2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)中考數(shù)學(xué)訓(xùn)練-三角形綜合題（含解析）

2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題訓(xùn)練一三角形綜合題

一、單選題

1.如圖，在Rt^ABC中，NC=90。，點(diǎn)D是4B的中點(diǎn)，連接CD,將XACD沿

CD翻折得到4ECDQE與BC交于點(diǎn)F，連接BE.若AC=3,BC=4，則點(diǎn)F到BE

的距離為（）

D-i

2.如圖，在A(yíng)ABC中，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，AD=AC,過(guò)點(diǎn)D作DE_LBC交AB于E,

若AADE是等腰三角形，則下列判斷中正確的是（）

A.NB=NCADB.NBED=NCAD

C.ZADB=ZAEDD.ZBED=ZADC

3.如圖，將邊長(zhǎng)為I的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M落在邊CD上（不與

點(diǎn)C、D重合），折痕為EF,AB的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段MG交AD于點(diǎn)N.以下結(jié)論正確的有（）

①/MBN=45。；②△MDN的周長(zhǎng)是定值；③△MDN的面積是定值.

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G

A.①②B.①③C.②③D.①②③

0）_、

4.已知函數(shù)尸<a的圖象如圖所小，點(diǎn)P是y軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y

K（x<。）

軸的垂線(xiàn)交圖象于A(yíng),B兩點(diǎn)，連接OA、OB.下列結(jié)論：

①若點(diǎn)Mi（xi,yi）,M?（X2,y2）在圖象上，且xi〈X2<0,貝!Iyi<y2；

②當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（0,-3）時(shí)，AAOB是等腰三角形；

③無(wú)論點(diǎn)P在什么位置，始終有SAAOB=7.5,AP=4BP；

④當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到使/AOB=90。時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2V6,-V6）.

其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）

V

5.如圖，在四邊形ABCD中，AC平分/BAD,CE_LAB于點(diǎn)E,ZADC+ZABC=180°,

有下列結(jié)論：①CD=CB；②A(yíng)D+AB=2AE；③/ACD=NBCE；④AB-AD=2BE,

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A.②B.①②③C.①②④

D.①②③④

6.如圖，在Rt^ABC中，點(diǎn)D,E分別是邊AC、AB上的兩點(diǎn)，連接BD,CE,CD=AE,

已知BC=6,AB=8,則BD+CE的最小值是（）

A.V136B.10C.9.6D.5+V45

7.如圖，一張矩形紙片ABCD,其中AD=10cm,AB=6cm,先沿對(duì)角線(xiàn)BD對(duì)折，使點(diǎn)

C落在點(diǎn)C的位置，BC交AD于點(diǎn)G（圖1）,再折疊一次，使點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，得折痕

EN,EN交AD于點(diǎn)M（圖2）,則EM的長(zhǎng)為（）

8.如圖，正方形ABCD內(nèi)接于。。，線(xiàn)段MN在對(duì)角線(xiàn)BD上運(yùn)動(dòng)，若。。的面積

為2兀，MN=1,貝ij^AMN周長(zhǎng)的最小值是（）

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二、填空題

9.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E,F在

邊AB上，當(dāng)4DEF是等腰三角形，且底角的正切值是寺時(shí)，4DEF腰長(zhǎng)的值

.

10.在菱形ABCD中，ZB=60°,BC=2cm,M為AB的中點(diǎn)，N為BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與

點(diǎn)B重合)，將ABNIN沿直線(xiàn)MN折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接DE,CE,當(dāng)4CDE為

等腰三角形時(shí)，線(xiàn)段BN的長(zhǎng)為.

11.如圖，在A(yíng)ABC中，AB=2,乙4cB=60。，CD1BC,DC=BC,則AD的長(zhǎng)的最大

值為_(kāi)________

12.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3，將&BCD沿射線(xiàn)BD平移長(zhǎng)度a(a>

0)得到△B'C'D',連接AB,AD',則當(dāng)△AB'D'是直角三角形時(shí)，a的長(zhǎng)

為.

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13.勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣，1955年希臘發(fā)型了二枚以勾股圖

為背景的郵票.所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成，它可以驗(yàn)證

勾股定理.在如圖的勾股圖中，已知NACB=90。，ZBAC=30°,AB=4.作△PQO使得/O=90。,

點(diǎn)Q在在直角坐標(biāo)系y軸正半軸上，點(diǎn)P在x軸正半軸上，點(diǎn)0與原點(diǎn)重合，ZOQP=60°,

點(diǎn)H在邊Q0上，點(diǎn)D、E在邊PO上，點(diǎn)G、F在邊PQ上，那么點(diǎn)P坐標(biāo)

為.

14.如圖，AABC,/ACB=90。，點(diǎn)D,E分別在A(yíng)B,BC±,AC=AD,ZCDE=45°,CD

與AE交于點(diǎn)F’若NAEC=NDEB,CE=苧,則CF=--------------

三、綜合題

25.如圖，拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)>1(-1,0)和點(diǎn)5(3,0)，與y軸交于點(diǎn)C,且過(guò)點(diǎn)￡>(2,-3).

點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)D重合)，直線(xiàn)PD與y軸交于點(diǎn)E.

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(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,則直線(xiàn)PD的解析式可用含m的式子表示

為:

(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)0D下方時(shí)，求APOD面積的最大值.

16.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0,4),B(4,4),點(diǎn)M,N是射線(xiàn)OC上兩動(dòng)點(diǎn)(OM

<ON),且運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持NMAN=45。，小明用幾何畫(huà)板探究其中的線(xiàn)段關(guān)系.

(1)探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)M,N均在線(xiàn)段OB上時(shí)(如圖1),有OM2+BN2=MN?.

他的證明思路如下：

第一步：將4ANB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得△APO,連結(jié)PM,則有BN=OP.

第二步：證明aAPM絲△ANM,得MP=MM.

第一步：證明/POM=90。，得OM2+OP2=MP2.

最后得到OM2+BN2=MN2.

請(qǐng)你完成第二步三角形全等的證明.

(2)繼續(xù)探究：除(1)外的其他情況，OM2+BN2=MN2的結(jié)論是否仍然成立？若成立,

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請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）新題編制：若點(diǎn)B是MN的中點(diǎn)，請(qǐng)你編制一個(gè)計(jì)算題（不標(biāo)注新的字母），并直接

給出答案（根據(jù)編出的問(wèn)題層次，給不同的得分）.

17.

（1）閱讀理解:

圖①圖②圖③

如圖①，在A(yíng)ABC中，若AB=8,AC=4,求BC邊上的中線(xiàn)AD的取值范圍是

（2）問(wèn)題解決：如圖②，在aABC中D是BC邊上的中點(diǎn)，DEJ_DF于點(diǎn)D,DE交

AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,連接EF,求證：BE+CF>EF；

（3）問(wèn)題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，ZB+ZD=180°,CB=CD,ZBCD=140°,

以C為頂點(diǎn)作一個(gè)70角的兩邊分別交AB,AD于E,F兩點(diǎn)，連接EF,探索線(xiàn)段BE,

DF,EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

18.如圖，在四邊形ABCD中，=NC=90°,AB=BC=12,點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，

BE=4,EA平分乙BED,EFJ.DE交AB于F,動(dòng)點(diǎn)P在DE上從點(diǎn)D向終點(diǎn)E

勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q在A(yíng)B上從點(diǎn)B向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)到達(dá)終點(diǎn).PQ與

AE交于點(diǎn)G.

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(1)求證：AF=EF

(2)求AD的長(zhǎng)；

(3)①當(dāng)PQ與四邊形AFED的一邊平行時(shí)，求所有滿(mǎn)足條件的BQ的長(zhǎng)；

②當(dāng)PQ1AE時(shí)，PQ交C。于M,記RAQG,APEG,LPDM的面積分別為Si

,S2,S3,請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)S2：S3的值.

19.如圖，直線(xiàn)y=gx+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B.

(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)過(guò)B點(diǎn)作直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)P,若4ABP的面積為8,試求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)點(diǎn)M是0B上的一點(diǎn)，若將aABM沿AM折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸上的點(diǎn)Bi處,

求

出點(diǎn)M的坐標(biāo).

(4)點(diǎn)C在y軸上，連接AC,若AABC是以AB為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C

的坐標(biāo).

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(l,0),將x軸繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。交y軸

于點(diǎn)B,再將點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)C.

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(1)求直線(xiàn)BC的解析式；

(2)若點(diǎn)Q為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，且滿(mǎn)足四邊形ABCQ為平行四邊形，求點(diǎn)Q的

坐標(biāo)；

(3)在直線(xiàn)BC和y軸上，是否分別存在點(diǎn)M和點(diǎn)N,使得以點(diǎn)M,N,A,C為頂點(diǎn)

的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

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答案解析部分

1.【正確答案】D

2.【正確答案】B

3.【正確答案】A

4.【正確答案】C

5.【正確答案】C

6.【正確答案】A

7.【正確答案】B

8.【正確答案】B

9.【正確答案】嚅或襦

10.【正確答案】寺或2

11.【正確答案】V2+V6

22.【正確答案】(或?qū)W

13.【正確答案】(7V3+6,0)

14.【正確答案】5

15.【正確答案】(1)解：設(shè)函數(shù)表達(dá)式為：y=a(x+l)(x-3),將D(2,-3)代入上

式中得

-3=a(2+1)(2-3),解得a=1

二拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y=%2-2x-3

(2)y=mx-2m-3

(3)解：設(shè)直線(xiàn)PD與y軸交于G,

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由(2)知直線(xiàn)PD的解析式為：y=mx-2m-3

?,?令x=0,得y=-2m—3

即OG=2m+3

??S&poD=20G(x?！猉p)=2(3+2TH)(2—TTI)——+2m+3

V-l<0

故S^POD有最大值

故由二次函數(shù)性質(zhì)知當(dāng)m=*時(shí)，其最大值為薨

16.【正確答案】(1)解：如圖1中，將4ANB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得△APO,連結(jié)PM,

則有BN=OP.

?.?點(diǎn)A(0,4),B(4,4),

.\OA=AB,ZOAB=90°,

VZNAP=ZOAB=90°,NMAN=45°,

...NMAN=NMAP,

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VMA=MA,AN=AP,

AMAN^AMAP(SAS)

(2)解：如圖2中，結(jié)論仍然成立.

理由：如圖2中，將4ANB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得△APO,連結(jié)PM,則有BN=OP.

，NMAN=/MAP,

VMA=MA,AN=AP,

AMAN^AMAP(SAS),

；.MN=PM,

?.?/ABN=NAOP=135°,NAOB=45°,

；./MOP=90。，

.\PM2=OM2+OP2,

.'.OM2+BN2=MN2

(3)解：如圖3中，若點(diǎn)B是MN的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng).

設(shè)MN=2x,則BM=BN=x,

VOA=AB=4,NOAB=90°,

AOB=4V2,

；.OM=4V2-x,

VOM2+BN2=MN2.

/.(4V2-x)2+x2=(2x)2,

解得x=-2V2+2V6或-2V2-2V6(舍棄)

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?*.MN=-4V2+4V6.

17.【正確答案】(1)2<ADV6

(2)解：如圖2,延長(zhǎng)FD至點(diǎn)M,使DM=DF,連接BM、EM

圖2

同(1)得：△BMDSACFD(SAS)

：.BM=CF

'：DE1DF,DM=DF

:.DE是MF的垂直平分線(xiàn)

：.EM=EF

在A(yíng)BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM>EM

：.BE+CF>EF；

(3)解：BE+DF=EF；證明如下：

如圖3,延長(zhǎng)AB至點(diǎn)N,使BN=DF,連接CN

圖3

'JZ.ABC+Z.D=180°,LNBC+/.ABC=180°

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:,乙NBC=CD

BN=DF

在A(yíng)NBC和2FDC中，ZJVBC=4D

,CB=CD

：.△NBC=△FDC(SAS)

?\CN=CF,乙NCB=乙FCD

■:乙BCD=140°,Z.ECF=70°

：.Z.BCE+^FCD=70°

:?乙BCE+乙NCB=70。

:.(ECN=70。=乙ECF

(CN=CF

在A(yíng)NCE和>FCE中，、乙ECN=LECF

(CE=CE

:?ANCE三AFCE(SAS)

:?EN=EF

?；BE+BN=EN

：.BE+DF=EF.

18.【正確答案】(1)證明：VZB=90°,

AZBAE+ZAEB=90°,

???/FED=90。，

NAEF+NAED=90。，

?「AE平分NFED,

???NAED=NAEB,

AZBAE=ZAEF,

???AF=EF

(2)解：設(shè)AF=x,則EF=x,

在RtZ\BFE中，BE2+BF2=EF2,

???(12-x)2+42=x2,

解得:X=孕,

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20

，AF=EF=

T

.，.BF=12-x=12-與=與，

VZB=ZC=ZFED=90°,

，ZCED+ZBEF=ZBFE+ZBEF=90°,

；.NCED=NBFE,

...△CEDs/XBFE,

.BF_BE,即:

""CE~CD

；.DC=6,

作DHLAB于點(diǎn)H,

圖1

在RtADHA中，DH2+HA2=AD2,

*'*AD="2?+6?=6y/5

(3)解：①由(2)知：CD=6,CE=8,

,DE=y/CD2+CE2=J62+82=10

延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)S,

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圖2

VZSBE=ZC=90°,ZSEB=ZDEC,

AASEB^ADEC,

?BSSEBEnn——cpin——AQBSSE4

-CD=DE=CE,即：BS6—SE10—48,虧=無(wú)=百

，BS=3,SE=5,

；.SA=SB+AB=3+12=15,SD=SE+DE=5+10=15,

；.SA=SD,SF=SB+BF=3+竽=竽，

?.?動(dòng)點(diǎn)P在DE上從點(diǎn)D向終點(diǎn)E勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q在A(yíng)B上從點(diǎn)B向終點(diǎn)A勻速

運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)，

?DP-DE_1。_5unDP-5RC

AB-12-6即：DP一小BQ,

.\AQ=12-BQ,EP=DE-DP=10-號(hào)BQ,

o

VPQ與四邊形AFED的一邊平行，

.?.可分兩種情況：PQ〃AD或PQ〃EF,

當(dāng)PQ〃AD時(shí)，貝IJ禁=相，

VSA=SD,

；.AQ=DP,

.?.12-BQ=|BQ,

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，BQ=圣；

當(dāng)PQ〃EF時(shí)，貝ij羽=緡,

；.SF?SP=SE?SQ,

.?專(zhuān)x(15-|BQ)=5x(3+BQ),

?RC=396

??BQ—何；

綜上所述，BQ的長(zhǎng)為條或翳；

②過(guò)點(diǎn)D作DTLAE于點(diǎn)T,交AB于點(diǎn)R,DHLPQ于點(diǎn)H,

VDE2-ET2=AD2-AT2,

AlO2-(4V10-AT)』(6而)2-AT2,解得：AT=3V10,

.,.ET=AE-AT=V10,RT=1AT=V10,

；.DT=3710,DR=4V10,

??./urvr_ET_ylO_1ZTTAD_BE41

,tan/EDT—時(shí)-=3>tanZEAB-近=亞=3,

tanZEDT=tanZEAB,

/.ZEDT=ZEAB,

VPQ1AE,

???PQ〃DT,

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*.ZEPG=ZEDT=ZDPM=ZEAB,

,.△AQG^APEG,

.SHAQG_,AQ、2_,6、2_36

-(5)-25'

-AQ710

AG3

?.AG=AQ,GE=AE-AG=4V10-AQ,

1010

\PE=V10GE=40-3AQ=40-3(12-BQ)=4+3BQ,

；PE+DP=DE,

?.4+3BQ+|BQ=10,

?.BQ=||，

?.AQ=罷,

\QG=2：丁,PE=要，PG=6嗯。

，J乙3Zu

；四邊形DMQR是平行四邊形,

,.QM=DR=4V10,

,.PM=QM-QG-GP=4V10--6(^=

.?△PDHs/XPEG,

?DH_GE_屈

''DP=PE=^0'

.*.DH=黑DP=縹x?BQ=xJx36=2國(guó),

1010610o2323

；SPDM=iPM?DH=1X耍X/VIU=部，

1

Q_1Ar.nr-x72710乂24V10—8640

SAAQG_2AG?QG-之x___x__-呵，

?S^PDM_72

**S^AQG1，

.*?Si：S2：S3=72：50：1.

19.【正確答案】⑴解：對(duì)于y=1x+4,令y=0,即y=*x+4=0,解得x=-3,令x=0,

則y=4,故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(-3,0)、(0,4)；

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（2）解:設(shè)點(diǎn)P（x,0）,

貝IJ^ABP的面積=3XAPXOB=3X4X|X+3|=8,解得x=I或-7,

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,0）或（-7,0）；

（3）解：由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)知，OA=3,BO=4,則AB=J/O2+BO2=5=ABI,

故點(diǎn)BI的坐標(biāo)為（2,0）,

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0,m）,

由題意得：MB=MBi,即m2+4=（m-4）2,解得m=1.5,

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0,1.5）；

（4）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,9）或（0,-1）或（0,-4）.

20.【正確答案】（1）解：?：x