概率與概率分布

概率與概率分布第一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六參數(shù)估計和假設(shè)檢驗推斷統(tǒng)計研究如何依據(jù)樣本資料對總體性質(zhì)作出推斷，這是以概率論為基礎(chǔ)的。隨機原則總體樣本總體參數(shù)統(tǒng)計量推斷估計參數(shù)估計檢驗假設(shè)檢驗抽樣分布2023/6/1第二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六第一節(jié)基礎(chǔ)概率

概率論起源于17世紀(jì)，當(dāng)時在人口統(tǒng)計、人壽保險等工作中，要整理和研究大量的隨機數(shù)據(jù)資料，這就需要一種專門研究大量隨機現(xiàn)象的規(guī)律性的數(shù)學(xué)。參賭者就想：如果同時擲兩顆骰子

，則點數(shù)之和為9和點數(shù)之和為10，哪種情況出現(xiàn)的可能性較大？例如17世紀(jì)中葉，貴族德·梅爾發(fā)現(xiàn)：將一枚骰子連擲四次，出現(xiàn)一個6點的機會比較多，而同時將兩枚擲24次，出現(xiàn)一次雙6的機會卻很少。

2023/6/1第三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六

概率論的創(chuàng)始人是法國的帕斯卡(1623—1662)和費爾馬(1601—1665)，他們在以通信的方式討論賭博的機率問題時，發(fā)表了《骰子賭博理論》一書。棣莫弗(1667—1754)發(fā)現(xiàn)了正態(tài)方程式。同一時期瑞士的伯努利(1654一1705)提出了二項分布理論。1814年，法國的拉普拉斯(1749—1827)發(fā)表了《概率分析論》，該書奠定了古典概率理論的基礎(chǔ)，并將概率理論應(yīng)用于自然和社會的研究。此后，法國的泊松(1781—1840)提出了泊松分布，德國的高斯(1777—1855)提出了最小平方法。

2023/6/1第四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六隨機現(xiàn)象和隨機事件隨機現(xiàn)象具有一定條件呈現(xiàn)多種可能結(jié)果的特性。人們把隨機現(xiàn)象的結(jié)果以及這些結(jié)果的集合體稱作隨機事件。

概率是與隨機現(xiàn)象相聯(lián)系的一個概念。所謂隨機現(xiàn)象，是指事先不能精確預(yù)言其結(jié)果的現(xiàn)象，如即將出生的嬰兒是男還是女？一枚硬幣落地后其正面是朝上還是朝下?等等。所有這些現(xiàn)象都有一個共同的特點，那就是在給定的條件下，觀察所得的結(jié)果不止一個。隨機現(xiàn)象具有非確定性，但內(nèi)中也有一定的規(guī)律性。例如，事先我們雖不能準(zhǔn)確預(yù)言一個嬰兒出生后的性別，但大量觀察，我們會發(fā)現(xiàn)婦女生男生女的可能性幾乎一樣大，都是0.5，這就是概率。

2023/6/1第五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六

在統(tǒng)計學(xué)中，我們把類似擲一枚硬幣的行為（或?qū)δ骋浑S機現(xiàn)象進(jìn)行觀察）稱之為隨機試驗。隨機試驗必須符合以下三個條件：①它可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；②試驗的所有結(jié)果事先已知；③每次試驗只出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但不能預(yù)先斷定出現(xiàn)哪個結(jié)果。1.樣本點2.樣本空間

[例]擲一顆骰子，試列出它的基本事件和樣本空間。隨機試驗的每一個可能的結(jié)果，稱為基本事件（或稱樣本點）所有樣本點的全體稱作樣本空間(Samplespace)，記作Ω2023/6/1第六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六

簡單事件：僅含樣本空間中一個樣本點的事件。復(fù)合事件：含樣本空間中一個樣本點以上的的事件。必然事件：從樣本空間來看，該事件事件是由其全部基本事件所組成，記作S。隨機事件不可能事件：從樣本空間來看，不含任何基本事件，記作Φ。極端的隨機事件2023/6/1第七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六

[例]對擲一顆骰子的試驗，我們研究如下事件：①A為“點數(shù)是3”；②B為“出現(xiàn)奇數(shù)點”；③C為“出現(xiàn)點數(shù)不超過6”；④D為“點數(shù)是7”。

[解]因為Ω＝{1，2，3，4，5，6}，所以①A＝{3}，為簡單事件；②B＝{1，3，5}，為復(fù)合事件；③C＝{1，2，3，4，5，6}，為必然事件；④D＝{7}，為不可能事件。2023/6/1第八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六2.事件之間的關(guān)系（1）事件和（Orconjunction)——事件A與事件B至少有一個事件發(fā)生所構(gòu)成的事件C稱為A與B的事件和，記作（2）事件積(As-well-asconjunction)——事件A與事件B同時發(fā)生所構(gòu)成的事件C稱為A與B的事件積，記作2023/6/1第九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六（3）事件的包含與相等——事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱為B包含A記作

如果則（4）互斥事件——事件A和事件B不能同時發(fā)生，則稱B和A是互斥事件，或互不相容事件，記作2023/6/1第十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六（5）對立事件——事件A與事件B是互斥事件，且在一次試驗中必有其一發(fā)生，稱A與B為對立事件（逆事件），記作（6）相互獨立事件——事件A的發(fā)生與事件B是否發(fā)生毫無關(guān)系，稱A與B為相互獨立事件，記作

2023/6/1第十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六兩之

隨間

機的

事關(guān)

件系2023/6/1第十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六3.先驗概率在統(tǒng)計學(xué)中，有兩種常見的確定概率的方法：古典法和頻率法。

由普拉斯1814年提出。以想象總體為對象，利用模型本身所具有的對稱性來事先求得概率，故被稱為先驗概率。條件：（1）在一樣本空間中，各樣本點出現(xiàn)的機會均等；（2）該樣本空間只有有限（n)個樣本點。用古典法求出的概率2023/6/1第十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六

[例]擲兩枚均勻的硬幣，①求“兩枚都朝上”的概率；②求“一枚朝上，一枚朝下”的概率。

這樣對于含有m個樣本點的事件A，其出現(xiàn)的概率為

用古典法求算概率，在應(yīng)用上有兩個缺點：①它只適用于有限樣本點的情況；②它假設(shè)機會均等，但這些條件實際上往往不能得到滿足。

2023/6/1第十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六4.經(jīng)驗概率

求算概率的另一途徑是運用頻率法。設(shè)想有一個與某試驗相聯(lián)系的事件A，把這個試驗一次又一次地做下去，每次都記錄事件A是否發(fā)生了。假如做了n次試驗，而記錄到事件A發(fā)生了m次（即成功m次），則頻數(shù)與試驗次數(shù)的比值，稱作次試驗中事件A發(fā)生的頻率

顯然，頻率具有雙重性質(zhì)：隨機性和規(guī)律性.

當(dāng)試驗或觀察次數(shù)趨近于無窮時相應(yīng)頻率趨于穩(wěn)定，這個極限值就是用頻率法所定義的概率，即

頻率穩(wěn)定到概率這個事實，給了“機會大小”即概率一個淺顯而說得通的解釋，這在統(tǒng)計學(xué)上具有很重要的意義。堅持這種觀點的統(tǒng)計學(xué)派也就被稱為頻率學(xué)派。

2023/6/1第十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六比如：法國統(tǒng)計學(xué)家蒲豐（Buffon）把銅板拋了4040次，正面的次數(shù)是2048，比例是0.5069。1900年，英國統(tǒng)計學(xué)家皮爾遜把硬幣拋了24000次，正面的次數(shù)是12012，比例是0.5005南非數(shù)學(xué)家柯屈瑞在監(jiān)獄時，把硬幣拋了10000次，正面的次數(shù)是5067，比例是0.5067。再如：保險公司會利用概率進(jìn)行人壽保險經(jīng)營，比如研究表明20－24歲的男性中明年死亡的概率是0.0015，同齡的女性是0.0005，保險公司對男性的保費就多收一些。2023/6/1第十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六2.加法規(guī)則

如果事件A和事件B互斥，那么

如果A和B是任何事件(不一定互斥)，加法規(guī)則更普通地表示為如下形式

第二節(jié)概率的數(shù)學(xué)性質(zhì)1.非負(fù)性特別對必然事件和不可能事件有2023/6/1第十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六

[例]從一副普通撲克牌中抽一張牌，求抽到一張紅桃或者方塊的概率。

[例]在一副52張撲克牌中，求單獨抽取一次抽到一張紅桃或愛司的概率。2023/6/1第十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六加法規(guī)則可推廣到對兩個以上的事件，若事件A，B，C…K都互斥，那么有

P(A或B或C…或K)＝P(A)+P(B)+P(C)…+P(K)

[例]根據(jù)上海市職業(yè)代際流動的統(tǒng)計，向下流動的概率是0.07，靜止不動的概率是0.6，求向上流動的概率是多少？

[例]為了研究父代文化程度對子代文化程度的影響，某大學(xué)統(tǒng)計出學(xué)生中父親具有大學(xué)文化程度的占30％，母親具有大學(xué)文化程度的占20％，而雙方都具有文化程度的占有10％，問從學(xué)生中任抽一名，父代至少有一名具有大學(xué)文化程度的概率是多少？2023/6/1第十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六3.乘法規(guī)則

式中符號和代表條件概率。應(yīng)理解為，“在B已經(jīng)發(fā)生條件下A發(fā)生的概率”。條件概率的意思是，A發(fā)生的概率可能與B是否發(fā)生有關(guān)系。換言之，B已經(jīng)發(fā)生時A發(fā)生的概率可能有別于B沒有發(fā)生時A發(fā)生的概率。

理解統(tǒng)計獨立的概念，對于靈活運用概率的乘法規(guī)則很重要?，F(xiàn)在用條件概率來加以表達(dá)，統(tǒng)計獨立是指若A和B在統(tǒng)計上相互獨立(無關(guān))，這時乘法規(guī)則可以簡化為2023/6/1第二十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六

[例]假定有下列3000個社區(qū)的數(shù)據(jù)，如果隨機地從這個總體中抽取一個社區(qū)，得到一個中等的而且犯罪率低的社區(qū)的概率是多少?

[例]假定數(shù)據(jù)變動如下，隨機地從這個總體中抽取一個社區(qū)，得到一個中等的而且犯罪率低的社區(qū)的概率又是多少?屬性大中小總和高犯罪率6003001001000低犯罪率6009005002000總和120012006003000屬性大中小總和高犯罪率1003006001000低犯罪率5009006002000總和6001200120030002023/6/1第二十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六

[例]根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，男嬰出生的概率是22/43，女嬰出生的概率是21/43，某單位有兩名孕婦，問兩名孕婦都生男嬰的概率是多少？都生女嬰的概率是多少？其中一男一女的概率是多少？

[例]某居民樓共20戶，其中核心家庭為2戶，問訪問兩戶都是核心家庭的概率是多少？問訪問第二戶才是核心家庭的概率是多少？2023/6/1第二十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六

[例]為了研究父代文化程度對子代文化程度的影響，某大學(xué)統(tǒng)計出學(xué)生中父親具有大學(xué)文化程度的占30％，母親具有大學(xué)文化程度的占20％，而雙方都具有文化程度的占有10％，問從學(xué)生中任抽一名，父代至少有一名具有大學(xué)文化程度的概率是多少？2023/6/1第二十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六在抽樣方法中還經(jīng)常涉及到回置抽樣和不回置抽樣。如前所

述，所謂回置抽樣，就是抽取的單位登記后又被放回總體中去，然

后再進(jìn)行下一次抽取。使用回置抽樣法，先后兩次抽取是彼此獨立

的。因為每一次抽取后抽取到的單位都得返還，總體保持不變，前

一次的結(jié)果不可能影響到后一次。所謂不回置抽樣，就是不再把抽

取到的單位退還總體。這樣先后兩次抽取就不再獨立了，必須使用

條件概率的概念。用不回置法從一幅普通撲克牌抽取兩次，計算得到兩張愛司的概率。用回置法從一幅普通撲克牌抽取兩次，計算得到兩張愛司的概率。2023/6/1第二十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六4.排列和樣本點的計數(shù)

要正確解決概率問題，往往光考慮乘法規(guī)則還不夠，還要同時

考慮使用加法規(guī)則。一般最簡單的做法是：首先確定一種符合要求

的排列方式并計算它們發(fā)生的概率，然后再考慮還有沒有其他同樣

符合要求的排列方式。如果存在著其他實現(xiàn)方式，并且都具有相同

的概率，就可以簡單地把排列方式數(shù)與以某一給定的排列方式計算

的概率相乘。注意，后一步相當(dāng)于使用了加法規(guī)則。所有N個元素都不相同的情況下，排列方式數(shù)為N個元素中，若其中第一組中有r1個不能區(qū)分的元素，第2組中有r2個不能區(qū)分的元素，…，第k組中有rk個不能區(qū)分的元素，且各組彼此是可以區(qū)分的，則總的排列數(shù)為2023/6/1第二十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六

[例]從一幅洗得很好的撲克牌中做了3次抽取，假定使用回置法，求至少得到1張A和一張K的概率是多少?[解]按照題意，要在不同樣本空間中考慮三種復(fù)合事件：抽到1張A和1張K，另l張非A非K，用符號(AKO)表示(其中“O”表示其他)；抽到1張A和2張K，用符號(4KK)表示；抽到2張A和1張K，用符號（AAK)表示。因為在不同樣本空間中基本事件實現(xiàn)的概率不同，必須對它們加以區(qū)別。

次序為AKO的樣本點實現(xiàn)的概率是次序為AKK的樣本點實現(xiàn)的概率是次序為AAK的樣本點實現(xiàn)的概率是

再考慮每個復(fù)合事件各含有多少種可能的排列方式

(AKK)含有3?。?!＝3種排列方式

(AAK)含有3?。?!＝3種排列方式（AKO)含有3！＝6種排列方式所以，在三次抽取中，至少得到1張A和1張K的概率是2023/6/1第二十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六

[例]假如對1000個大學(xué)生進(jìn)行歌曲欣賞調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其中有500個學(xué)生喜歡民族歌曲，400個學(xué)生喜歡流行歌曲，而這些學(xué)生中有100人屬于既喜歡民族歌曲又喜歡流行歌曲的，剩下來的學(xué)生兩種歌曲都不喜歡。如果我們隨機地從該總體中抽取一個學(xué)生，并設(shè)事件A為該學(xué)生喜歡民族歌曲，事件B為該學(xué)生喜歡流行歌曲。①用數(shù)字證明P(A且B)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)②得到一個喜歡兩種風(fēng)格歌曲之一的學(xué)生的概率是多少？③隨機地選取一個由3個學(xué)生組成的樣本，要求這三個學(xué)生全都有相同的欣賞方式，得到這種樣本的概率是多少？2023/6/1第二十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六5.運用概率方法進(jìn)行統(tǒng)計推斷的前提隨機抽樣樣本容量相對于總體來說，是較小的總體中個體的組合具有被同等抽中的概率注意獨立性問題2023/6/1第二十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六簡單隨機抽樣要求每一個個體擁有相同的被選入樣本的機會。嚴(yán)格來講，由于我們實際上總是做不回置抽樣，因此獨立性的假定，是難以完全滿足的。只有在樣本非常大，可以忽略。一個隨機樣本具有以下的性質(zhì)：不僅要給每一個個體以相等的被抽中的機會，而且要給每一種個體的組合以相等的被抽中的機會。在要概括社區(qū)或其他空間上限定區(qū)域的單位的情況時，也必須注意到缺乏獨立性的問題。2023/6/1第二十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六

第三節(jié)概率分布、期望值與變異數(shù)隨機事件及其概率回答的是隨機現(xiàn)象某一局部結(jié)果，例如對給定的復(fù)合事件求先驗概率。而概率分布則要在滿足完備性(窮舉)和互不相容性(互斥)的前提下，回答隨機現(xiàn)象一共會出現(xiàn)多少種結(jié)果，以及每種結(jié)果所伴隨的概率是多少。

應(yīng)該指出，在統(tǒng)計中，概率分布是就隨機現(xiàn)象呈現(xiàn)的宏觀結(jié)果而言的。所謂宏觀結(jié)果，是指可以在宏觀層次加以識別的而與特定排列次序無關(guān)的樣本空間的子集。2023/6/1第三十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六X23456789101112合計P(X)

例如擲兩顆骰子的試驗，點數(shù)就是隨機現(xiàn)象，它一共有11種宏觀結(jié)果。我們用古典法對每種宏觀結(jié)果計算P，便得到了如下表所示的概率分布。

頻率分布與概率分布的區(qū)別經(jīng)驗分布：頻率分布是經(jīng)資料整理而來;頻率分布隨樣本不同而不同;頻率分布有對應(yīng)的頻數(shù)分布。理論分布：概率分布是先驗的；概率分布是唯一的；概率分布無頻率分布所對應(yīng)的頻數(shù)分布。2023/6/1第三十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六1.離散型隨機變量的概率分布

離散型隨機變量的取值是可數(shù)的，如果對X的每個可能取值xi計算其實現(xiàn)的概率Pi，我們便得到了離散型隨機變量的概率分布，即離散型隨機變量的概率分布也可以用表格和圖形兩種形式來表示。由于離散型隨機變量的特點，表示離散型隨機變量概率分布多為折線圖。2023/6/1第三十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六2.連續(xù)型隨機變量的概率分布

連續(xù)型隨機變量的取值充滿某一區(qū)間，因而取某一數(shù)值討論其概率是無意義的。為此，我們引進(jìn)概率密度的概念來表達(dá)連續(xù)型隨機變量的概率分布。

本書第三章第三節(jié)曾出現(xiàn)過頻率密度的概念，頻率密度等于頻率除以組距。以頻率密度為縱坐標(biāo)，可以作出頻率分布直方圖。類似地，以概率密度為縱坐標(biāo)，可以作出概率密度曲線。所不同的是，概率密度由于對組距求了Δx→0的極限，其圖形乃平滑曲線。2023/6/1第三十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六

這樣一來，隨機變量X取值在區(qū)間{x1，x2}上的概率等于概率密度曲線下面x1與x2兩點之間面積，即

所以有概率密度的性質(zhì)因為概率不可能是負(fù)的，且

2023/6/1第三十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六3.分布函數(shù)

為了從數(shù)學(xué)上能夠統(tǒng)一對隨機變量的概率進(jìn)行研究引入分布函數(shù)的概念，它被定義為

有了分布函數(shù)，就可以很容易得到隨機變量X取值在任意區(qū)間{x1，x2}上的概率，即

連續(xù)型隨機變量離散型隨機變量

2023/6/1第三十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六和

(離散變量)或(連續(xù)變量)的關(guān)系，就像向上累計頻率和頻率的關(guān)系一樣。不同之處在于，累計的是概率。但使用分布函數(shù)的好處是很明顯的，它不僅在數(shù)學(xué)上統(tǒng)一了對離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量概率的研究，而且由于它計算概率的起點都固定為―∞，因而可以把概率值換算成表，以易于求得任何區(qū)間的概率，從而達(dá)到計算快捷和應(yīng)用廣泛之目的。

[例]求兩顆骰子點數(shù)的分布函數(shù)。

X23456789101112合計P(X)F(X)——2023/6/1第三十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六4.數(shù)學(xué)期望

在前面統(tǒng)計分組的討論中，我們在得到頻數(shù)(或頻率)分布后，為了對變量有系統(tǒng)概括的認(rèn)識，分別研究了集中趨勢和離中趨勢。而對集中趨勢和離中趨勢量度，我們分別得到了平均指標(biāo)和變異指標(biāo)，其中最有代表性的是算術(shù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。很顯然，現(xiàn)在當(dāng)我們面對隨機變量的理論分布時，也要對隨機變量的集中趨勢和離中趨勢作概括性的描述，這就引出數(shù)學(xué)期望和變異數(shù)這兩個概念。所謂數(shù)學(xué)期望，是反映隨機變量X取值的集中趨勢的理論均值(算術(shù)平均)，記作E(X)。離散型隨機變量

連續(xù)型隨機變量2023/6/1第三十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六例誰的技術(shù)比較好?乙射手甲射手解故甲射手的技術(shù)比較好2023/6/1第三十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六

[例]一家保險公司在投保的50萬元人壽保險的保單中，估計每1000保單每年有15個理賠，若每一保單每年的營運成本及利潤的期望值為200元，試求每一保單的保費。

[解]依題意知，利潤的期望值

E(X)＝200(元)

設(shè)x1表示保費，x2為理賠費[x2＝-(500000-x1)]，則可得

所以，x1＝7700(元)。即每一保單每年的保費應(yīng)定在7700元。2023/6/1第三十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六

數(shù)學(xué)期望也常常記為μ，在推論統(tǒng)計中同總體均值的記號，而則在推論統(tǒng)計中被作為樣本均值的記號。數(shù)學(xué)期望和總體均值一樣，都是唯一的，不過它是一個先驗的理論值。由于它是用隨機變量各取值分別乘以取值的概率來計算的，因此數(shù)學(xué)期望又可稱為隨機變量的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。樣本均值依據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算而來，但它具有隨機性。在統(tǒng)計推論中，E(X)，是“估計”。

(2)常數(shù)c與隨機變量X之積的期望等于X的期望與c的積，即E(cX)＝cE(X)(3)兩個隨機變量之和的期望等于它們的期望之和，即E(X+Y)＝E(X)+E(Y)(4)兩個獨立隨機變量乘積的期望等于它們的期望之積，即E(XY)＝E(X)·E(Y)(1)常數(shù)c的期望等于該常數(shù)，即E(c)＝c數(shù)學(xué)期望的幾個基本性質(zhì)：和都是為μ服務(wù)的，E(X)是“期望”2023/6/1第四十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六5.變異數(shù)

數(shù)學(xué)期望反映了隨機變量的集中趨勢，但僅知道集中趨勢還不夠，還應(yīng)該知道隨機變量在均值周圍的離散程度，即離中趨勢。變異數(shù)是綜合反映隨機變量取值分散程度的指標(biāo)，其功能相當(dāng)于描述統(tǒng)計中已討論過的方差及標(biāo)準(zhǔn)差，記用D(X)。

離散型隨機變量

連續(xù)型隨機變量由于變異數(shù)的單位是隨機變量單位的平方。為了使隨機變量變異指標(biāo)的單位與其本身的單位相同，將D(X)開方(取正值)稱作隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差σ；同時為了更明確的表示D(X)與標(biāo)準(zhǔn)差之間只是開方關(guān)