2019-2020年蘇教版數(shù)學(xué)必修一講義第3章3.3 冪函數(shù)及答案

23xα2312019-2020蘇教版數(shù)學(xué)必修一講義：第3章+3.3冪數(shù)及答案23xα231

冪函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解冪函數(shù)的概念會(huì)畫出冪函數(shù)＝y(tǒng)x

y＝x

，

核心素養(yǎng)通過學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容提11y＝，y＝x的圖象．(重點(diǎn))2．能根據(jù)函數(shù)的圖象，了解冪函數(shù)的性質(zhì)．(難點(diǎn))3．會(huì)用幾常見的冪函數(shù)性質(zhì)比較大?。?重點(diǎn)、難點(diǎn))

升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).1．冪函的概念一般地，我們把形如y＝的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù)．2．冪函的圖象和性質(zhì)y＝x＝x

y＝x

1y＝x

y＝x－定義域

RRR

[0＋∞)

－∞，0)(0＋∞)值域

R[0＋∞)R[0＋∞)

－∞，0)(0＋∞)奇偶性

奇函數(shù)

偶函數(shù)

奇函數(shù)

非奇非偶函數(shù)

奇函數(shù)單調(diào)性定點(diǎn)

在(－∞，0]在－∞＋上在(－∞＋在[0，＋)∞)上減，在[0∞)單調(diào)上單調(diào)遞遞增＋∞)上單遞增增調(diào)遞增，(0,0)，(0,0)，，(0,0)

在(－單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞減1．思考析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”-18

xαααα23，22019-2020蘇教版數(shù)學(xué)必修一講義：第3章+3.3冪數(shù)及答案xαααα23，2冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限．冪函數(shù)的圖象必過(0,0)和(1,1)這兩點(diǎn)．

()()指數(shù)函數(shù)＝a的定義域?yàn)镽與底數(shù)a關(guān)冪函數(shù)＝x的定義域?yàn)镽，與指數(shù)也無關(guān)．[案]√

×

×

()[示]

由冪函數(shù)的一般式＝(α為常數(shù))圖象可知，當(dāng)>0，>0即圖象不經(jīng)過第四象限．y不經(jīng)過(點(diǎn)，故錯(cuò)誤．1y2定義域?yàn)閇＋∞，與指數(shù)有關(guān)，故錯(cuò)誤．2．若y＝mx＋(2n4)是冪函數(shù)，則m＝3

[題意所以

mn3．已知冪數(shù)f()＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,8)，則f(－＝－8

[82

α，所以α，所以f(x)x3f(－＝(3－【例1】

已知y＝

冪函數(shù)的概念1＋2－2)xm－＋2－是冪函數(shù)，求，的值．思路點(diǎn)撥：由冪函數(shù)的定義列式求解．[]

－2，由題意≠，2n30

，解得∴m－，＝

32

為所求．

-28

ααα222xα2α＝＝22，∴＝－10222334350.42019-2020蘇教版數(shù)學(xué)必修一講義ααα222xα2α＝＝22，∴＝－10222334350.41．冪函＝要滿足三個(gè)特征冪前系數(shù)為1；底數(shù)只能是自變量，指數(shù)是常數(shù)；項(xiàng)數(shù)只有一項(xiàng)．2求冪函數(shù)解析式時(shí)常用待定系數(shù)法即設(shè)解析式為()＝x根據(jù)條件求出α.1．下列函是冪函數(shù)的有_填序號(hào))①y＝x；②＝2x；③＝x

2

21；④y＝x＋；⑤y＝－；⑥y＝3.③⑥

[據(jù)冪函數(shù)的定義，只③⑥符合題意．]2．已知冪數(shù)f()＝的圖象經(jīng)過＝110

[題知2

12－122∴f(x＝x

－

12

，∴f＝100

1－12＝＝.]100

比較大小【例2】

比較下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大?。?1(1)；(2)與；(3)0.25

－

14

1與6.25；(4)0.2與0.3.思路點(diǎn)撥：可以借助冪函數(shù)的單調(diào)性或中間量進(jìn)行比較．-38

132234<－－35(3)0.254424244132234<－－35(3)0.254424244[]

2019-2020蘇教版數(shù)學(xué)必修一講義：第3章+3.3冪數(shù)及答案1∵y2[，∞)上的增函數(shù)，且>，1∴∵y是(∞，上的減函數(shù)，且－

23

，3∴>.11－＝＝，116.25＝2.1∵y＝x是[0＋)的增函數(shù)，且，111－∴2，即<6.25.由冪函數(shù)的單調(diào)性，知0.6又y減函數(shù)，∴0.4>0.3，從而0.20.6.比較冪值的大小，關(guān)鍵在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)：若指數(shù)相同而底數(shù)不同，則構(gòu)造冪函數(shù)；若指數(shù)不同而底數(shù)相同，則構(gòu)造指數(shù)函數(shù)；(3)若指數(shù)與底數(shù)都不同，需考慮是否能把指數(shù)或底數(shù)化為相同，是否可以引入中間量．3．比較下各組中兩個(gè)數(shù)的大?。?48

1.51.5－－3232019-2020蘇教版數(shù)學(xué)必修一講義：第3章+3.3冪數(shù)及答案1.51.5－－323(1)3

－

52

，3.1

－

52

；a，(a＋1)a＞0)；55－，(－0.89)[]

－因?yàn)楹瘮?shù)＝x

552(0＋∞)是減函數(shù)，所以＞3.12函數(shù)＝1.5在(，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，又＞0a1a所以a1.55

.函數(shù)＝在R上為增函數(shù)，5所以－＞(－0.89)3.冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)[究問題]21．冪函數(shù)＝的圖象應(yīng)該怎么做？[示]

2①因?yàn)?<<1yx在第一象限內(nèi)是單調(diào)遞增的(上應(yīng)在y上方，在(，＋∞)上應(yīng)在yx的下方．②函數(shù)的定義域?yàn)镽，且為偶函數(shù)，故將軸右側(cè)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱到2軸左側(cè)，即得到y(tǒng)3圖象略)2．上述過程能否歸納出作冪函數(shù)yx的圖象的步驟？[示]

①先看α按α<0,0<<1>1分類(α＝α兩種特殊情況可直接作圖)，并確定在第一象限的圖象的形狀．②再看定義域以及函數(shù)的奇偶性，結(jié)合奇偶性利用圖象變換得到函數(shù)在軸-58

39*－32019-2020蘇教版數(shù)學(xué)必修一講義：第3章+3.3冪數(shù)及答案39*－3左側(cè)的圖象．3作出＝

－

11－－3圖象(圖，并說明若x>y3xy與0大小關(guān)系有多少種？[示]

－yx

13第一象限內(nèi)的圖象單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，草圖如下，1－－從圖象可以看出，若>y3則有以下情況①0<x<y②<<0③x>0>y.【例3】

已知冪函數(shù)y＝x－(m∈)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在(0，＋∞)m－－上單調(diào)遞減，求滿足(a＋1)－2a3的取值范圍．思路點(diǎn)撥：題中條件→出不等式組→出m→用冪函數(shù)的單調(diào)性→底數(shù)分類討論→[]

∵函數(shù)在(0∞)上遞減，∴3m，解得<3.又∈N*∴＝1,2.又函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，∴－為偶數(shù)，故＝∴有a

－

13<(3－2a)

－

13.1∵y＝x在－∞，0)＋∞)均遞減，2∴a1>32a>0或0>a－，或＋2a解得a

或<1.-68

32α2019-2020蘇教版數(shù)學(xué)必修一講義：第3章+3.3冪數(shù)及答案32α所以的取值范圍為(－∞，－1)∪1本題在解答過程中易出現(xiàn)忽略對(duì)底數(shù)的分類討論而產(chǎn)生漏解．2求解此類題目的關(guān)鍵是弄清冪函數(shù)的概念及冪函數(shù)的性質(zhì)．解決此類問題可分為兩大步第一步利用單調(diào)性或奇偶性(圖象對(duì)稱性)求出m的值或范圍第二步，利用分類討論的思想，結(jié)合函數(shù)的圖象求出參數(shù)的取值范圍．14.已知x2>x，則的取值范圍是______．－∞，0)∪，＋∞)或x>1.]

1[出函數(shù)yx2和yx3圖象(如圖所示)，易得x<01．冪函數(shù)＝的底數(shù)是自變量，指數(shù)是常數(shù)，而指數(shù)函數(shù)正好相反，底數(shù)是常數(shù)，指數(shù)是自變量．2．冪函數(shù)象在第一象限內(nèi)隨指數(shù)變化而變化的規(guī)律在第一象限內(nèi)直線x＝1的右側(cè)，圖象從上到下，相應(yīng)的指數(shù)由大變??；在直線x＝1的左側(cè)，圖象從下到上，相應(yīng)的指數(shù)由大變?。?．簡(jiǎn)單冪數(shù)的性質(zhì)所有冪函數(shù)在(0＋∞)上都有定義，并且當(dāng)自變量為1時(shí)，函數(shù)值為，即f(1)＝1.如果α>0，冪函數(shù)在[＋∞上有意義，且是增函數(shù)．如果α<0，冪函數(shù)在x＝0處無意義，在(0，＋∞)上是減函數(shù)．-78

333α141333335在R為減函數(shù)∴33<b∵()＝x在(0333352019-2020蘇教版數(shù)學(xué)必333α141333335在R為減函數(shù)∴33<b∵()＝x在(0333351．下列所出的函數(shù)中，是冪函數(shù)的是)A．＝－

3

B．＝－C．y＝2x

D．y＝－1.A[函數(shù)是形如yx的函數(shù)，觀察四個(gè)函數(shù)只有A中函數(shù)是冪函數(shù)．]2．已知冪數(shù)＝的圖象過點(diǎn)(22)，則f(4)的值是_．2

[點(diǎn)(，代入冪函數(shù)可得f(2)2

α＝2解得＝，即冪函數(shù)為f()21