2022-2023學年四川省綿陽市高三年級上冊學期第一次診斷性考試理科數(shù)學試題含答案

秘密★啟用前【考試時間：2022年11月1日15：00—17：00]

綿陽市高中2020級第一次診斷性考試

理科數(shù)學

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號

涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，

將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個

選項中，只有一項是符合題目要求的.

2

-1j?人力=&￡Z|-]?x<3]B=^x\x<2^jnD_

1.已知集合1IJ,口J,則川—

C{TO,L2}

D.

[-72,3]

2.若a>b>0,則一定有（）

11

.—>一

cosa<cos6B.2"-2'<0c.abD.a?〉//

3.若命題“DxcR,mNsinx+cosx”是真命題，則實數(shù)加的取值范圍是（）

A.m>V2B.m22Qm<-41D.m-一2

4設"log,）4,則3〃的值是（）

A1B.2C.4D.9

5.在一8C中，點M為邊45上一■點，2戒=標，若3cM=M：A+〃CB,則

〃=（）

A.3B.2C.1D.-1

6.已知S〃是等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和，若S[9=57,則3牝一（

）

A.2B.3C,4D.6

7.某地錦礦石原有儲量為。萬噸，計劃每年的開采量為本年年初儲量的加且

加為常數(shù)）倍，那么第〃（〃eN*）年在開采完成后剩余儲量為“（l—“）,并按該計劃

方案使用10年時間開采到原有儲量的一半.若開采到剩余儲量為原有儲量的70%時，則

需開采約（）年.（參考數(shù)據(jù)：0kL4）

A4B.5C.6D.8

cosa)x+—

yI6

8.若函數(shù)（。＞0）在區(qū)間一"上恰有唯一極值點，則0的取值范

圍為（）

]_77727

3,63563533,3

A.B.C.D.

X-4x,0<X<\,

/(x)=,

2/,(x+1),-2<x<0?,

9.函數(shù)I、)的圖象大致為()

B.

10,已知(tan2a_tana)cos2a=2,則tana=()

A.2B.血C.-2D.2

11.已知直線/：*+叩+〃=°既是曲線歹二由》的切線，又是曲線歹=e"2的切線，則

m+n=（）

A.0B.-2C.0或。D.-2或

-e

12.若函數(shù)/（X）的定義域為R,且/（2"+1）偶函數(shù)，"xT）關(guān)于點（3,3）成中心對稱

則下列說法正確的個數(shù)為（）

①/（x）的一個周期為2②人22)=3

19

③/（x）的一條對稱軸為》=50)=57

④/=1

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量”=（“3）,（，），且（），則"一.

14.已知等比數(shù)列｛“〃｝的各項均為正數(shù)，設邑是數(shù)列｛%｝的前"項和，且生=2,

%=8,則Ss=.

15.某游樂場中的摩天輪作勻速圓周運動，其中心距地面20.5米，半徑為20米.假設從小

軍同學在最低點處登上摩天輪開始計時，第6分鐘第一次到達最高點.則第10分鐘小軍同

“、x-2x-3,x>a,

x

f（）=\_9/

16.已知函數(shù)c[x-z,x<a,若存在實數(shù)加，使得關(guān)于x的方程

/（"）="恰有三個不同的實數(shù)根，則4的取值范圍是.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第

17?21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生

根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

f(x)=cosx(V3sinx-cosx)

17.已知函數(shù)八,I).

(1)求/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)求/，)=一1在［°川上的解.

18.已知數(shù)列｛%｝滿足：％2,%=1,勺+2+4%=5%(〃eN*).

(1)證明：數(shù)列｛""+「""｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列"J的通項公式.

19.在銳角A”C中，角A,3,C所對的邊為a,b,c,且a-cos8=b(l+cos4)

(1)證明：sinC=sin35.

(2)求。的取值范圍.

f(x)=—x3-f—+2^x2+4bc--

20.已知函數(shù)312J6(攵eR).

(1)討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(X)在(°'3)上恰有兩個零點，求函數(shù)/G)在［0'3］上的最小值.

21.已知函數(shù)/(”)=2e——2,當xzo時，/(x)20.

(1)求“的取值范圍；

［1+^—++…［1+^—］＜5

⑵求證：I2e-lJl2e2-lJl2e3-lJ(2en-lJ(〃eN*).

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題做答.如果多做,

則按所做的第一題記分.

［選修4一條坐標系與參考方程|

Jx=3+3cos9,

22.在直角坐標系中，圓o的參數(shù)方程為lv=3sin"（6為參數(shù)），直線/的參

71

x=/cos—,

3

,?兀

y=6+，sin—

數(shù)方程為3（/為參數(shù)）.

（1）判斷直線/和圓°的位置關(guān)系，并說明理由;

3百

⑵設P是圓°上一動點，'（4°）,若點尸到直線/的距離為2,求"CP的值.

|選修4一5：不等式選講］

23.已知函數(shù)/0卜+2|+|2》+1|.

（1）求/（“）的最小值；

（2）若b,c均為正數(shù)，且/⑷+/（b）+/（c）=18,證明：

1+14>—?_

abc~a2+b2+c2

秘密★啟用前【考試時間：2022年11月1日15：00—17：00]

綿陽市高中2020級第一次診斷性考試

理科數(shù)學

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號

涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，

將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個

選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合II兀門則川]“一()

A.[T/B.{T，。1}C.{T0，1，2}D.

[-63]

【答案】B

【解析】

【分析】先解不等式，再求交集即可.

【詳解】由"={*￡2|-1"*"3},可得，={一1,0,1,2,3},

5=-Jrlx2<2）5=￡-1-72<x<V2］

由？,，可得口

所以zn八｛TO,4

故選：B

2.若a>白>0,則一定有（）

11

--〉

AcosaccosbB.2"-2''<0Qab--------------------Da3>

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)和幕函數(shù)單調(diào)性依次判斷各個選項即可.

［詳解］對于A,；y=c°sx在（萬，2%）上單調(diào)遞增，.當2萬〉4〉6〉乃時，

cosa>cosb,A錯誤；

對于B,,??夕=2'在（0，+8）上單調(diào)遞增，；.2。>2：即2"-2'>0,B錯誤；

對于C,°x在（0'+"）上單調(diào)遞減，一。苫，C錯誤；

對于D,丁廣^在（久+司上單調(diào)遞增，；?/>〃，D正確.

故選：D.

3.若命題“VxwR,機2sinx+cosx”是真命題，則實數(shù)加的取值范圍是（）

\m>V2Bm>2c.m--6D.m--2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)命題是真命題，轉(zhuǎn)換為求函數(shù)的最大值，即可求解.

sinX+cosx-V2sinx+—廣

【詳解】14人函數(shù)的最大值是J2,

根據(jù)命題是真命題可知，"N（sinx+cosx）n%即相》血

故選：A

4.設"l°g94,則3"的值是（）

A.1B.2C.4D.9

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)對數(shù)的定義，結(jié)合指數(shù)式的運算律，可得答案.

【詳解】由"嗨支則9"=4,3*4,3“=2.

故選：B.

5,在448C中，點〃為邊上一點，2而=礪，若3兩=20+〃在，則

〃=（）

A.3B.2C.1D.-1

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)向量的線性運算法則求解即可.

一一JM^-AB

【詳解】由得3,

CM=CA+AM=CA+-AB=CA+-（CB-CA'｝=-CA+-CB

所以33?J33,

所以3cM=2C4+C6,即〃=1,

故選：C.

6,已知A是等差數(shù)列血｝的前〃項和，若孔=57,則3%一%一%=（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合等差中項的性質(zhì)，解得“。=3,根據(jù)等差數(shù)列整

理所求代數(shù)式，可得答案.

￡9=19（4+%9）J9X2%O=]MO=57

【詳解】由題意，22，解得％0—3,設等差數(shù)列

應｝的公差為〃，

則3%-%一。4=3（q+4d）-q_（q+3d）=q+9d=a10=3

故選：B.

7.某地鐳礦石原有儲量為。萬噸，計劃每年的開采量為本年年初儲量的m（0＜機＜1,且

加為常數(shù)）倍，那么第"（〃eN?）年在開采完成后剩余儲量為“（1一〃?），并按該計劃

方案使用10年時間開采到原有儲量的一半.若開采到剩余儲量為原有儲量的70%時，則

需開采約（）年.（參考數(shù)據(jù)：、份“L4）

A.4B.5C.6D.8

【答案】B

【解析】

y=a\-\

【分析】根據(jù)題意得關(guān)系式,進而根據(jù)指數(shù)與對數(shù)式的互化即可求解.

1

_八_\〃y=—a

【詳解】設第〃年開采完后剩余儲量為y,則，當〃=io時，.2,

1

10

—a-—

所以2i)

故

設第x年時，歹=70%”，故

n

710n710/—1

乂=/邛=>——==歷=iogi歷=log2—X唾2L4?10g2V2=-

10⑴10i

故〃*5

故選：B

8.若函數(shù)I61（?！怠悖┰趨^(qū)間121上恰有唯一極值點，則0的取值范

圍為（）

17BH

A,卜7一

D.」

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的圖象特征，根據(jù)整體法即可列出不等式滿足的關(guān)系進行求解.

（兀八、兀，。71兀兀、

xe——2,06ZX+—E-------+—

【詳解】當A6（266Jf

y=cos（0x+巴］（一二,（）］

由于I6）（。>°）在區(qū)間12J上恰有唯一極值點，故滿足

/①冗兀C7

-71<-------F—<006不彳

26,解得133」，

故選：C

Z、—X-y/x,0<X<\,

9.函數(shù),12/(x+l),-2"”<°的圖象大致為()

【解析】

【分析】先利用導函數(shù)研究°<xWl上的單調(diào)性，得到/（x）=x—“在上單

f

調(diào)遞減，在」上單調(diào)遞增，且4,進而研究一l<xM°上的單調(diào)性，得

32

——<x<02

-32

到在4上單調(diào)遞減，在4上單調(diào)遞增，且,從而選出

正確答案.

/f(x)=1---\=26-1

【詳解】當0<x41時，27xi4x

八，/、X€

/")<0,當」時，/取)>°

當時,

故/(x)=x—4在XG

上單調(diào)遞減，在4」上單調(diào)遞增,

_]_r

x_L_L__L

所以〃x)=x-"在％a處取得極小值，74-2--4

當-l<x?O時，0<%+1<1,故

人42-廿喑

3/\2y/x+1-13

-1<x<——./(x)=--1-<0——<x<0

當4時，\/x+\，當4時,

(x2\Jx+1—1

/3=FF>°

-1<±3--<x<0

4上單調(diào)遞減,在4上單調(diào)遞增,

]_

2丁一11

2

且,顯然24

綜上：只有D選項滿足要求.

故選：D

.已知(tan2a-tana)cos2a=2,則tana=(

10)

B.O1

A.2C.-2D.2

【答案】A

【解析】

【分析】利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得.

【詳解】解：因為(tan2"tana>cos2a=2,

(sin2a1sina

-tana-cos2a=2sin2a----------cos2a=2

所以〈cos2a；,所以cosa,

2-?sincosa--s--i-n--a--(/2ccos7a-I)=2c

即cosa'7,

c.c.sinasina3

2sinacosa-2smacosaH-------=2------=tana=2

即cosa,即cosa

故選：A

ll.己知直線/：、+沖+"=°既是曲線N=的切線，又是曲線歹=/一的切線，則

m+n=()

A.0B.-2仁0或6D.-2或

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要求切線方程，設兩個曲線方程的切點，由兩條切線均為》+町+〃=°

通過等量關(guān)系可得到根，〃的取值.

〃ri-Inro(r'i-ex~2'/(X)=一，g(X)=e*

【詳解】/(x)-lnx,g(x)-e,x,設切點分別為

M(x],yi),N(x2,y2),

y-\nx=—(x—X,)

則曲線〃x)=lnx的切線方程為：1玉，化簡得，

/.y=In玉H—(x一$)=—?x+In為一1

2

曲線g(x)=e'一的切線方程為：y—e"2=旌(x-x2))化簡得，

小-21

x.1

U-2_1(--1)(山西-1)=0

y=e"L2.x+(i_x2)e'L2、。x2)e-M玉—1,故須

解得X1=e或玉=1

當玉=e,切線方程為*一秒=0,故小=-e,〃=0,故m+“=—e.

當王=1,切線方程為F=XT,故加=〃=一1，則團+”=-2.

故機+〃的取值為-e或—2.

故選：D

12.若函數(shù)/（X）的定義域為R,且/（2x+l）偶函數(shù)，"xT）關(guān)于點（30）成中心對稱，

則下列說法正確的個數(shù)為（）

①/（x）的一個周期為2②"2)=3

19

1/(0=57

③/（x）的一條對稱軸為x=5

④

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

可得/(I)=/(l+x),

【分析】由題意，根據(jù)函數(shù)的又

1/（2-”）=6—/（2+*）,且/（2）=3,根據(jù)函數(shù)周期性的定義，可判①的正誤；根據(jù)周

期性的應用，可判②的正誤；根據(jù)函數(shù)的軸對稱性的性質(zhì)，可判③的正誤；根據(jù)函數(shù)的周

期性，進行分組求和,根據(jù)函數(shù)的對稱性，可得/°）+/0）=6,/⑵+/（4）=6,可

判④的正誤.

【詳解】因為/3+1）偶函數(shù)，所以/（1-2X）=/0+2X）,則/（1-X）=/（1+X）,即

函數(shù)/（x）關(guān)于直線x=l成軸對稱，

因為函數(shù)/（“）的圖象是由函數(shù)/（XT）的圖象向左平移1個單位，所以函數(shù)/（“）關(guān)于點

（2,3）成中心對稱，則八2一）6-/（2+x）,且/（2）=3,

/（x+2）=6-/（2-x）=6-7（l-（x-l））=6-/（l+x-l）=6-7（x）j

/(x+4)=/(2+x+2)=6-/(2-X-2)=6-/(-x)=6-/(1-(x+1))

=6-/(l+x+l)=/(2-x)=/(1+1-%)=/(1-1+%)=f(x｝向甘口

)J'fJ)J\)J、),則函數(shù),l，的周期

7=4,故①錯誤；

對于②,“22)=/(2+4X5)="2)=3,故②正確：

對于③，/(5+x)=/(l+x+4)=/(l+x)=/(l-x)=/(l-x+4)=/(5-x)>故③

正確；

對于④，/0)=/(2-1)=6-/(2+1),則-1)+/(3)=6,

/(4)=/(0)=/(1)=/(1+1)=/(2)=3,則/(2)+/(4)=6,

19

I?！琙/(0=/(0+/(2)+-+./,(19)

由19+4=43,則,=1

=4(/(1)+/(2)+/(3)+/(4))+/(17)+/(18)+/(19)

=4x(6+6)+”l)+/(2)+/(3)=48+6+3=57,故④正確.

故選：C.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量“=(’3),(')，旦()則—■

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)向量加法的坐標公式，結(jié)合垂直向量的坐標表示，可得答案.

【詳解】由題意，［2二(-3,3-2也因為一陽25),所以"-2)0,

則3+3(3-2加)=0,解得加=2.

故答案為：2.

14.已知等比數(shù)列加"｝的各項均為正數(shù)，設色是數(shù)列乩｝的前〃項和，且4=2,

4=8,則$5=.

【答案】31

【解析】

【分析】利用等比數(shù)列通項公式，結(jié)合9>°,可求得公比夕=2,進而得到外，利用等

比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.

【詳解】設等比數(shù)列"J的公比為q，

q'=—=4：.a.=—=1

>0,.,.夕>0,又a2,q=2,q

故答案為：31

15.某游樂場中的摩天輪作勻速圓周運動，其中心距地面20.5米，半徑為20米.假設從小

軍同學在最低點處登上摩天輪開始計時，第6分鐘第一次到達最高點.則第10分鐘小軍同

學離地面的高度為米.

【答案】10.5

【解析】

【分析】建立直角坐標系，利用三角函數(shù)定義將摩天輪的高度求出，即可求解.

【詳解】以摩天輪的圓心為坐標原點，平行地面的直徑所在的直線為x軸，

乃

_2__t-7-1t

建立直角坐標系，設.時刻的坐標為(X/),轉(zhuǎn)過的角度為2x66

y-20sin(—f--)=-20cos—r

根據(jù)三角函數(shù)的定義有,626,

地面與坐標系交線方程為丁=一°$,

0.5-20cos.=10.5

則第10分鐘時他距離地面的高度大約為6米.

故答案為：1S5

2

_xx-2x-3,x>a,

/（z"）="'

16.已知函數(shù)c［x-Z,x<a,若存在實數(shù)加，使得關(guān)于x的方程

./G）="恰有三個不同的實數(shù)根，則。的取值范圍是.

【答案】（-2,1）

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)/（“）圖象與>的交點即可求解.

【詳解】在直角坐標系中畫出必=/-2'—3,為="一2的圖象，

當aW-2時，/（x）="至多有2個實數(shù)根，如圖⑴，

當時，/6）=”至多有2個實數(shù)根，如圖（2）,

當-2<a<l時，/（"）=”恰好有3個實數(shù)根，如圖（3）,

故。的取值范圍為一2<。<1,

故答案為：-2<a<l

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第

17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生

根據(jù)要求作答.

（-）必考題：共60分.

f（x}=cosx（V3sinx-cosxJ

17.已知函數(shù)八,I）.

（1）求/（X）的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）求/（*）=T在［°'兀］上的解.

兀,5兀,

—Fkit，---hkit

【答案】（1）_36」(keZ)

x=O,M兀

(2)3

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等變化化簡三角函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合整體思想,

可得答案;

（2）利用整體思想，結(jié)合正弦函數(shù)求值，可得答案.

【小問1詳解】

V3._2百.ccos2x4-1

“、A.=——sin2x—cosx=——sin2x---------

/(X)=v3smxcosx-cos2x222

=—sin2x~—cos2x~—=s^n|~

222k2

兀-,-兀3兀_,7i5兀，

一+2/ai<2x—<---F2而—+ZTC<X<—+4兀

令262《wZ),解得36(kwZ),

兀,5兀,

/./\---------FKTI，----------hKTI

..?函數(shù)J的單調(diào)遞減區(qū)間為136」（％dZ）.

【小問2詳解】

.兀)1C?！肛?1兀

由/口)=-1,得I6J2,,.^[0,吐...6L66

_71兀7兀11兀_271

2X---=---,-r----X=0,-r-TC

6666,解得3

18.已知數(shù)列｛%｝滿足："5,%=1,*+也=5=（〃eN*）.

（1）證明：數(shù)列"”+「%｝是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛4｝的通項公式.

【答案】（1）證明見解析

二嚴+］）（”€“）

（2）a"3

【解析】

【分析】(1)結(jié)合遞推公式利用等比數(shù)列的定義證明即可；

(2)結(jié)合(1)中結(jié)論，利用累加法和等比數(shù)列求和公式即可求解.

【小問1詳解】

證明：：4，+?+4%="eN",

?！?2-=4(。角-%),neN*；

1_1

a,=-?a=1%一％=彳

22,/.2,

數(shù)列｛-a”｝是以萬為首項，4為公比的等比數(shù)列.

【小問2詳解】

x4，l23

.,,^?++1l-?n=-個"=2'"

由(1)知，2,

當〃22時，

K=(??-??_1)+(??_!-4,-2)+…+(/一%)+4

=22"-5+22"-7+22"-9+…+2”+2T

q=-(2-'+1)=-

當n=\時，32滿足上式.

=1(22"-3+1)(/7

所以，a"3

19.在銳角-3C中，角A,B,C所對的邊為4,b,C,且"05'='(1+。05").

(1)證明：sinC=sin35.

c

(2)求4的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

c.722百、

—e(——,---)

(2)a23

【解析】

【分析】(1)由正弦定理化簡ecosBnHl+cos/O可得/=28,所以

C=7r-A-B=7r-3B,即可證明.

(2)因為△/BC為銳角三角形，可求出B的范圍，即可求出cos6的范圍，由正弦定理化

c1力1,S⑸

-=2cos5——--y=2t--,te-

簡q2cos8,令cos8=t,"由函數(shù)的單調(diào)性即

C

可求出。的取值范圍.

【小問1詳解】

??Q?cosB=b(l+cosA)

由正弦定理得sin力?cosB=sin8(1+cosA)

即sinA?cosB-cos4?sin8=sin8,

/.sinQ-5=sin5,

4-8=8或(Z-8+B=TI(舍)，即/=28,

???C=7T—A—B=7T—3B，

.sinC=sin(^-3B)=sin35

【小問2詳解】

0<8<：Q<A=2B<-Q<C=7r-3B<-

由銳角△NBC,可得2,2,2

7171

—<B<—顯＜c°sB〈盤

即6422

c_sinC_sin38sin2B-cosB+cosIB-sinB~?1

=------------------------------------=2cosD---------

asinAsin2Bsin282cos5

y2t------,tG12司

令cosB=t,2t

也也、

c1tG

y=2t------

因為2/在/上單調(diào)遞增,

V26

「『乂…丑--3-一-顯

所以當22?z-

,J=舁"平

當230，

院仔，哈

"x）=J-（”卜+4人玲（―R）

20.已知函數(shù)3VJ（

（1）討論函數(shù)/（X）的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)/（X）在（°3上恰有兩個零點，求函數(shù)/（"）在［°'”上的最小值.

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析

-2

/(x)=659

J\/mm呼-竺

(2)I265

【解析】

【分析】（1）求導，分類討論導函數(shù)的正負即可求解,

（2）根據(jù)第一問可知,（X）的單調(diào)性，進而可判斷/（“）在（°'3）上恰有兩個零點，滿足

°〈左＜3,根據(jù)零點存在性定理即可列不等式求解.

【小問1詳解】

由題意得/'(X)=X?-/+4)X+4k=(x-4)(x-k)

當左=4時，由八x）=（x-4）2z°,函數(shù)/（x）在S，+8）上單調(diào)遞增.

當左＞4時，令/中尸"—令什）＞0口x＜4或二A

故函數(shù)?。┰冢?,左）上單調(diào)遞減，在3,4）和出+動上單調(diào)遞增.

當左＜4時，令什）＜＞"x＜4,令汽x）＞。八支或x＞4

函數(shù)小）在伙，4）上單調(diào)遞減，在（一口公，（4'+°°）上單調(diào)遞增.

【小問2詳解】

當％WO或％23時，函數(shù)/（x）在（0,3）上為單調(diào)函數(shù)，最多只有一個零點.

當0〈女＜3時,函數(shù)/（x）在（0,與上單調(diào)遞增，在（匕3）上單調(diào)遞減.

要使函數(shù)/*）在（0,3）上有兩個零點，則需滿足：

7G）〉o，

＜/（。）＜0，13

。＜左＜3且[/*）＜0，解得i＜9.

.f（x）=min{/（0）,/（3））

/（3）-/（0）=*9

又2,

6,6

???當與時,/⑶“（0）；當M時，〃3）＜/（0）,

116,，13

--k<—

f(x)659

JV/min

61315k65,,6

—<一,1<女<一.

又59?工5

21.已知函數(shù)/G)=2e-x-2,當xzo時，/(x)20.

(1)求〃的取值范圍；

(1+^—++…[1+^—]<5

⑵求證：I2e-lJ<2e2-lJl2e3-lJ(2en-lJ(〃eN*)

【答案】（1）（-8,2]

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）由導數(shù)法對“42、。＞2分類討論/（二1沁'（）是否滿足即可；

（2）由（1）結(jié)論，當。=2時，/（x）*°恒成立，即可得2e"—12，/+2〃+1,即可列項

---2--＜--1----1--

得2e"-1n〃+2,

構(gòu)造“xRnx-x+l,由導數(shù)法證力（D=°,貝I有InxWx-l,即

ln（l+—-—）＜—-—＜-———

2e"-l2e"-lnn+2,最后結(jié)合對數(shù)運算性質(zhì)即可證

【小問1詳解】

由題意得"x)=2e'-2x-

令g（x）=2e'-2x-a>則g'（x）=2e*-2>0

函數(shù)/（X）在區(qū)間[°'+°°）上單調(diào)遞增，

則函數(shù)/（X）的最小值為/@=2-。.

①當2-aNO,即a42時,可得/口）“（0）之0,

函數(shù)/㈤在@+°°）上單調(diào)遞增.

3^.，（），...，（），（）恒成立.

②當2—艮”>2時,函數(shù)“X）的最小值為2（0）=2-。<0,

且存在%>0,當xe[0,X。）時，/"（x）<0.

又/（0）=0,...當xe[0,X。）時，/（%）<0；

這與x20時，7（x）2°相矛盾.

綜上，實數(shù)a的取值范圍是（-8'2].

【小問2詳解】

由⑴得當”2時，不等式/02爐*-2》-220恒成立,

v2

A2e-l>x+2x+l.

令X=〃，得2e"—12/+24+1

212211

-----W---------<----------------

?2e"—1+2〃+1n（n+2）nn+2

令〃（x）=lnx-x+l,則“O丁，

xe（0,l）時,l（x）〉0,3）為（0,1）上的增函數(shù);

XG（l,+oo）0；b^）<0；人（X）為（1，+8）上的減函數(shù)；

?.h(x)</?(1)=。，則InxWx—1

2211

ln(l+------)<------<--------

2e”—l2e,r-ln〃+2

2222

ln(l+----)(1+——)(1+——)…(1+------)

2e-l2e2-l2e3-l2en-l

222

ln(1+^T)+ln(,+n)+ln(,+n)…+皿1+

1311

----)-------------

〃+2=2〃+1%+2

<Ine^=InV?<InV25=In5.

2222

（1+----）（1+「—）（1+—Z—）???（1+-----）<5

23n

???2e-l2e-l2e-l2e-V?

【點睛】方法點睛：證明數(shù)列累乘不等式，可通過不等式兩邊取對數(shù)，轉(zhuǎn)換成累加不等式

的證明，接著一般可結(jié)合題中結(jié)論，通過對數(shù)列通項放縮，達到證明目的

（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題做答.如果多做,

則按所做的第一題記分.

［選修4一條坐標系與參考方程］