正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象

最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案(附經(jīng)典解析)正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象整體設(shè)計教學(xué)分析本節(jié)課的背景是:這之前我們已經(jīng)用了三節(jié)課的時間學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì).函數(shù)的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般來說,對函數(shù)性質(zhì)的研究總是先作圖象,通過觀察圖象獲得對函數(shù)性質(zhì)的直觀認識,然后再從代數(shù)的角度對性質(zhì)作出嚴格表述.但對正切函數(shù),教科書換了一個新的角度,采取了先根據(jù)已有的知識(如正切函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式、正切線等)研究性質(zhì),然后再根據(jù)性質(zhì)研究正切函數(shù)的圖象.這樣處理,主要是為了給學(xué)生提供研究數(shù)學(xué)問題更多的視角,在性質(zhì)的指導(dǎo)下可以更加有效地作圖、研究圖象,加強了理性思考的成分,并使數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)得更加全面.教師要在學(xué)生探究活動過程中引導(dǎo)學(xué)生體會這種解決問題的方法.通過多媒體教學(xué),讓學(xué)生通過對圖象的動態(tài)觀察,對知學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提高課題教學(xué)質(zhì)量.從學(xué)生的實際情況為教學(xué)出發(fā)點,通過各種數(shù)學(xué)思想的滲透,合理運用各種教學(xué)課件,逐步培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成學(xué)會通過對圖象的觀察來整理相應(yīng)的知識點的能力,學(xué)會運用數(shù)學(xué)思想解決實際問題的能力.這樣既加強了類比這一重要數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng),也有利于學(xué)生綜合運用能力的提高,有最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案(附經(jīng)典解析)利于學(xué)生把新舊知識前后聯(lián)系,融會貫通,提高教學(xué)效果.由于學(xué)生已經(jīng)有了研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的經(jīng)驗,這種經(jīng)驗完全可以遷移到對正切函數(shù)性質(zhì)的研究中,因此,我們可以通過“探究”提出,引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)前面的經(jīng)驗研究正切函數(shù)的性質(zhì),讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟這種遷移與類比的學(xué)習(xí)方法.三維目標1.通過對正切函數(shù)的性質(zhì)的研究,注重培養(yǎng)學(xué)生類比思想的養(yǎng)成,以及培養(yǎng)學(xué)生綜合運用新舊知識的能力.學(xué)會通過對圖象的觀察來整理相應(yīng)的知識點,學(xué)會運用數(shù)學(xué)思想解決實際問題的能力.2.在學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ)上,運用類比的方法,學(xué)習(xí)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì),從而培養(yǎng)學(xué)生的類比思維能力.3.通過正切函數(shù)圖象的教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生欣賞(中心)對稱美的重點難點教學(xué)重點:正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象的簡單應(yīng)用.教學(xué)難點:正切函數(shù)性質(zhì)的深刻理解及其簡單應(yīng)用.課時安排教學(xué)過程最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案(附經(jīng)典解析)導(dǎo)入新課面我們研究了正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),你能否根據(jù)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的經(jīng)驗,以同樣的方法研究正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)？由此展開新課.思路2.先由圖象開始,讓學(xué)生先畫正切線,然后類比正弦、余弦函數(shù)的幾何作圖法來畫出正切函數(shù)的圖象.這也是一種不錯的選擇,這是傳統(tǒng)的導(dǎo)入法.推進新課新知探究提出問題①我們通過畫正弦、余弦函數(shù)圖象探究了正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì).正切函數(shù)是我們高中要學(xué)習(xí)的最后一個基本初等函數(shù).你能運用類比的方法先探究出正切函數(shù)的性質(zhì)嗎？都研究②我們學(xué)習(xí)了正弦線、余弦線、正切線.你能畫出四個象限③我們知道作周期函數(shù)的圖象一般是先作出長度為一個周以得到它在整個定義域上的圖象.那么我們先選哪一個區(qū)間來研究正切函數(shù)呢？為什么？④我們用“五點法”能簡捷地畫出正弦、余弦函數(shù)的簡圖,最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案(附經(jīng)典解析)你能類比“五點法”也用幾個字總結(jié)出作正切簡圖的方法活動:問題①,教師先引導(dǎo)學(xué)生回憶:正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)是從定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性這幾個方面來研究的,有了這些知識準備,然后點撥學(xué)生也從這幾個方面來探究正切函數(shù)的性質(zhì).由于還沒有作出正切函數(shù)圖象,教師指導(dǎo)學(xué)生充分利用正切線的直觀性.tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠+kπ,k∈Z2可知,正切函數(shù)是周期函數(shù),周期是π.這里可通過多媒體課件演示,讓學(xué)生觀察由角的變化引起正切線的變化的周期性,直觀理解正切函數(shù)的周期性,后面的正切函數(shù)圖象作出以后,還可從圖象上觀察正切函數(shù)的這一周期性.tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠+kπ,k∈Z2可知,正切函數(shù)是奇函數(shù),所以它的圖象關(guān)于原點對稱.教師可進一步引導(dǎo)學(xué)生通過圖象還能發(fā)現(xiàn)對稱點嗎？與正余弦函數(shù)相對照,學(xué)生會發(fā)現(xiàn)正切函數(shù)也是中心對稱函數(shù),最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案(附經(jīng)典解析)它的對稱中心是(k,0)k∈Z.2通過多媒體課件演示,由正切線的變化規(guī)律可以得出,正切函數(shù)在(一,)內(nèi)是增函數(shù),又由正切函數(shù)的周期性可22kkkZ是增函22數(shù).數(shù)x在y軸上任意一點時,都有x=0,這時正切函數(shù)是沒有意義的；222時又很容易出錯,教師應(yīng)提醒學(xué)生注意這點,深刻明了其內(nèi)涵本質(zhì).由多媒體課件演示正切線的變化規(guī)律,從正切線知,當x222tanx取任意實數(shù),但沒有22最大值、最小值.因此,正切函數(shù)的值域是實數(shù)集R.問題②,教師引導(dǎo)學(xué)生作出正切線,并觀察它的變化規(guī)律,如最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案(附經(jīng)典解析)問題③,正切函數(shù)圖象選用哪個區(qū)間作為代表區(qū)間更加自然呢？教師引導(dǎo)學(xué)生在課堂上展開充分討論,這也體現(xiàn)了“教師為主導(dǎo),學(xué)生為主體”的新課改理念.有的學(xué)生可能選取了[0,π]作為正切函數(shù)的周期選取,這正是學(xué)生作圖的真實性的體現(xiàn).此時,教師應(yīng)調(diào)整計劃,把課件中先作出[-,]內(nèi)的圖象,改為先作出[0,π]內(nèi)的圖象,再進行22圖象的平移,得到整個定義域內(nèi)函數(shù)的圖象,讓學(xué)生觀察思考.最后由學(xué)生來判斷究竟選用哪個區(qū)間段內(nèi)的函數(shù)圖象既簡單又能完全體現(xiàn)正切函數(shù)的性質(zhì),讓學(xué)生通過分析得到先22展,得到正切函數(shù)y=tanx,x∈R,且x≠+kπ(k∈Z)的圖象,我們稱正切曲線,2最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案(附經(jīng)典解析)問題④,教師引導(dǎo)學(xué)生觀察正切曲線,點撥學(xué)生討論思考,只需確定哪些點或線就能畫出函數(shù)y=tanx,x∈(一,)22的簡圖.學(xué)生可看出有三個點很關(guān)鍵:(一,-1),(0,0),(,1),還有兩條豎線.因此,畫正切函44數(shù)簡圖的方法就是:先描三點(一,-1),(0,0),(,1),再畫44兩條平行線x=一,x=,然后連線.教師要讓學(xué)生動手畫一畫,22這對今后解題很有幫助.討論結(jié)果:①略.③略.④能,“三點兩線”法.提出問題①請同學(xué)們認真觀察正切函數(shù)的圖象特征,由數(shù)及形從正切函數(shù)的圖象討論它的性質(zhì).②設(shè)問:每個區(qū)間都是增函數(shù),我們可以說正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)是增函數(shù)嗎？請舉一個例子.活動:問題①,從圖中可以看出,正切曲線是被相互平行最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案(附經(jīng)典解析)的直線x=+kπ,k∈Z所隔開的無窮多支曲線組成的.教師2引導(dǎo)學(xué)生進一步思考,這點反應(yīng)了它的哪一性質(zhì)——定義域；并且函數(shù)圖象在每個區(qū)間都無限靠近這些直線,我們可以將這些直線稱之為正切函數(shù)的什么線——漸近線；從y軸方向看,上下無限延伸,得到它的哪一性質(zhì)——值域為R；每隔π個單位,對應(yīng)的函數(shù)值相等,得到它的哪一性質(zhì)——周期π;在每個區(qū)間圖象都是上升趨勢,得到它的哪一性質(zhì)——單調(diào)性,單調(diào)增區(qū)間是(一+kπ,+kπ),k∈Z,沒有減22區(qū)間.它的圖象是關(guān)于原點對稱的,得到是哪一性質(zhì)——奇函數(shù).通過圖象我們還能發(fā)現(xiàn)是中心對稱,對稱中心是(k,0),k∈Z.2問題②,正切函數(shù)在每個區(qū)間上都是增函數(shù),但我們不可以說正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)是增函數(shù).如在區(qū)間(0,π)上就沒有單調(diào)性.討論結(jié)果:①略.②略.應(yīng)用示例45活動:利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較兩個同名三角函數(shù)值的大小,可以先利用誘導(dǎo)公式將已知角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角,然后再比較大小.教師可放手讓學(xué)生自己去探究完成,最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案(附經(jīng)典解析)由學(xué)生類比正弦、余弦函數(shù)值的大小比較,學(xué)生不難解決,主要是訓(xùn)練學(xué)生鞏固本節(jié)所學(xué)的基礎(chǔ)知識,加強類比思想的運用.4444tan(一17)=-tan17=-tan(3π+2)=-tan2.55554522454545點評:不要求學(xué)生強記正切函數(shù)的性質(zhì),只要記住正切函數(shù)的圖象或正切線即可.活動:如圖4,本例的目的是讓學(xué)生熟悉運用正切曲線來解題.不足之處在于本例可以通過三角函數(shù)線來解決,教師在引導(dǎo)學(xué)生探究活動中,也應(yīng)以兩種方法提出解決方案,但要有側(cè)重點,應(yīng)體現(xiàn)函數(shù)圖象應(yīng)用的重要性.3最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案(附經(jīng)典解析)2點評:先在一個周期內(nèi)得出x的取值范圍,然后再加周期即可,亦可利用單位圓求解,如圖5.本節(jié)的重點是正切線,但在今后解題時,學(xué)生哪種熟練就用哪種.變式訓(xùn)練(1)1+tanx≥0;(2)tanx+3＜0.23活動:類比正弦、余弦函數(shù),本例應(yīng)用的是換元法,由于在研究正弦、余弦函數(shù)的類似問題時已經(jīng)用過換元法,所以這里也就不用再介紹換元法,可以直接將x+作為一個整23體.教師可讓學(xué)生自己類比地探究,只是提醒學(xué)生注意定義域.323所以函數(shù)的定義域是{x|x≠2k+1,k∈Z}.323232最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案(附經(jīng)典解析)223233點評:同y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的周期性的研究一樣,變式訓(xùn)練求函數(shù)y=tan(x+幾)的定義域,值域,單調(diào)區(qū)間,周期性.442xkk∈Z}.442244上是增函數(shù).4tantantantan的順序排列,并說明理由.活動:引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)y=tanx的單調(diào)性探究解題方法.也可利用單位圓中的正切線探究解題方法.但要提醒學(xué)生注意本節(jié)中活動的結(jié)論:正切函數(shù)在定義域內(nèi)的每個區(qū)間上都是增函數(shù),但我們不可以說正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)是增函數(shù).學(xué)生可能的錯解有:錯解1:∵函數(shù)y=tanx是增函數(shù),又最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案(附經(jīng)典解析)1<2<3<4,∴tan1<tan2最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案(附經(jīng)典解析)<tan3<tan4.是正數(shù).又∵函數(shù)y=tanx是增函數(shù),且2<3,1<4,∴tan2<tan3<tan1<tan4.教師可放手讓學(xué)生自己探究問題的解法.發(fā)現(xiàn)錯解后不要直接糾正,立即給出正確解法,可再讓學(xué)生討論分析找出錯的原因.2222∴tan2<tan3<tan4<tan1.1234∴tan2<tan3<tan4<tan1.點評:本例重在讓學(xué)生澄清正切函數(shù)單調(diào)性問題,這屬tanx定義域內(nèi)是增函數(shù)”是不對的.知能訓(xùn)練最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案(附經(jīng)典解析)解答:11垂直于x軸的直徑,將⊙O分成左右兩個半圓,過右半圓與x1OO引7條射線把右半圓11分成8等份,并與切線相交,得到對應(yīng)于848848xx這些正切線的終點用22.點評:可類比正弦函數(shù)圖象的作法.22點評:只需根據(jù)正切曲線寫出結(jié)果,并不要求解三角方程或三角不等式.63點評:可用換元法.2最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案(附經(jīng)典解析)kkZytanxxA是增函數(shù);如2果A至少含有一個+kπ(k∈Z)這樣的數(shù),那么在直線22