2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)題型歸納與分階培優(yōu)練03直線方程（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）（解析版）

專題3直線方程

目錄

【題型一】?jī)A斜角...............................................................................1

【題型二】斜率.................................................................................3

【題型三】直線平行與垂直.......................................................................5

【題型四】截距式及截距應(yīng)用....................................................................7

【題型五】動(dòng)直線（含參）.....................................................................10

【題型六】動(dòng)直線與距離最值....................................................................11

【題型七】動(dòng)直線:三角函數(shù)型（切線型）.......................................................12

【題型八】雙動(dòng)直線............................................................................15

【題型九】平行線之間的距離....................................................................17

培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練......................................................................19

培優(yōu)第二階——能力提升練......................................................................23

培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練......................................................................25

【題型一】?jī)A斜角

【典例分析】

（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）直線XCOS6+ysin。=0,6e的斜率的取值范圍為（）

A.（―,揚(yáng)B.（2,+oo）C.（-石，百）D.（-?）,2）

【答案】A

【分析】將直線的一般方程轉(zhuǎn)化為直線的斜截式方程，根據(jù)。的范圍求出tan。的范圍，進(jìn)

而求出一一二范圍即可求解.

tan。

【詳解】當(dāng)cos8=0時(shí).，直線xcos6+），sin6=0的斜率為k=0,

因?yàn)?<。<"，所以cos。/。時(shí)，tan0<--gictan>0,

63

,八?八八/口cos?1

由XCOS0+ys\n0=0,存y=-----x=------x,

sin0tan0

當(dāng)cos。。。即——^工。時(shí)，直線xcos6+ysine=0的斜率為之=——.

tan0tan0

因?yàn)?<6<"，所以tan”-近或tan8>0,即-一二<0或--二<6

63tan0tan0

所以直線xcos6+ysine=0的斜率的取值范圍為（—,0）（0,73）.

綜上所述，直線xcos6+ysine=0的斜率的取值范圍為

故選：A.

【變式訓(xùn)練】

【提分秘籍】

基本規(guī)律

前提條

直線/與X軸相交_

件

以x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線/向上的方向之間所成的角a叫做直線/的

定義

傾斜角

特殊情

當(dāng)直線/與x軸平行一或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0

況

取值范

0<a<180

圍

1.（2021.北京市第十二中學(xué)高二階段練習(xí)）直線xcosa-y-1=。的傾斜角的取值范圍是

()

3乃7134

A.吟口彳/B./U29T

冗3乃713萬(wàn)

C.畤7'TD.

【答案】A

【分析】由直線方程求得直線斜率的范圍,再由斜率等于傾斜角的正切值可得直線

xcos。-y-1=0的傾斜角的取值范圍.

【詳解】直線xcosa-y-l=0的斜率4=cosae[-l,l],

設(shè)直線xcosa-y-l=0的傾斜角為伙0419〈萬(wàn)），則tanOef-1,1],

解得匹0,升宵，，故選:

A.

2.（2021.全國(guó)?高二期中）已知直線/的傾斜角為a,斜率為火，若%6[-6,1],則a的取值

范圍為（)

乃]「2萬(wàn)\

A?97卜值可B.

【答案】A

【分析】根據(jù)斜率A:的范圍得到tanae]-#/],然后結(jié)合正切函數(shù)的圖象及直線傾斜角的

取值范圍即可求出直線/的傾斜角a的取值范圍.

【詳解】因?yàn)闊o(wú)=tana,且ae[O㈤，所以ae0,（u與/）

故選：A.

TTTT\

3.（2022?江蘇?高二專題練習(xí)）若ae,貝I」直線4xcosa+6y-7=0的傾斜角的取值范

62;

圍是（）

【答案】B

【4析】求出直線4xcosa+6y-7=0的斜率的取值范圍，利用斜率與傾斜角的關(guān)系可出結(jié)

果.

【詳解】因?yàn)閍w—,則cosae0,--,

所以，直線4xcosa+6y—7=0的斜率為％=-答區(qū)仁-y,0

因此，直線4xcosa+6y-7=0的傾斜角的取值范圍是日,”

故選：B.

【題型二】斜率

【典例分析】

（2021?全國(guó)?高二單元測(cè)試）己知四邊形Q4BC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為0（0,0）,42,1）,8（1,3）,

。（-1,2）,點(diǎn)。為邊。4的中點(diǎn)，點(diǎn)正在線段。。上,且拉）把是以角8為頂角的等腰三角形,

記直線EB，D8的傾斜角分別為a,P,則sin（a+0=

【答案】c

【分析】根據(jù)已知條件易得四邊形Q4BC為正方形，再ADBE是以角B為頂角的等腰三角形

即可得E必為邊OC的中點(diǎn)，利用直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，可得sina=]和夕=90。，可

得答案.

【詳解】由題中條件可知，%=%，koc=kAB,Q4=OC,04_LOC,.?.四邊形。45c為

正方形.又為邊。4的中點(diǎn)，AD3E是以角5為頂角的等腰三角形，必為邊OC的中

點(diǎn)，則小，g），二tan"%-1+1-,由題易知，sina=g,cosa=[；直

3

線08與x軸垂直，則夕二90。，.?.sin（a+夕）=sin（a+90。）=cosa=不故選C.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

斜率公式

⑴若直線1的傾斜角aW90。，則斜率Qtana.

（2）Pi（xi，yi）,「2（x2,竺）在直線/上，且xiW如貝h的斜率k

【變式訓(xùn)練】

1.（2022.湖北.監(jiān)利市教學(xué)研究室高二期末）已知點(diǎn)4（2,3）,5（-2,-1）,若直線

l-y=k（x-1）-2與線段A8沒有公共點(diǎn)，則&的取值范圍是（）

A.鳥,5）B,卜唱）

C.（5,+oo）D.,8,-；卜（5,+8）

【答案】A

【分析】分別求出心B，七A,即可得到答案.

【詳解】直線/：y=Z（x-1>2經(jīng)過(guò)定點(diǎn)尸（1,—2）.

只需：kPB<k<kPA,即-g<&<5.所以％的取值范圍是（-g,5）.故選：A

2.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）若直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（l,2）,且在x軸上的截距的取值范圍是（3,

5）,則其斜率的取值范圍是（）

【答案】A

【?析】先得出直線的點(diǎn)斜式方程，求得直線在X軸上的截距，建立不等式可得選項(xiàng).

【詳解】設(shè)直線的斜率為％（左/0）,則直線方程為r-2=&（x-l）,

22

令y=0,得直線/在x軸上的截距為1一工，則3<1—工<5,

解得所以直線/的斜率的取值范圍為1-1,-；）.故選：A

3..（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合A=1（x,y）若=2,x,y€R1，

B={（x,y）|4x+“y—l6=0,x,yeR},若AC3H0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.（-co,4）U（4,+oo）

B.（-<?,-2）i（-2,+oo）

C.（-^o,-2）o（-2,4）u（4,+co）

D.（-oo,-4）u（-4,2）u（2,+oo）

【答案】C

【分析】由題可知直線y=2x+l與直線4x+ay-16=0相交且交點(diǎn)不是點(diǎn)（1,3）,即可求

出.

【詳解】由題知集合A表示直線y-3=2（x-l）,即y=2x+l上的點(diǎn)，但除去點(diǎn)（1,3）,

集合B表示直線4》+緲-16=0上的點(diǎn)，

易知直線y=2x+l與直線4》+政-16=0不重合，

所以當(dāng)時(shí)，直線y=2x+l與直線4x+ay-16=0相交且交點(diǎn)不是點(diǎn)（1,3）,

當(dāng)。=0時(shí)，兩條直線相交且交點(diǎn)為（4,9）,符合題意；

4

當(dāng)awO時(shí)，由—H2且4—3a—160,得awOILaw—2目.。力4.

a

綜上，aw—2且a=4.

故選：C.

【題型三】直線平行與垂直

【典例分析】

.（2022?全國(guó)?高二單元測(cè)試）已知點(diǎn)A（-1,1）,8（3,5）,若點(diǎn)A,B到直線/時(shí)距離都為2,

則直線/的方程不可能為（）

A.x-y+2-2\f2—0B.x-y+2+2&=0

C.y=3D.x-y-l=O

【答案】D

【分析】由題意可分為：直線/與直線AB平行以及直線/過(guò)AB的中點(diǎn)（1,3）兩種情況，然后

利用兩直線平行和點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)分析計(jì)算即可得解.

5—1

【詳解】直線AB的斜率為訐汗=1,①直線/與直線AB平行時(shí)，設(shè)直線/的方程為

x-y-\-m=0,

仃?拉1=2,解得加=2±2V5,直線/的方程為x—y+2-2&=0或x—y+2+2&=0；

②若直線/過(guò)A8的中點(diǎn)。,3）時(shí)，

若直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為八3=刈/-1）,整理為依-y+3-攵=。，

點(diǎn)A到直線/的距離為耳望=2,解得&=0,直線/的方程為y=3；

若直線/的斜率不存在，直線/的方程為x=3符合題意.故選：D.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

平行與垂直：

（1）斜截式判斷法：

①兩條直線平行：對(duì)于兩條不重合的直線/|、/2：

（i）若其斜率分別為后、公，則有（近）當(dāng)直線/1、/2不重合且斜率都不存

在時(shí)，h//l2.

②兩條直線垂直：（i）如果兩條直線/卜/2的斜率存在，設(shè)為左、左2,則有/1隆20任紅三

-1.

（ii）當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0時(shí)，Zil/2.

（2）一般式判斷法：設(shè)兩直線4x+Biy+G=0與Aix+B2y+C2=0，則有：

①/1〃/2=A|82=4281且4C2WA2Ci；②/1JJ2OAM2+8山2=0.

【變式訓(xùn)練】

1.（2021.四川綿陽(yáng).高二階段練習(xí)（理））已知集合4=｛（用田,+--.=0｝,

8=｛（x,y）/+（2a+3）y-l=。｝.若AB=0,則實(shí)數(shù)a=（）

A.3B.-1C.3或-1D.-3或1

【答案】A

【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“直線》+紗-。=。與直線?+（2a+3）y-1=0互相平行”，由此求解

出。的取值.

【詳解】因?yàn)锳B=0,所以直線x+ay-“=0與直線ox+（2?+3）y-1=0沒有交點(diǎn)，

所以直線x+ay-a=0與直線公+（為+3）y-l=0互相平行，

所以lx（2a+3）—axa=0,解得q=—1或“=3,

當(dāng)a=-1時(shí)，兩直線為：x-y+l=O,-x+y-l=0,此時(shí)兩直線重合，不滿足，

當(dāng)。=3時(shí)，兩直線為：x+3y-3=O,3x+9y-l=0,此時(shí)兩直線平行，滿足，

所以〃的值為3,故選：A.

2..（2021?安徽噸溪一中高二期中）已知a>0,b>0,直線4：x+（a-4）y+l=O,

l2-.2bx+y-2=0,S.lxll2,則竺J+L的最小值為（）

a+12b

49

A.2B.4C.-D.一

55

【答案】D

【分析】根據(jù)得到處+。-4=0,再將壽+人化為積為定值的形式后，利用基本不

等式可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?，所以2Z>+a—4=0,即4+1+?=5,

因?yàn)椤?gt;0,6>0,所以a+l>0,2b>0,

所以

2ba+\

x—（a+1+2b）+1=—I24-

。+12b

>-

一5v7+T

當(dāng)且僅當(dāng)a=],〃=i時(shí)，等號(hào)成立.故選：D.

3.（2021?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知直線小xcos2?+^y+2=0,若㈠*則6的傾斜角的

取值范圍是（）

兀兀、c「八■乃]C「乃5乃

A.—B.0,—C.—D.—-

L32JL132」|_36」

【答案】C

【分析】分cos2aw0時(shí)和cos2a=0時(shí)兩種情況討論，根據(jù)得"-1,或《=。，

&不存在，從而求得A的范圍，即可得出傾斜角的取值范圍.

【詳解】解：當(dāng)cos'awO時(shí)，…Wcos%,],上1〉/「％=-1,：&=￡■,

3cos"a

0<cos2tz<1,:.k^=—中一>>/3，設(shè)4的傾斜角為。e[0,乃），則lan0>y/3，??不（。<彳；

cosa32

jr

當(dāng)cos2a=0時(shí)，直線4的斜率為0,傾斜角為0,；」2的傾斜角為

TTTT

綜上jy.y.故選：C.

【題型四】截距式及截距應(yīng)用

【典例分析】

（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)尸（3,4）在兩坐標(biāo)軸上的截距都是非負(fù)整數(shù)的直線有多少條

（）

【答案】D

【分析】截距為零時(shí)單獨(dú)考察，在截距不為零時(shí)，設(shè)截距分別為。，A利用截距式寫出直線方

程，根據(jù)過(guò)定點(diǎn)P,得到。力的關(guān)系，判定的范圍，然后求得6=々后分離常數(shù)得到

6=4+-進(jìn)而得出。-3應(yīng)當(dāng)為12正因數(shù)，從而解決問(wèn)題.

。一3

【詳解】當(dāng)截距為。時(shí)，是直線OP,只有一條，

當(dāng)截距大于0時(shí)，設(shè)截距分別為。也則直線方程為二+3=1,?直線過(guò)點(diǎn)P（3,4）,

343434

???一+—二1①，???0>（）*>（）,???巳>0,—>0、結(jié)合①可得，-<l,-<l,/.a>3^>4,

ababab

又二〃/為整數(shù)，.?.aN4,b>5,

由①解得6=々=4+%,a—3為12的因數(shù)，

a-3”3

=2,3,4,6,12,對(duì)應(yīng)“=4,5,6,7,9,15,相應(yīng)6=16,10,8,7,6,5,

對(duì)應(yīng)的直線又有6條，

綜上所述，滿足題意的直線共有7條，故選：D.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

名稱截距式方程

已知條件直線/在x,y軸上的截距分別為a,〃且aw°,人工°

示意圖

|dV

方程形式3=1

ab

適用條件斜率存在且不為零，不過(guò)原點(diǎn)

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)函數(shù)

/。）=左。-2）+3的圖象為直線/,且/與X軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，給出下列四個(gè)命

題：

①存在正實(shí)數(shù)〃?，使.AO8的面積為優(yōu)的直線/僅有一條；

②存在正實(shí)數(shù)〃?，使，AO8的面積為機(jī)的直線/僅有二條；

③存在正實(shí)數(shù)機(jī)，使,AO8的面積為優(yōu)的直線,僅有三條；

④存在正實(shí)數(shù)加，使AOB的面積為切的直線/僅有四條.

其中，所有真命題的序號(hào)是.

A.①0@B.③④C.②④D.②③④

【答案】D

【詳解】???直線丫=k"-2）+3與x軸，丫軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別是：A（2-2,0）,8（0,3-2公，

X

SAOB=^2_gx|3_2[=gx（2%3）,當(dāng)女＞0時(shí)，

14k2-12攵+91/9、QI9鼻

sAOB=；XyX以+912,???奴+42.4人苫=12,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等

2k2Vk）k\k2

3

號(hào)，SM^O,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，.?.當(dāng)5八點(diǎn)=帆＞0,在％＞0時(shí)，k有兩個(gè)值；

,上。1（24-3）214乃724+91「，”，、9

當(dāng)％＜0時(shí)，s40?=-x-iTi~=-x----------=；x（-4^）+--+12,；

2|K|2-k2[_-k

-4k+、22卜k）x3=12,當(dāng)且僅當(dāng)％=-|時(shí)取等號(hào)，.?.SM；N12,當(dāng)且僅當(dāng)％=-|時(shí)

取等號(hào)，當(dāng)543=相＞12時(shí)，在左＜0時(shí)，％有兩個(gè)值；.?.當(dāng)%=0時(shí)，僅有一條直線使.498

的面積為，〃，故①不正確；當(dāng)0＜?。?2時(shí)，僅有兩條直線使，AO8的面積為“?，故②正確；

當(dāng)膽=12時(shí)，僅有二條直線使AO3的面積為加，故③正確；當(dāng)初＞12時(shí)，僅有四條直線使

,.AOB的面積為m,故④正確；綜上所述，真命題的序號(hào)是②③④，故選D.

2.（2022.全國(guó).高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)（1,3）作直線/,若/經(jīng)過(guò)點(diǎn)（。,0）和（0⑼，且a,。eN*,

則可作出這樣的直線/的條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.多于3

【答案】B

【分析】假設(shè)直線的截距式方程，可知：3==Z7—1；當(dāng)。=1時(shí)顯然不合題意；當(dāng)時(shí)，由

ba

3

。=3+二J和°CN?可確定。的取值，由此可確定直線方程.

【詳解】./過(guò)點(diǎn)（4,0）和（0,3，且a,6eN,,.,.可設(shè)/—+；=1,

ab

又/過(guò)點(diǎn)（1,3）,.」+樹=1,整理可得:7=—；

abba

當(dāng)a=l，6eN*時(shí)，等式顯然不成立；

當(dāng)且aeN*時(shí)，=—=3^~^+3=3+—,

（7—1a-\a-\

Z?GN*,「.a—1=1或a—1=3,解得：。=2或。=4,

,滿足題意的直線/方程為：；+5=1或3+==1，；.滿足題意的直線/有2條.故選：B.

2644

3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知過(guò)定點(diǎn)直線h-y+4-&=0在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值,

且截距之和最小，則直線的方程為（）

A.x-2y-~l=0B.x-2y+~!-0C.2x+y-6-0D.x+2y-6=0

【答案】C

【分析】由題意可知，k＜0,求出直線版-y+4T=0與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A（0,4-Z）,

,0）,再山均值不等式即可求出截距之和的最小值，即可求出直線方程.

【詳解】直線日-y+4-&=0可變?yōu)镸x-l）-y+4=0,所以過(guò)定點(diǎn)P（l,4）,又因?yàn)橹本€

丘-?+4-?=0在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，可知左＜0,

令x=0,y=4-3所以直線與y軸的交點(diǎn)為A（0,4-Z）,

令y=O,x=l-：,所以直線與x軸的交點(diǎn)為

所以4一%+1_:=5+（_1）+[_/25+2卜：）[_￡）=5+4=9,

4

當(dāng)且僅當(dāng)-2=-7即％=-2時(shí)取等，所以此時(shí)直線為：2x+y-6=0.

K

故選：C.

【題型五】動(dòng)直線(含參)

【典例分析】

2021?河南?扶溝縣第二高中高一階段練習(xí))不論&為何實(shí)數(shù)，直線(2&-l)x-(k+3)y-("11)=0

恒通過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(5,2)B.(2,3)

C.(5,9)D.卜別

【答案】B

【分析】直線恒過(guò)定點(diǎn)，即與參數(shù)女無(wú)關(guān)，原直線方程整理為(2x-y-1)左-(x+3y-11)=0,

令我的系數(shù)為0,解方程即可得解.

【詳解】原方程可化為(2x-y-I)Z-(x+3y-11)=0,由直線恒過(guò)定點(diǎn)可知，

f2x—y-1=0[x=2

/,,,、，解得所以直線恒過(guò)定點(diǎn)(2,3)

[x+3y-ll=0[y=3

故選：B

【提分秘籍】

基本規(guī)律

直線系：

過(guò)4x+Biy+G=0與A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線可設(shè)：Aix+Biy+Ci+z(Aiv+B2y

+C2尸0.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?全國(guó)?高二)無(wú)論％為何實(shí)數(shù)，直線(2&+l)x-(Z-2)y-供+8)=0恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，這

個(gè)定點(diǎn)是()

A.(0,0)B.(2,3)

C.(3,2)D.(-2,3)

【答案】B

【分析】直線恒過(guò)定點(diǎn)，即與參數(shù)人無(wú)關(guān)，原直線方程整理為(2x-y-l)Z+(x+2y-8)=0,

令k的系數(shù)為0,解方程即可得解.

【詳解】原方程可化為(2x-y-l)A+(x+2y-8)=0,由直線恒過(guò)定點(diǎn)可知，

f2x—y—1=0fx=2

J解得所以直線恒過(guò)定點(diǎn)(2,3)

[x+2y-8o=0[>,=3

故選：B

2.(2021?湖北?高二階段練習(xí))無(wú)論為何值，直線y=/nx+2加+1所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(-2,-1)B.(2,-1)C.(-2,1)D.(2,1)

【答案】C

【分析】轉(zhuǎn)化>="優(yōu)+2機(jī)+1=加(犬+2)+1,當(dāng)x=-2時(shí)，y=l,與"?為何值無(wú)關(guān)，即得解

【詳解】由題意，y=，nx+2m+l=m(x+2)+l

當(dāng)x=-2時(shí)，，y=1,與，〃為何值無(wú)關(guān)

故直線廣如+2，〃+1所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2,1）

故選：C

3.已知直線（3m-〃）x+（〃2+2〃）y-〃=O則當(dāng)/〃、〃變化時(shí)，直線都通過(guò)定點(diǎn)

【答案】(,12)

(7'7

【詳解】=>m(3x+y)+n(-x+2y-l)=0

1

3x+y=0x=“/,從而該直線必過(guò)定點(diǎn)（-一13

令＜=><

-x+2y-\377

【題型六】動(dòng)直線與距離最值

【典例分析】

（2022?江蘇?高二單元測(cè)試）已知點(diǎn)依-2-D和直線/：（1+2團(tuán)x+（l-32萬(wàn)+和-2=0,則點(diǎn)P

到直線/的距離的取值范圍是（）

A.（0,V13]B.[0,713）C.（0,2碎D.[。,2呵

【答案】A

【分析】先求得I線/的定點(diǎn),進(jìn)而求得點(diǎn)尸到直線/的最大距離，然后檢驗(yàn)點(diǎn)求-Z-1）是

否可能在直線/上即可

【詳解】/：（l+22）x+（l-34）y+/l-2=0可化為：x+y-2+（2x-3y+l）2=0

設(shè)直線/的定點(diǎn)為A,點(diǎn)p到直線/的距離為d,則有：L：士*二211。

可得：A（l,l）為直線/的定點(diǎn)

則有：|PA|=132+22=瓦,此時(shí)舊4|為點(diǎn)P到直線/的最大距離

若尸（-2,-1）在直線/上，則有：-2-l-2+（Y+3+l）/l=0,即—5=0

可得：尸（-2,-1）不可能在直線/上，則有：4＞。

綜上可得：Qvd45

故選：A

【提分秘籍】

基本規(guī)律

點(diǎn)到動(dòng)直線（過(guò)定點(diǎn)型）距離最大值，就是兩點(diǎn)之間的距離。

【變式訓(xùn)練】

1.（2021?浙江省杭州第二中學(xué)高二期中）原點(diǎn)到直線/：3x+4y—2+/l（2x+y+2）=0的距

離的最大值為（）

A.-B.242C.-D.逑

555

【答案】B

【分析】求出直線/所過(guò)定點(diǎn)A的坐標(biāo)，由分析可知所求的最大距離即為10Al.

，八[3x+4y-2=0,[x=-2

【詳解】由,^n可得,，

[2x+y+2=0[y=2

所以直線/過(guò)定點(diǎn)4(-2,2),

所以原點(diǎn)與點(diǎn)A(-2,2)的連線垂直于直線/即點(diǎn)A(-2,2)為垂足時(shí)，原點(diǎn)到直線/的距離最大,

所以原點(diǎn)到直線/距離最大值為：|OA|=-2-0)2+(2-0)2=2夜，

故選：B.

2.(2021?河北?大名縣第一中學(xué)高三階段練習(xí))已知點(diǎn)P(-2,2),直線

/:(2+2)x-(4+l)y-4/1—6=0,貝IJ點(diǎn)尸到直線I的距離的取值范圍為.

【答案】[0,4收)

(解析】化簡(jiǎn)直線為(2x-y-6)+&X-y-4)=0,得出向.線/過(guò)定點(diǎn)M(2,-2),根據(jù)點(diǎn)|。蛆

的長(zhǎng)度，進(jìn)而求得點(diǎn)P到直線/的距離的取值范圍.

【詳解】把直線/:(/l+2)x_(/l+l)y_4/l_6=01L為(2x_)，_6)+〃x_y_4)=0,

[2x-y-6=0fx=2

聯(lián)立方程組',解得即直線/過(guò)定點(diǎn)M(2,-2),

[x-y-4=o0[y=-2

-2-2A+2

又由%w…=T,且-^xjl)聲-1,所以直線尸M與/不垂直，

2-(-2)2+1

所以點(diǎn)P到直線/的距離的最大值為歸叫＜7(2+2)2+(-2-2)2=4及，

即點(diǎn)尸到直線/的距離的取值范圍為[0,4播)

故答案為：[0,4夜).

3.(2021.全國(guó)?高二階段練習(xí))對(duì)于任意實(shí)數(shù)%,直線僅+2)x-(l+Z)y-2=O與點(diǎn)(-2,-2)的

距離為d,則d的取值范圍是()

A.[。，4&]B.(0,4伺

eg]“。,力

【答案】B

【分析】根據(jù)直線的方程確定直線過(guò)的定點(diǎn)，再根據(jù)已知點(diǎn)和動(dòng)直線的位置關(guān)系分情況討論

點(diǎn)與直線距離的最值，從而確定其取值范圍.

【詳解】根據(jù)題意，對(duì)于任意實(shí)數(shù)k,直線僅+2)x-(l+Z)y-2=0恒過(guò)(2,2)點(diǎn)，

點(diǎn)(2,2)和點(diǎn)G2,-2)確定一條直線,其直線方程為y-x=0

所以當(dāng)直線仕+2)x—(1+A:)y—2=0與直線y-x=0垂直時(shí)，d取得最大值

“3=42+2)2+(2+2)2=4夜;

當(dāng)x=-2,y=-2時(shí)，-2(Z+2)+2(l+Z)—2=TwO

即直線(％+2)x-(l+Z)y-2=0不過(guò)點(diǎn)(一2,-2),d無(wú)最小值，

所以d的取值范圍是(0,4&],選項(xiàng)B正確；

故選：B.

【題型七】動(dòng)直線:三角函數(shù)型(切線型)

【典例分析】

(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)直線系"：x8s6+(y-2)sine=l(04,42萬(wàn))，則下列命

題中是真命題的個(gè)數(shù)是()

①存在一個(gè)圓與所有直線相交；

②存在一個(gè)圓與所有直線不相交；

③存在一個(gè)圓與所有直線相切；

@M中所有直線均經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；

⑤不存在定點(diǎn)P不在M中的任一條直線上；

⑥對(duì)于任意整數(shù)〃(〃23),存在正"邊形，其所有邊均在M中的直線上；

⑦M(jìn)中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)已知可知，直線系M都為以(0,2)為圓心，以1為半徑的圓的切線，即可根據(jù)

相關(guān)知識(shí)，逐個(gè)判斷各命題的真假.

【詳解】根據(jù)直線系M：xcos6+(y—2)sin6=l(04"2")得到，

所有直線都為圓心為(0,2),半徑為1的圓的切線.

對(duì)于①，可取圓心為(0,2),半徑為2的圓，該圓與所有直線相交，所以①正確；

對(duì)于②，可取圓心為(0,2),半徑為3的圓，該圓與所有直線不相交，所以②正確；

對(duì)于③，可取圓心為(0,2),半徑為1的圓，該圓與所有直線相切，所以③正確：

對(duì)于④，所有的直線與一個(gè)圓相切，沒有過(guò)定點(diǎn)，所以④錯(cuò)誤；

對(duì)于⑤，存在(0,2)不在M中的任一條直線上，所以⑤錯(cuò)誤；

對(duì)于⑥，可取圓的外接正三角形，其所有邊均在M中的直線上，所以⑥正確；

對(duì)于⑦，可以在圓的三等分點(diǎn)做圓的三條切線，把其中一條切線平移到過(guò)另外兩個(gè)點(diǎn)中點(diǎn)時(shí),

也為正三角形，但是它與圓的外接正三角形的面積不相等，所以⑦錯(cuò)誤；

故①②③⑥正確，④⑤⑦錯(cuò)，所以真命題的個(gè)數(shù)為4個(gè).

故選：B.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

動(dòng)直線：圓的切線型

(a,b)到直線系M:(x—a)cose+(y-b)sin6=R(042萬(wàn))距離，每條直線的距離

D

d=/,.,=R,直線系M:(x-a)cose+(y-b)sin6=R(0V642乃)表示圓

A/COS20+sin20

(x_a)2+(y_b/=R2的切線集合，

【變式訓(xùn)練】

1.(2021?浙江省青田縣中學(xué)高二期中)在平面直角坐標(biāo)系⑼)'內(nèi)，點(diǎn)WD,集合

P={(x,)，)|xcos，—ysine=2,ecR},任意的點(diǎn)NeP,貝UIMN|的取值范圍是.

【答案】［2-0,+8)

【分析】分析可得/點(diǎn)軌跡，根據(jù)軌跡即可得解.

2

（詳解】原點(diǎn)到直線XCOSe-ysin6=2的距離d=,,=2,

Vcos26?+sin20

所以直線上點(diǎn)N（x,y）在以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓上或圓外，|MN篇,=2-1MO|=2-夜,

所以||的取值范圍是［2-72,+00）

故答案為：［2-逝,+8）

2.（2022?江蘇?高二單元測(cè)試）已知直線4：dx-y+l=O,4：x+a），+l=OMeR,以下結(jié)論不

正確的是（）

A.不論。為何值，4與6都互相垂直

B.當(dāng)a變化時(shí)，4與4分別經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（?！唬┖?（T，（））

C.不論a為何值，4與4都關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱

D.若L與h交于點(diǎn)M.則|叫的最大值是0

【答案】C

【分析】對(duì)于A,axl+（-l）xa=0恒成立，故A正確；

對(duì)于B.”亙過(guò)定點(diǎn)4（0,1）,所以4恒過(guò)定點(diǎn)8（-1，0），故B正確；

對(duì)于C,在4上任取點(diǎn)（x,ar+l）,關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-?-1,-x）,對(duì)稱點(diǎn)

不在4：x+ay+l=0上，故C不正確；

對(duì)于D」MO|=g^40,所以|陽(yáng)的最大值是正，故D正確.

【詳解】對(duì)于A,axl+（-l）xa=0恒成立，所以乙與％互相垂直恒成立，故A正確；

對(duì)于B.直線4：6-），+1=（）,當(dāng)。變化時(shí)，x=0,y=l恒成立，所以4恒過(guò)定點(diǎn)A（0,l）；

/2:x+?y+l=0,當(dāng)。變化時(shí)，x=-Ly=0恒成立，所以4恒過(guò)定點(diǎn)網(wǎng)—1,0）,故B正確;

對(duì)于C,在4上任取點(diǎn)（％公+1）,關(guān)于直線x+y=o對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-依-1,-力，代入

l2-.x+ay+\=Q,則等式左邊不恒等于0,故C不正確；

—a—\

xax+\-y+工l=0解得

對(duì)于D.聯(lián)立-a+l'即叫彳T"）’

所以也?？裳訩（黑了^^<72,所以|M?的最大值是&,故D正確.

故選：C.

3.（2021?吉林?白城一中高二階段練習(xí)）已知集合5=｛直線/I型?x+2y=1,其中“，“是

mn

正常數(shù)940,2兀）｝,下列結(jié)論中正確的是（）

A.當(dāng)。=9時(shí)，S中直線的斜率為2

B.S中所有直線均經(jīng)過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)

C.當(dāng)〃后〃時(shí)，S中的兩條平行線間的距離的最小值為2〃

D.S中的所有直線可覆蓋整個(gè)直角坐標(biāo)平面

【答案】C

【分析】A中，'與"】時(shí)，sing=cos0=也，S中直線的斜率為-2；B中，S中所有直線

42機(jī)

均經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，不正確；C中，當(dāng)根〉〃時(shí)，S中的兩條平行直線間的距離為

d=1>2n

sin?6cos2^，可得最小值為2”；D中，由(0,0)不滿足方程，可判斷命題錯(cuò)

\m2+n2

、口

陜?

【詳解】當(dāng)：時(shí),sin6=cos?=①，S中直線的方程為變彳+立y=1,即y=-△X+&及，

422m2n'm

故其斜率為-一，故A不正確；

m

根據(jù)任X+酬y=l，可知S中所有直線不可能經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，B不正確；

mn

d:2,,

當(dāng)機(jī)寸，S中的兩條平行直線間的距離為一「in沼cos*，而邛4邛，則

\——+一廠加m

Vm~n

」20

誓qin?。+岑ccq?。4與1，故d-R/in為cos?。22/2，即最小值為2〃，C正確；

rrTnnJ——l---------—

Vm~n

易見，點(diǎn)(0,0)不滿足方程，，S中的所有直線不可覆蓋整個(gè)平面，D不正確；

故選：C.

【題型八】雙動(dòng)直線

【典例分析】

(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)meR,過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+m)，+，〃=0和過(guò)定點(diǎn)8的動(dòng)直線

，nr-y-，〃+2=0交于點(diǎn)P(x,y),則I幺1+1尸3|的取值范圍是()

A.[>/5,2>/5]B.[廂,2石]C.[710,475]D.[26,4萬(wàn)]

【答案】B

【分析】先由兩直線方程求出4,8的坐標(biāo)，由于兩直線垂直，所以|PA|2+|P8|2=|A8『=10,

若設(shè)NABP=d,則|PA|=麗sin。，|PBb廂cos?,然后表示出Ia1+1尸網(wǎng)變形后，利用三

角函數(shù)的性質(zhì)可求得其范圍.

【詳解】解：由題意可知，動(dòng)直線陽(yáng)+機(jī)=0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0,T),

動(dòng)直線mx-y-m+2=0,即利(x-l)-y+2=0,經(jīng)過(guò)點(diǎn)定點(diǎn)3(1,2),

動(dòng)直線x+/My+/M=0和動(dòng)直線松-y-m+2=0的斜率之積為-I,始終垂直，P又是兩條直

線的交點(diǎn)，

：.PA1PB^:\PA^+\PB\2=\AB\2=\O.設(shè)ZABP=e,貝lJ|PA|=>/i5sin(9,|PB|=ViUcos。，

由|網(wǎng)..0且|網(wǎng)..0,可得。e[0,-J.J1+1PB|=V10(sin0+cos0)=275sin(6>+-),

24

9e[0,1],...，+?嗚，*，...sinS+fe呼，U,

,-.2>/5Sin(<9+-)e[>/i0,20],故選：B.

4

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.直線含參，一般情況下，過(guò)定點(diǎn)

2.如果兩條直線都有參數(shù)，則兩條直線可能存在“動(dòng)態(tài)”垂直。則直線交點(diǎn)必在定點(diǎn)線段

為直徑的圓上。

【變式訓(xùn)練】

1.(2021?湖南?益陽(yáng)平高學(xué)校高二期中)設(shè)〃?eR,過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my+1=0和過(guò)定點(diǎn)8

的動(dòng)直線小一廣2根+3=0交于點(diǎn)尸(x,y),則|網(wǎng)+|P目的最大值()

A.2#>B.3&C.3D.6

【答案】D

【分析】根據(jù)動(dòng)直線方程求出定點(diǎn)A3的坐標(biāo)，并判斷兩動(dòng)直線互相垂直，進(jìn)而可得

|PA『+1PB