2021版高考數(shù)學導與練一輪復習（浙江版）知識梳理第二章第一節(jié)　函數(shù)及其表示

第一節(jié)函數(shù)及其表示復習目標學法指導1.(1)函數(shù)的概念.(2)函數(shù)符號y=f(x).(3)函數(shù)的定義域.(4)函數(shù)的值域.(5)區(qū)間的概念及其表示法.2.函數(shù)的表示法.(1)函數(shù)的解析法表示.(2)函數(shù)的圖象法表示,描點法作圖.(3)函數(shù)的列表法表示.(4)分段函數(shù)的意義與應(yīng)用.(5)映射的概念.會求一些簡單復合函數(shù)的值域,深刻理解函數(shù)的概念.1.明確自變量與函數(shù)值的對應(yīng)特征是理解函數(shù)概念的根本.2.解決函數(shù)問題要樹立“定義域優(yōu)先”的意識,求解的依據(jù)是“使f有意義”.3.分段函數(shù)是一個函數(shù),其定義域與值域是各段的并集.4.求函數(shù)值域要充分利用函數(shù)的性質(zhì)和圖象.一、函數(shù)的概念與表示法1.函數(shù)的概念設(shè)A,B都是非空的數(shù)集,如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù),記作y=f(x),x∈A,其中x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)f(x)的定義域,與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)f(x)的值域,顯然,值域是集合B的子集,函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系構(gòu)成了函數(shù)的三要素.2.函數(shù)的表示法(1)基本表示方法:解析法、圖象法、列表法.(2)分段函數(shù):在定義域的不同范圍內(nèi)函數(shù)具有不同的解析式,這類函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)是一個函數(shù),分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集.1.概念理解(1)定義中集合B不一定是值域,因為B中可以存在不與A中自變量對應(yīng)的元素,即不是函數(shù)值的多余元素.(2)當函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系確定后函數(shù)的值域也就確定了,所以函數(shù)的三要素中定義域和對應(yīng)關(guān)系是關(guān)鍵.(3)函數(shù)的定義域與值域是非空的數(shù)集,所以必須用集合(或區(qū)間)表示.(4)函數(shù)的三種表示方法可以相互轉(zhuǎn)化,尤其是解析法與圖象法,二者相輔相成,構(gòu)成了解決函數(shù)問題的重要思想方法——數(shù)形結(jié)合思想.2.與函數(shù)相關(guān)聯(lián)的知識(1)相等函數(shù):如果兩個函數(shù)的三要素相同,則稱兩個函數(shù)為相等函數(shù).顯然只要兩個函數(shù)的定義域與對應(yīng)關(guān)系完全相同,它們就是相等函數(shù).(2)抽象函數(shù):一般是指沒有給出函數(shù)的解析式及圖象,僅用函數(shù)符號表示或僅給出函數(shù)的部分性質(zhì)的函數(shù).(3)復合函數(shù):若y是u的函數(shù),u又是x的函數(shù),即y=f(u),u=g(x),x∈(a,b),u∈(m,n),那么y關(guān)于x的函數(shù)y=f[g(x)],x∈(a,b),叫做f和g的復合函數(shù),u叫做中間變量,u的取值范圍是g(x)的值域.二、映射設(shè)A,B是兩個非空的集合,如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng),那么就稱對應(yīng)f:A→B為從集合A到集合B的一個映射.1.概念理解映射與函數(shù)的區(qū)別只在于研究對象的不同,映射是針對任意的非空集合,不只是數(shù)集,兩者對應(yīng)關(guān)系的要求是完全一致的,所以函數(shù)是特殊的映射.2.與映射相關(guān)聯(lián)的結(jié)論若集合A中有n個元素,B中有m個元素,則映射f:A→B的個數(shù)為mn個.1.下列四組函數(shù)中,表示相等函數(shù)的是(D)(A)f(x)=,g(x)=()2(B)f(x)=·,g(x)=(C)f(x)=2lgx,g(x)=lgx2(D)f(x)=xx≤11<x<2x≥2g(x)123解析:選項A中,f(x)=|x|(x∈R),g(x)=x(x≥0),兩函數(shù)定義域不同;選項B中,由得f(x)的定義域為{x|x≥1},由x2-1≥0,得g(x)的定義域為{x|x≥1或x≤-1},兩函數(shù)的定義域不同;選項C中,f(x)的定義域為{x|x>0},g(x)的定義域為{x|x≠0},兩函數(shù)定義域不同;選項D中,兩個函數(shù)的定義域與對應(yīng)關(guān)系都相同.2.若f(-3)的定義域為[6,+∞),則f(x+1)的定義域為(A)(A)[-1,+∞) (B)[0,+∞)(C)[17,+∞) (D)[19,+∞)解析:因為y=f(QUOTEx2-3)的定義域為[6,+∞),所以y=f(x)的定義域為[0,+∞),對y=f(x+1),x+1≥0,x≥-1,所以f(x+1)的定義域為[-1,+∞),故選A.3.(2018·臺州市路橋檢測)若f(x)是一次函數(shù),f[f(x)]=4x-1,則f(x)=.

解析:可設(shè)f(x)=kx+b,則f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x-1,所以解得或故f(x)=2x-QUOTE13或f(x)=-2x+1.答案:2x-QUOTE13或-2x+14.(2018·金麗衢十二校聯(lián)考)函數(shù)y=的定義域是,值域是.

解析:要使函數(shù)有意義,則3-2x-x2≥0,即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1,故函數(shù)的定義域為[-3,1];設(shè)t=3-2x-x2,則t=3-2x-x2=-(x+1)2+4,則0≤t≤4,即0≤≤2,即函數(shù)的值域為[0,2].答案:[-3,1][0,2]5.(2018·全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,則a=.

解析:因為f(x)=log2(x2+a)且f(3)=1,所以1=log2(9+a),所以9+a=2,所以a=-7.答案:-76.有以下判斷:①f(x)=與g(x)=表示相等函數(shù).②函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=1的交點最多有1個.③若f(x)=|x-1|-|x|,則f=0.其中正確判斷的序號是.

解析:對于①,由于函數(shù)f(x)=QUOTE|x|x的定義域為{x|x∈R且x≠0},而函數(shù)g(x)=QUOTE1,x≥0,-1,x<0的定義域是R,所以兩者不是相等函數(shù);對于②,若x=1不是y=f(x)定義域內(nèi)的值,則直線x=1與y=f(x)的圖象沒有交點,若x=1是y=f(x)定義域內(nèi)的值,由函數(shù)的定義可知,直線x=1與y=f(x)的圖象只有一個交點,即y=f(x)的圖象與直線x=1最多有一個交點;對于③,由于fQUOTE12=-QUOTE12=0,所以fQUOTEf12=f(0)=1.綜上可知,正確的判斷是②.答案:②考點一函數(shù)的定義域[例1](1)(2018·臺州路橋高三檢測)下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是()①f(x)=與g(x)=x;②f(x)=|x|與g(x)=;③f(x)=x0與g(x)=;④f(x)=x2-2x-1與g(t)=t2-2t-1.(A)①②③ (B)①③④ (C)②③④ (D)①②④(2)已知函數(shù)y=f(x)的定義域是[0,2],則函數(shù)g(x)=的定義域為.

解析:(1)①f(x)=與g(x)=x的定義域是{x|x≤0};而f(x)=QUOTE-2x3=-xQUOTE-2x,故這兩個函數(shù)不是同一函數(shù);②f(x)=|x|與g(x)=的定義域都是R,g(x)=QUOTEx2=|x|,這兩個函數(shù)的定義域相同,對應(yīng)關(guān)系也相同,故這兩個函數(shù)是同一函數(shù);③f(x)=x0與g(x)=的定義域是{x|x≠0},并且f(x)=g(x)=1,對應(yīng)關(guān)系也相同,故這兩個函數(shù)是同一函數(shù);④f(x)=x2-2x-1與g(t)=t2-2t-1是同一函數(shù).故選C.(2)由得所以-1<x<-QUOTE910或-<x≤QUOTE2,故函數(shù)g(x)的定義域為(-1,-QUOTE910)∪(-QUOTE910,QUOTE2].答案:(1)C(2)(-1,-QUOTE910)∪(-QUOTE910,QUOTE2]求函數(shù)定義域的三種類型及求解策略(1)已知函數(shù)的解析式,構(gòu)建使解析式有意義的不等式(組)求解.(2)復合函數(shù):①若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a,b],則復合函數(shù)f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出.②若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a,b],則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a,b]時的值域.(3)實際問題:既要使構(gòu)建的函數(shù)解析式有意義,又要考慮實際問題的要求.提醒:如果所給解析式較復雜,切記不要化簡后再求定義域.1.(2019·江蘇卷)函數(shù)y=的定義域是.

解析:要使函數(shù)有意義,需7+6x-x2≥0,即x2-6x-7≤0,即(x+1)(x-7)≤0,解得-1≤x≤7.故所求函數(shù)的定義域為[-1,7].答案:[-1,7]2.已知函數(shù)f(x)=的定義域為R,則實數(shù)a的取值范圍是.

解析:x2-2ax+a≥0恒成立,Δ=4a2-4a≤0,得0≤a≤1.答案:[0,1]考點二求函數(shù)的解析式[例2](1)已知f(+1)=lgx,求f(x)的解析式;(2)f(x)是二次函數(shù),f(0)=0,且f(x+1)+f(2x)=5x2-4x-1,求f(x);(3)已知f(x)滿足2f(x)+f(QUOTE1x)=3x,求f(x)的解析式.解:(1)令QUOTE2x+1=t得x=,代入得f(t)=lgQUOTE2t-1,又x>0,所以t>1,故f(x)的解析式是f(x)=lg(x>1).(2)設(shè)f(x)=ax2+bx,則f(x+1)+f(2x)=5ax2+(2a+3b)x+a+b=5x2-4x-1,得a=1,b=-2,所以f(x)=x2-2x.(3)2f(x)+f(QUOTE1x)=3x,①將x用QUOTE1x替換,得2f(QUOTE1x)+f(x)=QUOTE3x,②由①②解得f(x)=2x-QUOTE1x(x≠0),即f(x)的解析式是f(x)=2x-QUOTE1x(x≠0).求函數(shù)解析式常用方法(1)配湊法:由已知條件f(g(x))=F(x),可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表達式;(2)待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法;(3)換元法:已知復合函數(shù)f(g(x))的解析式,可用換元法,此時要注意新元的取值范圍;(4)方程思想:已知關(guān)于f(x)與f(QUOTE1x)或f(-x)的表達式,可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組,通過解方程組求出f(x).(2019·全國Ⅱ卷)已知f(x)是奇函數(shù),且當x<0時,f(x)=-eax.若f(ln2)=8,則a=.

解析:因為f(x)是奇函數(shù),且當x<0時,f(x)=-eax.又因為ln2∈(0,1),所以-ln2<0,所以f(-ln2)=-e-aln2=-f(ln2)=-8.即e-aln2=8.兩邊取以e為底的對數(shù)得-aln2=3ln2,所以a=-3.答案:-3考點三分段函數(shù)的應(yīng)用[例3](1)(2018·舟山高三模擬)已知函數(shù)f(x)=則f(1)=;若f(a)=2,則a=.

(2)對任意兩個實數(shù)x1,x2,定義max(x1,x2)=若f(x)=x2-2,g(x)=-x,則max(f(x),g(x))的最小值為.

解析:(1)f(1)=20=1,當a≥0時,2a-1當a<0時,log2(-a)=2,此時a=-4,所以a=2或-4.(2)f(x)-g(x)=x2-2-(-x)=x2+x-2,令x2+x-2≥0,解得x≥1或x≤-2.當-2<x<1時,x2+x-2<0,即f(x)<g(x),所以max(f(x),g(x))=作出圖象,由圖象可知函數(shù)的最小值在A處取得,所以最小值為f(1)=-1.答案:(1)12或-4(2)-1分段函數(shù)應(yīng)用的常見題型及求解策略常見題型求解策略求函數(shù)值問題根據(jù)所給自變量值的大小選擇相應(yīng)的解析式求值,有時每段交替使用求值解方程或解不等式問題分類求出各子區(qū)間上的解,再將它們合并在一起,但要檢驗所求是否符合相應(yīng)各段自變量的取值范圍求最值或值域問題先求出每一個區(qū)間上的最值或值域,然后進行比較得出最大值、最小值,合并得出值域圖象及其應(yīng)用根據(jù)每段函數(shù)的定義區(qū)間和解析式在同一坐標系中作出圖象,然后應(yīng)用,作圖時要注意每段圖象端點的虛實(2019·天津卷)已知a∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立,則a的取值范圍為(C)(A)[0,1] (B)[0,2] (C)[0,e] (D)[1,e]解析:當x≤1時,因為f(x)=x2-2ax+2a≥0恒成立,而二次函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線x=a,所以當a≥1時,f(x)min=f(1)=1>0恒成立,當a<1時,f(x)min=f(a)=2a-a2≥0,所以0≤a<1.綜上,a≥0.當x>1時,由f(x)=x-alnx≥0恒成立,即a≤恒成立.設(shè)g(x)=QUOTExlnx,則g′(x)=.令g′(x)=0,得x=e,且當1<x<e時,g′(x)<0,當x>e時,g′(x)>0,所以g(x)min=g(e)=e,所以a≤e.綜上,a的取值范圍是0≤a≤e,即[0,e].故選C.考點四易錯辨析[例4](2019·天津卷)已知函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)=-QUOTE14x+a(a∈R)恰有兩個互異的實數(shù)解,則a的取值范圍為()(A)[,QUOTE94] (B)(QUOTE54,QUOTE94](C)(QUOTE54,QUOTE94]∪{1} (D)[QUOTE54,QUOTE94]∪{1}解析:如圖,畫出函數(shù)y=f(x)=的圖象.(1)先研究當0≤x≤1時,直線y=-QUOTE14x+a與y=2的圖象只有一個交點的情況.當直線y=-QUOTE14x+a過點B(1,2)時,2=-QUOTE14+a,解得a=QUOTE94.所以0≤a≤QUOTE94.(2)再研究當x>1時,直線y=-QUOTE14x+a與y=的圖象只有一個交點的情況:①相切時,由y′=-QUOTE1x2=-QUOTE14,得x=2,此時切點為(2,QUOTE12),則a=1.②相交時,由圖象可知直線y=-QUOTE14x+a從過點A向右上方移動時與y=QUOTE1x的圖象只有一個交點.過點A(1,1)時,1=-QUOTE14+a,解得a=QUOTE54.所以a≥QUOTE54.結(jié)合圖象可得,所求實數(shù)a的取值范圍為[QUOTE54,QUOTE94]∪{1}.故選D