斯韋方程組是宏觀電磁現(xiàn)象的總規(guī)律，靜電場與恒定磁場的基本方程是麥克斯韋方程的特例。目前二十頁\總數(shù)八十頁\編于八點5.4時變電磁場的邊界條件

在時變電磁場中,分析兩種不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件,與靜態(tài)電磁場一樣,必須應(yīng)用麥克斯韋方程的積分形式。

一、的切向分量邊界條件

圖5-2表示兩種媒質(zhì)的分界面，1區(qū)媒質(zhì)的參數(shù)為

、

;

2區(qū)媒質(zhì)的參數(shù)為:

、

、;

設(shè)分界面上的面電流密度的

的方向垂直于紙面向內(nèi)，則磁場矢量在紙上。在分界面上取一個無限靠近分界面的無窮小閉合路圖5-2的邊界條件

目前二十一頁\總數(shù)八十頁\編于八點

徑，即長為無窮小量，寬為高階無窮小量，把積分形式的麥克斯韋方程(5-13a)應(yīng)用于此閉合路徑，得

式中，的模是有限量。當時，，

于是得（5-23）

表示為矢量形式

（5-24）

式中，為從媒質(zhì)2指向媒質(zhì)1的分界面法線方向的單位矢量。

若分界面上不存在傳導(dǎo)面電流，即，則有：目前二十二頁\總數(shù)八十頁\編于八點

（5-25）

（5-26）結(jié)論：在兩種媒質(zhì)分界面上存在傳導(dǎo)面電流時，的切向分量是不連續(xù)的，其不連續(xù)量就等于分界面上的面電流密度。若分界面上沒有面電流，則的切向分量是連續(xù)的。二、的切向分量邊界條件把積分形式的麥克斯韋方程(5-13b)應(yīng)用于圖5-3所示的閉合路徑，得式中，的模是有限量。當時，,于是得

（5-27）

目前二十三頁\總數(shù)八十頁\編于八點

圖5-3的邊界條件表示為矢量形式

（5-28）說明，在分界面上的切向分量總是連續(xù)的。三、的法向分量邊界條件與恒定磁場相同，時變電磁場中的邊界條件為

（5-29）

目前二十四頁\總數(shù)八十頁\編于八點

（5-30）這說明：在分界面上的法向分量總是連續(xù)的。四、的法向分量邊界條件

與靜電場相同，時變電磁場中的邊界條件為

（5-31）表示為矢量形式（5-32）這說明，在分界面上的法向分量是不連續(xù)的，不連續(xù)量等于分界面上的自由電荷密度。若分界面上不存在自由電荷，則

（5-33）或（5-34）

目前二十五頁\總數(shù)八十頁\編于八點這說明，若分界面上沒有自由面電荷，則的法向分量是連續(xù)的。在研究電磁場問題時，常用到以下兩種重要的特殊情況：（1）兩種無損耗媒介的分界面此時兩種媒質(zhì)的電導(dǎo)率為零，在分界面上一般不存在自由電荷和面電流，即，，則邊界條件為或

（5-35）或（5-36）

或（5-37）

或（5-38）

（2）理想介質(zhì)和理想導(dǎo)體的分界面

目前二十六頁\總數(shù)八十頁\編于八點

理想導(dǎo)體是指其電導(dǎo)率為無窮大的導(dǎo)體，理想導(dǎo)體中電場強度和磁感應(yīng)強度均為零。理想介質(zhì)是指其電導(dǎo)率為零的導(dǎo)體。設(shè)1區(qū)為理想介質(zhì)（），2區(qū)為理想導(dǎo)體（），如圖5-4所示

圖5-4

目前二十七頁\總數(shù)八十頁\編于八點則得

、、。此時的邊界條件為或

（5-39）

或（5-40）

或（5-41）或（5-42）顯然：在理想導(dǎo)體表面上，電場始終垂直于導(dǎo)體表面，而磁場平行于導(dǎo)體表面。理想導(dǎo)體實際上是不存在的，但它卻是一個非常有用的概念。因為在實際問題中常遇到金屬導(dǎo)體邊界的情形。電磁波投射到金屬表面時幾乎是產(chǎn)生全反射，進入金屬的功率僅是入射波功率的很小部分。如果忽略此微小的目前二十八頁\總數(shù)八十頁\編于八點的功率，則金屬表面可以用理想導(dǎo)體表面代替，使邊界條件變得簡單（變?yōu)榱悖?，從而簡化邊值問題的分析。

5.5坡印廷定理和坡印廷矢量時變電磁場中的一個重要現(xiàn)象就是電磁能量的流動。因為電場能量密度隨電場強度變化；磁場能量密度隨磁場強度變化。空間各點能量密度的改變引起能量流動。我們定義單位時間內(nèi)穿過與能量流動方向垂直的單位表面的能量為能流矢量，其意義是電磁場中某點的功率密度，方向為該點能量流動的方向。目前二十九頁\總數(shù)八十頁\編于八點電磁能量—如其他能量服從能量守恒原理。下面將從麥克斯韋方程出發(fā)，導(dǎo)出表征時變場中電磁能量守恒關(guān)系—坡印廷定理，并著重討論電磁能流矢量—坡印廷矢量。重新寫麥克斯韋方程(5-14a)、(5-14b)由上二式得

目前三十頁\總數(shù)八十頁\編于八點設(shè)線性且各向同性的媒質(zhì)內(nèi)無外加源，媒質(zhì)的參數(shù)

、、均不隨時間變化，則上式中式中，

,分別是磁場與電場的能量密度，是單位體積內(nèi)的焦耳熱損耗。于是得

（5-43）

目前三十一頁\總數(shù)八十頁\編于八點利用矢量恒等式故式（5-43）變?yōu)?/p>

（5-44）對上式取體積分

將散度定理用于上式左邊使體積分變?yōu)槊娣e分，同時改變等式兩邊的符號，得到坡印廷定理或能流定理目前三十二頁\總數(shù)八十頁\編于八點

式中，

,。式（5-45）右邊第一項是體積內(nèi)電場能量和磁場能量每秒鐘的增加量；而第二項是體積內(nèi)變?yōu)榻苟鸁岬墓β省Ｓ捎陂]合面之內(nèi)沒有能量來源，根據(jù)能量守恒原理，這些能量的來源只能來自閉合面之外，因而式（5-45）左邊必是自外界流入的功率的凈流量。這就是能流定理的含義。目前三十三頁\總數(shù)八十頁\編于八點

根據(jù)這個物理含義，式（5-45）左邊的被積函數(shù)

應(yīng)具有單位面積上流過的功率的量綱——單位為，把它定義為能流矢量(實為功率流密度矢量)，也稱為坡印廷矢量，并用表示（5-46）

需特別說明的是：坡印廷矢量與面積元中的是兩個不同的物理量，應(yīng)加以區(qū)別。坡印廷矢量是時變電磁場中一個重要的物理量。從式（5-45）可看出，只要知道空間任一點的和

就知道該點電磁能量流的大小和方向。

【例5-5】如圖5-8所示，理想的導(dǎo)電壁限定的區(qū)域

存在一個如下的電場。目前三十四頁\總數(shù)八十頁\編于八點求這個區(qū)域中坡印廷矢量的瞬時值。

圖5-8無限大導(dǎo)體平行板之間的電磁場

【解】由得

得目前三十五頁\總數(shù)八十頁\編于八點

故

5.6波動方程從限定形式的麥克斯韋方程式（5-18）可導(dǎo)出波動方程。在均勻無損耗媒介的無源區(qū)域內(nèi)，，，麥克斯韋方程變?yōu)椋?-50a）

（5-50b）

（5-50c）

（5-50d）

目前三十六頁\總數(shù)八十頁\編于八點

為了用解析法求解，還需把和分離到兩個方程中。為此，對等式（5-50b）兩邊取旋度

應(yīng)用矢量恒等式，并將公式（5-50a）和式（5-50d）代入，得

（5-51）此即的波動方程。式中的為矢量拉普拉斯算符。用同樣的方法可導(dǎo)出的波動方程（5-52）

目前三十七頁\總數(shù)八十頁\編于八點無源區(qū)域中的或可以通過求解式（5-51）或式（5-52）的波動方程得到。在直角坐標系中，波動方程可以分解為三個標量方程，每個方程中只含一個未知函數(shù)。例如，式（5-52）可以分解為或(5-53a)

或(5-53b)

或(5-53c)

目前三十八頁\總數(shù)八十頁\編于八點

而其他坐標系中分解得到的三個標量方程都具有復(fù)雜的形式。波動方程的解是在空間中一個沿特定方向傳播的電磁波。研究電磁波的傳播問題都可歸結(jié)為給定邊界條件和初始條件下求波動方程的解。當然，除最簡單的情形外，求解波動方程往往是很復(fù)雜的。5.7動態(tài)位與滯后位

靜態(tài)位:靜態(tài)場的各種位函數(shù)動態(tài)位:時變場的各種標量位、矢量位(由于電場和磁場的不可分割，動態(tài)位是成對的)。本節(jié)引出動態(tài)標量位和矢量位后，導(dǎo)出關(guān)于他們目前三十九頁\總數(shù)八十頁\編于八點他們的非齊次波動方程—達朗貝爾方程，由其解引入滯后位的概念。一、動態(tài)位-借助于輔助的位函數(shù)可以減少未知函數(shù)的數(shù)目，簡化求解因為的散度恒為零

,可以令

（5-54）代式（5-14b），得

（5-55）式中，方括號部分以看成一個矢量。又由于無

目前四十頁\總數(shù)八十頁\編于八點旋的矢量可以用一個標量函數(shù)的梯度代替，令（5-56）則（5-57）式中，稱為動態(tài)矢量位，或簡稱為矢量位，單位是韋[伯]/米()。稱為動態(tài)標量位，或簡稱標量位，單位是伏()。和就是時變電磁場的一個動態(tài)位對。二、達朗貝爾方程

引入，后，電磁場除了能用和描述，同時也可用矢量位和標量位描述。這兩種描述是等價的。但，，，之間并不存在唯一的對應(yīng)關(guān)系,同目前四十一頁\總數(shù)八十頁\編于八點

樣的，對應(yīng)著多個，。也就是說，，是不唯一的，均具有任意性，但由于存在規(guī)范不變性，并不影響電磁場的唯一性。而且，利用規(guī)范函數(shù)的任意性可以靈活地規(guī)定及之間的關(guān)系，以簡化輔助位及的方程。為了唯一地確定及，需要規(guī)定其散度。將式(5-54)和式(5-57)代入式(5-14d)和式(5-14a)，得（5-58）及目前四十二頁\總數(shù)八十頁\編于八點利用矢量恒等式,得

即

（5-59）根據(jù)亥姆霍茲定理，要唯一地確定矢量位,除規(guī)定它的旋度外，還必須規(guī)定它的散度。故令（5-60）代入式（5-59）和式（5-58），得目前四十三頁\總數(shù)八十頁\編于八點

（5-61）

和（5-62）式(5-60)稱為洛倫茲條件。采用洛倫茲條件使和

分離在兩個方程里，式(5-61)和式(5-62)稱為達朗貝爾方程(它是關(guān)于動態(tài)位和的非齊次波動方程,此方程顯示的源是,而的源是,這對求解方程是有利的)。當然，在時變場中和是相互聯(lián)系的。洛倫茲條件是人為地規(guī)定的散度值，如果不采取洛倫茲條件而采取另外的值，得到的，和的方程將不同于式(5-61)和式(5-62)，會得到另一組和的解。但目前四十四頁\總數(shù)八十頁\編于八點最后由和求出的和是不變的。求出的和是不變的。三、達朗貝爾方程的解式(5-61)和式(5-62)兩個非齊次波動方程，實際上是四個相似的標量方程的集合，故只需求解一個標量方程。在這里我們不去嚴格求解，而是采用類比方法求方程(5-62)的解，并把重點放在理解所得解答的物理意義上。設(shè)標量位是由足夠小的體積內(nèi)的電荷元產(chǎn)生的，因此在之外不存在電荷，式(5-62)變?yōu)辇R次波動方程。目前四十五頁\總數(shù)八十頁\編于八點

(5-63)

可把，視為點電荷。利用點電荷周圍空間的場具有球?qū)ΨQ性的特點，得知標量位在球坐標系中僅于有關(guān)，即，則式（5-63）可簡化為（5-64）引入一個新的函數(shù)，使,則式（5-64）變?yōu)椋?-65）式中

,式（5-65）是一維波動方程。用直接代入法可證明任何以為宗量的二次可微分函數(shù)都是（5-65）的解，即

目前四十六頁\總數(shù)八十頁\編于八點

（5-66）

此式表示一個以速度沿+方向行進的波。故標量位函數(shù)為（5-67）為了求函數(shù)的特定形式，將式（5-67）與同樣位于坐標原點的靜止點電荷元產(chǎn)生的標量電位（5-68）類比，可看出，時變場的標量位應(yīng)取為

（5-69）目前四十七頁\總數(shù)八十頁\編于八點對位于處的點電荷元，應(yīng)將上式右端的換成，即（5-70）式中，。因此，由體積內(nèi)分布的電荷產(chǎn)生的標量位為

r'rzyx(r,t)VdVr'-r0目前四十八頁\總數(shù)八十頁\編于八點式中的代表響應(yīng)函數(shù)（在此即是與電荷相距為的位函數(shù)）與源（在此即是位于的時變電荷）之間的時延。即離開源為處，在時刻的標量位由稍早時刻,的電荷密度所決定。也就是說，觀察點的位場變化滯后于源的變化，滯后的時間正好是源的變動以速度,傳播距離所需的時間。故式(5-71)表示的標量位,稱為標量滯后位。對于矢量位，可將其分解為三個分量，即

目前四十九頁\總數(shù)八十頁\編于八點這時的矢量運算可化為標量運算，故可仿照上述過程求出矢量滯后位的表達式

(5-72)求出和之后，就可由式（5-57）和式（5-54）求出電場和磁場。事實上，由于和之間關(guān)系已由洛倫茲條件,給出，所以不必把和都解出來，通常只需求出就可求得電場強度和磁場強度。應(yīng)該指出，考慮“滯后”并非總是必需的。“滯后”究竟是重要的還是可以忽略的，取決于時間延遲

目前五十頁\總數(shù)八十頁\編于八點

的長短，這就要涉及到電磁現(xiàn)象本身的特性以及所需求的時間分辨率。如果延遲時間

足夠短，則在所討論的區(qū)域內(nèi)就可忽略“滯后”。對于研究電磁輻射問題，滯后位是十分重要的。

5.8時諧電磁場

正弦場或時諧場:如果場源（電荷或電流）以一定的角頻率隨時間作正弦變化，則它所激發(fā)的電磁場也以相同的角頻率隨時間作正弦變化，這種以一定頻率作正弦變化的場。例如，廣播、電視、和通信的載波，都是正弦電磁波。目前五十一頁\總數(shù)八十頁\編于八點

一般情況下，即使電磁場不是正弦場，也可以通過傅立葉變換展成正弦場來研究。所以，研究正弦場具有普遍的意義。

正弦場的變量可以用復(fù)數(shù)的形式來表示。在此情況下，電磁場所滿足的麥克斯韋方程、波動方程、達朗貝爾方程等，形式上都會有所變化。用復(fù)數(shù)的形式來表示正弦場，是處理正弦問題的重要方法。

兩種表示法的互換：雖然采用復(fù)數(shù)形式表示的場量使得大多數(shù)正弦場問題簡單化，但是有時仍需要用實數(shù)的形式(稱為瞬時表示法)來表示場量，目前五十二頁\總數(shù)八十頁\編于八點

所以經(jīng)常會遇到兩種表示法的互換。另外，對于能量密度、能流密度等含有場量的平方關(guān)系的物理量，只能用瞬時的形式來表示。在遇到上述正弦場表示法的問題時，初學(xué)者往往容易混淆和出錯。下面就來討論這些問題。一、正弦場的復(fù)數(shù)表示地電磁場隨時間作正弦變化時，在直角坐標系內(nèi)，電場強度的三個分量可以余弦形式表示為（5-73a）

（5-73b）

目前五十三頁\總數(shù)八十頁\編于八點

（5-73c）將上述單一頻率的時諧場表示為復(fù)數(shù)形式，需基于歐拉公式（5-74）

1．復(fù)數(shù)振幅用復(fù)數(shù)的實部表示為（5-75a）

（5-75b）（5-75c）式中（5-76a）

目前五十四頁\總數(shù)八十頁\編于八點

（5-76b）

（5-76c）稱為復(fù)數(shù)振幅。顯然，對簡諧變化的任何標量，例如電荷分布，也應(yīng)用有（5-76d）

2．復(fù)矢量（5-77）

式中，稱為電場強度復(fù)矢量.

目前五十五頁\總數(shù)八十頁\編于八點同理可得，，，，的復(fù)數(shù)表示（5-78）（5-79）

（5-80）

（5-81）注:復(fù)矢量，顧名思義，是每個“分量”都是復(fù)數(shù)的“矢量”。它不能象實矢量一樣用三維空間中的箭矢表示，也不能象每個復(fù)數(shù)振幅用復(fù)平面上的一個復(fù)數(shù)來表示，而是二者的特點兼而有之。因此，它只是一記號。復(fù)矢量之間應(yīng)首先按矢量的規(guī)則運算，然后還要按照復(fù)數(shù)的規(guī)則運算。

目前五十六頁\總數(shù)八十頁\編于八點3.場量對時間微積分的復(fù)數(shù)表示

（5-82）

（5-83）

（5-84）場量為標量時的運算同此

（5-85）4.場量對空間求導(dǎo)的復(fù)數(shù)表示（5-86）（5-87）式中的“”是對空間坐標的微分運算，而“”是取

目前五十七頁\總數(shù)八十頁\編于八點實部的符號，故兩者的運算順序可調(diào)換.二、麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式現(xiàn)在把時諧場的上述復(fù)數(shù)表示法代入麥克斯韋方程組。以(5-14a)為例，它可寫為

一般來說，僅實部相等并不意味著復(fù)數(shù)相等；但上式須在任意時刻都成立，于是就只有等式兩邊的復(fù)數(shù)相等。約掉時間因子,得（5-88）為了方便，約定不寫出時間因子,去掉下標與宗量且不再加點，即得麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形式目前五十八頁\總數(shù)八十頁\編于八點

（5-89a）同理可得（5-89b）（5-89c）（5-89d）由于麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式?jīng)]有時間因子，所以方程變量也就減少了一個。把麥克斯韋方程組由四維維問題簡化為三維問題，時域問題變?yōu)轭l率域問題?！纠?-6】把場矢量(1)~(4)式由瞬時值改為復(fù)數(shù),由復(fù)數(shù)改為瞬時值。

目前五十九頁\總數(shù)八十頁\編于八點(1)(2)(3)(4)【解】（1）因為（2）目前六十頁\總數(shù)八十頁\編于八點（3）（4）三、復(fù)電容率復(fù)磁導(dǎo)率

1．復(fù)電容率與復(fù)磁導(dǎo)率無源區(qū)的麥克斯韋旋度方程可變?yōu)椴▌臃匠虂砬蠼狻６捎性磪^(qū)的麥克斯韋方程無法導(dǎo)出波動方程,因而需要引入復(fù)電容率來解決：目前六十一頁\總數(shù)八十頁\編于八點

（5-90）

為了讓上式中的復(fù)數(shù)湊成一個單項，現(xiàn)定義復(fù)電容率使下式成立,也就是說：電容率（5-91）相對復(fù)電容率（5-92）由上可見，媒質(zhì)導(dǎo)電是復(fù)電容率虛部的一個來源，而即的虛部的存在則意味著電能的損耗。對于時諧場，損耗功率的周期平均值為。目前六十二頁\總數(shù)八十頁\編于八點電能轉(zhuǎn)換為焦耳熱的過程是不可逆轉(zhuǎn)的。

復(fù)電容率虛部的另一個來源是介質(zhì)的色散。迄今為止，我們所討論的媒質(zhì)的，和都是實數(shù)。由可見，為實數(shù)意味著分子的極化與外加電場的變化“同步”。但對于迅變場，高頻下的電介質(zhì)分析表明是一個復(fù)數(shù)：

（5-93）在物理上這意味著分子極化強度的變化滯后于外加電場的變化。這是由介質(zhì)內(nèi)部的微觀結(jié)構(gòu)形成的阻尼所造成的。而且，頻率越高，介質(zhì)的極化越滯后，意

目前六十三頁\總數(shù)八十頁\編于八點味著隨變化，這稱為的色散，這種介質(zhì)則稱為色散介質(zhì)。凡是一個物理系統(tǒng)對輸入物理量的不同頻率成分有不同的響應(yīng)，往往就稱為“色散”,這是借用光學(xué)術(shù)語。介質(zhì)的色散通常總是伴隨著不可逆過程即伴隨著能量的損耗。除了伴隨著傳導(dǎo)電流發(fā)生的損耗外，對于色散介質(zhì)，即使,僅有位移電流也會發(fā)生不可逆過程。在電場變化的一個周期中，色散所造成的焦耳損耗的平均功率密度為

目前六十四頁\總數(shù)八十頁\編于八點

()

（5-94）它稱為介質(zhì)損耗。如果介質(zhì)極化時無阻尼，則上式

,。于是，介質(zhì)將如何同純電容，在電場變化的一個周期中，半周吸收（儲存）電能，另半周期又釋放電能，能量的變化過程是可逆的,并未被損耗掉。實際情況中，阻尼總是存在的,低頻時介質(zhì)損耗可以忽略，高頻時往往不能忽略。與電介質(zhì)相似，磁介質(zhì)在高頻下也表現(xiàn)出色散特性及磁能損耗，因而磁導(dǎo)率也是復(fù)數(shù)：（5-95）

目前六十五頁\總數(shù)八十頁\編于八點

從（5-92b）式可以看出，介質(zhì)損耗與成正比。通常采用如下定義的損耗角正切來表征介質(zhì)損耗的程度

（5-96）同樣，對磁介質(zhì)也有（5-97）良好的損耗角正切在以下。由于介質(zhì)極化的滯后角度很小，故、總是正數(shù)。（2）有耗媒質(zhì)中麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形式一般情況下，媒介的導(dǎo)電和色散現(xiàn)象可能同時存在。如果我們定義如下的等效復(fù)電容率

目前六十六頁\總數(shù)八十頁\編于八點

（5-98）則可使有耗媒質(zhì)或有源區(qū)中的麥克斯韋方程（5-89a）變?yōu)闊o耗媒質(zhì)或無源區(qū)的方程形式，只需將代之以，并得到無源導(dǎo)電媒質(zhì)中的麥克斯韋方程組為，并得到無源導(dǎo)電媒質(zhì)中的麥克斯韋方程組為（5-99a）

（5-99b）

（5-99c）（5-99d）式（5-99b）中的為實數(shù)。目前六十七頁\總數(shù)八十頁\編于八點

理想的介質(zhì)也稱完純介質(zhì)，是指的各向同性、線性介質(zhì)，因而完純介質(zhì)中不存在任何不可逆過程，故也稱為無耗媒質(zhì)。（當然，這只是一種假設(shè)，實際上介質(zhì)大都有色散現(xiàn)象。等效復(fù)電容率的引入，使得包括導(dǎo)體（導(dǎo)電媒質(zhì)）、色散介質(zhì)在內(nèi)的各種有耗媒質(zhì)都被視為一種等效的完純介質(zhì)，使得這些復(fù)雜媒質(zhì)中的問題都變成了簡單媒質(zhì)的同一數(shù)學(xué)問題。這就是有耗媒質(zhì)中的場必須采用復(fù)數(shù)形式才能用解析方法求解的原因。

四、波動方程的復(fù)數(shù)形式，亥姆霍茲方程對于時諧場，將復(fù)數(shù)開幕的場量，代入式（5-51）

目前六十八頁\總數(shù)八十頁\編于八點

與式（5-52）可直接得出波動方程的復(fù)數(shù)形式，也稱亥姆霍茲方程（5-100）（5-101）

式中（5-102）若空間為有耗媒質(zhì)，只須用換成復(fù)數(shù)形式。五、達朗貝爾方程的復(fù)數(shù)形式

由于場量隨時間按正弦規(guī)律變化，動態(tài)矢量位與標量位也應(yīng)該如此，也可以寫成復(fù)數(shù)形式（5-103）

目前六十九頁\總數(shù)八十頁\編于八點

（5-104）式中，，，，，，去掉下標與宗量并不打點，則（5-105）將復(fù)數(shù)形式的動態(tài)位代入達朗貝爾方程（5-61）與（5-62），得（5-106）

（5-107）這就是達朗貝爾方程的復(fù)數(shù)形式，實際上是非奇次的亥姆霍茲方程。目前七十頁\總數(shù)八十頁\編于八點

（5-107）這就是達朗貝爾方程的復(fù)數(shù)形式，實際上是非奇次的亥姆霍茲方程。另外，式（5-60）表示的洛侖茲規(guī)范條件也可以寫成復(fù)數(shù)形式，即