高數(shù)課件不定積分d35極值與最值

一、函數(shù)的極值及其求法二、最大值與最小值問題第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值第三章機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、函數(shù)的極值及其求法定義:在其中當(dāng)(1)(2)時,則稱

為 的極大點

,稱 為函數(shù)的極大值

;則稱

為 的極小點

,稱 為函數(shù)的極小值

.極大點與極小點統(tǒng)稱為極值點.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束注意:x3x4x2x5xbo

a

x1yx1

,x4

為極大點x

2

,x5

為極小點x3

不是極值點函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).

對常見函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點.例如(P146例4)f

(x)

=

2x3

-

9x2

+12x

-

3是極大值是極小值為極大點,為極小點,xoy211

2機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理1

(極值第一判別法)設(shè)函數(shù)f

(x)在x0

的某鄰域內(nèi)連續(xù),且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),當(dāng)x由小到大通過x0

時,f

(x)“左正右負(fù)”,則f

(x)在x0

取極大值.f

(x)“左負(fù)右正”,則f

(x)在x0

取極小值;(自證)點擊圖中任意處動畫播放\暫停機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.

求函數(shù)解:1)求導(dǎo)數(shù)233的極值.2-

1f

￠(x)

=

x

+

(x

-1)

x355xx-23

=

352)求極值可疑點令

f

(x)

=

0

,

得

x1

=

2

;令

f

(x)

=

￥

,

得

x2

=

03)列表判別xf

(x)f

(x)250+-+￥00-

0.33(-￥

,

0)5(0

,

2)5(2

,

+￥

)是極大點，其極大值為是極小點，其極小值為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理2

(極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且則則在點 取極大值

;在點 取極小值

.-+證:(1)x

-

x0xfi

x0f

(x0

)

=

lim

f

(x)

-

f

(x0

)

=

lim

f

(x)xfi

x0

x

-

x0由

f

(x0

)

<

0知,

存在d

>

0,

當(dāng)0

<

x

-

x0

<

d時,故當(dāng)

x0

-d

<

x

<

x0

時，f

(x)

>

0;當(dāng)x0

<

x

<

x0

+d時，f

(x)

<

0,x0

0x

+d0x

-d+-0由第一判別法知

f

(x)

在x

取極大值.(2)

類似可證.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束的極值.例2.

求函數(shù)解:1)求導(dǎo)數(shù)f

￠(x)

=

6x

(x2

-1)2

,f

￠(x)

=

6

(x2

-1)(5x2

-1)求駐點令

f

(x)

=

0,

得駐點

x1

=

-1,

x2

=

0,

x3

=1判別因

f

(0)

=

6

>

0,

故為極小值;又

f

(-1)

=

f

(1)

=

0,

故需用第一判別法判別.1xy-1機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束0f

(n)

(x

)

?

0,定理3

(判別法的推廣)數(shù),且則:

1)

當(dāng)n為偶數(shù)時,為極值點,且是極小點;是極大點.不是極值點.f

(n)

(x0

)+

(x

-

x0

)nn

!f

(x)

=

f

(x0

)

+

f

(x0

)(x

-

x0

)

++

o((x

-

x0

)n

)-+時,上式左端正負(fù)號由右端第一項確定,當(dāng) 充分接近故結(jié)論正確

.2)當(dāng)n為奇數(shù)時,證:

利用

在點的泰勒公式,可得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例如,例2中f

￠(x)

=

24

x

(5x2

-

3),f

(–1)

?

0所以不是極值點.說明:

極值的判別法(定理1~定理3)都是充分的.當(dāng)這些充分條件不滿足時,

不等于極值不存在

.例如:f

(0)=2

為極大值,但不滿足定理1~

定理3

的條件.xy-1

1機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、最大值與最小值問題則其最值只能在極值點或端點處達(dá)到.求函數(shù)最值的方法:的極值可疑點內(nèi)f

(a),

f

(b)}求

在最大值M

=

max{最小值機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束特別:當(dāng)

在 內(nèi)只有一個極值可疑點時, 若在此點取極大

(小)值

,

則也是最大(小)值

.當(dāng)

在 上單調(diào)時,

最值必在端點處達(dá)到.對應(yīng)用問題,有時可根據(jù)實際意義判別求出的可疑點是否為最大值點或最小值點.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束f

(x)

=

x

(2x2

-

9x

+12)D

=

(-9)2

-

4 2

12

=

81-96

<

0\

2x

2

-

9x

+12

>

0-

1

￡40

<45在閉區(qū)間x

￡

0x

￡

52例3.

求函數(shù)上的最大值和最小值.解:顯然且-(2x3

-

9x2

+12x),2x3

-

9x2

+12x

,f

￠(x)

=

2

6xx1

=

0,

x2

=1,

x3

=

22故函數(shù)在

x

=

0

取最小值

0

;

在

x

=1及5

取最大值

5.-18x

+12

=

6(x

-1)(x

-

2),

0

<

x

￡

2

-

6x2

+18x

-12=

-6(x

-1)(x

-

2),

-

1

￡

x

<

0521

2-14機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束j

(x)

=

f

2

(x)說明:令由于j

(x)與f

(x)最值點相同,因此也可通過j

(x)求最值點.

(

自己練習(xí))在閉區(qū)間例3.

求函數(shù)上的最大值和最小值.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(k

為某一常數(shù))20CA

x-

3),400

+

x25xy￠=k

(400(400

+

x2

)32y￠=

5

k令

得

又所以x

=15為唯一的202

+x2

,總運費極小點

,

從而為最小點

,

故

AD

=15

km

時運費最省

.物從B

運到工廠C

的運費最省,

問D

點應(yīng)如何選取?解:

設(shè)AD

=

x

(km)

,

則

CD

=D

B100例4.

鐵路上AB

段的距離為100

km,工廠C

距A

處20Km,AC⊥AB,要在AB線上選定一點D向工廠修一條公路,已知鐵路與公路每公里貨運價之比為3:5,為使貨機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.把一根直徑為d的圓木鋸成矩形梁,問矩形截面的高h(yuǎn)

和b

應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大?解:由力學(xué)分析知矩形梁的抗彎截面模量為hbd6=

1

b

(d

2

-b2

),b

?(0,

d

)w￠=

1

(d

2

-3b2

)1

dd

:

h

:

b

=

3

:

2

:132

d6b

=

3h

=

d

2

-

b2

=令得從而有即由實際意義可知,所求最值存在,駐點只一個,故所求結(jié)果就是最好的選擇.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束a例6.

設(shè)有質(zhì)量為

5

kg

的物體置于水平面上

,

受力

作P解:克服摩擦的水平分力正壓力\F

cos

a

=

m

(5g

-

F

sina

)cosa

+

m

sina5m

gF

=

,2a

?

[0,

p

]即令j

(a

)

=

cosa

+

m

sina則問題轉(zhuǎn)化為求j

(a

)的最大值問題.a

為多少時才可使力用開始移動,

設(shè)摩擦系數(shù) 問力 與水平面夾角F的大小最小?機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束令j

(a

)

=

-cosa

-

m

sina解得而j

(a)<0,因而F

取最小值.FaP即令cosa

+

m

sina5m

gF

=

,2a

?

[0,

p

]j

(a

)

=

cosa

+

m

sina則問題轉(zhuǎn)化為求j

(a

)的最大值問題.解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束x1.41.8q清楚(視角q

最大)?解:

設(shè)觀察者與墻的距離為

x

m

,

則x

x=

arctan1.4

+1.8

-

arctan1.8

,x

?

(0,

+￥

)-

3.2

1.8

-1.4

(x2

-

5.76)q

=

x2

+

3.22

+

x2

+1.82

=

(x2

+

3.22

)(x2

+1.82

)令q

=0,得駐點x

=2.4

?

(0,+￥

)根據(jù)問題的實際意義,觀察者最佳站位存在,

駐點又唯一,

因此觀察者站在距離墻

2.4

m

處看圖最清楚

.例7.

一張1.4m高的圖片掛在墻上,它的底邊高于觀察者的眼睛1.8

m

,

問觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.

連續(xù)函數(shù)的極值極值可疑點:使導(dǎo)數(shù)為0

或不存在的點第一充分條件過過由正變負(fù)由負(fù)變正為極大值為極小值(3)第二充分條件為極大值為極小值-+(4)判別法的推廣(Th.3)定理3目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)2.

連續(xù)函數(shù)的最值最值點應(yīng)在極值點和邊界點上找;應(yīng)用題可根據(jù)問題的實際意義判別.(x

-

a)2xfia1.

設(shè)

lim

f

(x)

-

f

(a)

=

-1,

則在點

a

處().(

A)

f

(x)

的導(dǎo)數(shù)存在

,

且

f

(a)

?

0；(C)

f

(x)取得極小值;(L.

P500

題4)B(B)

f

(x)取得極大值;(D)

f

(x)的導(dǎo)數(shù)不存在.提示:

利用極限的保號性

.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.

設(shè)

f

(x)

在

x

=

0

的某鄰域內(nèi)連續(xù),

且

f

(0)

=

0,limf

(x)xfi

01-

cos

x=

2,

則在點

x

=

0

處

f

(x)

(

D

).不可導(dǎo);可導(dǎo),

且

f

(0)

?

0;取得極大值;取得極小值.提示:

利用極限的保號性

.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束取得極大值;取得極小值;在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加;在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少.提示:f

(x0

)

=

-4

f

(x0

)

<

03.

設(shè)

y

=

f

(x)

是方程

y

-

2

y

+

4

y

=

0

的一個解,若

f

(x0

)

>

0,

且

f

(x0

)

=

0,

則

f

(x)

在

x0

(

A

)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束作業(yè)P1603;

5

;1

(5),

(9);

2;10;

14;

15第六節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束3f

(x)

=

a

sin

x

+

1

sin

3x2解:

f

(x)=

由題意應(yīng)有又\3f

(x)取得極大值為f

(2

p

)=3備用題

1.