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文檔簡介
本章主要內(nèi)容
(1)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)研究概述;(2)拉格朗日動(dòng)力學(xué)方法;(3)操作機(jī)的動(dòng)力學(xué)分析;(4)二連桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析;(5)倒立擺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析;(6)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程一般形式;(7)考慮非剛體效應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程。2023/5/246.1
機(jī)器人動(dòng)力學(xué)研究概述
2023/5/246.1
機(jī)器人動(dòng)力學(xué)研究概述
本章將在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的基礎(chǔ)上考慮到力對具有一定質(zhì)量或慣量的物體運(yùn)動(dòng)的影響,從而引入機(jī)器人動(dòng)力學(xué)問題;機(jī)器人動(dòng)力學(xué)研究機(jī)器人動(dòng)態(tài)方程的建立,它是一組描述機(jī)器人動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)方程;目前主要采用兩種理論來建立數(shù)學(xué)模型:(1)動(dòng)力學(xué)基本理論,包括牛頓-歐拉方程(2)拉格朗日力學(xué),特別是二階拉格朗日方程如同運(yùn)動(dòng)學(xué),動(dòng)力學(xué)也有兩個(gè)相反問題(1)正問題(2)逆問題2023/5/243動(dòng)力學(xué)的兩個(gè)相反問題動(dòng)力學(xué)正問題:已知機(jī)械手各關(guān)節(jié)的作用力或力矩,求各關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度(即運(yùn)動(dòng)軌跡),主要用于機(jī)器人仿真。動(dòng)力學(xué)逆問題:已知機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)軌跡,即幾個(gè)關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度,求各關(guān)節(jié)所需要的驅(qū)動(dòng)力或力矩,用于機(jī)器人實(shí)時(shí)控制。求解動(dòng)力學(xué)方程的目的,通常是為了得到機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程,即一旦給定輸入的力或力矩,就確定了系統(tǒng)地運(yùn)動(dòng)結(jié)果。動(dòng)力學(xué)方程的一般形式:式中分別表示力矩、力、角位移和線位移2023/5/244牛頓-歐拉方程牛頓方程……面向平動(dòng)歐拉方程……面向轉(zhuǎn)動(dòng)
式中Jc物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量
ω物體角速度
τ
力矩2023/5/2456.2
拉格朗日動(dòng)力學(xué)方法
6.2.1
用于保守系統(tǒng)的拉格朗日方程
在《分析力學(xué)》一書中Lagrange是用s個(gè)獨(dú)立變量來描述力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng),這是一組二階微分方程。通常把這一方程叫做Lagrange方程,其基本形式為
其中,是所研究力學(xué)體系的廣義坐標(biāo);是作用在此力學(xué)體系上的廣義力;
T
是系統(tǒng)總動(dòng)能。分析力學(xué)注重的不是力和加速度,而是具有更廣泛意義的能量,擴(kuò)大了坐標(biāo)的概念。
2023/5/2466.2.2
用于非保守系統(tǒng)的拉格朗日方程
對于同時(shí)受到保守力和耗散力作用的、由n個(gè)關(guān)節(jié)部件組成的機(jī)械系統(tǒng),其Lagrange方程應(yīng)為
其中,為廣義坐標(biāo),表示為系統(tǒng)中的線位移或角位移的變量;為作用在系統(tǒng)上的廣義力;是系統(tǒng)總的動(dòng)能、勢能和耗散能,分別為2023/5/2476.2.3
拉格朗日函數(shù)方法
對于具有外力作用的非保守機(jī)械系統(tǒng),其拉格朗日動(dòng)力學(xué)函數(shù)L可定義為式中T——系統(tǒng)總的動(dòng)能;V——系統(tǒng)總的勢能
若操作機(jī)的執(zhí)行元件控制某個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)變量θ時(shí),則執(zhí)行元件的總力矩應(yīng)為
若操作機(jī)的執(zhí)行元件控制某個(gè)移動(dòng)變量r時(shí),則施加在運(yùn)動(dòng)方向r上的力應(yīng)為
2023/5/2486.2.4
拉格朗日方程的特點(diǎn)
它是以廣義坐標(biāo)表達(dá)的任意完整系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式,方程式的數(shù)目和系統(tǒng)的自由度數(shù)是一致的;理想約束反力不出現(xiàn)在方程組中,因此建立運(yùn)動(dòng)方程式時(shí)只需分析已知的主動(dòng)力,而不必分析未知的約束反力;Lagrange方程是以能量觀點(diǎn)建立起來的運(yùn)動(dòng)方程式,為了列出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式,只需要從兩個(gè)方面去分析,一個(gè)是表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)量—系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能,另一個(gè)是表征主動(dòng)力作用的動(dòng)力學(xué)量—廣義力。因此用Lagrange方程來求解系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可以大大簡化建模過程。
2023/5/2492023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/24例6.3
操作機(jī)的動(dòng)力學(xué)分析
6.3.1
操作機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型操作機(jī)的物理學(xué)模型
加上負(fù)載的操作機(jī)
2023/5/24176.3.2
建立拉格朗日函數(shù)
(1)求動(dòng)能T
先對求
顯然
而于是由于根據(jù)動(dòng)能的公式
2023/5/2418再對求由于
且有則得總動(dòng)能
2023/5/2419(2)求勢能V
根據(jù)勢能的公式式中為垂直高度,則對于有
對于有
得總勢能
(3)求得拉格朗日函數(shù)L
2023/5/24206.3.3
廣義力的計(jì)算
(1)求力矩
繞轉(zhuǎn)動(dòng)執(zhí)行元件施加的力矩
則式中第一項(xiàng)為慣性項(xiàng),第二項(xiàng)為哥氏項(xiàng),第三項(xiàng)為重力項(xiàng)。2023/5/2421(2)求移動(dòng)力
則式中第一項(xiàng)為慣性項(xiàng),第二項(xiàng)為向心項(xiàng),第三項(xiàng)為重力項(xiàng)。
通過線運(yùn)動(dòng)執(zhí)行元件施加的直線力
2023/5/24226.3.4
應(yīng)用實(shí)例分析
例6-1
已知:對于操作機(jī)
對于下面的三種工作情況,試估算力矩。(1)手臂水平,并伸至全長,靜止,(2)手臂水平,并伸至全長,以最大速率運(yùn)動(dòng),(3)手臂水平,并伸至全長,承受最大轉(zhuǎn)動(dòng)加速度,2023/5/2423解:(1)手臂水平,并伸至全長,靜止,由已知條件可得則有則2023/5/2424解:(2)手臂水平,并伸至全長,以最大速率運(yùn)動(dòng),由已知條件可得則有則2023/5/2425解:(3)手臂水平,并伸至全長,承受最大轉(zhuǎn)動(dòng)加速度,由已知條件可得則有則2023/5/2426結(jié)果分析:
(1)為重力項(xiàng),通常它遠(yuǎn)大于其它項(xiàng);
(2)當(dāng)時(shí),即當(dāng)手臂垂直時(shí),,可見重力負(fù)載的變化很大;
(3)當(dāng)很小時(shí),包含的項(xiàng)趨于零;
(4)通常采用只包括重力項(xiàng)和慣性項(xiàng)的公式就可得到比較滿意的結(jié)果,即采用如下簡化公式
2023/5/2427例6-4:2023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/24把前面公式進(jìn)行概況,有:2023/5/242023/5/246.5
倒立擺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析
rθ○○導(dǎo)軌小車
擺體驅(qū)動(dòng)放大器計(jì)算機(jī)位角檢測倒立擺系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖
2023/5/2446二級倒立擺系統(tǒng)平衡控制2023/5/2447除皮帶外,全部對象(擺體、小車、導(dǎo)軌等)均視為剛體;各部分的摩擦力(力矩)與相對速度(角速度)成正比;施加在小車上的驅(qū)動(dòng)力與加在功率放大器上的輸入電壓u成正比,比例系數(shù)設(shè)為G0;皮帶輪與傳送帶之間無滑動(dòng),傳送帶無伸長現(xiàn)象;信號與力的傳遞無延時(shí)。
6.5.1
倒立擺系統(tǒng)與基本假設(shè)
2023/5/2448
首先介紹一下均勻桿(長度為2L,質(zhì)量為m)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算。
當(dāng)均勻桿繞一端轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:
由得通常給出桿相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:
所以2023/5/24496.5.2
用牛頓力學(xué)的方法來建立動(dòng)力學(xué)模型
(1)小車部分
小車質(zhì)量
小車滑動(dòng)摩擦系數(shù)擺體對小車作用力的水平分量
擺體對小車作用力的垂直分量N
軌道反力m0rF&0or(X)uG02023/5/2450考慮到小車只有水平方向(X)的運(yùn)動(dòng),故可列寫小車運(yùn)動(dòng)方程m0rF&0or(X)uG02023/5/2451(2)擺體部分
L2
m1
擺體質(zhì)量
L
擺體質(zhì)心c到支點(diǎn)距離
F1
擺體轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦系數(shù)
J1c擺體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量
J1擺體繞支點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小車對擺體作用力的水平分量小車對擺體作用力的垂直分量
考慮到擺體為一平面運(yùn)動(dòng)體,則其運(yùn)動(dòng)可以分解為平動(dòng)和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分。于是有質(zhì)心加速度=質(zhì)心平動(dòng)加速度+繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)加速度2023/5/2452計(jì)算質(zhì)心加速度水平分量為:
垂直分量為:
列寫擺體動(dòng)力學(xué)方程式(平動(dòng)部分)
L22023/5/2453列寫擺體動(dòng)力學(xué)方程式
(轉(zhuǎn)動(dòng)部分)代入,整理可得L22023/5/2454考慮到
將代入小車方程(1),可得列寫擺體動(dòng)力學(xué)方程式
(轉(zhuǎn)動(dòng)部分)2023/5/2455二方程聯(lián)立,可得矩陣形式對應(yīng)于機(jī)器人動(dòng)力學(xué)一般形式慣性項(xiàng)向心項(xiàng)哥氏項(xiàng)重力項(xiàng)廣義力2023/5/24566.5.3
用拉格朗日方程法建立動(dòng)力學(xué)模型
應(yīng)用非保守系統(tǒng)的拉格朗日方程,則小車和擺體的動(dòng)能、勢能和耗散能分別為:
L22023/5/2457當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),于是有應(yīng)用非保守機(jī)械系統(tǒng)的拉格朗日方程公式
2023/5/2458當(dāng)時(shí),即對小車而言2023/5/2459當(dāng)時(shí),即對擺體而言2023/5/2460于是可以得到與6.4.2相同的結(jié)果。
得到單級倒立擺的動(dòng)力學(xué)方程為當(dāng)考慮在不穩(wěn)定平衡點(diǎn)附近的線性化時(shí),可令于是可得簡化動(dòng)力學(xué)方程2023/5/24616.5.4
用拉格朗日函數(shù)法建立動(dòng)力學(xué)模型
本節(jié)應(yīng)用拉格朗日函數(shù),也可以求解這一問題。
建立Lagrange函數(shù)
L=T–V
小車部分?jǐn)[體部分則2023/5/2462對于小車(r)而言(見6.2.3節(jié))右式:左式:得第一個(gè)方程2023/5/2463對于擺(θ)而言
得第二個(gè)方程寫成矩陣形式,便得到與前兩種方法基本一樣的結(jié)果。右式:左式=2023/5/2464平衡點(diǎn)附近簡化形式三種算法結(jié)果對比6.4.2
應(yīng)用牛頓方程推導(dǎo),寫成矢量形式得
6.4.3應(yīng)用非保守機(jī)械系統(tǒng)的拉格朗日方程公式
6.4.4應(yīng)用拉格朗日函數(shù)法求解2023/5/2465差異來自以下兩點(diǎn)1轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參考點(diǎn)的差異當(dāng)均勻桿繞一端轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:通常給出桿相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:所以2近似線性化過程(當(dāng)很小時(shí))2023/5/24666.6
機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的一般形式2023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/242023/5/246.7考慮非剛體效應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程需要指出的是,前面推導(dǎo)的動(dòng)力學(xué)方程不能包含全部作用于操作臂上的力,只是包含了剛體力學(xué)中的那些力,而沒有包含摩擦力。然而,摩擦力也是一種非常重要的力,所有機(jī)構(gòu)都必然受到摩擦力的影響。在目前機(jī)器人的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中,例如被普遍采用的齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中,由于摩擦力產(chǎn)生的力是相當(dāng)大的,即在典型工況下大約為操作臂驅(qū)動(dòng)力矩的25%左右。2023/5/2475
為了使動(dòng)力學(xué)方程能夠反映實(shí)際的工況,建立機(jī)器人的摩擦力模型是非常必要的。其中,最簡單的摩擦力模型就是粘性摩擦,摩擦力矩與關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)速度成正比,因此有:
式中,v是粘性摩擦系數(shù)。另一個(gè)摩擦力模型是庫侖摩擦,它是一個(gè)常數(shù),符號取決于關(guān)節(jié)速度,即:
式中,c是庫侖摩擦系數(shù)。當(dāng)=0時(shí),c值一般取為1,通常稱為靜摩擦系數(shù);當(dāng)不等于0時(shí),c值小于1,稱為動(dòng)摩擦系數(shù)。2023/5/2476
對某個(gè)操作臂來說,采用粘性摩擦模型還是庫侖摩擦模型是一個(gè)比較復(fù)雜的問題,這與潤滑情況及其它影響因素有關(guān)。比較合理的模型是二者兼顧,即:在許多操作臂關(guān)節(jié)中,摩
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