第2課時(shí)常用邏輯用語（解析版）

第2課時(shí)常用邏輯用語編寫：廖云波【回歸教材】一、充分條件、必要條件、充要條件1．定義如果命題“若，則”為真(記作)，則是的充分條件；同時(shí)是的必要條件.2．從邏輯推理關(guān)系上看（1）若且，則是的充分不必要條件；（2）若且，則是的必要不充分條件；（3）若且，則是的的充要條件(也說和等價(jià))；（4）若且，則不是的充分條件，也不是的必要條件.對充分和必要條件的理解和判斷，要搞清楚其定義的實(shí)質(zhì)：，則是的充分條件，同時(shí)是的必要條件.所謂“充分”是指只要成立，就成立；所謂“必要”是指要使得成立，必須要成立(即如果不成立，則肯定不成立).二、全稱量詞與存在量詞（1）全稱量詞與全稱量詞命題.短語“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示.含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對中的任意一個(gè)，有成立”可用符號簡記為“”，讀作“對任意屬于，有成立”.（2）存在量詞與存在量詞命題.短語“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示.含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題.存在量詞命題“存在中的一個(gè)，使成立”可用符號簡記為“”，讀作“存在中元素，使成立”（存在量詞命題也叫存在性命題）.三、含有一個(gè)量詞的命題的否定（1）全稱量詞命題的否定為，.（2）存在量詞命題的否定為.【方法技巧與總結(jié)】1．從集合與集合之間的關(guān)系上看設(shè).（1）若，則是的充分條件()，是的必要條件；若，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，即且；注：關(guān)于數(shù)集間的充分必要條件滿足：“小大”.（2）若，則是的必要條件，是的充分條件；（3）若，則與互為充要條件.【典例講練】題型一充分、必要條件的判定【例1-1】設(shè)，則“”是“”成立的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】計(jì)算絕對值不等式和一元二次不等式，得到，，從而得到答案.【詳解】，解得：，，解得：，因?yàn)?，而，所以“”是“”成立的必要不充分條件.故選：B【例1-2】設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行列出方程，求出：或1，驗(yàn)證后均符合要求，從而得到“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.【詳解】當(dāng)時(shí)，與的斜率相等，故平行，充分性成立，若“直線與直線平行”，則滿足，解得：或1，經(jīng)驗(yàn)證，：或1時(shí)，兩直線不重合，故：或1，兩直線平行，故必要性不成立.故選：A【例1-3】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為，則“”是“△ABC是等腰三角形”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】充分性：或，即或，故不一定是等腰三角形，故充分性不成立必要性：當(dāng)是等腰三角形，不妨令：，則，推不出：，故必要性不成立綜上所述：為既不充分也不必要條件，故選：D．歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】已知p：x＞1，q：x2＋x－2＞0，則p是q的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】解不等式，令，或，根據(jù)是的真子集得到答案【詳解】q：x2＋x－2＞0x＜－2或x＞1，令，或，因?yàn)槭堑恼孀蛹?，故p是q的充分不必要條件，故選：A．【練習(xí)1-2】已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則“為純虛數(shù)”是“”的（）．A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分又非必要條件【答案】B【解析】【分析】求為純虛數(shù)的等價(jià)條件，結(jié)合充要條件判斷得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以為純虛數(shù)；若為純虛數(shù)，，所以，所以或，所以“為純虛數(shù)”是“”的必要非充分條件.故選：B.【練習(xí)1-3】“”是“直線與直線相互垂直”的______條件．【答案】充分不必要【解析】【分析】根據(jù)直線垂直的等價(jià)條件結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】若，直線的斜率，直線的斜率，則兩條直線垂直，即充分性成立，當(dāng)，兩條直線方程為，和，則兩條直線垂直；當(dāng)，直線的斜率，直線的斜率，滿足兩直線垂直，故必要性不成立，所以“”是“直線與直線相互垂直”的充分不必要條件故答案為：充分不必要題型二充分、必要條件的應(yīng)用【例2-1】函數(shù)為偶函數(shù)的一個(gè)充分條件（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，由求解.【詳解】解：若函數(shù)為偶函數(shù)，所以,則，故選：A【例2-2】已知條件，，p是q的充分條件，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，，則，再對分兩種情況討論得解.【詳解】記，，因?yàn)閜是q的充分條件，所以.當(dāng)時(shí)，，即，符合題意；當(dāng)時(shí)，，由可得，所以，即.綜上所述，實(shí)數(shù)的k的取值范圍是．故答案為：．【例2-3】已知關(guān)于的方程，則該方程有兩個(gè)正根的充要條件是__________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)正根的充要條件是列出不等式組求解即可．【詳解】關(guān)于的方程，即，則該方程有兩個(gè)正根的充要條件是，且，解得：或，因此該方程有兩個(gè)正根的充要條件是：或．故答案為：或，歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】（多選題）下列條件中，為“關(guān)于的不等式對恒成立”的充分不必要條件的有（

）A．B．C．D．【答案】BC【解析】【分析】對討論：；，；，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，解不等式可得的取值范圍，再由充要條件的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式對恒成立，當(dāng)時(shí)，原不等式即為恒成立；當(dāng)時(shí)，不等式對恒成立，可得，即，解得：.當(dāng)時(shí)，的圖象開口向下，原不等式不恒成立，綜上：的取值范圍為：.所以“關(guān)于的不等式對恒成立”的充分不必要條件的有或.故選：BC.【練習(xí)2-2】已知集合，．若“”是“”的充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】求函數(shù)的值域求得集合，根據(jù)“”是“”的充分條件列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】函數(shù)的對稱軸為，開口向上，所以函數(shù)在上遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以.，由于“”是“”的充分條件，所以，，解得或，所以的取值范圍是.故答案為：題型三含有量詞命題的否定【例3-1】設(shè)命題，則為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，需要注意格式的寫法和對其結(jié)論的否定.【詳解】存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，即的否定格式為：,所以的量詞格式錯(cuò)誤，而選項(xiàng)未對結(jié)論進(jìn)行否定，其正確的寫法為，故選：.【例3-2】命題“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題判斷即可；【詳解】解：命題“，”為全稱量詞命題，其否定為“，”；故選：A歸納總結(jié)：【練習(xí)3-1】命題“，”的否定是（

）．A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】由全稱量詞命題的否定可知：“，”的否定是“，”.故選：A.【練習(xí)3-2】十七世紀(jì)，數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出猜想：“對任意正整數(shù)，關(guān)于x，y，z的方程沒有正整數(shù)解”，經(jīng)歷三百多年，1995年數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯給出了證明，使它終成費(fèi)馬大定理，則費(fèi)馬大定理的否定為（

）A．對任意正整數(shù)n，關(guān)于x，y，z的方程都沒有正整數(shù)解B．對任意正整數(shù)，關(guān)于x，y，z的方程至少存在一組正整數(shù)解C．存在正整數(shù)，關(guān)于x，y，z的方程至少存在一組正整數(shù)解D．存在正整數(shù)，關(guān)于x，y，z的方程至少存在一組正整數(shù)解【答案】D【解析】【分析】根據(jù)命題的否定形式，直接寫出命題的否定即可【詳解】命題的否定形式為，原命題的題設(shè)不變，結(jié)論改否定；故只有D滿足題意；故選：D題型四命題的真假判斷及其應(yīng)用【例4-1】若“，使成立”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】先將條件轉(zhuǎn)化為，使成立，再參變分離構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題，求導(dǎo)確定最值即可求解.【詳解】若“，使成立”是假命題，則“，使成立”是真命題，即，；令，則，則在上單增，，則.故選：C.【例4-2】命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】分析可知命題“，”為真命題，分、兩種情況討論，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于的不等式（組），綜合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可知，命題“，”為真命題.①當(dāng)時(shí)，可得.若，則有，合乎題意；若，則有，解得，不合乎題意；②若，則，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【例4-3】已知：函數(shù)在上單調(diào)，：，．(1)若為假命題，求的取值范圍；(2)若為假命題，為真命題，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）為假命題，即是真命題，再利用單調(diào)性的定義求出的范圍即可；（2）先求出是假命題、是真命題分別確定的范圍，取交集即可．(1)任取，令，則．因?yàn)闉榧倜}，所以為真命題，即在上單調(diào)．若，則，，在上單調(diào)遞增，符合題意．若，則的符號不確定，則的符號不確定，故在上不單調(diào)，不符合題意．若，則，，在上單調(diào)遞減，符合題意．綜上所述，當(dāng)為假命題時(shí)，的取值范圍為．(2)若為真命題，則或，解得或．當(dāng)為假命題時(shí)，的取值范圍為，故當(dāng)為假命題，為真命題時(shí)，的取值范圍為．歸納總結(jié)：【練習(xí)4-1】命題“存在，”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】先求存在量詞命題的否定，然后利用分離常數(shù)法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.【詳解】由于“存在，”為假命題，所以“”，為真命題，所以在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，所以.故答案為：【練習(xí)4-2】已知，.，.(1)若為真命題，求的取值范圍；(2)若，一個(gè)是真命題，一個(gè)是假命題，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)為真命題，則，解之即可；（2）分別求出，是真命題時(shí)，的范圍，再分是真命題，是假命題時(shí)和是假命題，是真命題時(shí)，兩種情況討論，即可得出答案.(1)解：由，，若為真命題，則，解得或，所以的取值范圍為；(2)解：若為真命題時(shí)，則對恒成立，所以，若，一個(gè)是真命題，一個(gè)是假命題，當(dāng)是真命題，是假命題時(shí)，則或，解得，當(dāng)是假命題，是真命題時(shí)，則，解得，綜上所述.【請完成課時(shí)作業(yè)（二）】【課時(shí)作業(yè)（二）】A組基礎(chǔ)題1．已知命題，，則（

）A．命題，為假命題B．命題，為真命題C．命題，為假命題D．命題，為真命題【答案】C【解析】【分析】全稱命題的否定為特稱命題，再判斷命題的真假即可得出答案.【詳解】有題意知，命題，，又因?yàn)榉匠痰?，所以命題為假命題.故選：C.2．命題“，”的否定為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定直接得出結(jié)果.【詳解】命題“”的否定為：“”.故選：A3．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分非必要條件；B．必要非充分條件；C．充要條件；D．既非充分也非必要條件.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義以及充分必要條件的定義判斷即可【詳解】設(shè)1，，符合，但不成立，若，則，所以“”是“”的必要非充分條件；故選：B.4．若，則p是q的（）A．充分不必要條件B．充要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】解對數(shù)不等式、一元二次不等式求、對應(yīng)的解集，根據(jù)解集的包含關(guān)系即可判斷充分、必要關(guān)系.【詳解】已知：，解得，而：，可得，∴是的必要不充分條件，故選：C.5．設(shè)為兩個(gè)平面，“內(nèi)存在一條直線垂直于”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分且必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可得答案.【詳解】內(nèi)存在一條直線垂直于，根據(jù)面面垂直的判定定理可得，若，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，則在內(nèi)存在一條直線垂直于兩個(gè)平面的交線的直線，垂直于另一個(gè)平面，所以“內(nèi)存在一條直線垂直于”是“”的必要充分條件.故選：C.6．已知?為非零向量，則“”是“為銳角”的（）條件A．充要B．必要不充分C．充分不必要D．既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義及充分條件和必要條件的定義即可求解.【詳解】解：依題意，若，，可得，不一定是銳角，若為銳角，即，可得，所以?為非零向量，則“”是“為銳角”的必要不充分條件，故選：B.7．“”是“方程表示橢圓”的（）A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義和必要不充分條件定義可得答案.【詳解】若方程表示橢圓，則，，“”是“方程表示橢圓”的必要條件；反過來，當(dāng)時(shí)，如，或，方程表示圓，“”不是方程“表示橢圓”的充分條件．綜上，“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件．故選：A．8．命題“，使得”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)特稱命題與全稱命題的關(guān)系，結(jié)合一元二次不等式恒成立問題即可求解.【詳解】因?yàn)槊}“，使得”為假命題，則命題“，使得”為真命題，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.9．設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則是為單調(diào)遞增數(shù)列的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】通過做差，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可【詳解】若,則,則為單調(diào)遞減數(shù)列所以是為單調(diào)遞增數(shù)列的不充分條件若為單調(diào)遞增數(shù)列,則,則即或,所以故是為單調(diào)遞增數(shù)列的不必要條件故是為單調(diào)遞增數(shù)列的既不充分也不必要條件故選：D10．若為非零向量，則“”是“共線”的（）A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】表示與同向的單位向量，共線可能同向共線、也可能反向共線，再由充分性、必要性的定義可求出答案.【詳解】依題意為非零向量，表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量，則表示與同向的單位向量，所以能推出共線，所以充分性成立；共線可能同向共線、也可能反向共線，所以共線得不出，所以必要性不成立.故選：B.11．設(shè)：實(shí)數(shù)滿足，．(1)若，且，都為真命題，求的取值范圍；(2)若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)．【解析】【分析】（1）解不等式確定命題，然后求出中范圍的交集可得；（2）求出不等式的解，根據(jù)充分不必要條件的定義列不等式組求解．(1)時(shí)，，，即，又，而，都為真命題，所以；(2)，，是的充分不必要條件，則且等號不能同時(shí)取得，所以．12．記全集函數(shù)的定義域?yàn)锳，集合．(1)當(dāng)時(shí)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求函數(shù)的定義域可得集合A，由列出相應(yīng)的不等式，求得答案.（2）求出，由”是“”的充分不必要條件，可得A是的真子集，可得不等式，求得答案.(1)依題意函數(shù)定義域滿足，則，由，則，當(dāng)時(shí)有，得，；(2)”是“”的充分不必要條，，且A是的真子集，，，．B組能力提升能1．若“，使得成立”是假命題，則實(shí)數(shù)可能的值是（）．A．1B．C．3D．【答案】A【解析】【分析】將命題轉(zhuǎn)化為，都有成立，即恒成立是真命題，轉(zhuǎn)化為求其最小值，利用基本不等式求得結(jié)果，從而求得實(shí)數(shù)的取值范圍，比較得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椤?，使得成立”是假命題，所以，都有成立是真命題，即，