代數(shù)方法第九章歐幾里得空間

代數(shù)方法第九章歐幾里得空間1第一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五第九章歐氏空間

線性空間中，向量之間的基本運(yùn)算只有加法與數(shù)量乘法。作為幾何空間的推廣，可以發(fā)現(xiàn)幾何向量的度量性質(zhì)，如長(zhǎng)度、夾角等，在線性空間的理論中沒有得到反映。但是向量的度量性質(zhì)在許多問題（包括幾何問題）有特殊的地位。因此有必要在線性空間中引入度量的概念，使其更接近于幾何空間，并有更豐富的內(nèi)容與方法。2第二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五知識(shí)脈絡(luò)圖解內(nèi)積歐氏空間歐氏空間的同構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)正交基

長(zhǎng)度、夾角與正交對(duì)稱變換正交變換對(duì)稱矩陣正交矩陣

實(shí)對(duì)稱陣正交相似于對(duì)角陣

正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形正交子空間正交補(bǔ)空間3第三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五重點(diǎn)、難點(diǎn)解讀

本章通過在實(shí)數(shù)域上的線性空間中引入內(nèi)積的概念得到歐氏空間，進(jìn)而討論了長(zhǎng)度、夾角及正交等度量概念，特別是引入了歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基這一結(jié)構(gòu)特征。利用標(biāo)準(zhǔn)正交基的特性，可以使許多問題變得非常簡(jiǎn)單，這是引入標(biāo)準(zhǔn)正交基的好處。要求準(zhǔn)確理解和掌握標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念及基本性質(zhì)，能熟練運(yùn)用施密特正交化方法由一組基求出標(biāo)準(zhǔn)正交基。4第四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

歐氏空間證與內(nèi)積有關(guān)的正交變換與對(duì)稱變換在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛而重要的應(yīng)用，這兩種變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下分別對(duì)應(yīng)著正交矩陣及實(shí)對(duì)稱矩陣這兩種具有特殊性質(zhì)的矩陣。要求掌握正交變換與對(duì)稱變換的概念及性質(zhì)，能夠運(yùn)用它們與對(duì)應(yīng)特殊矩陣之間的關(guān)系解題對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣A，要求能熟練地找到正交矩陣Q，使為對(duì)角陣，以及以另一種形式出現(xiàn)的同一個(gè)問題，即用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。

將線性空間關(guān)于某個(gè)子空間進(jìn)行直和分解是不唯一的，但是歐氏空間關(guān)于某個(gè)子空間及其正交補(bǔ)空間的直和分解是唯一的。歐氏空間的這種分解是很重要的，要求掌握子空間的正交補(bǔ)的概念及基本性質(zhì)，會(huì)求某些子空間的正交補(bǔ)。5第五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五一、基本內(nèi)容首頁上頁下頁返回結(jié)束1.基本概念(1)內(nèi)積與歐氏空間概念(4個(gè)條件)(2)向量的長(zhǎng)度、距離與夾角長(zhǎng)度：距離：夾角：6第六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五(3)度量矩陣首頁上頁下頁返回結(jié)束7第七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五n維歐氏空間V的兩個(gè)基的度量矩陣是合同的,且度量矩陣是正定的.8第八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五(4)標(biāo)準(zhǔn)正交基由兩兩正交的單位向量組成的基.(5)正交子空間(6)歐氏空間的同構(gòu)同構(gòu)映射保持運(yùn)算(加法、數(shù)乘、內(nèi)積)首頁上頁下頁返回結(jié)束9第九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五首頁上頁下頁返回結(jié)束2.基本性質(zhì)設(shè)V為歐氏空間,對(duì)于V的內(nèi)積,有:關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正交基,有:(4)正交向量組是線性無關(guān)的.10第十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五首頁上頁下頁返回結(jié)束3.標(biāo)準(zhǔn)正交基下基本度量的表達(dá)式11第十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五首頁上頁下頁返回結(jié)束12第十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五首頁上頁下頁返回結(jié)束4.標(biāo)準(zhǔn)正交基的存在性與正交化方法13第十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五首頁上頁下頁返回結(jié)束5.正交變換與正交矩陣14第十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣是正交矩陣;首頁上頁下頁返回結(jié)束15第十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五首頁上頁下頁返回結(jié)束6.對(duì)稱變換與對(duì)稱矩陣(2)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù).(1)對(duì)稱變換的特征值都是實(shí)數(shù).主要結(jié)論:16第十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五首頁上頁下頁返回結(jié)束17第十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五二、基本解題方法首頁上頁下頁返回結(jié)束2.學(xué)習(xí)歐氏空間,要抓住“內(nèi)積”這個(gè)概念.內(nèi)積實(shí)際上是定義在線性空間V上的二元實(shí)函數(shù).它滿足對(duì)稱性、線性性、非負(fù)性.1.歐氏空間是一個(gè)實(shí)數(shù)域上的線性空間,對(duì)于線性空間的一些基本概念,比如向量的線性相關(guān)性、基、維數(shù)、坐標(biāo)、子空間以及有關(guān)性質(zhì),對(duì)歐氏空間都適用.

注:同一個(gè)線性空間對(duì)不同的內(nèi)積,所作成的歐氏空間一般是不同的.18第十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

3.對(duì)有限維歐氏空間的討論,標(biāo)準(zhǔn)正交基是核心,在標(biāo)準(zhǔn)正交基下,向量的度量性質(zhì)顯得較為簡(jiǎn)單.

4.用正交化方法求標(biāo)準(zhǔn)正交基,可以從一組基出發(fā),先正交化,得正交基,再單位化(即正交化與單位化分開進(jìn)行).也可以在正交化過程中的每一步,將所得的向量單位化(即標(biāo)準(zhǔn)化).5.利用線性變換與矩陣的密切關(guān)系、內(nèi)積、標(biāo)準(zhǔn)正交基來研究歐氏空間中的兩類重要的線性變換-正交變換和對(duì)稱變換.首頁上頁下頁返回結(jié)束19第十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五三、例題選講首頁上頁下頁返回結(jié)束20第二十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五首頁上頁下頁返回結(jié)束21第二十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五首頁上頁下頁返回結(jié)束22第二十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五首頁上頁下頁返回結(jié)束23第二十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五首頁上頁下頁返回結(jié)束24第二十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五首頁上頁下頁返回結(jié)束25第二十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五首頁上頁下頁返回結(jié)束26第二十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五例527第二十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五28第二十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五首頁上頁下頁返回結(jié)束29第二十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五首頁上頁下頁返回結(jié)束30第三十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五例831第三十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五32第三十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五首頁上頁下頁返回結(jié)束33第三十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五首頁上頁下頁返回結(jié)束34第三十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五首頁上頁下頁返回結(jié)束35第三十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五首頁上頁下頁返回結(jié)束36第三十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五首頁上頁下頁返回結(jié)束37第三十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五首頁上頁返回結(jié)束38第三十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五39第三十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五40第四十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五41第四十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五42第四十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

證對(duì)，有，于是所以，故又因故

例16、已知為維歐氏空間V的對(duì)稱變換，求證：是的正交補(bǔ)。43第四十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

例17、給定維歐氏空間V的標(biāo)準(zhǔn)正交基設(shè)是V的正交變換，是的不變子空間，證明：V的子空間也是的不變子空間。

證根據(jù)題設(shè)條件知由于是的正交變換，所以也是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基。

又是的不變子空間，所以是W標(biāo)準(zhǔn)正交基，從而任取有故是的不變子空間。44第四十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

例18、設(shè)V是有限維歐氏空間，是V的一個(gè)正交變換，