沖擊動力學(xué)演示文稿

沖擊動力學(xué)演示文稿目前一頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點（優(yōu)選）沖擊動力學(xué).目前二頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點

◆波陣面前后（跨過特征線）有：

初始狀態(tài)為自然靜止態(tài)的線彈性波有：若初始狀態(tài)為均勻場，對于有突躍的情況有：

目前三頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點l求解應(yīng)力波之間的相互作用，是基于以下幾點來考慮：（1）桿中一維應(yīng)力縱波基本假設(shè)；（2）應(yīng)力波作用界面上的質(zhì)點速度相等的連續(xù)條件，和作用力與反作用力互等條件（在等截面處即簡化為界面兩側(cè)應(yīng)力相等）；（3）波陣面上的動量守恒條件、質(zhì)量守恒條件或應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。

目前四頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點3-1兩個相向傳播的彈性波的相互作用[問題]如圖所示，一彈性桿，初始狀態(tài)為靜止的自然狀態(tài)，左端和右端分別受到突加恒值沖擊載荷v1和v2。（設(shè)v1>0，v2<0，｜v1｜<｜v2｜）求：波的傳播及相互作用情況（波傳到桿端發(fā)生反射之前），畫出波系圖（X-t圖）、圖，和某時刻的圖或某質(zhì)點位置的圖，求出波系圖中各區(qū)的、v解。目前五頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點

分析：（1）彈性桿兩端受到突加恒值載荷后，分別從兩端迎面?zhèn)鞑婇g斷彈性波（一次波），并在桿正中央相遇，發(fā)生內(nèi)撞擊，形成二次波，分別向桿端兩側(cè)反射傳播；圖3-1-1目前六頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點

（2）左行一次波波陣面過后，桿右端狀態(tài)逐漸由自然靜止狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閰⒘恐祵?yīng)于的狀態(tài)。右行一次波波陣面過后，桿左端狀態(tài)逐漸由自然靜止狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閰⒘恐祵?yīng)于的狀態(tài)。（3）兩波相遇后，界面上滿足質(zhì)點速度相等和應(yīng)力相等條件，所對應(yīng)的狀態(tài)逐漸由桿中部向桿兩端展開。目前七頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點圖3-1-2解：根據(jù)分析可畫出波系圖（圖3-1-2）目前八頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點根據(jù)波陣面前后的關(guān)系可列出相應(yīng)關(guān)系式，并進行求解：1區(qū)：

，

，

2區(qū)：

，

，

目前九頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點3區(qū)：

由上述結(jié)果可見，兩彈性波相互作用時滿足疊加原理，即其結(jié)果相當于兩彈性波分別作用時結(jié)果的線性疊加，這主要是因為彈性波的控制方程是線性的。，，目前十頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點

根據(jù)波系圖（X-t圖）中所示跨過各特征線的波陣面前后各參量之間的相容關(guān)系，或根據(jù)前面求解所得各區(qū)參量值可以畫出相應(yīng)的圖、圖、圖，和某時刻的圖或某質(zhì)點位置的圖。目前十一頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點圖3-1-4圖3-1-5圖3-1-3目前十二頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點圖3-1-1實際上就是幾個典型位置的圖。目前十三頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點

（1）當，則，這相當于在剛壁上發(fā)生反射。

（2）當，則，，這相當于自由界面上發(fā)生反射。

討論：目前十四頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點

（4）如果本題中v1和v2方向反向，則桿處于受壓狀態(tài)，求解方法一樣，但要注意畫圖時各參量的正負方向。

（3）如果彈性桿初始狀態(tài)不是自然靜止狀態(tài)，而為一均勻場σ*、v*和ε*，則有：目前十五頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點

（5）圖3-1-6所示特征線所組成圖示各區(qū)域，其中1、2、3和4區(qū)若均為恒值區(qū)，則可以直接得到：圖3-1-6目前十六頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點3-2彈性波從固定端和自由端的反射當桿中傳播的應(yīng)力波到達桿的另一端時將發(fā)生波的反射，反射波的性質(zhì)與邊界條件息息相關(guān)。從某種意義上說，邊界條件（如固定端或剛壁，自由端）對于入射波來說，實際上是對入射波波陣面后方狀態(tài)的一個新的擾動，這一擾動的傳播就形成反射波。對于彈性波而言，入射波與反射波的總效果可由疊加原理來確定，入射波與反射波疊加的總效果符合所給定的邊界條件。目前十七頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點3-2-1彈性波從固定端的反射固定端的邊界條件為（這是相對于桿及固定端初始狀態(tài)為自然靜止狀態(tài)而言）。[例3-2-1]設(shè)長為l的長桿初始狀態(tài)為自然靜止狀態(tài)，左端施加突加恒值拉伸載荷v1，桿右端為固定端。要求畫出時間內(nèi)的波系圖、圖，寫出右傳入射波和左傳反射波的特征線方程，求解波系圖中各區(qū)的質(zhì)點速度和應(yīng)力解值表達式，并畫出某一時刻的圖和某質(zhì)點位置的圖。目前十八頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點[分析]依題可畫出桿的作用示意波系圖和圖。圖3-2-1目前十九頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點

彈性波波速為C0，則右傳波到達固定端的時間為，左傳反射波回到左端面的時間為，右傳波的特征線對應(yīng)為波系圖中的OA，其方程為：左傳波的特征線對應(yīng)為AB，其方程為：目前二十頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點各區(qū)解如下：1區(qū)：2區(qū)：

，

（該解同樣可從圖中可以直接得出。）某一時刻的圖和某質(zhì)點位置的圖略。

目前二十一頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點

討論：（1）可以看出，當桿初始狀態(tài)為自然的靜止狀態(tài)時，在固定端界面上，即入射波與反射波相遇的界面處質(zhì)點速度為零而應(yīng)力加倍。（2）當長桿中初始狀態(tài)為均勻場，參量對應(yīng)為σ*、v*，則有

目前二十二頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點3-2-2彈性波從自由端的反射自由端的邊界條件為。[例3-2-2]設(shè)長為l的長桿初始狀態(tài)為自然靜止狀態(tài)，左端施加突加恒值拉伸載荷v1，桿右端為自由端。要求畫出時間內(nèi)的波系圖、圖，寫出右傳入射波和左傳反射波的特征線方程，求解波系圖中各區(qū)的質(zhì)點速度和應(yīng)力解值表達式，另外畫出某一時刻的圖和某質(zhì)點位置的圖。目前二十三頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點[分析]依題可畫出桿的作用示意波系圖和圖。圖3-2-2目前二十四頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點

彈性右傳波到達自由端的時間為，左傳反射波回到左端面的時間為，右傳波的特征線對應(yīng)為波系圖中的OA，其方程為：左傳波的特征線對應(yīng)為AB，其方程為：目前二十五頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點各區(qū)解如下：1區(qū)：2區(qū)：

，

（該解同樣可從圖中可以直接得出。）某一時刻的圖和某質(zhì)點位置的圖略。

由上可知：當桿初始狀態(tài)為自然的靜止狀態(tài)時，在自由端界面上，即入射波與反射波相遇的界面處質(zhì)點速度加倍而應(yīng)力為零。目前二十六頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點[討論分析題]圖3-2-3是Hopkinson.J于1872年所做的著名的落錘沖擊鋼絲的試驗，請分析落錘自由下落后，鋼絲受沖擊拉斷的位置是沖擊端A端還是固定端B端，此外致使鋼絲沖擊拉斷的控制因素是什么。圖3-2-3目前二十七頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點[分析求解]依題，設(shè)固定端B端為坐標原點，鋼絲繩方向為X的正向，落錘下落沖擊到A端時為初始時刻，可以畫出相應(yīng)的波系圖和圖。圖3-2-4目前二十八頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點

由圖中可以直觀地得到應(yīng)力波從A端向B端傳播（入射），在固定端反射后，首先在固定端界面上應(yīng)力值加倍，而質(zhì)點速度為零。由于固定端先達到較大的應(yīng)力值，故鋼絲繩受沖擊被拉斷的位置是固定端B，而不是沖擊端A。由波系圖可求解出各區(qū)具體解值（與前面求解彈性波從固定端的反射情形是一樣的）。目前二十九頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點

而影響鋼絲繩沖擊拉斷的控制因素是落錘的高度，而與落錘的質(zhì)量基本無關(guān)。這是因為落錘的高度決定了落錘沖擊A端時的速度，也就決定了外加載荷的大小。當然，如果落錘的高度足夠大，使得波系圖中1區(qū)的應(yīng)力值超過了鋼絲的破壞極限（沖擊速度大于材料的破壞速度），那么A端將會首先破壞，但一般的實驗條件很難達到，故一般觀察到的現(xiàn)象仍是Hopkinson.J所觀察到的結(jié)果。目前三十頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點3-3彈性桿的共軸碰撞

兩桿的共軸碰撞是應(yīng)力波產(chǎn)生并發(fā)生相互作用的典型問題，本節(jié)先對半無限長桿之間的碰撞問題進行求解，包括橫截面相等和不等兩種情況，再針對有限長桿的問題進行求解。目前三十一頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點3-3-1兩半無限長桿的共軸碰撞[例3-3-1]如圖，兩截面完全相同的半無限長桿，其聲阻抗分別為和，撞擊前桿中應(yīng)力均為零且無初始應(yīng)變，兩桿分別以速度v1、v2（>v1）發(fā)生碰撞（如圖所示），畫出波系圖、圖，求解兩桿碰撞后桿中的質(zhì)點速度和應(yīng)力解值表達式，畫出某一時刻的圖和某質(zhì)點位置的圖。目前三十二頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點[分析]兩桿初始應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)榱悖跏假|(zhì)點速度不為零，分別為v1和v2，撞擊后，在兩桿中分別形成了方向相反的強間斷彈性波，根據(jù)碰撞界面上壓力相等（等截面時應(yīng)力也相等）、質(zhì)點速度相等條件，兩桿從碰撞面開始應(yīng)力和質(zhì)點速度逐漸分別由和變?yōu)椤?/p>

目前三十三頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點圖

3-3-1圖3-3-2

波系圖中設(shè)坐標原點在兩桿碰撞面處。圖中所給中的對應(yīng)于，的情況。目前三十四頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點根據(jù)波陣面上的動量守恒條件，有：

某一時刻的圖和某質(zhì)點位置的圖略。目前三十五頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點討論：（1）若v1=0，相當于對靜止桿的碰撞，有目前三十六頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點（2）當兩材料波阻抗相等時，有

此時若v1=0，有

若v1=-v2<0，相當于兩桿發(fā)生迎面碰撞，有圖3-3-3目前三十七頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點（3）若v1=0，∞，相當于彈性桿對剛體的碰撞，有圖3-3-4目前三十八頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點（4）若∞，相當于剛體對彈性桿的碰撞，有圖3-3-5目前三十九頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點[例3-3-2]兩截面面積分別為A01和A02(<

A01)的半無限長桿，其聲阻抗分別為和，撞擊前桿中應(yīng)力均為零且無初始應(yīng)變，兩桿分別以速度v1、v2（>v1）發(fā)生碰撞（如圖所示），畫出波系圖、圖，求解兩桿碰撞后桿中的質(zhì)點速度和應(yīng)力解值表達式，畫出某一時刻的圖和某質(zhì)點位置的圖。目前四十頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點[分析]根據(jù)碰撞界面上壓力相等、質(zhì)點速度相等條件，由于兩桿橫截面不等，故界面處速度相等但應(yīng)力不相等，兩桿從碰撞面開始應(yīng)力和質(zhì)點速度分別由和變?yōu)楹?。顯然有。目前四十一頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點圖3-3-6

波系圖中設(shè)坐標原點在兩桿碰撞面處。圖中所給中的對應(yīng)于，的情況。目前四十二頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點根據(jù)波陣面上的動量守恒條件，有：

某一時刻的圖和某質(zhì)點位置的圖略。目前四十三頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點

當兩材料波阻抗相等時，目前四十四頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點3-3-2有限長桿對半無限長桿的碰撞

對于有限長桿來說，應(yīng)力波傳播到桿端會發(fā)生反射，反射后的波通過碰撞界面時發(fā)生反射和透射的情況與兩桿的波阻抗之間的關(guān)系息息相關(guān)。本節(jié)僅討論有限長桿對半無限長桿的碰撞，即只考慮兩桿之一有桿端邊界的反射問題。目前四十五頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點[例3-3-3]如圖，兩截面完全相同的一維長桿，其中有限長桿長為L2，聲阻抗為，半無限長桿聲阻抗為，有限長桿以速度v2撞擊靜止的半無限長桿，兩桿初始應(yīng)力為零且無初始應(yīng)變。根據(jù)兩桿的波阻抗之間的關(guān)系分析撞擊后應(yīng)力波在桿中傳播的情況，畫出波系圖、圖，求解兩桿碰撞后波系圖中各區(qū)域的質(zhì)點速度和應(yīng)力解值表達式，畫出某一時刻的圖和某質(zhì)點位置的圖。目前四十六頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點[分析]兩桿撞擊后，由碰撞界面處背向碰撞面方向傳播一次彈性波，為壓縮波。設(shè)兩桿相撞時刻為時刻，當時左傳播彈性波到達B2桿左端，在自由端面發(fā)生反射，向右傳播二次波，為稀疏波，使桿中應(yīng)力逐漸卸載為0。在時稀疏波到達兩桿相接觸的界面，根據(jù)兩桿的波阻抗關(guān)系的不同，應(yīng)力波此后傳播的情況會不同，需分別進行討論。目前四十七頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點（1）當時兩桿波阻抗相等時（但兩桿的波速可能不同），波阻抗統(tǒng)一用表示，兩桿的波速分別用C01和C02表示。從B2桿左端面向右傳播的稀疏波（卸載波）在撞擊面處將無反射的進行傳播。圖3-3-9（圖中對應(yīng)于）

目前四十八頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點

區(qū)和區(qū)由于兩桿橫截面積相等，滿足界面處應(yīng)力和質(zhì)點速度相等條件，可統(tǒng)一用3區(qū)來表示。各區(qū)求解方法如下：

1區(qū)：2區(qū)：3區(qū)：目前四十九頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點4區(qū)：

或由

（疊加原理）

目前五十頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點

即時，B2桿從左端自由界面開始反射右傳卸載波，使桿中應(yīng)力和質(zhì)點速度逐漸卸載到0，時卸載波傳到碰撞界面，使碰撞界面處應(yīng)力和質(zhì)點速度卸載到0，意味著兩桿的撞擊結(jié)束。目前五十一頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點

5區(qū)：兩桿的撞擊結(jié)束，B1桿左端變成自由界面，卸載波繼續(xù)向B1桿中向右傳播，使桿中應(yīng)力變?yōu)?，則有

根據(jù)前面的分析及求解，當時，兩桿在時刻碰撞結(jié)束，兩桿保持接觸不分離，但桿中應(yīng)力和質(zhì)點速度都變?yōu)?。目前五十二頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點

由X-t圖可以看出，B1桿中有先行的壓縮波和隨后的卸載拉伸波，兩波間距始終不變，在時刻后B1桿中的應(yīng)力波形為一矩形波，通常稱之為應(yīng)力脈沖，應(yīng)力脈沖的長度（對應(yīng)于兩波的間距）由下圖可得為。

圖3-3-10

目前五十三頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點

當，，即B1桿中所傳播的矩形應(yīng)力脈沖長度是B2桿長度的兩倍，此時若改變B2桿的長度就可以獲得不同脈沖長度的應(yīng)力脈沖，這就是在進行有關(guān)的動態(tài)力學(xué)實驗中控制脈沖長度的常用方法。

目前五十四頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點

時（當時實際上對應(yīng)于兩相同材料）所對應(yīng)的X-t圖確切來說應(yīng)修正為下圖，但圖不變。圖3-3-11目前五十五頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點（2）當時，相當于軟→硬

B2桿中由自由界面向右傳播的卸載波使桿中應(yīng)力逐漸變?yōu)?，但質(zhì)點速度變?yōu)樨撝担cB1桿脫離，并使B1桿左端變?yōu)樽杂啥耍葿2桿傳入的卸載波使B1桿中應(yīng)力逐漸變?yōu)?，速度相應(yīng)也變?yōu)?。兩桿在時刻碰撞結(jié)束，并彼此脫離。

圖3-3-12（圖中對應(yīng)于）目前五十六頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點3區(qū)：

4區(qū)：

或根據(jù)前面的歸納直接可寫出解值5區(qū)：目前五十七頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點

在B1桿中也是有先行的壓縮波和隨后的卸載拉伸波，兩波間距始終不變，在時刻后B1桿為一矩形應(yīng)力脈沖，長度為。當時，應(yīng)力脈沖長度為。時，相應(yīng)的X-t圖的特征線也要作相應(yīng)修正。目前五十八頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點

討論：若∞，相當于有限長彈性桿→剛體，波系圖和圖如下。圖3-3-13目前五十九頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點

B1桿相當于剛體，彈性桿撞擊靜止的半無限長剛體，碰撞界面處有，應(yīng)力值近似解為。4區(qū)的質(zhì)點速度為，即彈性桿在時刻以大小相等的速度反彈。B1桿中在時間內(nèi)桿中均布著壓力，從時間開始后，整個剛性桿中應(yīng)力馬上衰減到0，體現(xiàn)剛體受力的瞬時性。目前六十頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點（3）當時，相當于硬→軟

B2桿中由自由界面向右傳播的卸載波使桿中應(yīng)力逐漸變?yōu)?，但質(zhì)點速度仍為正值（4區(qū)），由B2桿傳入B1桿中的卸載波在圖上是在3、0點所對應(yīng)的直線上，但兩桿是相互脫離、碰撞結(jié)束還是保持接觸相互作用，還須進一步進行討論。圖3-3-14()目前六十一頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點

如果兩桿相互作用結(jié)束，B1桿左端將成為自由端，即有，則相應(yīng)有，而，顯然B2桿仍會對B1桿發(fā)生進一步的碰撞，也就是說兩桿仍會相互作用下去，碰撞不會結(jié)束。則在兩桿碰撞界面上，由于兩桿波阻抗不相等，在界面上會有反射和透射，分別向B2桿發(fā)生反射和向B1桿發(fā)生透射。5目前六十二頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點

依此類推，最終可畫出波系圖和圖。圖3-3-15目前六十三頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點3區(qū)：

4區(qū)：目前六十四頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點5區(qū)：

6區(qū)：……目前六十五頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點

由3-3-15圖以及以上各區(qū)的解可以看出，B2桿對B1桿的撞擊將進行第二次、第三次…，直至無窮次撞擊，不過撞擊速度和應(yīng)力波的幅值逐次減小，直至趨進于0。在時刻發(fā)生第n次撞擊。目前六十六頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點

在B1桿中有先行的壓縮波和隨后幅值逐漸減小的一系列的卸載拉伸波，各相鄰兩波間距相等，為（當時，相鄰兩波間距為）。當時，相應(yīng)的X-t圖的特征線同樣要作相應(yīng)修正。目前六十七頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點

討論：若∞，相當于剛體→半無限長彈性桿，波形圖和圖如下。圖3-3-16目前六十八頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點

由圖中可以看出，，即剛體對彈性桿的撞擊相當于進行恒速撞擊。界面處有。實際上，由于撞擊桿B2本身有初速v2，對于彈性桿B1，其左側(cè)相當于剛壁面，根據(jù)前一節(jié)的討論，接觸面處恒有，由此也可得到。此解是將撞擊短桿作為剛體，實為近似解。目前六十九頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點3-3-3有限長桿與有限長桿的碰撞相碰撞的兩桿均為有限長桿，則分別會有壓縮波向兩桿中傳播，并且分別在兩桿的另一端的自由面發(fā)生反射，在一定時間后（時間可能相同，也右能不同）回到碰撞面，情形比較復(fù)雜。本小節(jié)將針對兩類特殊的情形進行討論，首先是兩桿發(fā)生碰撞，兩桿長度之間滿足的關(guān)系，這樣壓縮波傳播到兩桿自由端的時間以及從自由端回到碰撞端的時間分別相等，這種情形還比較簡單。另外，還簡單討論三根材料及長度和橫截面完全相等的三根桿的碰撞問題。目前七十頁\總數(shù)七十九頁\編于十七點[例3-3-4]如圖，兩截面完全相同的一維長桿，聲阻抗分別為和，長度分別為L1和為L2，設(shè)L1>L2并滿足