第六章網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃與網(wǎng)絡(luò)

第六章網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃與網(wǎng)絡(luò)分析

內(nèi)容圖與網(wǎng)絡(luò)樹最短路問題網(wǎng)絡(luò)最大流問題最小費(fèi)用最大流案例：網(wǎng)絡(luò)的中心與選址問題習(xí)題6.1圖與網(wǎng)絡(luò)自然界和人類社會中許多事物以及事物之間的關(guān)系，都可以用點(diǎn)和線連接起來的圖形來描述。例如用點(diǎn)表示城市，點(diǎn)間聯(lián)線表示城市間的道路，就可描述城市間的交通，如果聯(lián)線旁標(biāo)注城市間的距離——網(wǎng)絡(luò)圖中稱為權(quán)，形成加權(quán)圖，就稱為網(wǎng)絡(luò)圖，就可進(jìn)一步研究從一個(gè)城市到另一個(gè)城市的最短路徑；或者標(biāo)上單位運(yùn)價(jià)，就可分析運(yùn)費(fèi)最小的運(yùn)輸方案。例6-1由點(diǎn)及不帶箭頭的連線所組成的圖形。點(diǎn)的相對位置如何、點(diǎn)與點(diǎn)之間聯(lián)線的長短曲直，對反映對象之間的關(guān)系并不重要。表示5個(gè)球隊(duì)之間的賽事關(guān)系。點(diǎn)a,b,c,d,e,f----5個(gè)球隊(duì)，兩點(diǎn)的連接------兩球隊(duì)之間的賽事關(guān)系。例6-2由點(diǎn)及帶箭頭的連線所組成的圖形。圖6-2是一張管道運(yùn)輸網(wǎng)示意圖--城市間物資運(yùn)輸關(guān)系，v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7----7個(gè)城市，箭線旁的數(shù)字---物流的最大容量?，F(xiàn)在要求出從v1地到v7地的可運(yùn)送的最大流方案。邊---兩點(diǎn)間不帶箭頭的連線弧---帶箭頭的連線。一、無向圖由點(diǎn)和邊組成的圖稱為無向圖，圖6-3即為無向圖（1）無向圖定義6-1無向圖是一個(gè)無序二元組（V，E），記為G=（V,E），其中是p個(gè)點(diǎn)的集合，簡稱定點(diǎn)集；E=（e1，e2，…，eq）是條邊的集合，簡稱邊集合，并且是一個(gè)無序二元組，記為。頂點(diǎn)數(shù)：點(diǎn)集V中元素的個(gè)數(shù)稱為圖G的頂點(diǎn)數(shù)，記為。如圖6-3，為的端點(diǎn)，為的關(guān)聯(lián)邊。若點(diǎn)vi,vj有邊相連，即，則稱vi,vj相鄰，vi,vj與e關(guān)聯(lián)。

v3,v5相鄰，v3,v5與e7關(guān)聯(lián)。圖6－3。如圖6-3，端點(diǎn)：對于邊，稱vi，vj為e的端點(diǎn)。e為vi,vj的關(guān)聯(lián)邊。邊數(shù)：邊集E中元素的個(gè)數(shù)，記為（2）簡單圖不含環(huán)和多重邊的圖稱為簡單圖，含有多重邊的圖稱為多重圖。(3)點(diǎn)的次（度）以點(diǎn)v為端點(diǎn)的邊數(shù)叫做點(diǎn)v的次，記作d(v)。如圖6-3中,d(v1)=4,d(v2)=4。若，則稱稱為圖G的次序列。

環(huán)（自回路）：一條邊的兩個(gè)端點(diǎn)如果相同，稱此邊為環(huán)。如圖6-3中的e1。多重邊：兩個(gè)點(diǎn)之間多于一條邊的，如圖6-3中的e4，e5.次為1的點(diǎn)-----懸掛點(diǎn)，連接懸掛點(diǎn)的邊------懸掛邊。次為0的點(diǎn)----孤立點(diǎn)。次為奇數(shù)的點(diǎn)-----奇點(diǎn)，次為偶數(shù)的點(diǎn)------偶點(diǎn)。定理6-1任何圖G=（V,E）中，所有點(diǎn)的次數(shù)之和等于邊數(shù)的2倍。即證：由于每條邊必有兩個(gè)頂點(diǎn)關(guān)聯(lián)，在計(jì)算點(diǎn)的次時(shí)，每條邊均被計(jì)算了兩次，所以頂點(diǎn)次數(shù)之和等于邊數(shù)的2倍。定理6-2任何圖G=（V,E）中，奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)必為偶數(shù)。證：設(shè)圖中奇點(diǎn)與偶點(diǎn)的集合分別為V1和V2，由定理6-1知由于2q(G)為偶數(shù)，而是若干個(gè)偶數(shù)之和，也為偶數(shù)。所以必為偶數(shù)，即奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)必為偶數(shù)。（4）鏈鏈：對于無向圖G=（V,E）,稱頂點(diǎn)和邊交替的序列

為連接和的一條鏈，簡記為。其中--------鏈的兩個(gè)端點(diǎn)。--------是鏈。和兩個(gè)端點(diǎn)重合的鏈，稱為圈。在一個(gè)圖中，如果任何兩個(gè)頂點(diǎn)之間都有一條鏈，該圖稱為連通圖。二、有向圖

（1）有向圖有向圖是一個(gè)有序二元組（V,A），記為D（V,A），其中是p個(gè)頂點(diǎn)的集合，是q條弧的集合，并且是一個(gè)有序二元組，記為并稱是以vi為始點(diǎn)，vj為終點(diǎn)的弧，i，j的順序不能顛倒，弧的方向------箭頭標(biāo)識。由點(diǎn)和弧組成的圖稱為有向圖（2）簡單有向圖兩個(gè)端點(diǎn)重合的弧稱環(huán)。如圖6-4中的a1.圖6-4兩個(gè)端點(diǎn)之間的同向弧數(shù)大于等于2，稱為多重弧。無環(huán)也無多重弧的有向圖稱為簡單有向圖。（3）點(diǎn)的出次和入次以點(diǎn)v為起點(diǎn)的弧數(shù)叫做點(diǎn)v的出次，記作以點(diǎn)v為終點(diǎn)的弧數(shù)叫做點(diǎn)v的入次，記作

稱為點(diǎn)v的次。（4）路

在有向圖D=(V,A)中，點(diǎn)和弧交替的序列，若有或，則稱P是一條鏈接和的有向路。三、網(wǎng)絡(luò)

實(shí)際問題中，往往只用圖來描述所研究對象之間的關(guān)系還不夠，如果在圖中賦予邊一定的數(shù)量指標(biāo)，我們常稱之為“權(quán)”。依據(jù)研究問題的需要，權(quán)可以代表距離，也可以代表時(shí)間、費(fèi)用、容量、可靠性等。通常把這種賦權(quán)圖稱為網(wǎng)絡(luò)。

與無向圖和有向圖相對應(yīng)，網(wǎng)絡(luò)又分為無向網(wǎng)絡(luò)和有向網(wǎng)絡(luò)。圖的覽矩陣樣表示眼方法功：，其凡中則稱A為G的關(guān)聯(lián)矩標(biāo)陣。關(guān)賭聯(lián)指珍頂點(diǎn)芒與邊擦的關(guān)游系。關(guān)聯(lián)套矩陣充：在晝圖G=律(V每,E粘)中，V=濁(v映1,判v2剝,…叫,vp堤),麥E=(輩e1辨,e餡2壟,…誰,eq),構(gòu)造遲一個(gè)祖矩陣，其懶中則稱A為G的鄰秘接矩陣樸。鄰押接指箭頂點(diǎn)墓與頂廚點(diǎn)的釀關(guān)系燙。鄰接疫矩陣?。涸趫D炸G=染(V脹,E街)福中，船V=（v1側(cè),v領(lǐng)2,挪…,拴vp立),疊E=甜(e曬1,淚e2妻,舍…,時(shí)eq銷),構(gòu)造悅一個(gè)矩陣權(quán)矩漸陣：在圖服G=拌(V宇,E錢)蹈中，筆V=(v1,v2,…膏,vp),爪E=撕(e1,e2,…揪,eq),其邊[vi,vj]有權(quán)wij。構(gòu)造晌一個(gè)矩陣，其窯中則稱A為G的權(quán)矩陣卵。6.紀(jì)2樹a）b）實(shí)例墨：已留知有5個(gè)城該市，扣要在撥它們更之間蘿架設(shè)攤電話吹線網(wǎng)澆，要隸求任健何兩集個(gè)城茅市都鼻可以辨彼此撐通話角（允概許通口過其麻他城菊市）熄，并鉛且電怎話線虛的條天數(shù)最雞少。滿足幫要求撤的電誦話網(wǎng)婦必須掌是：拴①連床通的疫；②意不含漆圈的濟(jì)。滿憑足這塊兩點(diǎn)綿要求獅的圖廢稱為賽“樹?！薄?.租2.壞1樹的溫基本隆概念拘與性楚質(zhì)定義逐：閘連通把且不鋸含圈唯的無春向圖鈴稱為互樹。禽樹中彼次為1的頂套點(diǎn)稱裝為樹臥葉(懸掛皺點(diǎn))，次集大于1的頂悠點(diǎn)稱庫為分羞枝點(diǎn)潑。樹的牽性質(zhì)深可用丘下面抖定理機(jī)給出卻：設(shè)有駝圖G=效(V類,E旨)，n和m分別題為圖G的頂受點(diǎn)數(shù)忌和邊哄數(shù)，厚則下物列命辭題是尤等價(jià)現(xiàn)的：（1）G是一蝴個(gè)樹陳。（2）G無圈療，且m=膏n-匪1。（3）G連通需，且m=抄n-補(bǔ)1。（4）G無圈被，但腳每加遇一條撲新邊駱即存學(xué)在唯執(zhí)一一港個(gè)圈急。（5）G連通愛，但斷每舍病去一染條邊蝕就變柴成不串連通喜。（6）G中任趙意兩植點(diǎn)，患有唯追一路慕相連愉。定義6-鐘7圖G=即(V搖,E拴)，若E’是E的子窗集，是V的子互集，萬且中的桐邊僅慨與中的純頂點(diǎn)航相關(guān)蓄聯(lián)，平則稱是的一辜個(gè)子砌圖。舍特別宏地，來若，則稱為子圖疤（或沒支撐占子圖離）。的生鉆成定義6-盟8若圖G的生煤成子忙圖是言一棵拳樹，攝則稱朝該樹壘為G的生吸成樹冰，或簡玩稱為天圖G的樹君。圖G中屬鋼于生劫成樹權(quán)的邊抽稱為本樹枝蠅，不秘在生該成樹納中的笛邊稱違為弦醋。定理6-鉆4圖G=露(V掩,E陡)有生茶成樹煤的充丟分必?cái)D要條線件為G是傳連通配圖芳。證明戚：必困要性返由定瞎義直林接可歡得。充分觀性的樣證明億過程平如下礦：設(shè)林圖G是連將通的蔥。若G不含兵圈，鑼則G就是政其自四身的旱一棵巡壽生成擾樹；禍若G含有藝圈，鳴任取但一個(gè)握圈，士從圈轟中任沖意去斑掉一擴(kuò)條邊強(qiáng)，得攝到圖G的一帥個(gè)生良成子幻玉圖G1。如祥果G1不含側(cè)圈，距那么G1是G的一舟棵生愁成樹脂；如憐果G1仍含吩有圈望，那張么從G1中任壞取一謀個(gè)圈忘，從畫圈中孕再任立意去迅掉一話條邊悶，得乒到圖G的一堅(jiān)個(gè)生析成子田圖G2。重譜復(fù)使悔用此規(guī)法使宣每個(gè)攜圈都捷受到慕破壞究，最累后可篇以得財(cái)?shù)紾的一寶個(gè)生撈成子診圖Gk，它廢是不領(lǐng)含圈油的生抄成子煮圖。研這就脂是G一棵奔生成喪樹。6.厘2.翻2最小怎支撐勉樹及塵其算展法（1）構(gòu)睛造支罷撐樹粱的算折法1)破圈遺法破圈捧法思蘭路：童任取曬一圈核，從下圈中馬去掉畫任一塑條邊兵，再釀對余哥下的周圈重挪復(fù)相蔬同的好步驟番，直牧到圖飼中所賠有的家圈破侍掉為騰止。2）避司圈法避圈爹法思岡路：仆將不畢連通抗的無亭圈圖制通過營邊的鏡增加押，逐厭步變訓(xùn)成連通無墊圈圖傲。避圈篇法步忘驟：隱為碧連通局圖。步驟1始取港；步驟2若Gk連通體，則Gk為支麗撐樹膨；若Gk不連過通，濫任選存圖G邊集E中的閘一邊e，使e的兩覺個(gè)端潛點(diǎn)分黎屬兩夸個(gè)不諷同的慢連通余分圖侮，得離，倆；步驟3若污，雷則重弟復(fù)步菜驟2；否醋則，Gk一定森是支槐撐樹快。將支爬撐樹吸的構(gòu)幕造與喘邊權(quán)慚的選遍擇結(jié)就合，辭產(chǎn)生段最小疤樹的缺概念栗。（2）最司小支茅撐樹疲定義設(shè)有蕩一個(gè)盡連通術(shù)圖G=(V,E),每一卵邊e=[vi,vj]有一廳個(gè)權(quán)w(e)=wij，如馬果是阿的一醋個(gè)支到撐樹蟲，稱輛中所模有邊撇的權(quán)促之和晌為支柄撐樹鬼的權(quán)滾，記呼為：如果功支撐線樹T*的權(quán)W(T*)是G的所摸有支糟撐樹狠中權(quán)喊數(shù)最接小的歡，則武稱T*是G的最鵲小支旬撐樹傘（也帽稱最它小樹海），夕即（3）尋哥找最算小支直撐樹沸的算質(zhì)法尋找雕最小臨支撐典樹也蹄可以析用上抹面介撇紹的常破圈嶼法和原避圈廈法，棗但要量在舍遷邊和如增邊訴時(shí)，鞋增加獵一些逗邊的叔權(quán)數(shù)堤的限限制。1）破米圈法步驟估：從圖G中任逗取一芝圈，歷去掉遺這個(gè)墊圈中屋權(quán)數(shù)綱最大麥的一蓬條邊乖，得伯一支隊(duì)撐子罰圖G1。在G1中再尚任取閉一圈為，再棋去掉陰圈中慕權(quán)數(shù)懷最大污的一脾條邊季，得G2。如攀此繼撐續(xù)下巨去，爛一直杏到剩巾下的隱子圖代中不仗再含招圈為策止。創(chuàng)該子至圖G1就是插的最即小支陶撐樹T*。2）Kr蒼us包ka袍l算法拘（避擺圈法謠）19典56年基本景思想--刻-每次尖將一毒條權(quán)陣最小辜的弧粒加入祝子圖T中，侍并保泄證不著形成伐圈。朵即按打照邊打長由籃小到編大排精序，做如果賠當(dāng)前億弧加羊入后會不形傍成圈錄，則旗加入框這條碰弧。襪當(dāng)弧抄有n-孤1條杯時(shí)，潑即為助最小味樹。例6-覆4用Kr吹us排ka會l算法甲求解源下圖(6齊-8唱)所示覺網(wǎng)絡(luò)動的最方小樹勢，每條邊川上的偏數(shù)表確示該濃邊的忠權(quán)值摸。3）Pr換im算法(邊割竄法)頓19杰57癢年核心狗思想昂--需--主-不斷權(quán)擴(kuò)展穴一個(gè)且子樹駝，使相其逐劣步包罷含所蓬有的養(yǎng)頂點(diǎn)。具體校增邊吹的選減擇，盾是在俱當(dāng)前翅子樹敬的頂吸點(diǎn)集兔合與薪補(bǔ)集碎合所卷形成含的邊余割中艙選擇鞭最小蒼的邊。Pr兔im呈算法魂是一張個(gè)子規(guī)樹逐稀步擴(kuò)吼張的擁過程路，K麻ru歌sk念al好算法枕是多殲個(gè)子樓樹逐愚步融傭合的溝過程。Pr道im算法臥：步驟0從圖晝中任害選一板點(diǎn)vi，讓vi∈S，圖透中其刃余點(diǎn)懲均包察含在中；步驟2從S和漠之間沉的連架線中中找出柱最小屋邊，振這條肯邊一追定包拿含在最小慘支撐藏樹內(nèi)號，不師妨設(shè)泳最小肚邊為[vi,vj]，將[vi,vj]標(biāo)記慎成最小熟支撐馳樹內(nèi)拳的邊丘；步驟3令克，股；步驟4重復(fù)鏡步驟2、步閣驟3，一碗直到莖圖中突所有濾點(diǎn)均拖包含訴在S中為止解。例題6-會5用Pr逢im算法要求解帳圖6－9（a）中航的最戒小樹零。解：歉求解琴結(jié)果忙見圖6－9（b）例6-６在程一個(gè)睜地區(qū)薄有一聞個(gè)公盯共服圖務(wù)機(jī)尤構(gòu)，兆如飛悲機(jī)場辟、醫(yī)滲院等斬，圖6－10中O所示難。三永個(gè)鄉(xiāng)顛鎮(zhèn)（桐圖6-私10中的v1,v2,v3所示繞）需桿要連具接到借這個(gè)中公共立服務(wù)遵機(jī)構(gòu)笨。鄉(xiāng)泛鎮(zhèn)與蓄服務(wù)躁機(jī)構(gòu)被之間羽、鄉(xiāng)堵鎮(zhèn)與辯鄉(xiāng)鎮(zhèn)蛛之間券的連田接高裝速公侮路的光造價(jià)共為邊鹿的權(quán)惜。問處如何罷構(gòu)建副這個(gè)宴連接進(jìn)網(wǎng)絡(luò)么并分鍵配建柴設(shè)費(fèi)聰用？解：霜是一驅(qū)個(gè)最傅小支此撐樹聲的構(gòu)插建和第建設(shè)季成本椅分擔(dān)膜問題才。將v1,v2,v3分別蜻連接如到O的建嶺設(shè)成蛙本為C(v1)＝9，C(v2)＝10，C(v3)＝11；將v1,v2連接泥到O的最詠小樹握的建蘆設(shè)成第本為C(v1,v2)＝17，同躲樣，C(v1,v3)＝18，C(v2,v3)＝11；將3個(gè)頂柔點(diǎn)連群接到嫌的旱最小調(diào)樹O的建傻設(shè)成望本C(v1,v2,v3)＝18。設(shè)分許別承材擔(dān)的剛建設(shè)餓費(fèi)用村為x1,x2,x3，則胖建設(shè)悔費(fèi)用法的分吹配應(yīng)碰該滿皇足：有無棍限個(gè)可向量<x1,x2,x3>滿足泛上式抬，每罪個(gè)向抹量都婚可以部作為屆一個(gè)燭建設(shè)紀(jì)費(fèi)用從的分?jǐn)琅浞秸x案。6.般3最短助路問豬題優(yōu)化吳問題--如設(shè)劫備更舟新、孕管道旬鋪設(shè)餡、線炭路安毀排、礙廠區(qū)照布局娘等。曾介糾紹動藍(lán)態(tài)規(guī)禿劃解笛法，圣但某田些最晉短路敞問題歇（如更道路集不能旁整齊毀分段層者）蠶構(gòu)造笨動態(tài)跨規(guī)劃座方程找比較五困難恒，而很圖論納方法哨則比腿較有倘效。巨另外濱，這爛個(gè)問稈題相羨對比趟較簡名單，退其算隱法經(jīng)筋常做節(jié)為其繁他問縮慧題的黨子算論法而楚調(diào)用談。6.闖3.床1基本塌概念討與Be唉ll正ma溉n方程最短伯路問型題--紡--設(shè)N=研(V鐮,A抹,W苗)為網(wǎng)找絡(luò)圖合，圖宰中各謝邊(vi四,vj)有權(quán)wij（wij=∞表示vi,vj之間豪沒有省邊）哨，v1為起尼始點(diǎn)納，vj為圖含中任迎意一至點(diǎn)。齒網(wǎng)絡(luò)煙中有泄多條v1→vj的路P,每條如路的奴權(quán)是拍其所舅有構(gòu)描成弧織的權(quán)啟之和刮。求一劃條v1→vj的路耐，揭使它突是從v1到vj的所送有路講中總耀權(quán)最滿小的嘉路。五即：得優(yōu)化備問題對于殺網(wǎng)絡(luò)半中的粥一個(gè)島圈，虛其權(quán)盒是其述所構(gòu)滿成邊回的權(quán)鬼之和像。權(quán)謠為正買的圈--扇-正圈肆；權(quán)為炒負(fù)的梳圈--嗓--負(fù)圈聲；權(quán)為0的圈--隨--零圈右。令uj表示刷網(wǎng)絡(luò)洲中v1→vj的最麥短路埋的長缸度。?；诙▌討B(tài)幟規(guī)劃宇中遞眼歸方棗程的騎思想頸，得勉到求慌解最取短路餅問題心的遞認(rèn)歸關(guān)毀系如虎下：定理6-牲5設(shè)有缺向網(wǎng)尼絡(luò)G中只如含正透圈，晚并且動從點(diǎn)v1到其貌余點(diǎn)vj都有板有限警長度黑的有技向路擁，那違么(6惹.1獲)有唯額一有栽限解電。定理6-郊6設(shè)N=老(V塌,A殲)不含袋圈，酸則N的頂撕點(diǎn)可遼以重椅新編駐號，毒使攀。3例5.刺1--鹿-最短弊路徑狠問題V1V8V7V5V4V3V9V10V212353313424135215V63例6-追7計(jì)算癥如下針網(wǎng)絡(luò)蟻中v1到桐各點(diǎn)芳的最鄉(xiāng)豐短路沙。解：侄這是煙一個(gè)載有圈釘網(wǎng)絡(luò)收圖，到但v1是起側(cè)始點(diǎn)棕，故玻進(jìn)入v1的弧昌可以音刪去攏。對頂紹點(diǎn)進(jìn)乘行重之新標(biāo)慎號，按得到餅網(wǎng)絡(luò)燒圖，料圖6-吉11豆(b牙)。Be愚ll熊ma菠n方程動的計(jì)舅算：按照ui，求丘出最侍短路麗網(wǎng)絡(luò)品，圖6-召11茄(c鴉)。6.匆3.骨2Di產(chǎn)jk虧st猾ra算法(wij>0鍵)壇-19也59年雙標(biāo)洪號法--哀--圖中迎的每疾個(gè)點(diǎn)vj賦予狡兩個(gè)增參數(shù)田（標(biāo)左號）uj--妻--從起長點(diǎn)v1到vj的最階短路面的長推度，月是距敵離標(biāo)旺號；--員--讓-前趨激標(biāo)號她，是尚記錄可在v1到vj的最喚短路爭上，vj前面困一個(gè)蠶鄰點(diǎn)村的下哪標(biāo)，石用來侍標(biāo)識勾最短焦路路疼徑，哪從而擔(dān)可對鉤終點(diǎn)狐到始判點(diǎn)進(jìn)咽行反軍向追瘋蹤，乖找到v1到vj的最己短路到。通過殊不斷旦修改全這些棵標(biāo)號臉，進(jìn)訪行迭蝕代計(jì)挎算。Di衣jk件st莊ra算法倒：步驟0給起構(gòu)點(diǎn)v1標(biāo)號(0精,s身)，表萌示從v1到v1的距差離為0，v1為起點(diǎn)。躲。步驟1如果S=V，則uj即為v1到vj的最致短路噴的長升度，典最短研路可以按細(xì)照pr逗ed(j)記錄消的信重息，昌反向戚追蹤愁即可尖獲得甲，結(jié)洪束。否則股，轉(zhuǎn)拳步驟2。步驟2求出寨弧集促。若倆，表識明從所有球已經(jīng)磨賦予睬標(biāo)號坦的頂次點(diǎn)出夕發(fā)，賭不再夕有這屈樣的餃弧，卸它的另漠一頂完點(diǎn)尚冷未標(biāo)皆號，誰則計(jì)桑算結(jié)致束。繩對于鋼已有菌標(biāo)號燦的頂點(diǎn)，郊可求燥得從眨到達(dá)栗這個(gè)差頂點(diǎn)艇的最季短路品，對醋于沒粉有標(biāo)監(jiān)號的頂點(diǎn)隊(duì)，則搜不存荷在從v1到達(dá)蘇這個(gè)宴頂點(diǎn)詢的路紡。若弧集，轉(zhuǎn)步驟3。步驟3對弧貢集A中的頑每一咐條弧(vi蜓,vj)，計(jì)岡算降。則vi賦予型雙標(biāo)飾號后，壯其中姜。。轉(zhuǎn)賭步驟2經(jīng)上索述一矩個(gè)循歲環(huán)的衣計(jì)算采，將旗求出v1到一漂個(gè)頂仇點(diǎn)vj的最孟短路場及其母長度占，從作而使掃一個(gè)牢頂點(diǎn)vj得到中雙標(biāo)堆號。若有n個(gè)頂菌點(diǎn)，池則最綱多計(jì)搜算(n-1弓)循環(huán)社，即掘得最寒后結(jié)齒果。例6-橋8求v1到其套余各興點(diǎn)的敗最短絲式路至此秋，自寄頂點(diǎn)1至其狂余頂佳點(diǎn)的莫最短淚路都白已求六得。扭如下斗圖粗救線示標(biāo)號罷法是痕一種包按標(biāo)閉號值趁從小振到大障的逐玻步外京探法學(xué)。補(bǔ)充(wij不全>0，存態(tài)在wij<0尺)1）Fo梯rd算法P-永久乞性標(biāo)術(shù)號T-臨時(shí)爭性標(biāo)犧號2）Be闖ll罷ma濃n法例6-微9求如租圖所房誠示的隊(duì)網(wǎng)絡(luò)G中①到潛其余眾各點(diǎn)的最牙短路劫?；膳缘母鏀?shù)字堵表示始弧的女長度軟。為計(jì)旅算方吵便，乞令網(wǎng)己絡(luò)的逝權(quán)矩父陣為知，6.壟3.卷3縫Fl蛛oy派d-Wa東rs朗ha難ll算法求網(wǎng)息絡(luò)中惑任意琴兩點(diǎn)窄間的稱最短襪路的呆算法基本首思路-標(biāo)號注（長度毀）修正先給廁每個(gè)促頂點(diǎn)察一個(gè)標(biāo)號--賀-不一是定是順最短粱路的疫長度搬，一皇般是逮一個(gè)送近似盾。然舌后逐匙步對鬼頂點(diǎn)濕的標(biāo)番號進(jìn)受行修周正，霧使標(biāo)凝號逐雖步接沫近最者短路輸長度模。當(dāng)閉算法敵迭代終終止胃時(shí)，匯所有塑的定瞇點(diǎn)標(biāo)聲號變慢成最雹短路妹長度是，臨談時(shí)標(biāo)艦號變修成永冠久標(biāo)揪號。Fl督oy－Wa忙rs處ha威ll算法剩用標(biāo)維號修哥正算籍法表船示如返下：是第k次迭殘代得照到的vi到vj的臨含時(shí)性罷標(biāo)號懷，是堤在到影的路森中邊批數(shù)不碑超過k條的殊路中繼最短聲路的找長度最，是戲最短取路長柿度的池近似么。這個(gè)株算法講在迭活代n次后跑，如莖果各耗頂點(diǎn)閘對之汽間存護(hù)在最編短路需，眠即坊是vi到vj的最真短路拜長度滋，臨瀉時(shí)性奪標(biāo)號死變成紐奉永久敏性標(biāo)筍號。捆如果摘還沒幼有收砍斂，認(rèn)即存揪在兩拉個(gè)頂長點(diǎn)vi和vj，使謙得駝，這就說明蛾網(wǎng)絡(luò)印中存稍在負(fù)拔圈。例6-乳9求如已圖所飼示的肚網(wǎng)絡(luò)G中任簡意兩袋點(diǎn)間子的最詢短路元?；【砼缘臄?shù)竟字表休示弧倆的長控度。解鳴用秘表掠示各很頂點(diǎn)歷對之鄭間通楊過不桑超過k條弧蓮所能疑夠到執(zhí)達(dá)的矛最短棵路的噴長度場矩陣垮，則忘計(jì)算很結(jié)果掘如下妻：首先界給出御通過忌不超怒過1條弧米即可征到達(dá)孩的長痕度矩唐陣得到標(biāo)各頂壤點(diǎn)對攜之間營通過其不超隨過2條弧辦所能滅夠到暮達(dá)的思最短碑路的長度殺矩陣稍：各頂啞點(diǎn)對鴿之間商通過附不超流過k(3螺,4驅(qū))條弧誤所能謹(jǐn)夠到偵達(dá)的另最短巡壽路的菠長度四矩陣?yán)U如下女：我們盞看到,則中的半長度彎就是攀最短陡路長拒度。6.噸4網(wǎng)絡(luò)們最大趴流問逐題例附如撒在交要通運(yùn)撐輸網(wǎng)辱絡(luò)中姿有人端流、秘車流橫、貨懂物流芹，供教水網(wǎng)前絡(luò)中聲有水鐮流，丟金融促系統(tǒng)稼中有盼現(xiàn)金賠流，跡通信溉系統(tǒng)逮中有癥信息嘩流，襪等等侮。20世紀(jì)50年代,福特潮（Fo蘭rd）、斗富克凍遜（Fu紀(jì)lk席er江so龜n）建俯立的西“網(wǎng)曬絡(luò)流患理論摸”是樸網(wǎng)絡(luò)巧應(yīng)用沖的重隸要組線成部阻分。最大弟流量茂問題--鑼-給一蚊個(gè)帶覆收發(fā)竿點(diǎn)的梅網(wǎng)絡(luò)套（一逢般收剪點(diǎn)用vt表示夠，發(fā)差點(diǎn)用vs表示把，其漆余為嶼中間輪點(diǎn)）棗，其趁每條欲弧的挽權(quán)值留稱之懸為容留量，捕在不朝超過捧每條跌弧的承容量急的前巷提下員，要賄求確編定每釋條弧脆的流沒量，隆使得昏從發(fā)丘點(diǎn)到章收點(diǎn)農(nóng)的流戲量最敗大。6.遇4.邪1基本鄰概念錫與模憲型把一驚批貨陣物從嗓起點(diǎn)v1通過揮鐵路英網(wǎng)絡(luò)塊運(yùn)到眼終點(diǎn)v7去，義把鐵月路網(wǎng)稠上的裕車站鏟看作喉頂點(diǎn)挨，兩埋個(gè)車爬站間通的鐵雨路線妙看作概弧，浸而每名條鐵息路線沉上運(yùn)唉送的售貨物涂總量苗（容閣量）智總是蓄有限康的，刻我們私把某偵線路嗎上的賓最大授可能派運(yùn)送儀量稱途為它扶的容燙量，包即每徐條弧櫻上通令過的醋貨物擠總量證不能匯超過撐這條短弧的運(yùn)容量默。考昆慮：艱如何晶安排夜運(yùn)輸竊方案雀，使憑得從牲起點(diǎn)v1運(yùn)到尸終點(diǎn)v7的總查運(yùn)量傻達(dá)到躺最大莖？“流臉”，濕是指風(fēng)鐵路艙線（鈴?。┙呱系膯蕦?shí)際肆運(yùn)輸譽(yù)量。每條掛弧旁典的數(shù)滲字即焦為該時(shí)弧的松容量cij，弧舊的方堵向就悼是允愈許流宏的方課向。把標(biāo)求有弧界容量陜的網(wǎng)滾絡(luò)稱股為容量紀(jì)網(wǎng)絡(luò)，記陪為實(shí)際歷通過尺各弧論的流達(dá)量，袍記為吃。所有揉弧上及流量喂的集者稱為息該網(wǎng)絡(luò)D的一個(gè)流糕?；∨蕴劾ㄌ柡械牡駜蓚€(gè)扮數(shù)字年，嘗第一劑個(gè)數(shù)宏字表勸示弧蛾容量片，第碑二個(gè)脹數(shù)字洋表示埋通過南該弧四的流呢量，告如弧況（vs,v2）上膠的(5，1)，，圖6－16（2）可霉行流洲與最難大流可行抽流滿足縫以下膨兩個(gè)獸約束發(fā)條件常：1)各弧駝最大店輸送棵能力員約束(容量泡約束)條件讓：適，2)節(jié)點(diǎn)將流量票平衡往條件喇：網(wǎng)幅絡(luò)中泉的流惑量必茅須滿難足守麗恒條伐件，對收棕發(fā)點(diǎn)--據(jù)-發(fā)點(diǎn)僵的總晉流出軋量=收點(diǎn)區(qū)的總統(tǒng)流入繡量；對中稍間點(diǎn)v1,v2性,v3,v4來說付，民總流斃入量=總流怎出量渠。尋求堤網(wǎng)絡(luò)炊最大非流--兼--找到上一個(gè)境可行搶流寧，使漫得網(wǎng)護(hù)絡(luò)發(fā)漁點(diǎn)到炒收點(diǎn)械的總紀(jì)流量v(f)達(dá)到肉最大負(fù)。LP模型（3）增快廣鏈設(shè)網(wǎng)軌絡(luò)D=(V,A,C)中，盒有一臣可行糾流傍，按底每條遲弧上如流量畜的多刊少，句可將突弧分母為4種類既型：飽和騎弧非飽腔和弧零流游弧非零奴流弧設(shè)堡是網(wǎng)殃絡(luò)D中從vs到vt的一擁?xiàng)l鏈攪，沿表此方賣向飄上惹的各腎弧可酒分為飄兩類:前向繼弧--與鏈桿的方侍向一涼致的創(chuàng)弧，僚全體--后向憶弧--下--與鏈執(zhí)的方乘向相皮反的恥弧，硬全體--浪-增廣塔鏈：對置于可產(chǎn)行流f，啦是一效條從vs到vt的鏈允，如尚果尊中菌的每貸條弧奸均為男非飽有和弧趕，且哈中茅的每誤條弧王均為如非零熱流弧抽，則暑稱該貼鏈?zhǔn)菢雨P(guān)于f的增艘廣鏈姐。如果序是一再條增慎廣鏈片，那稍么在堆上斧可以踩增加療一定市的流鏟量，協(xié)從而正增加舞可行豈流的販流值卡。作用一是姻目前朋的可煉行流屢是否午是最叼大流不？如果崖不是啞最大昂流，寫如何霜通過濾增廣誰鏈找督到更津大的證可行秀流？（4）截聾集和間截量如果孝將網(wǎng)獵絡(luò)D=盯(V井,A牢,C澡)的V剖分俯為兩答部分失，Vs和講，使胳，為，瓦且乓，梯則把帖從Vs指向片弧泰的全鄙體稱很為分柔離Vs和岸的一升個(gè)截勇集，偶記為迫，即女。截集穗中案所有寧弧的臺容量胡之和收稱為飾該截脆集的武截量絹，記材為獸，有在D的所構(gòu)有截注集中防，稱猛截量憑最小失的截濁集為執(zhí)最小宇截集襪。取念，則架：截集碎：截量賞：若取民，售則：截集史：截量棋：任何扇一個(gè)聯(lián)可行豪的流靠量v(f)都不勵(lì)會超炊過任薯一截登集的肯截量攔，即禮。。證許明如櫻下：由該輩結(jié)論殃，可筍知：停在一革個(gè)容嘗量網(wǎng)丈絡(luò)中蜘，最另大流飲的流鋒量小括于等尼于最紹小截走集的擔(dān)截量虹。如果桑存在咸一可鈴行流f*和一腎個(gè)截蹦量使得則f*就是劑最大拌流，背且是最晶小截歌集。最大站流最址小截追集定庭理：鍬任一銅容量躬網(wǎng)絡(luò)律中，餅最大霞流的庫流量新等于最小艇截集吃的截卻量。定理6-彼7在網(wǎng)叮絡(luò)D=幕(V腐,A簡,C梁)中，罩可行您流f*是最早大流核的充遠(yuǎn)分必仰要條鄭件是環(huán)網(wǎng)絡(luò)宣中不漲存在vs到vt的增適廣鏈第。判斷程一個(gè)拴可行這流港是否起為最狼大流競，有夕兩種像途徑醫(yī)：能否掩找出vs到vt的增帳廣鏈疲，若戒能，膨則說豪明f不是呀最大泰流；咱否則f就是夜最大盾流。V(f)是否孔等于饑最小眾截量明。若青等，睜則f就是鴿最大犯流，鼓否則踢就不咳是最拳大流篇。6.偏4.委2鮮F抖or蝴d-防Fu另lk鐘er厚so惑n標(biāo)號寬算法Fo小rd和Fu鎖lk燒er辯so喘n于19誼56年基本甲思想--懸--從一哈個(gè)可鼠行流f出發(fā)絞，由埋發(fā)點(diǎn)vs開始寒，對脈網(wǎng)絡(luò)D中的午每個(gè)筍頂點(diǎn)希進(jìn)行網(wǎng)標(biāo)號捧，如vt得到牙標(biāo)號暈，這惱時(shí)可綁用反挪向追沖蹤法傘在網(wǎng)賄絡(luò)中雷找出姨一條亦從vs到vt的由爪標(biāo)號舊點(diǎn)及氣相應(yīng)建的弧茫連接饑而成賞的增晉廣鏈父。若無--桐--則f為所旬求的稠最大下流；若有--戴--則在兵增廣卡鏈上孩進(jìn)行穗調(diào)整辯，改氧變流講量，誼得一朗新的導(dǎo)可行腰流武，恒繼續(xù)救尋找勇相應(yīng)若于該賣可行漲流的胳增廣溜鏈。算法蟻的步害驟如蕉下：步驟1給一裂個(gè)初六始可喝行流草；步驟2標(biāo)號欺、檢畜查過免程。給頂糖點(diǎn)標(biāo)建號，賀尋找腎增廣倍鏈μ。凡凡是標(biāo)候號的年點(diǎn)用(vi,L(vj))表示裂，Vi--輸--該標(biāo)篩號是沿從哪消個(gè)點(diǎn)耀得到幅的--反向照追蹤偉找增拉廣鏈μ，L(vj))粗--明-確定末的μ調(diào)整究量θ用的旱。在標(biāo)鑰號過勝程中剖，每個(gè)薦點(diǎn)屬脂于且旗僅屬戲于下字列集竟合之已標(biāo)注號，縫但未送檢查溪的點(diǎn)屆集V0；已標(biāo)片號，偷已檢潑查的層點(diǎn)集Vs；未標(biāo)松號的援點(diǎn)集但。首先存給vs標(biāo)號(0，+棍∞)，vs為發(fā)券點(diǎn)，且不限脆允許烏調(diào)整況量如果V0非空享，則撞反復(fù)追按以壤下①蒜，②輛進(jìn)行逆，否嘆則轉(zhuǎn)待第三希步。①在V0中任兼選一桶元素vi，檢無查vi到撥中的峽點(diǎn)vj的弧(vi,vj)，或也中的平點(diǎn)vj到vi的弧溪，毒滿足灶以下瞞條件乞的給vj標(biāo)號挽：a）對隆于前鑰向弧(vi,vj)，若玻非飽南和，似則給裕點(diǎn)vj標(biāo)以(vi,l(vj)洲)，其自中其，同休時(shí)把vj從暈中報(bào)除去若，歸誼入V0。b）箭對于戶后向中弧(vj,vi)，若檔非零予流，舒則給惜點(diǎn)vj標(biāo)以(-vi,l(vj)，其局中，哭，同時(shí)凈把vj從愿中獵除去具，歸另入V0。如果vt歸入V0，說元明已季找出鑄的觀增廣添鏈績，則姑轉(zhuǎn)第謎三步掉。②把書已標(biāo)濱號已釘檢查仍的點(diǎn)vi歸入Vs。③若vt得不慢到標(biāo)服號，伸說明逼該網(wǎng)弦絡(luò)中蒜不存掀在增填廣鏈詳，給習(xí)定的唇可行察流即班為最達(dá)大流賺。轉(zhuǎn)泛第四躁步。步驟3調(diào)整脂過程則調(diào)洗整之井后仍忙為可靠行流關(guān)，流墨值比背原來僚的可乘行流懷流量箱增大鍋了θ(θ>0袍)。抹掉用圖上哭所有熟標(biāo)號陰，重果復(fù)毯步驟2忍-步驟3。步驟4寫出壺最小燥截集貴和投最大扒流敲的流遠(yuǎn)量差，終懲止計(jì)國算。例6-濤10試用Fo匪rd－Fu緒lk注er份so詳n標(biāo)號控法求逐圖6－18所示表的網(wǎng)曾絡(luò)最塊大流評，括鴿號中拾，第氏一個(gè)抱數(shù)字皇是容猜量，臣第二曲個(gè)數(shù)皺字是集容量胡。圖6－196.蕩5最小挨費(fèi)用鳳最大車流在上像節(jié)最疫大流老問題背中，距每一網(wǎng)個(gè)可臭行流例在現(xiàn)外實(shí)生喬活中次，還辣對應(yīng)黎著一亭定的洞費(fèi)用療，許特多情藥況下書優(yōu)化結(jié)目標(biāo)河不但狂要求每流量施盡可硬能的符大，租還要縣求費(fèi)孟用盡蜜可能偏的小降。在伏一個(gè)蒙網(wǎng)絡(luò)遞中每麗條弧域都有泛“容烈量”瞎和“題費(fèi)用球”兩饅個(gè)限拴制的姿條件控下，厭尋求vs到vt的最職大流尤，使顫該最駱大流喉在所豆有最設(shè)大流姥中費(fèi)軟用達(dá)璃到最雄小。給出俊網(wǎng)絡(luò)D=(V,A,C,B)，其態(tài)中C是容來量，B是費(fèi)乒用，暖即對默于每雖條弧<vi,vj>，有忘容量cij≥0，有棍費(fèi)用bij≥0。對古于D的一夜個(gè)可蓬行流幅，定焰義其費(fèi)用為求解柜最小員費(fèi)用究最大敲流問劑題的基本頑思想是在璃尋求類最大每流的則算法并過程章中，駕不但俊通過懇增廣肝鏈?zhǔn)瓜ち髁坎熘鸩狡吩黾永?，還什要考哄慮費(fèi)腿用的避約束薪，即佩每次樣可行乎流的