湖南省婁底市漣源新禾鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

湖南省婁底市漣源新禾鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.對(duì)于函數(shù)與和區(qū)間，如果存在，使，則稱是函數(shù)與在區(qū)間上的“友好點(diǎn)”．現(xiàn)給出組函數(shù)：①，；

②，；③，；

④，；其中在區(qū)間，上存在“友好點(diǎn)”的有-------------------------------------------------------------------（★）A．①②

B．②③

C．①④

D．③④參考答案：D2.已知是的重心，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，若，則的取值范圍是

A、

B、

C、

D、參考答案：C略3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=1+2an（n≥2），且a1=2，則S20（）A．219﹣1 B．221﹣2 C．219+1 D．221+2參考答案：C【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和．【分析】利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式即可得出．【解答】解：∵Sn=1+2an（n≥2），且a1=2，∴n=2時(shí)，a1+a2=1+2a2，解得a2=1．n≥3時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=1+2an﹣（1+2an﹣1），化為：an=2an﹣1，∴數(shù)列{an}從第二項(xiàng)開始是等比數(shù)列，公比與首項(xiàng)都為2．∴S20=2+=219+1．故選：C．4.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（

）

（A）若且，則

（B）若且，則（C）若且，則

（D）若且，則參考答案：【答案解析】B

解析：A.直線成角大小不確定；B.把分別看成平面的法向量所在直線，則易得B成立.所以選B.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)空間直線和平面位置關(guān)系的判斷定理與性質(zhì)定理進(jìn)行判斷.5.把5位人員派往3個(gè)不同的城市監(jiān)督環(huán)保工作，要求每個(gè)城市至少派一位人員的不同分配方案有

（A）36種 （B）150種 （C）240種 （D）300種（參考答案：B略6.已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足xf′（x）+f（x）＞0，當(dāng)0＜a＜b＜1時(shí)，下面選項(xiàng)中最大的一項(xiàng)是（） A．a(chǎn)bf（ab） B． baf（ba） C． logab?f（logab） D． logba?f（logba）參考答案：D略7.設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的周期為2的函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，恒有f（x）﹣f（﹣x）=0，當(dāng)x∈[﹣1，0]時(shí)，f（x）=x2，若g（x）=f（x）﹣logax在x∈（0，+∞）上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為（）A．[3，5] B．[4，6] C．（3，5） D．（4，6）參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的周期性．【專題】函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)的周期和奇偶性作出f（x）和y=logax在（0，+∞）上的圖象，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)列出不等式解出a．【解答】解：∵f（x））﹣f（﹣x）=0，∴f（x）=f（﹣x），∴f（x）是偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的周期和奇偶性作出f（x）的圖象如圖所示：∵g（x）=f（x）﹣logax在x∈（0，+∞）上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，∴y=f（x）和y=logax的圖象在（0，+∞）上只有三個(gè)交點(diǎn)，∴，解得3＜a＜5．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，作出f（x）的函數(shù)圖象是解題關(guān)鍵．8.函數(shù)的圖像可能是（

）參考答案：B9.若方程的解為，則滿足的最小的整數(shù)的值為（

）A.

B. C.

D.參考答案：B略10.已知直三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上,若,,則球的半徑為

（）A． B． C． D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.不等式的解集為________參考答案：12.已知函數(shù)，則的值是

.參考答案：略13.雙曲線的離心率為

參考答案：14.若二次函數(shù)的圖象和直線y=x無交點(diǎn)，現(xiàn)有下列結(jié)論： ①方程一定沒有實(shí)數(shù)根； ②若a>0，則不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立； ③若a<0，則必存存在實(shí)數(shù)x0，使； ④若，則不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立； ⑤函數(shù)的圖像與直線也一定沒有交點(diǎn)。 其中正確的結(jié)論是

（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）.參考答案：①②④⑤略15.已知圓C：.直線l過點(diǎn)(0,3)，且與圓C交于A、B兩點(diǎn)，，則直線l的方程______.參考答案：或【分析】由圓得到圓心，半徑為，再根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，得到，再由圓心到直線的距離，列出方程，求得的值，即可求得直線的方程，得到答案.【詳解】由題意，圓：，可化為，可得圓心，半徑為，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，即，又由圓的弦長(zhǎng)公式，可得，即，即，根據(jù)圓心到直線的距離為，解得或，所以直線的方程或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的方程，以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記直線與圓的位置關(guān)系，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16.已知f(x)=,則f(f(5))=

參考答案：1【知識(shí)點(diǎn)】單元綜合B14f(5)==2,f(2)==1,【思路點(diǎn)撥】根據(jù)范圍求出結(jié)果。17.中，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，且，，則參考答案：2略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題12分）函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有成立．已知當(dāng)時(shí)，．（1）求時(shí)，函數(shù)的表達(dá)式；（2）若函數(shù)的最大值為，在區(qū)間上，解關(guān)于x的不等式．參考答案：（1）∵，且是R上的偶函數(shù)，∴，．

（2）由于函數(shù)是以2為周期，故只需考查區(qū)間．若時(shí)，由函數(shù)的最大值為知，即，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，有最大值，即，舍去，綜上可得，．當(dāng)時(shí)，若，則，∴，若，則，∴，∴此時(shí)滿足不等式的解集為．∵是以2為周期的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的解集為，19.(本小題滿分12分)某商區(qū)停車場(chǎng)臨時(shí)停車按時(shí)段收費(fèi)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：每輛汽車一次停車不超過小時(shí)收費(fèi)元，超過小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)元(不足小時(shí)的部分按小時(shí)計(jì)算).現(xiàn)有甲、乙二人在該商區(qū)臨時(shí)停車，兩人停車都不超過小時(shí).(1)若甲停車小時(shí)以上且不超過小時(shí)的概率為，停車付費(fèi)多于元的概率為，求甲停車付費(fèi)恰為元的概率；(2)若每人停車的時(shí)長(zhǎng)在每個(gè)時(shí)段的可能性相同，求甲、乙二人停車付費(fèi)之和為元的概率.參考答案：（Ⅰ）解：設(shè)“甲臨時(shí)停車付費(fèi)恰為元”為事件，

………………1分則.所以甲臨時(shí)停車付費(fèi)恰為元的概率是.

………4分（Ⅱ）解：設(shè)甲停車付費(fèi)元，乙停車付費(fèi)元，其中.

………6分則甲、乙二人的停車費(fèi)用構(gòu)成的基本事件空間為：，共種情形.

………10分其中，這種情形符合題意.………………12分故“甲、乙二人停車付費(fèi)之和為元”的概率為.

…………13分20.

已知函數(shù)，，且是函數(shù)的極值點(diǎn)．

（1）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）若直線是函數(shù)的圖象在點(diǎn)(2，(2))處的切線，且直線與函數(shù))的圖象相切于點(diǎn)P()，，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．參考答案：21.已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+）．（I）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若f（C）=1，sinB=2sinA，且△ABC的面積為2，求c的值．參考答案：考點(diǎn)：余弦定理；三角函數(shù)的周期性及其求法．專題：解三角形．分析：（I）f（x）解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，即可確定出f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由f（C）=1確定出C的度數(shù)，sinB=2sinA利用正弦定理化簡(jiǎn)得到b=2a，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，把sinC與已知面積代入求出ab的值，聯(lián)立求出a與b的值，利用余弦定理求出c的值即可．解答：解：（I）f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，∵ω=2，∴f（x）的最小正周期為π；（Ⅱ）∵f（C）=sin（2C+）+=1，∴sin（2C+）=，∵＜2C+＜，∴2C+=，即C=，∵sinB=2sinA，∴b=2a①，∵△ABC面積為2，∴absin=2，即ab=8②，聯(lián)立①②，得：a=2，b=4，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=12，即c=2．點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及三角函數(shù)的周期性，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．22.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=2，，PD=4，∠PDA=60°，且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求證：AD⊥PB；（Ⅱ）在線段PA上是否存在一點(diǎn)M，使二面角M﹣BC﹣D的大小為，若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（I）過B作BO∥CD，交AD于O，連接OP，則AD⊥OB，由勾股定理得出AD⊥OP，故而AD⊥平面OPB，于是AD⊥PB；（II）以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)M（m，0，n），求出平面BCM的平面ABCD的法向量，令|cos＜＞|=cos解出n，從而得出的值．【解答】證明：（I）過B作BO∥CD，交AD于O，連接OP．∵AD∥BC，∠ADC=∠BCD=90°，CD∥OB，∴四邊形OBCD是矩形，∴OB⊥AD．OD=BC=2，∵PD=4，∠PDA=60°，∴OP==2．∴OP2+OD2=PD2，∴OP⊥OD．又OP?平面OPB，OB?平面OPB，OP∩OB=O，∴AD⊥平面OPB，∵PB?平面OPB，∴AD⊥PB．（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面A