2017-2021北京重點(diǎn)校高一（上）期中數(shù)學(xué)匯編：指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)

2017-2021北京重點(diǎn)校高一（上）期中數(shù)學(xué)匯編

指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)

一、單選題

32

1.（2021?北京八中高一期中）設(shè)q=i/=（￡|[c=（￡|5,則“，b,c的大小關(guān)系是（）

A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a

2.（2021?北京市十一學(xué)校高一期中）已知函數(shù)丫=優(yōu)、y=h\y=c\y=小的大致圖象如下圖所示，則下列不

等式一定成立的是（）

3.(2021?北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中)若〃=20-5,。=2叫c=06,則〃、匕、c的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.c<b<a

C.a<c<bD.c<a<b

4.(2020?人大附中高一期中)若指數(shù)函數(shù)/0)=優(yōu)的圖像與射線3x-y+5=0（X...-1）相交，貝I」（）

A.G|0,—B.〃￡二」)

I2」L2)

C.a&J,l)u(l,+co)D.u(l,+oo)

5.(2019?北京?匯文中學(xué)高一期中)已知函數(shù)/(X)=G+6的圖象如圖所示，則函數(shù)g（x）="+方的圖象可能是

()

[Z

節(jié)

------1-4--1-----1—

,一“[-------1]-

212

6.（2019?北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）若〃=（1,力=（|。c=（|「則（

）

A.c<a<bB.c<b<aC.a<c<bD.b<a<c

7.（2018.北京師大附中高一期中）若則（）

A.au<a"<baB.aa<ba<abC.ah<aa<baD.ab<ba<aa

2

8.（2018?北京?北師大實驗中學(xué)高一期中）已知函數(shù)=則函數(shù)詞（x+1）的圖象大致是（）

9.（2018?北京市H—學(xué)校高一期中）設(shè)"=%2,%=，”（J，則（）?

A.a<b<cB.a<c<bC.h<c<aD.b<a<c

03

10.（2017?北京八中高一期中）設(shè)a=0.32,b=log20.3,c=2,則。、b、。的大小關(guān)系是（）.

A.c<h<aB.b<c<aC.a<h<cD.h<a<c

11.（2017?北京八中高一期中）函數(shù)/*）的圖象向右平移一個單位，所得圖象與＞=2、的圖象關(guān)于V軸對稱，則

/（x）=.

A.2t+,B.C.D.2-x+1

二、雙空題

x+a,-2<x<0

12.（2019?北京市第十一中學(xué)高一期中）設(shè)函數(shù)/（x）='0,0"<l則

①福）

②若/（X）有最小值，且無最大值，則實數(shù)。的取值范圍是

三、填空題

13.（2021?北京市十一學(xué)校高一期中）下列函數(shù)中，值域為R且為奇函數(shù)的有.

①②y=l③)=》」④y=2*⑤y=x|x|

x

14.(2019?北京?匯文中學(xué)高一期中)函數(shù)/(x)=，2'-2的定義域為.

15.(2018?北京市H^一學(xué)校高一期中)函數(shù)產(chǎn)立二？的定義域是.

四、解答題

16.(2021?北京市H^一學(xué)校高一期中)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)=(a+l)2*+(a-l)2T.

⑴求。的值：

(2)用單調(diào)性的定義證明/&)的單調(diào)性；

⑶若對于VfeR,不等式〃產(chǎn)=2f)+f(2產(chǎn)一女)>0恒成立,求％的取值范圍.

17.(2019?北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中)已知〃刈=。2-，(“>0且awl)在區(qū)間口,2］上的最大值與最小值之和為

a2-1,g(x)-x2-abx-a+b,其中beR.

(1)直接寫出/(力的解析式和單調(diào)性；

(2)若g(x)N-l-反對也<1恒成立，求實數(shù)b的取值范圍：

(3)設(shè)。={x|04x42},若叫e。，使得對都有了(占)々伍)，求實數(shù)b的取值范圍.

18.(2018?北京?首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中)定義在［-4,4］上的奇函數(shù)/('),已知當(dāng)xe［-4,0］時，

?、1a

/(無)二”+于

43

⑴求/(x)在。4］上的解析式；

⑵若玉日-2,-1］使不等式/⑴嘮-表成立，求實數(shù)〃?的取值范圍.

19.(2018?北京師大附中高一期中)已知函數(shù)/(X)=2*T.

(1)求函數(shù)/(*)的定義域；

(2)判斷函數(shù)/(x)的奇偶性，并證明；

(3)解不等式/(x)*4.

20.(2018?北京市十一學(xué)校高一期中)求下列各式的值.

21og53

(1)31og32-log3y+log35-5.

I

(2)(0.25產(chǎn)+(1)3-625°-25-

(3)設(shè)21=3V=5：=30,求，+，+，的值.

xyz

參考答案

1.D

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小即可.

【詳解】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)可知，函數(shù)=在R上為單調(diào)增函數(shù)

”即同>八。)

由題知，a=l=/(0),6=/(1),c=/(|)

：.b>c>a,選項D正確.

故選：D.

2.B

【解析】

如圖，作出直線x=l,得到即得解.

【詳解】

如圖，作出直線x=1,得至！Jc>d>l>a>6,

所以b+d<a+c.

故選：B

3.D

【解析】

利用指數(shù)函數(shù)比較。、從1三個數(shù)的大小關(guān)系，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較。與1的大小關(guān)系，由此可得出。、b,

c的大小關(guān)系.

【詳解】

-.-20<>>2(,-5>2°-1，即b>a>l,又,.?C=0.62<0,6°=1,因此，c<a<b.

故選：D.

4.D

【解析】

分和兩種情況結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象，射線的端點(diǎn)進(jìn)行分析求解即可

【詳解】

當(dāng)x=-1時，代入射線得y=2,

若指數(shù)函數(shù)〃x)="的圖象過第一、二象限，且單調(diào)遞減，要使指數(shù)函數(shù)的圖象與射線有交點(diǎn)，則當(dāng)

x=-l時，y=a'>2,所以0<aV；,

若。>1,則可知兩圖象在第一象限一定有交點(diǎn)，

綜上，或a>l,

故選:D

5.B

【解析】

由函數(shù)f(x)=ar+b的圖象可得a>l,b<-\,從而可得g(x)=優(yōu)+。的大致圖象.

【詳解】

由f(x)=ar+。的圖象可得f(O)=b<-l,f(1)=a+b>0,

所以。>1,b<—lt

故函數(shù)g(x)=a'+匕為增函數(shù)，相對了=優(yōu)向下平移大于1個單位

故選：B

6.C

【解析】

利用指數(shù)函數(shù))=(|］的單調(diào)性可得出6、。的大小關(guān)系，利用基函數(shù)>在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)性可得出a、

的大小關(guān)系，從而可得出。、h.c的大小關(guān)系.

【詳解】

22

指數(shù)函數(shù)y=(|)為減函數(shù)，所以，圖%(等,即b>c,

22

幕函數(shù)),=)在區(qū)間(°，+8)上為增函數(shù)，所以，即"<屐

因止匕，a<c<h.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查指數(shù)幕大小的比較，考查了指數(shù)函數(shù)與辱函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.

7.C

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)=的單調(diào)性得4。的大小關(guān)系和取值范圍，構(gòu)造函數(shù)g(x)=a,,/z(x)=x〃即可進(jìn)行比較.

【詳解】

指數(shù)函數(shù)/(X)=(g)單調(diào)遞減，

I<、j<出“<1,即/(1)<2)</⑷</⑼，

所以O(shè)vacbcl,

h

所以指數(shù)函數(shù)g(x)=優(yōu)是減函數(shù),g[b}<g[a),a<a">

考慮暮函數(shù)/i(x)=￡在xw(O,田)單調(diào)遞增,h(a)<h(b),即/<父，

綜上所述：ah<a1'<h".

故選：C

【點(diǎn)睛】

此題考查比較指數(shù)基的大小關(guān)系，關(guān)鍵在于構(gòu)造恰當(dāng)?shù)闹笖?shù)函數(shù)或塞函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性比較大小.

8.B

【解析】

根據(jù)題意，先求『(X+1)的表達(dá)式，可得f(x+l)=(|)⑹=|.(|)工，進(jìn)而分析可得f(x)單調(diào)遞減，且其圖象與y

軸交點(diǎn)在(0,1)之下，比較選項可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，可得/(X+1)=($,”=|?(|)*，/(X)單調(diào)遞減；

22

同時有〃0)=5<1,-<1,即函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)在(0,1)之下；

A、力選項的圖象為增函數(shù)，不符合；C選項的圖象與y軸交點(diǎn)在(0,1)之上，不符合；

只有B的圖象符合兩點(diǎn)，

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖象的變化，掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.B

【解析】

分析：分別根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷大小.

詳解：由對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知："=1°8[2<1。8「=0,/,=(：)=1,0<c=(；J<(￡]=1，

a<c<b.

故選B.

點(diǎn)睛：比較兩個函數(shù)值或兩個自變量的大小時，常利用函數(shù)單調(diào)性，有時還需借助第三個數(shù)如0,1,進(jìn)行比較大

小.

10.D

【解析】

03

,.?4=0.32￡(0,1)；Z?=log20.3e(-co,0),c=2e(l,+oo),

?:b<a<c,

，選擇D.

11.C

【解析】

函數(shù)y=2*關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為丫=I

將y=2-，向左平移1個單位對應(yīng)的解析式為：y=2一(，⑴，

A/(x)=2'x-',選擇C.

【解析】

①將x=；代入對應(yīng)解析式即可得到結(jié)果；

②分別求得“X)在-2<x<0和04x<l時的值域，由/(x)有最小值，無最大值可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.

【詳解】

②當(dāng)—24x<0時，f(x)=x+ae[a-2,a)；當(dāng)04x<l時，/(x)=(g)ef-,1

”(x)有最小值，無最大值，，一？力解得：入小

即實數(shù)”的取值范圍為］，|.

故答案為：交；.

2I2」

13.②③⑤

【解析】

根據(jù)奇偶函數(shù)的定義及常見函數(shù)的性質(zhì)即得.

【詳解】

對于①，y=lx|為偶函數(shù)，故①錯誤；

對于②，y=V為奇函數(shù)且值域為R,故②正確；

對于③，y=x-2為奇函數(shù)且值域為R,故③正確;

對于④，)，=2?'為非奇非偶函數(shù)，故④錯誤;

對于⑤，y=x|x|=『X>一()八為奇函數(shù)且值域為R,故⑤正確.

[-%-,%<0

故答案為：②③⑤.

14.(1,-H?)

【解析】

試題分析：要使原式有意義需滿足2,-220,即2,22nx21

故函數(shù)/(幻的定義域為U,”)

考點(diǎn)：函數(shù)的定義域.

15.[0,+00)

【解析】

根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)大于等于零，得到不等式，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可得函數(shù)的定義域.

【詳解】

解：由題意可得2,-1..0,

解不等式可得x.O

所以函數(shù)的定義域是[0,M),

故答案為：曲內(nèi))

【點(diǎn)睛】

本題考查了求函數(shù)的定義域的最基本的類型：偶次根式型：被開方數(shù)大于(等于)0,還考查了指數(shù)不等式的解

法.屬于基礎(chǔ)題.

16.⑴。=0

(2)單調(diào)遞增，證明見解析.

⑶c

【解析】

(1)由奇函數(shù)/(。)=0列方程，可求出〃；

(2)先判斷/")在H上單減，利用單調(diào)性的定義可證明；

(3)利用f(x)=2*q為奇函數(shù)及在R上單增，將不等式轉(zhuǎn)化為『_2/>-2產(chǎn)+&對任意WeR恒成立，利用分離參

數(shù)法求出k的范圍.

(1)

解：；f(x)=(a+l)2v+(a-l)2-(為定義域為R的奇函數(shù)，

，/(0)=(a+1)2°+(a-1)2"=2。=0,所以。=0.經(jīng)檢驗成立

(2)

解：由(1)知：fM=2x--,則/(x)在R上單增，下面進(jìn)行證明：

任取西,々€氏，且不<芻,

Vy=2*為增函數(shù)，X,<x2,2*2>2*,2*>0,2->0,

二(2"-2-)卜表)<0,“⑷</(&),

二/(工)在R上單增.

(3)

解：???/。)=2，-5為奇函數(shù)，

???對任意VtwR,不等式f(t2-2t)+/(2產(chǎn)-%)>0恒成立可化為：

/(r-2f)"(-2/+Q對任意VrwR恒成立，

又f(x)在R上單增，不等式等價于尸一2，>-2r對任意VfwR恒成立,即4<3產(chǎn)-2/恒成立.

記g?)=3/一2r,rteR,只需％<g(，)min

g(。=3/-2z=3(r—g,所以&<一§,

所以k的取值范圍是18,-g).

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：(1)函數(shù)奇偶性的應(yīng)用：①一般用/")=-/。)或/(x)=f(-x)；②有時為了計算簡便，我們可以對x取

特殊值：/(D=-/(D或/(D=/(-I);

(2)證明函數(shù)的單調(diào)性一般用：①定義法；②導(dǎo)數(shù)法；

(3)分離參數(shù)法是解決恒(能)成立問題的常用方法.

17.(1)/(X)=22-\減函數(shù);(2)［2,同；(3)-1,6.

【解析】

(1)分0<a<l和〃>1兩種情況討論函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)性，得出/(1)+〃2)=〃-1,可解出實數(shù)a的

值，并判斷出函數(shù)y=〃x)的單調(diào)性；

(2)由g(x)2-1-桁，可得出Y-加+〃_120對任意的實數(shù)X<1恒成立，由參變量分離法得出bNx+1,求出

x+1的取值范圍，即可得出實數(shù)匕的取值范圍；

(3)由題意可得了⑴皿之8(項2求出函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［0,2］上的最大值，然后分b與1的大小關(guān)系，求出函

數(shù)y=g(x)在區(qū)間［0,2］上最大值g(x)a,然后解出不等式y(tǒng)(x)11Hx2g(x)a即可得出實數(shù)/,的取值范圍.

【詳解】

(1)當(dāng)0<”1時，函數(shù)=在區(qū)間［1,2］上為增函數(shù)；

當(dāng)“>1時，函數(shù)=在區(qū)間［1,2］上為減函數(shù).

由題意可得，(1)+，(2)=。+1=。2-1,即42-0-2=0,

?”>0且解得a=2,.?"(力=22、則函數(shù)y=f(x)為減函數(shù)；

(2)由(1)可得g(x)=x~—2Zzr—2+。，由g(x)N—1—6x,HPx2—2hx—2+h>—l—hxtBPx2—bx+h—\>0,即

(x-l)(x+l-6)20對任意的x<l恒成立，即。Nx+1.

,：.x+l<2,：.b>2,因此，實數(shù)b的取值范圍是；

(3)?.?函數(shù)〃X)=22T在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞減，貝U/(x)a="())=4.

由題意可得，“Huzga)皿.

二次函數(shù)g(x)=d-次-2+人的圖象開口向上，對稱軸為直線x=b.

當(dāng)HI時，且當(dāng)xe［0,2］時，g(x)3=g(2)=2—36,則3—3b44,解得此一；，止匕時一；小41；

當(dāng)人>1時，且當(dāng)xe［0,2］時，g(xL*=g(O)=b—2,貝ij2W4,解得646,此時1446.

綜上所述，實數(shù)6的取值范圍是46.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用指數(shù)型函數(shù)的最值求參數(shù)，同時也考查了二次不等式在某區(qū)間上恒成立，以及函數(shù)不等式與全稱命

題、特稱命題的綜合問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解是解題的關(guān)鍵，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中等題.

18.(l)/(x)=3x-4(

(2)［5,+oo)

【解析】

(1)結(jié)合奇函數(shù)在原點(diǎn)有意義時，有/(。)=0,即可求出。的值，然后根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出結(jié)果；

(2)參變分離后構(gòu)造函數(shù)g(x)=(￡j+2.(g)，根據(jù)函數(shù)g(x)的單調(diào)性即可求出最小值，從而可以求出結(jié)果.

(1)

(1)因為/(x)是定義在Hk4］上的奇函數(shù)，xe［-4,0］時，〃尤)=5+/,

所以，(0)』+右=0,解得」=-1,

所以xc［-4,0］時，=

當(dāng)xe［0,4］時，-xe［-4,0］,

所以/(T)=*-±=4'-3',

又/(-X)=-/(X),

所以-/(%)=4*-3*,f(x)=3x-4',

即〃X)在［0,4］上的解析式為f(x)=3*-4*.

(2)

因為xe［-2,—l］時，f(x)=3-±,

43

所以/⑶4-與可化為《-白4-4，整理得機(jī)」+罩=仕［+2］2］，

2X3*14"y2Xy12*3*1^2)UJ

令g(x)=(g)+21g)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得，

y=(：J與y=(|J都是減函數(shù)，

所以g(X)也是減函數(shù)，

g(x)m「g(T)=(￡)+2-(|)=5,

所以，“25,

故實數(shù)”的取值范圍是［5,y).

19.(1)R；(2