內(nèi)科大水力學課件04流體動力學

第四章流體動力學§4.1理想流體運動微分方程及其積分一、理想流體動水壓強的特性⒈理想流體動水壓強的方向總是沿著作用面內(nèi)法線方向。

⒉理想流體中任一點動水壓強的大小與其作用方位無關。顯然，理想流體動水壓強的特性與靜水壓強的特性是完全一樣的。二、理想流體運動微分方程O′xyz

從理想流體流場中中選取一平行六面體作為隔離體，各邊長分別為dx，dy，dz，形心點在O′（x，y，z）處，其動水壓強為p。O′點的流速在各坐標軸上的投影為ux，uy，uz

。MO′xyzN控制體左面所受的表面力：控制體右面所受的表面力：控制體在y方向所受的質(zhì)量力：MO′xyzN根據(jù)牛頓第二定律：化簡后得：

同理可得x、z方向的關系式：即

上式即是理想流體運動微分方程，又稱為歐拉運動微分方程。因為加速度為當?shù)丶铀俣群瓦w移加速度之和，所以歐拉運動微分方程又可以寫成下式：⒊理想流體運動微分方程式的積分

由于數(shù)學上求解的困難，我們目前還無法對運動微分方程式進行普遍積分，只是在幾種特殊情況下得到了它的解。我們僅介紹工程流體力學中最常見的伯努利積分。⑴恒定流，此時⑵流體為不可壓縮流體，即ρ＝C.⑶質(zhì)量力有勢。設W(x.y.z)為質(zhì)量力勢函數(shù)，對于恒定有勢的質(zhì)量力有：⑷沿流線積分。在恒定流時也是沿跡線積分。此時

推導1：伯努利積分是以下四個具體條件下的積分:

將歐拉運動微分方程分別乘以dx、dy、dz，然后相加，得：

利用上述四個條件，帶入得：

因為ρ＝C，故上式可以寫成

積分得：

這就是理想流體的伯努利積分式。對于不同的流線伯努利積分常數(shù)一般是不相同的。它表明對于不可壓縮的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下作恒定流動時，在同一流線上機械能保持不變。

當質(zhì)量力只有重力時，fx＝0，fy＝0，fz＝－g，

積分得：

(取積分常數(shù)為0),代入伯努利積分式有

對同一流線上任意兩點1和2上式可以寫成

這就是伯努利方程。該式僅適用于流場固體邊界相對于地球沒有相對運動的流體，也就是說流體所受的質(zhì)量力只有重力。由于流線是元流的極限情況，上式也適用于理想流體的元流，所以可將其看做元流的能量方程。

推導2設在理想液體恒定流中，取一微小元流

依牛頓第二定律：

其中：

一元流時

任意兩個斷面：

00ds12pp+dpdG=ρgdAdsdAα沿流線積分得：——不可壓縮理想液體恒定流元流的能量方程式方程式的物理意義0012位置水頭壓強水頭流速水頭測壓管水頭總水頭單位位能單位壓能單位動能單位勢能單位總機械能

表明：在不可壓縮理想液體恒定流情況下，元流內(nèi)不同過水斷面上，單位重量液體所具有的機械能保持相等（守恒）。實際液體恒定流元流的能量方程式——單位重量液體從斷面1-1流至斷面2-2所損失的能量，稱為水頭損失。0012實際液體恒定總流的能量方程式

將構成總流的所有元流的能量方程式疊加起來，即為總流的能量方程式。均勻流或漸變流過水斷面上動能修正系數(shù),1.05～1.1取平均的hwV→u，200112

實際液體恒定總流的能量方程式表明：水流總是從水頭大處流向水頭小處；或水流總是從單位機械能大處流向單位機械能小處。

總水頭線測壓管水頭線

實際液體總流的總水頭線必定是一條逐漸下降的線，而測壓管水頭線則可能是下降的線也可能是上升的線甚至可能是一條水平線。水力坡度J——單位長度流程上的水頭損失，測壓管坡度

方程式的物理意義：應用能量方程式的條件：⑴水流必需是恒定流；⑵作用于液體上的質(zhì)量力只有重力；⑶在所選取的兩個過水斷面上，水流應符合漸變流的條件，但所取的兩個斷面之間，水流可以不是漸變流；⑷在所取的兩個過水斷面之間，流量保持不變，其間沒有流量加入或分出。若有分支，則可對兩支水流分別建立能量方程式，例如圖示有支流的情況下,能量方程為：⑸流程中途沒有能量H輸入或輸出。若有，則能量方程式應為：Q1Q2Q3112233

應用能量方程式的注意點：⑴選取高程基準面；⑵選取兩過水斷面；

所選斷面上水流應符合漸變流的條件，但兩個斷面之間，水流可以不是漸變流。⑶選取計算代表點；⑷選取壓強基準面；⑸動能修正系數(shù)一般取值為1.0。能量方程式的應用

例1.如圖所示，一等直徑的輸水管，管徑為d=100mm，水箱水位恒定，水箱水面至管道出口形心點的高度為H=2m，若不計水流運動的水頭損失，求管道中的輸水流量。H分析：Q=VA；A=πd2/4所以需要用能量方程式求出V；221100解：對1-1、2-2斷面列能量方程式：其中：所以有：可解得：則：答：該輸水管中的輸水流量為0.049m3/s。例2畢托管測流速。如圖所示BAzAzBu解：先按理想流體研究，應用恒定元流的伯努利方程，有考慮到實際流體粘性作用引起的水頭損失，計算A點流速時尚需修正，即ξ稱為畢托管系數(shù)，由實驗測定，其值接近于1.0若將測壓管改為液體壓差計，速度u應等于多少？采用壓差計時A點的流速為文丘里流量計（文丘里量水槽）1122收縮段喉管擴散段hh1h2h1h2B1B2111222h以管軸線為高程基準面，暫不計水頭損失，對1-1、2-2斷面列能量方程式：整理得：由連續(xù)性方程式可得：或

代入能量方程，整理得：則當水管直徑及喉管直徑確定后，K為一定值，可以預先算出來。

若考慮水頭損失，實際流量會減小，則μ稱為文丘里管的流量系數(shù)，一般約為0.95~0.98

如果您有任何問題，請毫不猶豫地提出!Incaseofyouhaveanyquestion,DONOT

hesitatetoaskme!歡迎提問t+△t時刻1122實際液體恒定總流的動量方程式1′1′2′2′t時刻依動量定律：

即:單位時間內(nèi)，物體動量增量等于物體所受外力之和。

dt時段內(nèi)，動量的增量：dA1u1u2dA2u1dt在均勻流或漸變流過水斷面上

代入動量定律，整理得：

上式即為實際液體恒定總流的動量方程式。作用于總流流段上所有外力的矢量和。

單位時間內(nèi)，通過所研究流段下游斷面流出的動量與上游斷面流入的動量之差。動量方程的投影表達式：

適用條件：不可壓縮液體、恒定流、過水斷面為均勻流或漸變流過水斷面、無支流的匯入與分出。

如圖所示的一分叉管路，動量方程式應為：v3112233ρQ3ρQ1

ρQ2v1v2應用動量方程式的注意點：１．圍取控制體；２．正確分析受力，未知力設定方向；３．建立坐標系４．右側為(下游斷面的動量)-(上游斷面的動量)５．設β１≈1，β２≈1。1122FP1FP2FRFGxzy動量方程式在工程中的應用彎管內(nèi)水流對管壁的作用力水流對建筑物的作用力射流對平面壁的沖擊力彎管內(nèi)水流對管壁的作用力管軸水平放置管軸豎直放置1122FP1=p1A1FP2=p2A·2FRFGxzyV1V2FRzFRx沿x方向列動量方程為：沿z方向列動量方程為：沿x方向列動量方程為：沿y方向列動量方程為：FP1=p1A1FP2=p2A·2FRV1V2FryFRxxy水流對建筑物的作用力FP1122xFP1=ρgbh12/2FP2=ρgbh22/2FR沿x方向列動量方程為：射流對平面壁的沖擊力FPV000VV1122FRV0VVx沿x方向列動量方程為：整理得：例：設有一股自噴嘴以速度v0噴射出來的水流，沖擊在一個與水流方向成α角的固定平面壁上，當水流沖擊到平面壁后，分成兩面股水流流出沖擊區(qū)，若不計重量（流動在一個水平面上），并忽略水流沿平面壁流動時的摩擦阻力，試推求射流施加于平面壁上的壓力FP，并求出Q1和Q2各為多少？FP001122V0V2Q2V1Q1Qα001122V0V2Q2V1Q1QFRxy沿y方向列動量方程為：對0-0、1-1斷面列能量方程為：可得：同理有：依據(jù)連續(xù)性方程有：FP001122V0V2Q2V1Q1Qα001122V0V2Q2V1Q1QFRxy沿x方向列動量方程為：整理得：所以：FP1=p1A1