測量學第五章誤差概念

測量學第五章誤差概念第一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日測量實踐中可以發(fā)現(xiàn)，測量結(jié)果不可避免的存在誤差，比如：1、對同一量多次觀測，其觀測值不相同。2、觀測值之和不等于理論值： 三角形α+β+γ≠180°

閉合水準∑h≠0第二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日一、測量誤差的來源等精度觀測：觀測條件相同的各次觀測。不等精度觀測：觀測條件不相同的各次觀測。1.儀器誤差2.外界條件3.觀測者觀測條件粗差：因讀錯、記錯、測錯造成的錯誤。第三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日二、測量誤差的分類在相同的觀測條件下，無論在個體和群體上，呈現(xiàn)出以下特性：誤差的絕對值為一常量，或按一定的規(guī)律變化；誤差的正負號保持不變，或按一定的規(guī)律變化；誤差的絕對值隨著單一觀測值的倍數(shù)而積累。1、系統(tǒng)誤差—在相同的觀測條件下作一系列的觀測，如果誤差在大小、正負上表現(xiàn)出一致性，或者按一定的規(guī)律變化。第四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日

例：鋼尺—尺長、溫度、傾斜改正水準儀—

i角消除和削弱的方法:

（1）校正儀器；（2）觀測值加改正數(shù)；（3）采用一定的觀測方法加以抵消或削弱。注意：系統(tǒng)誤差具有累積性，對測量成果影響較大。第五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日2、偶然誤差

在相同的觀測條件下，對某個固定量作一系列的觀測，如果觀測結(jié)果的差異在正負號及數(shù)值上，都沒有表現(xiàn)出一致的傾向，即沒有任何規(guī)律性，這類誤差稱為偶然誤差。第六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日一、偶然誤差的特性真誤差真值與觀測值之差第七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日③絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的機會相等，可相互抵消；④同一量的等精度觀測，其偶然誤差的算術(shù)平均值，隨著觀測次數(shù)的增加而趨近于零，即：

①在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值;（有界性）②絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會要多；（密集性、區(qū)間性）（抵償性）第八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日二、誤差處理的原則：1、粗差：舍棄含有粗差的觀測值，并重新進行觀測。2、系統(tǒng)誤差：按其產(chǎn)生的原因和規(guī)律加以改正、抵消和削弱。3、偶然誤差：根據(jù)誤差特性合理的處理觀測數(shù)據(jù)減少其影響。第九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日第十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日第十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日第十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日第十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日直方圖由統(tǒng)計表格的數(shù)據(jù)我們可以繪制出一個直方圖，其中橫坐標為誤差的大小，縱坐標表示各區(qū)間誤差的相對個數(shù)除以區(qū)間的間隔值。即以代表誤差區(qū)間。頻數(shù)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差頻數(shù)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差第十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日這樣，每一誤差區(qū)間上方的長方形面積，就代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的相對個數(shù)，其特點是能形象地反映出誤差的分布情況。頻數(shù)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差頻數(shù)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差第十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日頻數(shù)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差頻數(shù)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差頻數(shù)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差可見：左圖誤差分布曲線較高且陡峭，精度高右圖誤差分布曲線較低且平緩，精度低第十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日當n——>∞時，并使誤差的區(qū)間間隔無限縮小，直方圖就可以用下面的誤差分布曲線來代替。

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差三、誤差分布曲線第十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日：概率密度：標準差（方根差或均方根差）第十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日評定精度的標準中誤差容許誤差相對誤差第十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日第二十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日式中：例：試根據(jù)下表數(shù)據(jù)，分別計算各組觀測值的中誤差。第二十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日解：第一組觀測值的中誤差：第二組觀測值的中誤差：，說明第一組的精度高于第二組的精度。說明：中誤差越小，觀測精度越高第二十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日第二十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日第二十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日總結(jié)：

第一公式

第二公式

（白塞爾公式）條件：觀測值真值

x已知條件：觀測值真值

x未知，算術(shù)平均值已知其中

—觀測值改正數(shù)，第二十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日

定義由偶然誤差的特性可知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。這個限值就是容許（極限）誤差。二、容許誤差（極限誤差）

測量中通常取2倍或3倍中誤差作為偶然誤差的容許誤差；即Δ容=2m或Δ容=3m。極限誤差的作用：

區(qū)別誤差和錯誤的界限。第二十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日偶然誤差的絕對值大于中誤差9?的有14個，占總數(shù)的35%，絕對值大于兩倍中誤差18?的只有一個，占總數(shù)的2.5%，而絕對值大于三倍中誤差的沒有出現(xiàn)。中誤差、真誤差和容許誤差均是絕對誤差。第二十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日

相對誤差K是中誤差的絕對值m與相應(yīng)觀測值D之比，通常以分子為1的分式來表示，稱其為相對（中）誤差。即:三、相對誤差

一般情況

:角度、高差的誤差用m表示，量距誤差用K表示。第二十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日[例]

已知：D1=100m,m1=±0.01m，D2=200m,m2=±0.01m，求：K1,K2解：第二十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日在實際工作中，往往會遇到某些量的大小并不是直接測定的，而是由觀測值通過一定的函數(shù)關(guān)系直接計算出來的，即所求量是觀測值的函數(shù)。例如：多邊形的內(nèi)角和為各個獨立觀測角的函數(shù)。又如，從地圖上量得的距離S來計算實地距離D時，由于圖上長度比實地縮小了M倍，則D=M·S，即所求量與觀測值之間是倍乘的函數(shù)關(guān)系。第三十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日概念

誤差傳播定律：闡述觀測值的中誤差與觀測值函數(shù)中誤差的關(guān)系的定律。函數(shù)形式倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)第三十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日設(shè)非線性函數(shù)的一般式為：式中：為獨立觀測值；為獨立觀測值的中誤差。求函數(shù)的全微分，并用“Δ”替代“d”，得一、一般函數(shù)第三十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日式中：是函數(shù)F對的偏導數(shù)，當函數(shù)式與觀測值確定后，它們均為常數(shù)，因此上式是線性函數(shù)，其中誤差為：誤差傳播定律的一般形式第三十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日二、線性函數(shù)的誤差傳播定律設(shè)線性函數(shù)為：式中為獨立的直接觀測值，為常數(shù)，相應(yīng)的觀測值的中誤差為。

第三十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日

1.列出觀測值函數(shù)的表達式：2.對函數(shù)式全微分，得出函數(shù)的真誤差與觀測值真誤差之間的關(guān)系式：式中，是用觀測值代入求得的值。求觀測值函數(shù)中誤差的步驟：三、運用誤差傳播定律的步驟第三十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日

3、根據(jù)誤差傳播率計算觀測值函數(shù)中誤差：

注意：在誤差傳播定律的推導過程中，要求觀測值必須是獨立觀測值。第三十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日誤差傳播定的幾個主要公式：函數(shù)名稱函數(shù)式函數(shù)的中誤差倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)第三十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日

因為

式中，1／n為常數(shù)。由于各獨立觀測值的精度相同，設(shè)其中