數(shù)值計算第六講

數(shù)值分析與算法(6)NumericalAnalysis&Algorithms清華大學計算機系喻文健WenjianYu2第六章函數(shù)逼近與函數(shù)插值用較簡單的函數(shù)近似表示未知函數(shù)、或已知的復(fù)雜函數(shù)逼近：整體上近似(整體誤差最小)插值：離散自變量點上函數(shù)值相等(誤差為0)本章內(nèi)容函數(shù)逼近的基本概念連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近曲線擬合的最小二乘法多項式插值(拉格朗日,牛頓)分段多項式插值樣條函數(shù)插值WenjianYu3函數(shù)逼近問題的例子

傅里葉變換,信號的頻譜分析表格函數(shù),曲線擬合WenjianYu4函數(shù)逼近的基本概念WenjianYu5函數(shù)逼近的基本概念

WenjianYu6函數(shù)逼近的基本概念

A

復(fù)內(nèi)積則不同WenjianYu7函數(shù)逼近的基本概念

充分性的證明…矛盾!

WenjianYu8函數(shù)逼近的基本概念

(非負)(多項式可積)(無局部恒為零)(廣義的2-范數(shù))

不能做權(quán)函數(shù)WenjianYu9函數(shù)逼近的基本概念

WenjianYu10連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近WenjianYu11最佳平方逼近

n元二次函數(shù)

法方程方法

WenjianYu12最佳平方逼近

充分性的證明看書WenjianYu13最佳平方逼近

Hilbert矩陣6.2.2小節(jié)WenjianYu14正交函數(shù)族與正交多項式

正交

適合于任意線性空間

基的正交化WenjianYu15幾種正交多項式名稱定義域權(quán)函數(shù)表達式/遞推公式勒讓德

多項式[-1,1]切比雪夫多項式[-1,1]切比雪夫多項式-2[-1,1]拉蓋爾多項式[0,+]埃爾米特多項式(-,+)

法方程的求解變得很簡單,直接計算其他定義域的正交多項式有關(guān)習題We愧nj鍵ia瘦n捷Yu16曲線臘擬合饑的最劑小二文乘法We象nj港ia負n嚼Yu17曲線熔擬合纖問題最佳寶平方群逼近潮問題!實例思演示Ma壞tl冬ab戰(zhàn),騙Ex稈ce抬lWe抄nj或ia翻n飽Yu18線性孕最小羞二乘We模nj雨ia猾n族Yu19線性爐最小擔二乘–法方蓮程法算法6.班2We飯nj朵ia蠶n工Yu20線性各最小營二乘–法方跟程法(用多沙項式驢擬合指比較尾放心)用加權(quán)惰內(nèi)積伐技術(shù)求解①①②We躁nj窯ia刻n衫Yu21線性走最小迅二乘–法方咽程法例6.丸5,象6錯.6①②We揀nj茫ia潔n逢Yu22線性藥最小伯二乘–正交那變換替法例6.摔7正交匆陣19浴65棋,暈G豬.腿Go報lu置b提出We售nj封ia攪n謀Yu23線性器最小類二乘–正交得變換砌法mnmmmnn列n行取等蜜號條萍件:數(shù)值盆穩(wěn)定,實用We稻nj馳ia順n會Yu24線性非最小刊二乘We席nj梅ia含n將Yu25多項犁式插獻值We鴨nj志ia犯n圓Yu26插值唇與多教項式擋插值插值殃的基好本概府念為離鹽散點儉配曲某線，晨并要槍求曲線通過各個拼離散邊點一種丈特殊憂的“葉逼近櫻”目的遙與用欣途MS牲W澡or駛d的曲慚線繪計制功輝能圖形領(lǐng)學/C喝AD:畫一條通過鴉離散點的秒光滑期曲線對表艦達式未知腦的表格棉函數(shù),估算鐮中間嚴點函坑數(shù)值快速納、方廣便地計算復(fù)雜秒數(shù)學港函數(shù)傲的函搞數(shù)值其他慕數(shù)值享方法賴的基羽礎(chǔ):簡單函數(shù)鏡近似復(fù)雜的或未知函數(shù)(非線綁性方程妥、數(shù)值根積分與微糖分、微女分方啄程數(shù)值爽解法)？We桌nj市ia件n撞Yu27插值晨與多岡項式齒插值定義6.夜6DF世TWe粘nj吐ia貞n蹤蝶Yu28插值揪與多帽項式塊插值解存赴在、談唯一徐嗎?(Va惹nd企er寫mo暴nd僚e陣)Th助6.挖6We緩nj董ia雁n殼Yu29La疑gr藍an毀ge插值沈法“兩點富式”直線閣公式:不便福于計算、以巨及理論分析We枝nj盞ia寶n載Yu30La錄gr膊an卷ge插值掃法(一個仇常用鄰的技么巧)La竹gr摘an塵ge插值鵲函數(shù)We圾nj紙ia原n睜Yu31多項上式插而值誤品差估贊計Ro叼ll占e定理至少勵有n+丈1個互不拳相同孫的We防nj懷ia臟n碼Yu32La扣gr右an挪ge插值文小結(jié)(例6.寧9)We閉nj異ia草n竹Yu33Ne綁wt棵on插值插值干多項投式“點斜賢式”直線幟公式:n個插值踢節(jié)點:

牛頓插值公式:怎么靠算?We撈nj似ia籠n療Yu34Ne批wt烏on插值(為了兵方便頂?shù)赜嬶埶鉔e防wt須on插值立系數(shù))(遞歸展定義)Th灰6.慎8Th暢6.陷9We糞nj害ia眾n露Yu35Ne扔wt功on插值有k-圣1個節(jié)削點相眾同一階差商二階差商三階差商(例6.充10遵)We追nj堆ia買n編Yu36Ne錢wt核on插值(多項色式插鹽值余麗項的給另一陰種形蟲式)插值巷余項We換nj粗ia正n震Yu37Ne蘭wt查on插值計算裙復(fù)雜,速n較大時矩稀陣有障病態(tài)團性便于圣動態(tài)像增、烘減插值容節(jié)點思考碧題:比較兩種插值法計算未知墓點處柜函數(shù)值的計算量We篇nj絞ia叛n與Yu38分段備多項稱式插絡(luò)值We玩nj點ia姐n笨Yu39插值肚與多森項式巷插值插值妨的基只本概際念為離館散點同配曲油線，毛并要稈求曲線通過各個吸離散煉點一種組特殊燙的“靠逼近穴”目的護與用登途MS毅W獅or性d的曲牙線繪患制功田能圖形扇學/C煎AD:畫一條通過伸離散點的振光滑籌曲線對表帥達式未知械的表格壯函數(shù),估算爸中間伴點函延數(shù)值快速粘、方傳便地計算復(fù)雜溫數(shù)學臉函數(shù)瓜的函岔數(shù)值其他鴉數(shù)值無方法壘的基渾礎(chǔ):簡單函數(shù)蝕近似復(fù)雜的或未知函數(shù)(非線院性方程天、數(shù)值夾積分與微毛分、微造分方龍程數(shù)值伐解法)？We朗nj守ia盟n剖Yu40插值禮與多默項式砍插值定義6.勿6DF忍TWe掘nj詠ia鉗n菜Yu41插值釋與多也項式宮插值解存戲在、辱唯一熄嗎?(Va柿nd解er是mo住nd棕e陣)Th姓6.謙6We甩nj眠ia啊n壟Yu42La讀gr會an牙ge插值側(cè)法“兩點交式”直線墻公式:不便銷于計算、以繭及理論分析We災(zāi)nj進ia汪n芬Yu43La鎖gr巨an寫ge插值剛法(一個富常用叼的技踢巧)La份gr起an懲ge插值弱函數(shù)We顫nj鈴ia早n味Yu44多項尤式插炕值誤統(tǒng)差估宮計Ro妨ll嘴e定理至少疲有n+戰(zhàn)1個互不鞋相同慎的We廉nj撥ia腳n刪Yu45La領(lǐng)gr挎an狼ge插值秘小結(jié)(例6.要9)We歌nj題ia腎n拆Yu46Ne擦wt筆on插值插值涉多項疏式“點斜艘式”直線惱公式:n個插值啦節(jié)點:

牛頓插值公式:怎么家算?We緞nj掏ia妨n壁Yu47Ne換wt此on插值(為了蜻方便舉地計連算Ne冰wt昨on插值斥系數(shù))(遞歸割定義)Th彈6.績8Th臣6.惑9We叔nj遵ia菌n繭Yu48Ne陵wt疏on插值有k-統(tǒng)1個節(jié)藥點相尋同一階差商二階差商三階差商(例6.餅10依)We羅nj莖ia撒n好Yu49Ne降wt妥on插值(多項嗚式插辜值余貴項的距另一減種形廈式)插值搞余項We身nj雅ia氧n核Yu50Ne贏wt混on插值計算悼復(fù)雜,籠n較大時矩芒陣有華病態(tài)混性便于盈動態(tài)非增、繁減插值者節(jié)點思考醉題:比較兩種插值法計算未知址點處酸函數(shù)值的計算量We閑nj悼ia皆n匯Yu51分段若多項皺式插泉值We策nj蚊ia郵n慚Yu52高次并多項轟式插譯值的傳問題收斂菜性差保凸奴性差有多脈余拐侵點(起伏),違背鴉曲線市的凸性(單調(diào)吃性)數(shù)值姜穩(wěn)定閘性差單個多項搬式滿足所有撿的插床值要求,光滑撲性好沸、易種于理糟論分軍析Ru貴ng緒e現(xiàn)象::某個企插值壇點函北數(shù)值短的誤唯差,會影懲響整流個區(qū)脂間并非多項活式的關(guān)次數(shù)n越高,其逼術(shù)近程度瓶就越質(zhì)好問題憤本身蠅的病團態(tài)性演示閱模塊6.宋2We從nj屆ia焰n根Yu53分段附線性論插值1時略讀去)We持nj利ia劫n傅Yu54分段衣線性閘插值其中Th位6.和10:We私nj敬ia文n托Yu55He染rm漲it寒e插值飛與分使段He坐rm爆it物e插值稱為He糟rm門it趣e桌(埃爾本米特)插值盈多項奸式思考鍛題:如何票證明?We弄nj兵ia圖n校Yu56He煉rm痰it榮e插值鍋與分訪段He納rm擁it總e插值He冠rm礙it假e插值基函知數(shù)特殊中埃爾危米特憂多項銹式的販構(gòu)造驗證漸它們!We險nj俗ia礙n參Yu57He配rm朽it松e插值瓶與分戒段He柱rm葛it咱e插值兩點蔽三次埃爾誦米特遇插值棒多項戒式n=此1情況睛下的He雅rm坐it嚇e插值基函夏數(shù):驗證騰與推導?整體傷上一雀階導王數(shù)連餡續(xù)We峽nj稀ia牛n蓮Yu58He倚rm撫it寨e插值戰(zhàn)與分戴段He版rm迫it會e插值分段不三次埃爾子米特沿插值整體病基函竟數(shù)時略欲去)

011.局部非零的性質(zhì)2.整體吐的收想斂性We大nj闖ia妙n歷Yu59保形旋分段印插值(s寨ha伶pe蜂-p勉re伸se感rv停in槽g)否則叉取調(diào)峰和平用均,We凡nj退ia權(quán)n碌Yu60保形勒分段阿插值(s麻ha插pe心-p肥re漠se趕rv夠in坡g)Wo術(shù)rd中的槳曲線繪制?We裙nj我ia握n楊Yu61樣條但函數(shù)醉插值We迎nj貌ia場n瘡Yu62三次多樣條磚插值二階駕導數(shù)兵連續(xù)We老nj膚ia它n汁Yu63三次狼樣條具插值前面發(fā)已經(jīng)得到2n+2(n-1且)=4n-2個方程程,還缺2個方土程！左導咸數(shù)=右導宋數(shù)

We場nj矮ia酷n呼Yu64三次販樣條夜插值(n墳ot緊-a奇-k音no爹t條件,寨Ma辜tl判ab中sp堂li列ne函數(shù))三次歡樣條徑插值魯函數(shù)賀的構(gòu)半造介紹掙第②種墾方法We城nj嶺ia碼n曉Yu65三次心樣條捐插值①以躺節(jié)點溜上一爬階導北數(shù)值蠶為參數(shù)椅列分段He勁rm寒it世e公式,再定泛參數(shù)②以策節(jié)點主上二鳥階導勁數(shù)值隸為參棗數(shù),根據(jù)姥插值憶條件比確定不它們做兩事次積逼分,得三次泳樣條礦插值糖函數(shù)雕的構(gòu)線造We遙nj鋒ia稍n喚Yu66三次想樣條活插值We眉nj駁ia炭n趙Yu67三次車樣條材插值…未知刷量為怕位移土的二兔階導數(shù),在力學長上的以意義為”彎矩”(“三彎矩”方程)嚴格矛對角玩占