2021-2022學(xué)年福建省寧德市高一年級上冊學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題及答案

2021-2022學(xué)年福建省寧德市高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1,下列各式中:①｛。卜｛。，1，2｝；②｛0,L2｝u｛2,l,0｝；③0U｛O,L2｝；④0=｛0｝；⑤

｛051｝=｛（0,1）｝；⑥。=例,正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)相等集合的概念，元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系，空集的性質(zhì)判斷各項的正誤.

【詳解】①集合之間只有包含、被包含關(guān)系，故錯誤；

②兩集合中元素完全相同，它們?yōu)橥患希瑒t｛0』，2｝a｛2,i,o｝,正確；

③空集是任意集合的子集，故0G正確；

④空集沒有任何元素，故錯誤；

⑤兩個集合所研究的對象不同，故｛0」｝'｛（°」）｝為不同集合，錯誤；

⑥元素與集合之間只有屬于、不屬于關(guān)系，故錯誤；

.??②③正確.

故選：B.

2.已知全集。=也集合5=｛X（-2<X<4｝<則圖中陰影部分表示的集合

A.[一2,3]B.（々3）c.（一2,3]D.曰㈤

【答案】B

【分析】首先求得集合A,結(jié)合圖象求得正確結(jié)論.

[詳解]、=犬+323,所以N=[3,+8）,

圖象表示集合為G"）C8,

羽=（-8,3）,&/）c8=（-2,3）

故選：B

3.設(shè)實數(shù)x、N滿足3<x<4,1<"2,則M=2x-y的取值范圍是（）

A.4<〃<6B.4VM<7

C.5<M<6D.5<M<7

【答案】B

【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可求得加的取值范圍.

【詳解】由己知得，6<2X<8,-2<-y<-lt故4<2x-"7,

故選：B.

4.某公司共有50人，此次組織參加社會公益活動，其中參加A項公益活動的有28人，參加8項

公益活動的有33人，且A,8兩項公益活動都不參加的人數(shù)比都參加的人數(shù)的三分之一多1人，

則只參加A項不參加8項的有（）

A.7人B.8人C.9人D.10人

【答案】D

【分析】設(shè)A,8兩項公益活動都參加的有x人，得出僅參加A,B項和兩項公益活動都不參加的

人數(shù)，列出方程，即可求解.

【詳解】如圖所示，設(shè)A,8兩項公益活動都參加的有x人，

則僅參加A項的有（28-x）人，僅參加B項的有（33-x）人，

A,8兩項公益活動都不參加的有13）人,

x+（28—x）+（33—x）+|—x+1|=50

由題意得（3），解得x=18,

所以只參加A項不參加8項的有28-18=10人）.

故選D.

5.下列說法正確的是（）

A.若”c>6c,貝ija>bB.若a<b,則ab

C.若右<的，則。<6D.若/>〃，貝！|a>分

【答案】C

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及作差法逐項分析判斷.

【詳解】對A：若ac>bc,當(dāng)c>°,則a>b；當(dāng)c<0,則a<6.A錯誤；

對，B：若"b,貝i]6_q>0,

11_b-ab-a11

..二一丁員,由于無法判斷成的符號，即無法判斷二廠的符號，故無法判斷Z與Z的大小關(guān)系,

B錯誤；

對C：若°〈右<〃，則。<6,C正確；

對D：若/>〃，則相一廳=("6)("6)>°,由于無法判斷。+人的符號，即無法判斷的符

號，故無法判斷。與人的大小關(guān)系，D錯誤；

故選：C.

ax+b八

----->0

6.若關(guān)于x的不等式ax—6>0的解集為3#>1},則關(guān)于x的不等式工-2的解集為()

A.{x|x>l或xv—2}B.{x\l<x<2}

C.{小>2或xv—1}D.{x|-l<x<2}

【答案】C

ax+b八

----->0

【分析】首先根據(jù)題意得到x=l為6-b=°的根，從而得到a=b且。>°,將不等式x-2等

價于“x+l)(x-2)>0,再解不等式即可

【詳解】由題知：

x=l為"x-b=0的根，所以"6=0,即a=b,

又因為ax_/>>0的解集為所以q>0.

ax-\-b“x+l)>

0<=>a(x+1)(工-2)>0

故x-2x—2

解得x>2或x<-l.

故選：C

7.設(shè)見旄R,貝上曲+1=。+】的充要條件是()

A.a,。都為1B.不都為1

C.a,。中至少有一個為1D.a,6都不為0

【答案】C

【分析】由題設(shè)等量關(guān)系可得（“一1）（6-1）=°求參數(shù)的解，即可知+加'的充要條件.

【詳解】由成+1=。+6可得：（aT）3-D=°,

...a=l或b=l,故％,b中至少有一個為1”是“而+l=a+b”的充要條件.

故選：C

8.《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要

依據(jù).通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明；如

圖所示圖形，點。、尸在圓。上，點C在直徑48上，且°尸,力8,CDLAB,CE工OD于點、E,

的無字證明.則圖中表示“,

A.CE,CDB.CE,CFc.DE,CFD,",CD

【答案】C

【分析】利用圖形得到2,2，然后在MAC。尸和在中，利用勾股定理

求得CF,CD,再由MAC°D~&AECD求解.

a-b

OF=-AB=AC+CB

【詳解】解：由圖形可知：22

CF=yJOF2+OC2=

在町AC°尸中，由勾股定理得

CD=4OD--OC2==y[ab

在RSCOD中,由勾股定理得

因為C￡>_LR8,

所以Rt^COD~Rt^ECD,

CLDC2ab2ab

/I卜-----------------

DE_DCDOa+ba+b

則DC~DOf即2

lab

所以圖中表示。，的調(diào)和平均數(shù)a+b、平方平均數(shù)的線段分別是OE，CF,

故選：C

二、多選題

9.下列命題正確的是（）

2

A.3a,6eR；|a-2|+（6+l）<0BVaeR,3xeR,使得以>2

C.“"5”是，a<3”的必要條件D.且人>1是a+°>2且必>1的充要條件

【答案】AC

【分析】根據(jù)特值可判斷AB,根據(jù)充分條件必要條件的概念可判斷CD.

【詳解】對于A,當(dāng)°=2,6=-1時，不等式成立，所以A正確；

對于B,當(dāng)〃=0時，0-x=0<2,不等式不成立，所以B錯誤；

對于C,由〃<3可推出”<5,故“〃<5”是“a<3”的必要條件，故C正確；

對于D,由且匕>1可推出“+'>2且而由。+6>2且“6>1推不出且6>1,如

a=4,h=—

2,a+b>2且ab>l,但且6>1不成立，故D錯誤.

故選：AC.

10.下列不等式正確的有（）

4

x+->2y=x+—(0<x<1)

A.當(dāng)x>0,xB.x最小值等于4

x+—>1y=l-2x-—(x<0).c/7

C.當(dāng)x>-l,x+\D.函數(shù)x最小值為1+2d6

【答案】ACD

【分析】利用基本不等式的性質(zhì)依次判斷選項即可.

x+—>2x=—

【詳解】對選項A,x>。，x,當(dāng)且僅當(dāng)x,即x=l等號成立，故A正確.

_4

對選項B,當(dāng)時，）一'二為減函數(shù)，所以）'>1+4=5,故B錯誤.

對選項C,因為x>T,x+l>0,

xH——--=x+1+-1>2.(x+l)-----1=1

所以X+lX+lvX+1

X+1=----

當(dāng)且僅當(dāng)X+1,即x=0時，等號成立，故C正確.

J=1-2X--＞2J（-2A-）.[--|+1=1+2＞/6

對選項D,*VI'J,

3A/6

-2、x=—x=----

當(dāng)且僅當(dāng)X,即2時，等號成立，故D正確.

故選：ACD

11.若關(guān)于x的一元二次方程。一2）（"-3）=”有實數(shù)根不，又2,且王＜々，則下列結(jié)論中正確的

說法是（）

1

m2—_a

A.4B.當(dāng)機=。時，占=2,

C,當(dāng)加＞0時，玉＜2＜3＜》2口,當(dāng)〃？＞0時，2＜王＜》2＜3

【答案】BC

【分析】將方程化為/-5X+6-加=0,由A＞°可判斷A,解方程可判斷B,利用數(shù)形結(jié)合可判斷

CD.

【詳解】將方程G-2）（x-3）=加化為、2_5》+6_加=0,

由題意可知，關(guān)于x的方程公-5x+6-m=°有兩個不等的實根，

則A=25-4（6—m）＞0,解得心4,故A錯誤;

當(dāng)機=0時，方程為0_2）（》_3）=0,所以占=2,今=3,故B正確；

當(dāng)〃?＞0時，在同一坐標(biāo)系下，分別作出函數(shù)N=（x-2）（x-3）和y=，〃的圖象，

Hy=x2-5x+6

0X\X2X

可得吃＜2＜3＜々，所以C正確，D錯誤.

故選：BC.

-eF

12.當(dāng)一個非空數(shù)集廠滿足條件“若。力€尸，則a+6,a-b,ab&F,且當(dāng)時，b，，時,

稱尸為一個數(shù)域，以下四個關(guān)于數(shù)域的命題:其中，真命題為（）

A.0是任何數(shù)域的元素B.若數(shù)域尸有非零元素，則2019e尸

C.集合尸={x[x=36#eZ}為數(shù)域D.有理數(shù)集為數(shù)域

【答案】ABD

【分析】根據(jù)新概念數(shù)域的定義判斷.

,a

1=一￡F

【詳解】若"尸，則”“=OeF,A正確；若。"且"0,則〃，由此2=1+1GE,

3=1+2",依次類推2019wJB正確；尸=33=34,賓Z},3eP,6eP,但6,尸不是

..,a

,a+b,a-b,ab,一

數(shù)域，C錯誤；“力是兩個有理數(shù)，則b（6x0）都是有理數(shù)，所以有理數(shù)集是數(shù)域,

D正確.

故選：ABD.

【點睛】本題考查新定義，解題關(guān)鍵是正確理解新定義數(shù)域，即數(shù)域中任意兩個元素的和、差、積、

商（分母不為0）仍然屬于數(shù)域.

三、填空題

13.命題f+x-izo,則力:

【答案】Vx>0,x2+x-l<0

【分析】根據(jù)特稱命題的否定變量詞否結(jié)論即可求解.

【詳解】命題^2+x-l>0,則為：Vx>0,x2+x-l<0.

故答案為：Vx>0,x2+x-l<0.

14.已知全集"={3"一2"3},"={7,卜-7|},1/={5},則”.

【答案】4

【分析】根據(jù)題意可得5eU,3e1,由元素的確定性列方程即可求解.

【詳解】因為/-2a-3},"={7,卜-7|},1/={5},

所以5eU,3e/,

a2-2a-3=5

則U"7|=3,解得：q=4,

故答案為：T

15.已知集合/={x|5-1）廠+3A-2=°}有且僅有兩個子集，則實數(shù)a=.

【答案】1或一1

【分析】結(jié)合已知條件，求出（a-D/+3x-2=°的解的個數(shù)，然后對參數(shù)分類討論，并結(jié)合一元

二次方程的根的個數(shù)與判別式之間的關(guān)系求解即可.

【詳解】若/恰有兩個子集，所以關(guān)于X的方程恰有一個實數(shù)解,

2

X=-

①當(dāng)”=1時，3,滿足題意；

__2

②當(dāng)"0時，△=8a+l=0,所以“一8,

綜上所述，。=1或“-8.

故答案為：I或一.

四、雙空題

19

—1---------

16.已知兩個正實數(shù)X,V滿足x+y=2,則XN+1的最小值是；取得最小值時X的

值為.

163

【答案】34##o.75

_9_

【分析】根據(jù)基本不等式，湊式子x+y=2為x+(y+l)=3,利用“r，的代換即可求x+y+1的最小

值與取得最小值時x的值.

【詳解】解：已知兩個正實數(shù)X,歹滿足x+>=2,所以x+(y+l)=3.

1(.9xy+\八rI9xy+1111/16

=-1+----+--+9>-10+2-----—=-xl6=—

31y+1xJ3(V+1x)33

9x」+1351916

=x——y———?------

當(dāng)且僅當(dāng)歹+1---x，且x+P=2,即4'4時，等號成立，故x尸1的最小值為3.

163

故答案為：3；4

五、解答題

17.已知集合加={刈1<、<6},N={x\4-m<x<m}

(1)當(dāng)加=4時，求MC&N)；

(2)若M2N=M,求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】⑴{刈1<6}；⑵(F,3[

【解析】(1)根據(jù)集合的運算法則計算；

(2)由=可得N=分類討論N=0和N*0兩種情況，由包含關(guān)系得出結(jié)論.

【詳解】解：（1）當(dāng)加=4時，N={X1°<X<4},

所以（N={X|X40或xN4}又因為M={x[l<x<6},所以Mn&N）={x[44x<6}

（2）由=可得Na".

①當(dāng)4_川2加，即“區(qū)2時，N=0,滿足題意；

J4-/H>1

②當(dāng)N手。，即加>2時，由NqM,可得1加46,解得2Vm43.

綜合①②，可得實數(shù)機的取值范圍為（Y°'3].

【點睛】本題考查集合的交集、并集、補集的計算及包含關(guān)系，集合關(guān)系中參數(shù)的取值范圍，

屬于基礎(chǔ)題..

18.已知不等式--+2x+3>0的解集是A,不等式上+2k3的解集是以

⑴求/C3；

（2）若關(guān)于x的不等式丫2+亦+6<0的解集是478,求"2+x+6<0的解集.

[答案]⑴{Xi"”}

⑵卜

【分析】（1）先解不等式求出集合A,B,再進行交集運算即可求解；

（2）由一元二次方程的實數(shù)根與不等式解集的關(guān)系可得。力的值，再解一元二次不等式即可求得答

案.

【詳解】⑴由*+2x+3>0,即x2-2x-3<0可得：（x-3）（x+l）<0,解得

所以/={x|-l<x<3},

由卜+2卜3可得：-3<X+2<3,解得：-5<x<l,

所以8=*|-5Vx<1},

所以4c8={x|-l<x<3}n-5<x<l}={x|-l<x<l}

zlui?={x|-l<x<3}u^x|-5<x<l}={x|-5<x<3}

所以關(guān)于x的不等式產(chǎn)+取+6<0的解集是{X|-5<X<3},

所以-5和3是方程/+公+6=0的兩個根,

J-5+3=-a\a=2

由根與系數(shù)的關(guān)系可得：1-5x3=',解得：1b=T5

所以不等式"2+x+6<°即為2/+*-15<°,

,5

所以(2X-5)(X+3)<0,解得：_<X<2,

|x|-3<x<-I

所以原不等式的解集為12J.

14

—I——1

19.(1)已知x>0,y>°,XV,求證：x+”9；

cc

---->----

(2)己知a>b>c,a+b+c^O,求證：a-cb-c.

【答案】(1)證明過程見解析；(2)證明過程見解析

【分析】(1)利用基本不等式“1”的妙用，求解最小值；(2)利用作差法比較大小.

14,

—F——1

【詳解】(1)證明：因為x>0,v>°,x丁，

x+y=(x+y>\—+—)=1+4+—+—>5+2I---=9

所以’y)xyy

y_4x

當(dāng)且僅當(dāng)Xy,即x=3,y=6時，等號成立，

故x+"9；

cc_bc-c2-ac+c2_bc-ac_(6-a)c

(2)”b-c(a-c)(/?-c)(6r-c)(Z?-c)(a-c)(6-c)

因為。>Z>>*Q+6+C=0,所以a+b+c>3c,即3c<0,解得。<0,

(ba)c

>0

^b-a<0,a-c>Q,b-c>0a-cb-c-

---->----

從而"Cb-c

20.設(shè)命題夕：對任意xe[l，3],不等式-丫2+4》-2<〃7恒成立；命題平存在x^T[],使得不等式

X——+777<0

4成立.

(I)若P為真命題，求實數(shù)機的取值范圍;

(H)若命題p,q至少有一個是真命題，求實數(shù)機的取值范圍.

、（~°°—]U（2,+oo）

【答案】（I）（2,+8）；（□）54

【分析】（I）把命題?轉(zhuǎn)化為“>（一”+?-2）皿在xe[l,3]恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可

求解;

xs[-l,l],m<--x

（II）命題,轉(zhuǎn)化為存在144ax,求得4,再求得命題p和命題g都為假命題

時m的取值范圍，進而得到命題p,4至少有一個是真命題，實數(shù)加的取值范圍.

【詳解】（I）由命題。:對任意xe[l，3],不等式-/+4丫-2<機恒成立，

即〃?>（-『+4x-2>,*在*e[1,3]恒成立，

設(shè)f(x)=~x~+4x-2=-(x一2)~+2,當(dāng)％=2時，/(%卷然=/⑵=2,即加＞2,

所以命題p為真命題，則實數(shù)機的取值范圍為（2,+8）.

（II）命題中存在使得不等式4成立，

即存在xe[T，U,使得<4J成立，即存在14兒,44,

5

m>一

若命題p為假命題，則加42,命題夕為假命題，則4.

m<2

w>4—<m<2

所以當(dāng)命題p和命題q都為假命題時，滿足14,解得4,

（—°°;—]U（2,+<?）

所以命題P，夕至少有一個是真命題，則實數(shù)機滿足4

21.由于春運的到來，某火車站為舒緩候車室人流的壓力，決定在候車大樓外搭建臨時候車區(qū)，其

中某次列車的候車區(qū)是一個總面積為50m②的矩形區(qū)域（如圖所示），矩形場地的一面利用候車廳大樓

外墻（長度為12m）,其余三面用鐵欄桿圍擋，并留一個寬度為2〃7的入口.現(xiàn)已知鐵欄桿的租用費用

為80元/m.設(shè)該矩形區(qū)域的長為x（單位：m）,租用鐵欄桿的總費用為y（單位：元）.

候車廳墻

入口

（1）將y表示為x的函數(shù)，并求租用搭建此區(qū)域的鐵欄桿所需費用的最小值及相應(yīng)的工

（2）若所需總費用不超過2160元，則x的取值范圍是多少？

y=80|—x2+x-2|

【答案】⑴‘I'A2<x412；當(dāng)x=10時，所需費用的最小值1440元；⑵

44x412

^=80|—x2+x-2|

【解析】(1)依題意有，1X人其中2<x412.利用基本不等式得出最小值即可;

j；=80|—+x-2|<2160

(2)由題意得IxJ,解出即可.

^=80|—x2+x-2|

【詳解】解：(1)依題意有I”九其中2<X412.

J/=80|—+x-2|>80x(2jl00-2)=1440

由均值不等式可得I'J'7

100

--------X

當(dāng)且僅當(dāng)X,即X=1O時取

綜上，當(dāng)x=l0時，租用搭建此區(qū)域的鐵欄桿所需費用最小，最小費用為1440元.

y=80|—+x-2|<2160

(2)Ix),

—+x-2<27,

x,...X2-29X+100<0,解得44X425.

又...x412,...44x412.

【點睛】本題考查了基本不等式的實際應(yīng)用和函數(shù)模型的應(yīng)用，是中檔題.

22.已知函數(shù)戶"2一(a+2)x+2,aeR

(1)求不等式V2°的解集；

QX-(a+2)|x|+2=，”H---F1

(2)若存在加>°使關(guān)于x的方程由有4個不同的實根，求實數(shù)a的取值范

圍

【答案】(1)答案見解析

⑵(-8,-4-2揚

【分析】(1)依題意可得("-2)(X-1)20,再分a=0、。<0、三種情況討論，當(dāng)時還需

分