角平分線的性質(zhì)和判定

角平分線的性質(zhì)和判定2021/5/91什么叫角平分線？2.畫∠AOB平分線OC，在OC上任取一點(diǎn)P，過(guò)P向角的兩邊作垂線段PD、PE，你能得出什么結(jié)論？思考題AOBPED2021/5/92開啟智慧定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.如圖,已知:OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn),PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E.求證:PD=PE(平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩角邊距離相等).COB1A2PDE2021/5/93證明:

因?yàn)镻D⊥OA，PE⊥OB（已知），所以∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定義）．OCB1A2PDE在△PDO和△PEO中，因?yàn)椤螪OP＝∠EOP（已知），∠PDO＝∠PEO（已證），PO＝PO（公共邊），｛∴△PDO≌△PEO(A.A.S)∴PD=PE于是就有定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．2021/5/94四問(wèn)答：1、如圖，在Rt△ABC中，做完本題后，你對(duì)角平分線,又增加了什么認(rèn)識(shí)?

思考

角平分線的性質(zhì)，為我們證明兩線段相等又提供了新的方法與途徑。ABCBD是∠B的平分線，DE⊥AB，垂足為E，EDE與DC

相等嗎？D答：DE=DC?！連D是∠ABC的平分線（D在∠ABC的平分線上）

又∵DE⊥BA，垂足為E，∴DE=DC。為什么？DC⊥BC，垂足為C，2021/5/95

反過(guò)來(lái)，到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否一定在這個(gè)角的平分線上呢？已知：如圖,PD⊥OA，PE⊥OB，點(diǎn)D、E為垂足，PD＝PE．求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上．OCB1A2PDE證明：

PD⊥OA，PE⊥OB，點(diǎn)D、E為垂足，在Rt

△PDO與Rt

△PEO中∴∠PDO=∠PEO=Rt∠PD=PE（已知）｛OP=OP（公共邊）∴Rt△PDO≌△PDO∴∠1=∠2即點(diǎn)P在∠AOB的平分線上2021/5/96于是就有定理：到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上2021/5/97思考分析命題:三角形三個(gè)角的平分線相交于一點(diǎn).如圖,設(shè)△ABC的角平分線BM,CN相交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P分別作BC,AC,AB的垂線,垂足分別是E,F,D.∵BM是△ABC的角平分線,點(diǎn)P在BM上,∴△ABC的三條角平分線相交于一點(diǎn)P.基本想法是這樣的:我們知道,兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn).要想證明三條直線相交于一點(diǎn),只要能證明兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上即可.這時(shí)可以考慮前面剛剛學(xué)習(xí)的內(nèi)容.ABCPMNDEF∴PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等).同理,PE=PF.∴PD=PF.∴點(diǎn)P在∠BAC的平分線上(在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上).2021/5/981、∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(________________________________)ACDEB12DC=DE角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等2、判斷題（）∵如圖，AD平分∠BAC（已知）

∴BD=DC，

()角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。×課時(shí)訓(xùn)練隨練習(xí)堂2021/5/99練習(xí)1．如圖，在直線l上找出一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到∠AOB的兩邊OA、OB的距離相等．提示：作∠AOB的平分線，交直線l于P就是所求的點(diǎn)2021/5/9102、如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，且BE＝CF。

求證：AD是△ABC的角平分線。ABCEFD變式訓(xùn)練：若已知AD是△ABC的角平分線。求證：BE＝CF。2021/5/9113、已知:BD⊥AM于點(diǎn)D,CE⊥AN于點(diǎn)E,BD,CE交點(diǎn)F,CF=BF,求證:點(diǎn)F在∠A的平分線上.AAAAAAADNEBFMCA2021/5/9124如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上．GHP證明：作FG⊥AE于G.FH⊥AD于HFP⊥CB于P,作射線OF∵CF